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평면기하학 Plane Geometry |
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1. 요약 (원과 삼각형, 직선에 관한 정리)
한 원 위에 있는 임의의 점 [math(A)], [math(B)], [math(C)], [math(D)], [math(E)], [math(F)]를 잡자. 현 [math(\overline{AB})]와 현 [math(\overline{DE})]의 교점을 [math(J)], 현 [math(\overline{BC})]와 현 [math(\overline{EF})]의 교점을 [math(L)], 현 [math(\overline{CD})]와 현 [math(\overline{AF})]의 교점을 [math(K)]라 하면, 점 [math(J)], [math(K)], [math(L)]은 한 직선 위에 있다.
1.1. 증명
메넬라오스 정리와 방멱 정리를 사용한다.[math(\triangle{GHI})]와 [math(\overline{DKC})]에서 메넬라오스 정리를 적용하면
[math(\frac{\overline{GK}}{\overline{KH}}\times\frac{\overline{HD}}{\overline{DI}}\times\frac{\overline{IC}}{\overline{CG}}=1)]···①
[math(\triangle{GHI})]와 [math(\overline{AJB})]에서 메넬라오스 정리를 적용하면
[math(\frac{\overline{GA}}{\overline{AH}}\times\frac{\overline{HJ}}{\overline{JI}}\times\frac{\overline{IB}}{\overline{BG}}=1)]···②
[math(\triangle{GHI})]와 [math(\overline{FLE})]에서 메넬라오스 정리를 적용하면
[math(\frac{\overline{GF}}{\overline{FH}}\times\frac{\overline{HE}}{\overline{EI}}\times\frac{\overline{IL}}{\overline{LG}}=1)]···③
방멱의 정리에 의해
[math(\overline{BI} \times \overline{CI})]=[math(\overline{DI} \times \overline{EI})]
[math(\overline{AH} \times \overline{FH})]=[math(\overline{DH} \times \overline{EH})]
[math(\overline{GA} \times \overline{GF})]=[math(\overline{GC} \times \overline{GB})]
위의 세 식을 ④라고 하자.
①, ②, ③을 모두 곱하자.
[math(\frac{\overline{GK}}{\overline{KH}} \times \frac{\overline{HD}}{\overline{DI}}\times\frac{\overline{IC}}{\overline{CG}}\times\frac{\overline{GA}}{\overline{AH}}\times\frac{\overline{HJ}}{\overline{JI}}\times\frac{\overline{IB}}{\overline{BG}}\times\frac{\overline{GF}}{\overline{FH}}\times\frac{\overline{HE}}{\overline{EI}}\times\frac{\overline{IL}}{\overline{LG}}=1)]
그리고 식 ④를 적용해 분자의 [math(\overline{BI}\times\overline{CI})]는[math(\overline{DI}\times\overline{EI})]로, 분자의 [math(\overline{AH}\times\overline{FH})]는[math(\overline{DH}\times\overline{EH})]로, 분자의 [math(\overline{GA}\times\overline{GF})]는[math(\overline{GC}\times\overline{GB})]로 바꾸고, 소거시킬 수 있는 것들을 소거하면
[math(\frac{\overline{GK}}{\overline{KH}}\times\frac{\overline{HJ}}{\overline{JI}}\times\frac{\overline{IL}}{\overline{LG}}=1)]이 된다.
그러므로 메넬라오스 정리의 역에 의해 세 점 [math(J)], [math(K)], [math(L)]은 한 직선 위에 있다.
다른 증명으로 베주 정리를 이용한 증명이 있다. 이쪽은 대수기하학 지식이 필요하다.
2. 요약 (원뿔곡선에 내접하는 육각형에 대한 정리)
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| 포물선 | 타원 |
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| 물론 육각형이 쌍곡선 한쪽에만 내접해도 된다. | |
원뿔곡선에 내접하는 육각형의 대변의 연장선은 한 직선 위에 있다.