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1. 개요
三 角 函 數- 加 法 定 理 / angle addition and subtraction formulas두 각의 합이나 차에 대한 삼각함수의 값을 구하는 공식이다. 알렉산드리아의 수학자 프톨레마이오스(Claudius Ptolemaeus)의 저서 알마게스트(Almagest)에 최초로 언급되어 정리되었다.
2. 공식
두 각 [math(\alpha)], [math(\beta)]에 대하여 다음이 성립한다.[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{(\alpha \pm \beta)}&=\sin{\alpha}\cos{\beta} \pm \cos{\alpha}\sin{\beta} \\ \cos{(\alpha \pm \beta)}&=\cos{\alpha}\cos{\beta} \mp \sin{\alpha}\sin{\beta} \\ \tan{(\alpha \pm \beta)}&=\frac{\tan{\alpha} \pm \tan{\beta}}{1 \mp \tan{\alpha}\tan{\beta}} \end{aligned} )] |
2.1. 복소수의 경우
간단히 [math(\sin\beta \to i \sinh \beta)], [math(\cos\beta \to \cosh \beta)]로 갈음하면 된다. [math(\sinh)], [math(\cosh)], [math(\tanh)]는 쌍곡선 함수이다.[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{(\alpha\pm i \beta)}&=\sin\alpha\cosh\beta\pm i \cos\alpha\sinh\beta \\ \cos{(\alpha\pm i \beta)}&=\cos\alpha\cosh\beta\mp i \sin\alpha\sinh\beta \\\tan{(\alpha\pm i \beta)}&=\frac{\tan\alpha\pm i \tanh\beta}{1\mp i \tan\alpha\tanh\beta} \end{aligned} )] |
3. 증명
이 문서에서는 대표적인 6가지를 서술했으나 이 외에도 여러 방법이 있다.3.1. 단위원을 이용한 증명
위 그림과 같이 좌표평면 위에 중심이 원점인 단위원을 그리고, [math(x)]축과 이루는 양의 방향의 각이 각각 [math(\alpha)], [math(\beta)]([math(\alpha \geq \beta \geq 0)])인 두 반지름 [math(\overline{\rm{OA}})], [math(\overline{\rm{OB}})]를 고려하자. 세 점 [math(\rm O)], [math(\rm A)], [math(\rm B)]는 삼각형 [math(\rm OAB)]를 형성하며, [math({\rm A}(\cos{\alpha},\,\sin{\alpha}))], [math({\rm B}(\cos{\beta},\,\sin{\beta}))]이다.
[math(\angle \rm AOB=\alpha-\beta)]([math(\alpha-\beta \geq 0)])에 대하여 코사인 법칙을 적용하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} {\overline{\rm{AB}} }^{2}&={\overline{\rm{OA}} }^{2}+{\overline{\rm{OB}} }^{2}-2{\overline{\rm{OA}} } \cdot {\overline{\rm{OB}} } \cos{(\angle \rm AOB)}\\ &=1^2+1^2-2\cdot 1 \cdot 1 \cos{(\alpha-\beta)} \\&= 2-2\cos{(\alpha-\beta)} \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} {\overline{\rm{AB}} }^{2}&=\left[\sqrt{(\cos{\alpha}-\cos{\beta})^{2}+(\sin{\alpha}-\sin{\beta})^{2}} \right]^{2} \\&=(\sin^{2}{\alpha}+\cos^{2}{\alpha})+(\sin^{2}{\beta}+\cos^{2}{\beta})-2( \cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}) \\&=1+1-2(\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta} ) \\&=2-2( \cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta} ) \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{(\alpha-\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta} \end{aligned} )] |
