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평면기하학 Plane Geometry |
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1. 개요
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| 곡선 [math(\boldsymbol{f(x)=x^{2}})] 위의 점 [math(\mathbf{P}\boldsymbol{(1,\,1)})]에서의 접선 |
곡선 위의 한 점에서 곡선에 접하는 직선을 이르는 말로, 수학에서는 접선을 아래와 같이 정의한다.[2]
| 곡선 위의 점 [math(\rm P)]에 대하여 곡선 위를 움직이는 점 [math(\rm Q)]가 [math(\rm P)]에 한없이 다가갈 때 직선 [math(\overline{\rm PQ})]가 하나의 직선으로 수렴한다면 그 극한 위치의 직선을 [math(\rm P)]에서의 접선이라 하고, 점 [math(\rm P)]를 접점이라 한다. |
벡터도 당연히 접선을 구할 수 있는데, 이를 접다발(tangent bundle)이라고 한다.
2. 속력과의 관계
접선의 기울기가 가지는 대표적인 의미는 속력이다. 달리는 차에서 속도계를 보면 바늘이 계속 움직이는데 차의 속력이 일종의 시간에 따른 함수라는 것을 알 수 있다. 문제는 접선에서와 마찬가지로 일정한 거리를 갔을 때의 속력은 거리/시간으로 정의할 수 있지만 순간 속력이라는 것은 쉽게 정의할 수 없다는 데에 있다. 감이 딱 오겠지만 접선과 마찬가지 방법으로 해결하면 된다. 어느 한 순간 [math(t)]에서의 속력을 구하고 싶다면 [math(t)]로부터 1초 후까지의 평균 속력, 0.1초 후까지의 평균 속력, 0.01초 후까지의 평균 속력[math(\cdots)]를 쭉 보면서 어느 한 값에 가까워진다 싶으면 그 속도를 순간 속력으로 정의하는 것이다. 이런 걸 수학적으로는 이렇게 표현한다.[math( v(t) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{x(t+h)-x(t)}{(t+h)-t} )]
[math(v)]는 속력, [math(x)]는 거리, [math(h)]는 몇 초 후까지의 평균 속력이냐라는 의미이다. [math(h)]가 양의 값이면서 [math(t)]에 가까워질 때와 음의 값이면서 [math(t)]에 가까워질 때 둘 다 같은 값으로 수렴한다면 그 값이 바로 속력. 이런 형태는 결국 일반화되어 미분이라는 개념으로 발전하게 된다.
3. 접선의 방정식
3.1. 역사
수학자들은 오랜 세월 동안 모든 곡선에 적용되는 접선의 방정식 구하는 법을 알아내고자 하였다. 만약 접선이 곡선에 접하는 점의 좌표가 확실하다면, 접선의 기울기만 알아내면 접선의 방정식을 특정할 수 있기에 결국 접선의 기울기를 구하는 것이 최대 숙제였다. 포물선과 같이 특수하고 한정적인 경우에만 적용되는 방법은 피에르 드 페르마 등 여러 수학자들이 나름대로 고안해 냈지만, 그야말로 모든 접선의 기울기를 구하는 보편적인 방법은 발견하지 못하고 있었다. 1665년 아이작 뉴턴이 유율법이라는 모든 곡선에 적용되는 방법을 세계 최초로 고안하면서 이 문제가 해결되었다. 이후 오귀스탱루이 코시가 엡실론-델타 논법을 고안하여 유율법의 허점을 보완하였다.3.2. 구하는 법
함수의 그래프에서, 함수의 식과 접점의 좌표를 안다면 접선의 방정식을 구할 수 있다. 실함수 [math(f)]에 대하여 곡선 [math(y=f(x))] 위의 점 [math((t,\,f(t)))]에서의 접선은 기울기가 [math(f'(t))]이고 점 [math((t,\,f(t)))]를 지나므로 이 점에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.[math(y=f'(t)(x-t)+f(t))]
이는 곡선이 양함수로 표현될 때 가능한 방식이고, 원과 같이 본래는 함수가 아닌 것들은 음함수의 미분으로 접선의 기울기를 구해야 한다.
한편, 여러 특수한 경우에서는 다른 방법으로도 접선의 방정식을 구할 수 있다.
- 상수함수나 일차함수의 그래프는 기울기가 일정한 직선이기 때문에 그래프 위의 모든 점에서의 접선이 함수 자신의 그래프와 일치한다.
- 이차함수의 그래프의 접선은 이차함수의 그래프와 교점이 하나만 발생하므로 판별식이 0임을 이용하여 구할 수도 있다. 이차함수 문서를 참고하라. 이차함수뿐 아니라 타원 등의 이차곡선 역시 판별식을 이용하여 접선을 구할 수 있다. 다만 원의 경우 판별식을 이용할 수도 있지만, 후술된 방법을 이용하는 것이 더 간편하다.
- 원의 접선은 음함수의 미분을 하지 않고 원의 성질을 이용하여 구할 수도 있다. 주로 원의 중심에서 원의 접선에 내린 수선의 발은 접점이라는 점, 즉 원의 중심에서 접선까지의 거리는 반지름과 같다는 점을 이용한다. 접선을 한 꼭짓점으로 하고 원에 내접하는 삼각형이 있을 때, 삼각형에서 접선과 닿지 않은 한 내각의 크기는 그 각에 마주보이는 현과 접선이 이루는 각과 같다.
4. 오개념
접선은 곡선을 스치고 지나가야 하며, 곡선을 가로질러서는 안 된다는 오개념에 빠지는 학생들이 많다. 이 때문에 곡선을 가로지르는 직선이나 직선에 접하는 선은 접선이 아니라고 생각하곤 한다. 이러한 오개념은 크게 두 가지 원인으로 인해 발생한다. 첫째로 '접선'이라는 용어를 중학교 때 원의 접선을 배우며 처음 공부하기 때문이다. 원의 접선에 한해서는 '가로지르지 않는다', '한 점에서 만난다' 등이 사실이기 때문에 일반적인 곡선의 접선을 배울 때 혼동이 생기는 것이다. 둘째로 접선의 개념을 수학적으로 엄밀히 익히지 못하고, 자연 언어로 표현되는 모호한 생김새에 대한 은유로 익힐 경우 오개념이 생길 수 있다.곡선을 가로지르는 접선의 대표적인 사례로 삼차함수의 변곡점에서의 접선 등이 있다.
5. 활용
- 무차별곡선의 접선의 기울기는 한계대체율을, 등량곡선의 접선의 기울기는 기술적 한계대체율을 뜻한다. 전자는 소비자이론, 후자는 생산자이론의 내용으로, 둘은 논리의 전개가 매우 유사하다.