위 그림의 경우에는, 동일한 과정을 거쳐 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{(\alpha+\beta)}&=\cos{\alpha}\cos{(-\beta)}+\sin{\alpha}\sin{(-\beta)} \\ &=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta} \end{aligned} )] |
한편,
[math(\displaystyle \cos{\left\{\frac{\pi}{2}-(\alpha \pm \beta) \right\} }=\sin{(\alpha \pm \beta)} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{(\alpha \pm \beta)}&=\cos{\left( \frac{\pi}{2}-\alpha \mp \beta \right)} \\&=\cos{\left\{ \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) \mp \beta \right\}} \\&=\cos{ \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}\cos{\beta} \pm \sin{ \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}\sin{\beta} \\&=\sin{\alpha}\cos{\beta} \pm \cos{\alpha}\sin{\beta} \end{aligned} )] |
탄젠트에 대한 덧셈 정리는 쉽게
[math(\displaystyle \begin{aligned} \tan{(\alpha \pm \beta)}&=\frac{\sin{(\alpha \pm \beta)}}{\cos{(\alpha \pm \beta)}}\\&=\frac{\sin{\alpha}\cos{\beta} \pm \cos{\alpha}\sin{\beta}}{\cos{\alpha}\cos{\beta} \mp \sin{\alpha}\sin{\beta} }\\&= \frac{\dfrac{\sin{\alpha}\cos{\beta} \pm \cos{\alpha}\sin{\beta}}{\cos{\alpha}\cos{\beta} }}{\dfrac{\cos{\alpha}\cos{\beta} \mp \sin{\alpha}\sin{\beta}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}} } \\&=\frac{\dfrac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} \pm \dfrac{\sin{\beta}}{\cos{\beta}}}{1 \mp \dfrac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}\dfrac{\sin{\beta}}{\cos{\beta}} } \\&=\frac{\tan{\alpha} \pm \tan{\beta}}{1 \mp \tan{\alpha} \tan{\beta}} \end{aligned} )] |
위의 과정에서는 [math(\alpha \geq \beta \geq 0)]과 [math(\alpha + \beta \geq 0)] 혹은 [math(\alpha - \beta \geq 0)]을 만족시킬 때만 증명했지만 실제로는 모든 [math(\alpha)], [math(\beta)]에 대하여 성립한다.(아래 문단 참조)
3.1.1. 모든 각에 대하여 덧셈 정리가 유효한 이유
위 문단에서 [math(\alpha \geq \beta \geq 0)], [math(\alpha + \beta \geq 0)] 혹은 [math(\alpha - \beta \geq 0)]을 만족시킬 때, 덧셈 정리를 유도했다. 그렇다면 모든 [math(\alpha)], [math(\beta)]에 대해서도 덧셈 정리가 성립할까? 예를 들어서 설명하면 '코사인의 덧셈 정리 [math(\cos{(\alpha+\beta})=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta})]가 [math(\alpha \geq 0)], [math(\beta < 0)]을 만족시킬 때, 이 덧셈 정리는 유효한가?'가 이 문단에서 묻고자 하는 바이다. 결론적으로 말하면, 모든 각에 대하여 유효한데, 이것을 이 문단에서 초등적으로 증명해보고자 한다.[math(\alpha)], [math(\beta)]의 부호에 관계 없이 덧셈 정리가 유효함을 증명하는 것은 코사인에 대해서만 할 것인데, 이는 코사인을 통해 사인, 탄젠트의 덧셈 정리가 유도됐기 때문에 코사인이 증명되면 사인과 탄젠트는 자동으로 성립하기 때문이다.
우선 [math(\cos{(\alpha+\beta)})]에 대해 증명하자. 코사인의 성질로 위의 조건을 만족시키도록 식을 변형한 뒤 식을 되돌리는 방식으로 증명한다.
[1] [math(\boldsymbol{\alpha \geq0,\,\beta < 0})]
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{(\alpha+\beta)}&=\cos{(\alpha-|\beta|)} \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{(\alpha+\beta)}&=\cos{(\alpha-|\beta|)} \\ &=\cos{\alpha}\cos{|\beta|}+\sin{\alpha}\sin{|\beta|} \\ &=\cos{\alpha}\cos{(-|\beta|)}+\sin{\alpha}\{-\sin{(-|\beta|)}\}\\&=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta} \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{(\alpha+\beta)}&=\cos{(\alpha-|\beta|)} \\ &=\cos{(|\beta|-\alpha)} \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{(\alpha+\beta)} &=\cos{|\beta|}\cos{\alpha}+\sin{|\beta|}\sin{\alpha} \\ &=\cos{(-|\beta|)}\cos{\alpha}+\{-\sin{(-|\beta|)}\}\sin{\alpha} \\&=\cos{\beta}\cos{\alpha}-\sin{\beta}\sin{\alpha} \\&=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta} \end{aligned} )] |
[2] [math(\boldsymbol{\alpha < 0,\,\beta \geq 0})]
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{(\alpha+\beta)}&=\cos{(-|\alpha|+\beta)}=\cos{(\beta-|\alpha|)} \end{aligned} )] |
[3] [math(\boldsymbol{\alpha < 0,\,\beta < 0})]
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{(\alpha+\beta)}&=\cos{\{-(|\alpha|+|\beta|)\}}=\cos{(|\alpha|+|\beta|)} \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{(\alpha+\beta)}&=\cos{(|\alpha|+|\beta|)} \\ &=\cos{|\alpha|}\cos{|\beta|}-\sin{|\alpha|}\sin{|\beta|} \\ &=\cos{(-|\alpha|)}\cos{(-|\beta|)}-\{-\sin{(-|\alpha|)}\}\{-\sin{(-|\beta|)}\} \\&= \cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta} \end{aligned} )] |
같은 방법으로 [math(\cos{(\alpha-\beta)})]의 경우에도 부호에 관계없이 덧셈 정리를 적용할 수 있음을 증명할 수 있다.
이 결과는 [math(\alpha+\beta)] 혹은 [math(\alpha-\beta)]가 음이라도 덧셈 정리는 유효함 또한 암시한다. 나아가 상술했듯 각이 실수가 아니어도 성립한다.
3.1.2. 회전을 이용한 증명
이것은 위와 유사하나 코사인 법칙을 사용하지 않는다.첫번째 그림을 [math(-\alpha )]만큼 회전하면 두번째 그림처럼 된다.
이 때, [math(\overline{PQ}=\overline{P'Q'})]가 성립함을 주목하자. - (1)
점 [math(P)], [math(Q)], [math(P')], [math(Q')]의 좌표는 각각
[math(P(\cos{(\alpha+\beta)}, \sin{(\alpha+\beta})), Q(1, 0))]
[math(P'(\cos{\beta}, \sin{\beta}), Q'(\cos{(-α)}, \sin{(-α)}))]
[math(P'(\cos{\beta}, \sin{\beta}), Q'(\cos{(-α)}, \sin{(-α)}))]
이다.
그런데, 삼각함수의 음각의 공식에 의해
[math(Q'(\cos{\alpha}, -\sin{\alpha}))]
이다.
따라서
[math(\overline{PQ} = \sqrt{(1-\cos{(\alpha+\beta)})^{2}+(\sin{(\alpha+\beta)})^{2}} \newline \overline{P'Q'} = \sqrt{(\cos{\alpha}-\cos{\beta})^{2}+(-\sin{\alpha}-\sin{\beta})^{2}})]
를 얻는다.
그런데, (1)에 의해서 [math({\overline{PQ}}^{2}={\overline{P'Q'}}^{2})] 이므로
[math((1-\cos{(\alpha+\beta)})^{2}+(\sin{(\alpha+\beta)})^2 = (\cos{\alpha}-\cos{\beta})^{2}+(\sin{\alpha}+\sin{\beta})^{2})]
이다.
이 식을 정리하면
[math(\cos{(\alpha+\beta)} = \cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta})]
이다.
이것은 [math(\alpha)], [math(\beta)]의 값에 상관 없이 성립한다.
위쪽 문단과 마찬가지로 하면 sin과 tan의 덧셈 정리를 얻을 수 있다.
3.2. 삼각형의 넓이를 이용한 증명
위 그림과 같이 삼각형 [math(\rm ABC)]를 고려하자. 한 꼭짓점 [math(\rm A)]에서 [math(\overline{\rm BC})]에 내린 수선의 발을 [math(\rm H)]라 하자. 이때, 삼각형 [math(\rm ABC)]은 삼각형 [math(\rm ABH)], 삼각형 [math(\rm AHC)]으로 분할된다. 이때, 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \triangle {\rm ABC}=\frac{1}{2}\overline{\rm AB} \cdot \overline{\rm AC} \sin{(\alpha+\beta)} \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \triangle {\rm ABH}&=\frac{1}{2}\overline{\rm AB} \cdot \overline{\rm AH} \sin{\alpha} \\ \triangle{\rm AHC}&=\frac{1}{2}\overline{\rm AC} \cdot \overline{\rm AH} \sin{\beta} \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \overline{\rm AH}=\overline{\rm AB}\cos{\alpha}=\overline{\rm AC}\cos{\beta} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \triangle {\rm ABH}&=\frac{1}{2}\overline{\rm AB} \cdot (\overline{\rm AC} \cos{\beta}) \sin{\alpha} \\ \triangle{\rm AHC}&=\frac{1}{2}\overline{\rm AC} \cdot (\overline{\rm AB} \cos{\alpha}) \sin{\beta} \\ \therefore \triangle {\rm ABC}&=\frac{1}{2}\overline{\rm AB} \cdot \overline{\rm AC} (\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}) \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \sin{(\alpha+\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta} )] |
3.3. 벡터를 이용한 증명
[math(x)]축과 이루는 양의 방향의 각이 각각 [math(\alpha)], [math(\beta)]인 두 단위 벡터 [math(\mathbf{V})], [math(\mathbf{U})]를 고려하자. 두 벡터의 내적은[math(\displaystyle \mathbf{V} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{U}=|\mathbf{V} | \mathbf{U}|\cos{(\alpha-\beta)}=\cos{(\alpha-\beta)} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{V}&=(\cos{\alpha},\,\sin{\alpha}) \\ \mathbf{U}&=(\cos{\beta},\,\sin{\beta}) \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \mathbf{V} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{U}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta} )] |
[math(\displaystyle \cos{(\alpha-\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta} )] |
3.4. 선형변환을 이용한 증명
위 그림과 같이 좌표평면상 점 [math({\rm P}(1,\,0))]에 대하여 [math(\alpha)]만큼 회전한 뒤 놓이는 점을 [math({\rm P'})], 다시 [math(\beta)]만큼 회전한 뒤 놓이는 점을 [math({\rm P''})]이라 하자.
삼각함수의 정의에 의하여 [math({\rm P}(\cos{(\alpha+\beta)},\,\sin{(\alpha+\beta)}))]임은 자명하다. [math(\mathrm{P\to P})]의 변환을 기술하는 행렬은
[math(\displaystyle \begin{aligned} \begin{bmatrix}\cos{\beta} \,\,\,&-\sin{\beta} \\ \sin{\beta} \,\,\,& \cos{\beta}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\cos{\alpha} \,\,\,&-\sin{\alpha} \\ \sin{\alpha} \,\,\,& \cos{\alpha}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta} \,\,\,&-(\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}) \\ \sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta} \,\,\,& \cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}\end{bmatrix} \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \begin{bmatrix}\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta} \,\,\,&-(\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}) \\ \sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta} \,\,\,& \cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 \\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta} \\ \sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta} \end{bmatrix} \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{bmatrix}\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta} \\ \sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\cos{(\alpha+\beta)} \\ \sin{(\alpha+\beta)} \end{bmatrix} )] |
3.5. 미분을 이용한 증명
이 증명은 삼각함수를 무한급수로 정의하는 경우에서 의미가 있다. 삼각함수를 고등학교 수학처럼 정의하는 경우, 미분에서 덧셈정리를 내포하고 있으므로 당연히 이 증명을 쓸 수 없다.이미 [math((\sin{x})'=\cos{x})], [math((\cos{x})'=-\sin{x})]임을 알고 있다. 임의의 실수 [math(a)]에 대하여 [math(a)]를 고정한 후
[math(\displaystyle f(x)=\cos{(a-x)}\cos{x}-\sin{x}\sin{(a-x)} )] |
[math(\displaystyle f'(x)=\sin{(a-x)}\cos{x}-\cos{(a-x)}\sin{x}-\cos{x}\sin{(a-x)}+\sin{x}\cos{(a-x)}=0 )] |
[math(\displaystyle f(x)=\cos{(a-x)}\cos{x}-\sin{x}\sin{(a-x)}=\cos{a} )] |
[math(\displaystyle \cos{(x+y)}=\cos{x}\cos{y}-\sin{x}\sin{y})] |
이 결과는 모든 실수 [math(x)], [math(y)]에 대해 성립하므로 모든 각에 대하여 덧셈 정리가 유효함 또한 뒷받침하고 있다.
3.6. 오일러 공식을 이용한 증명
오일러 공식[math(\displaystyle e^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}\quad(i=\sqrt{-1}))] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} e^{i\alpha}e^{i\beta}&=e^{i(\alpha+\beta)}\\&=\cos{(\alpha+\beta)}+i\sin{(\alpha+\beta)} \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} e^{i\alpha}e^{i\beta}&=(\cos{\alpha}+i\sin{\alpha})(\cos{\beta}+i\sin{\beta}) \\&=(\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta})+i(\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}) \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \Im(e^{i\alpha}e^{i\beta})&=\sin{(\alpha + \beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta} + \cos{\alpha}\sin{\beta} \\ \Re(e^{i\alpha}e^{i\beta})&=\cos{(\alpha +\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta} - \sin{\alpha}\sin{\beta} \end{aligned} )] |
4. 따름정리
아래 문단을 정리하면 아래와 같다.-
삼각함수의 합성
[math(\displaystyle \begin{aligned} a\sin{\theta}+b\cos{\theta}&=\sqrt{a^2+b^2}\sin{(\theta+\varphi)} \quad & \left( \sin{\varphi}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}, \, \cos{\varphi}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \right) \\ &=\sqrt{a^2+b^2}\cos{(\theta-\nu)} \quad & \left( \sin{\nu}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \, \cos{\nu}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \right) \end{aligned} )]
-
배각의 공식
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{2\alpha}&=2\sin{\alpha}\cos{\alpha} \\ \cos{2\alpha}&=2\cos^{2}{\alpha}-1 \\ &=1-2\sin^{2}{\alpha} \\ &=\frac{1-\tan^{2}{\alpha}}{1+\tan^{2}{\alpha}} \\ \tan{2\alpha}&=\frac{2\tan{\alpha}}{1-\tan^{2}{\alpha}} \end{aligned} )]
-
반각의 공식
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin^{2}{\left(\frac{\alpha}{2}\right)}&=\frac{1-\cos{\alpha}}{2} \\ \cos^{2}{\left(\frac{\alpha}{2}\right)}&=\frac{1+\cos{\alpha}}{2} \\ \tan^{2}{\left(\frac{\alpha}{2}\right)}&=\frac{1-\cos{\alpha}}{1+\cos{\alpha}} \end{aligned} )]
-
곱을 합으로 바꾸는 공식
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{\alpha}\cos{\beta}&=\frac{1}{2}\{ \sin{(\alpha+\beta)}+\sin{(\alpha-\beta)} \}\\ \cos{\alpha}\sin{\beta}&=\frac{1}{2}\{ \sin{(\alpha+\beta)}-\sin{(\alpha-\beta)} \} \\ \cos{\alpha}\cos{\beta}&=\frac{1}{2}\{ \cos{(\alpha+\beta)}+\cos{(\alpha-\beta)} \} \\ \sin{\alpha}\sin{\beta}&=-\frac{1}{2}\{ \cos{(\alpha+\beta)}-\cos{(\alpha-\beta)} \} \end{aligned} )]
-
합을 곱으로 바꾸는 공식
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{A}+\sin{B}&=2\sin{\left(\frac{A+B}{2}\right)}\cos{\left(\frac{A-B}{2}\right)} \\ \sin{A}-\sin{B}&=2\cos{\left(\frac{A+B}{2}\right)}\sin{\left(\frac{A-B}{2}\right)} \\ \cos{A}+\cos{B}&=2\cos{\left(\frac{A+B}{2}\right)}\cos{\left(\frac{A-B}{2}\right)} \\ \cos{A}-\cos{B}&=-2\sin{\left(\frac{A+B}{2}\right)}\sin{\left(\frac{A-B}{2}\right)} \end{aligned} )]
4.1. 삼각함수의 합성
상수 [math(a)]와 [math(b)]에 대하여 각이 동일한 삼각함수 [math(a\sin{\theta}+b\cos{\theta})]를 고려하자.아래의 그림과 같이 좌표평면상 점 [math({\rm P}(a,\,b))]를 고려하자.
이때, [math(x)]축과 선분 [math(\rm OP)]가 이루는 양의 방향의 각을 [math(\varphi)]라 하자. 이때, 삼각함수의 정의에 의하여 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{\varphi}&=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ \cos{\varphi}&=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} a\sin{\theta}+b\cos{\theta}&=\sqrt{a^2+b^2} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin{\theta}+ \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos{\theta}\right) \\&=\sqrt{a^2+b^2} (\sin{\theta}\cos{\varphi}+\cos{\theta}\sin{\varphi}) \\&=\sqrt{a^2+b^2}\sin{(\theta+\varphi)} \end{aligned} )] |
이번에는 아래의 그림과 같이 좌표평면상 점 [math({\rm Q}(b,\,a))]를 고려하자.
이때, [math(x)]축과 선분 [math(\rm OQ)]가 이루는 양의 방향의 각을 [math(\nu)]라 하자. 이때, 삼각함수의 정의에 의하여 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{\nu}&=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ \cos{\nu}&=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} a\sin{\theta}+b\cos{\theta}&=\sqrt{a^2+b^2} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin{\theta}+ \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos{\theta}\right) \\&=\sqrt{a^2+b^2} (\sin{\theta}\sin{\nu}+\cos{\theta}\cos{\nu}) \\&=\sqrt{a^2+b^2} (\cos{\theta}\cos{\nu}+\sin{\theta}\sin{\nu}) \\&=\sqrt{a^2+b^2}\cos{(\theta-\nu)} \end{aligned} )] |
4.2. 배각의 공식
[math(\beta=\alpha)]를 사용함으로써 원 각의 두 배한 각에 대한 삼각함수의 값을 얻을 수 있다.[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{(2\alpha)}&=\sin{(\alpha+\alpha)} \\&=\sin{\alpha}\cos{\alpha} + \cos{\alpha}\sin{\alpha} \\&=2\sin{\alpha}\cos{\alpha} \\ \\ \cos{(2\alpha)}&=\cos{(\alpha+\alpha)} \\&=\cos{\alpha}\cos{\alpha} - \sin{\alpha}\sin{\alpha} \\&=\cos^{2}{\alpha}-\sin^{2}{\alpha}\\&=\begin{cases} \begin{aligned} \,\, \cos^{2}{\alpha}- (1-\cos^{2}{\alpha}) &=2\cos^{2}{\alpha}-1 \\ (1-\sin^{2}{\alpha}) - \sin^{2}{\alpha} &=1-2\sin^{2}{\alpha} \\ \dfrac{\cos^{2}{\alpha}-\sin^{2}{\alpha}}{\cos^{2}{\alpha}+\sin^{2}{\alpha}}&=\dfrac{\dfrac{\cos^{2}{\alpha}-\sin^{2}{\alpha}}{\cos^{2}{\alpha}}}{\dfrac{\cos^{2}{\alpha}+\sin^{2}{\alpha}}{\cos^{2}{\alpha}}}=\dfrac{1-\tan^{2}{\alpha}}{1+\tan^{2}{\alpha}} \end{aligned} \end{cases} \\ \\ \tan{(2\alpha)}&=\tan{(\alpha+\alpha)} \\&=\dfrac{\tan{\alpha} + \tan{\alpha}}{1 - \tan{\alpha}\tan{\alpha}} \\&=\frac{2\tan{\alpha}}{1-\tan^{2}{\alpha}} \end{aligned} )] |
- [내접삼각형을 이용한 증명]
- -----
배각의 공식을 내접삼각형을 이용하여 증명할 수도 있다.
위 그림과 같이 중심이 [math(\rm O)]이고, 지름이 2[1]인 원에 내접하는 삼각형 [math(\rm ABC)]를 고려한다.
한 호에 대한 원주각은 중심각의 반이다. 변 [math(\rm BC)]가 지름이므로 호 [math(\rm BC)]는 직각이고, 호 [math(\rm AC)]에 대한 원주각이 [math(\angle {\rm B}=\theta)]라 하면 중심각 [math(\angle {\rm AOC}=2\theta)]이다. 한편,[math(\displaystyle \begin{aligned} \overline{\rm AC}=2\sin{\theta} \end{aligned} )] [math(\displaystyle \begin{aligned} {\overline{\rm AC}}^{2}&={\overline{\rm AO}}^{2}+{\overline{\rm OC}}^{2}-2\overline{\rm AO}\cdot\overline{\rm OC}\cos{(\angle {\rm AOC})} \\&=1^2+1^2-2\cdot 1 \cdot 1 \cos{(2\theta)} \\ &=2-2\cos{(2\theta)} \\ \\ \therefore 2\sin^{2}{\theta} &=1-\cos{(2\theta)} \end{aligned} )] [math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{(2\theta)}=1-2\sin^{2}{\theta} \end{aligned} )]
한편, 삼각형 [math(\rm ABO)]는 [math(\overline{\rm AO}=\overline{\rm BO})]인 이등변삼각형이므로 [math(\angle \rm{BAO}=\theta)]이다.[math(\displaystyle \begin{aligned} \therefore \angle{\rm OAC}=\frac{\pi}{2}-\theta \end{aligned} )] [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\overline{\rm AC}}{\sin{(\angle \rm AOC)}}&=\frac{\overline{\rm OC}}{\sin{(\angle \rm OAC)}} \\ \frac{2\sin{\theta}}{\sin{(2\theta)}}&=\frac{1}{\cos{\theta}} \qquad \biggl(\because \sin{\biggl(\frac{\pi}{2}-\theta \biggr)}=\cos{\theta} \biggr) \\ \\ \therefore \sin{(2\theta)}&=2\sin{\theta}\cos{\theta} \end{aligned} )]
탄젠트의 배각의 공식은 삼각함수 항등식 [math(\tan{\theta}=\sin{\theta}/\cos{\theta})]를 이용한다.
4.2.1. 3배각의 공식
[math(3 \alpha =\alpha+2\alpha)]로 각을 변환한 뒤 덧셈 정리와 배각의 공식, 삼각함수 항등식을 사용하여 다음과 같이 원 각의 3배한 각에 대한 삼각함수의 값을 얻을 수 있다.[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{(3\alpha)}&=3\sin{\alpha}-4\sin^{3}{\alpha} \\ \cos{(3\alpha)}&=-3\cos{\alpha}+4\cos^{3}{\alpha}\end{aligned} )] |
참고적으로 [math(n)]배각 공식의 일반화는 쳬비쇼프 다항식이라 불리며 그 나름대로의 특이한 성질이 있다.
4.3. 반각의 공식
배각의 공식을 이용하여 원 각의 반 배한 각의 삼각함수의 값을 얻을 수 있다.[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{\alpha}&=\cos{\left(2 \cdot \frac{\alpha}{2}\right)} \\&=2\cos^{2}{\left(\frac{\alpha}{2}\right)}-1 \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos^{2}{\left(\frac{\alpha}{2}\right)}=\frac{1+\cos{\alpha}}{2} \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin^{2}{\left(\frac{\alpha}{2}\right)}&=1-\cos^{2}{\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\\&=1-\frac{1+\cos{\alpha}}{2}\\&=\frac{1-\cos{\alpha}}{2} \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \tan^{2}{\left(\frac{\alpha}{2}\right)}&=\frac{\sin^{2}{\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)}}{\cos^{2}{\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)}}\\&=\frac{\dfrac{1-\cos{\alpha}}{2}}{\dfrac{1+\cos{\alpha}}{2}}\\&=\frac{1-\cos{\alpha}}{1+\cos{\alpha}} \end{aligned} )] |
4.4. 곱을 합으로 바꾸는 공식
[math(\sin{(2x)}\cos{(3x)})]와 같이 곱으로 이루어진 삼각함수를 합으로 이루어지게 만드는 공식이다.유도에 앞서 이때까지 나왔던 덧셈 정리를 정리해보자.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{(\alpha+\beta)}&=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta} \quad && \cdots \, {\small\text ①} \\ \sin{(\alpha-\beta)}&=\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta} \quad && \cdots \, {\small\text ②} \\ \cos{(\alpha+\beta)}&=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta} \quad && \cdots \, {\small\text ③} \\ \cos{(\alpha-\beta)}&=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta} \quad && \cdots \, {\small\text ④} \end{aligned} )] |
식 ①과 식 ②를 더하고, 양변을 2로 나누면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{\alpha}\cos{\beta}=\frac{1}{2}\{ \sin{(\alpha+\beta)}+\sin{(\alpha-\beta)} \} \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{\alpha}\sin{\beta}=\frac{1}{2}\{ \sin{(\alpha+\beta)}-\sin{(\alpha-\beta)} \} \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{\alpha}\cos{\beta}=\frac{1}{2}\{ \cos{(\alpha+\beta)}+\cos{(\alpha-\beta)} \} \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{\alpha}\sin{\beta}=-\frac{1}{2}\{ \cos{(\alpha+\beta)}-\cos{(\alpha-\beta)} \} \end{aligned} )] |
4.5. 합을 곱으로 바꾸는 공식
[math(\sin{(2x)}+\cos{(3x)})]와 같이 합으로 이루어진 삼각함수를 곱으로 이루어지게 만드는 공식이다.이 공식은 곱을 합으로 바꾸는 공식에서 [math(\alpha+\beta = A)], [math(\alpha-\beta = B)]로 치환하여 얻을 수 있다. 두 식을 연립해서 풀면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \alpha&=\frac{A+B}{2} \\ \beta&=\frac{A-B}{2} \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{A}+\sin{B}&=2\sin{\left(\frac{A+B}{2}\right)}\cos{\left(\frac{A-B}{2}\right)} \\ \sin{A}-\sin{B}&=2\cos{\left(\frac{A+B}{2}\right)}\sin{\left(\frac{A-B}{2}\right)} \\ \cos{A}+\cos{B}&=2\cos{\left(\frac{A+B}{2}\right)}\cos{\left(\frac{A-B}{2}\right)} \\ \cos{A}-\cos{B}&=-2\sin{\left(\frac{A+B}{2}\right)}\sin{\left(\frac{A-B}{2}\right)} \end{aligned} )] |
5. 기타
- 옛 명칭은 '삼각함수의 가법(加法)정리'이다.
- 중국과 일본에서는 문과생도 삼각함수의 덧셈정리를 배운다. 심지어 중국은 삼각함수의 배각공식, 반각공식도 몽땅 간단한 것이라며 문과에게도 가르친다.
-
곱을 합 또는 차로 바꾸는 공식을 이용해서, 두 삼각함수의 곱으로 이루어진 함수를 적분할 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\sin(5x)\cos(2x) = \dfrac12 \{ \sin(7x)+\sin(3x) \} )]}}}
로 바꾸면, 좌변은 적분이 어렵지만 우변은 적분이 쉽기 때문이다.
6. 관련 문서
[1]
임의로 잡아도 관계 없음.