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평면기하학 Plane Geometry |
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1. 개요
Ptolemy's theorem그리스의 천문학자 프톨레마이오스의 이름이 붙은 평면기하학 정리 중 하나이다. 톨레미의 정리는 원에 내접하는 사각형에 관한 것이며, 삼각형의 닮음과 원의 성질만 배우면 바로 증명이 가능할 정도로 간단하다.
2. 정리
내접사각형 [math(\rm ABCD)]에서 다음이 성립한다.
[math(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm CD}+\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm BC}=\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm BD})]
다시 말해서, 내접사각형의 두 대각선 길이의 곱은 두 쌍의 대변의 길이의 곱의 합이다.
3. 증명
[math(\angle{\rm CAD}=\angle{\rm BAP})]가 되게 대각선 [math(\overline{\rm BD})]위에 점 [math(\rm P)]를 잡는다. 또한, 원주 [math(\rm AD)]에 대한 원주각에 의해 [math(\angle{\rm ABP}=\angle{\rm ACD})]이다.
[math(\therefore\triangle{\rm ABP}\sim\triangle{\rm ACD} \quad)]([math(\rm AA)] 닮음)
변의 비를 구하면,
[math(\begin{aligned} \overline{\rm AB}:\overline{\rm \rm BP}&=\overline{\rm AC}:\overline{\rm CD} \\ \therefore \overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm CD}&=\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm BP} \quad \cdots \, \small{(1)} \end{aligned})]
이제 [math(\angle{\rm BAC}=\angle{\rm PAD})]이고, [math(\angle{\rm BCA}=\angle{\rm BDA})] (호 [math(\rm AB)]에 대한 원주각)이므로
[math(\triangle{\rm ABC}\sim\triangle{\rm APD} \quad)] ([math(\rm AA)] 닮음)
변의 비를 구하면,
[math(\begin{aligned} \overline{\rm AC}:\overline{\rm BC}&=\overline{\rm AD}:\overline{\rm PD} \\ \therefore \overline{\rm BC}\cdot\overline{\rm AD}&=\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm PD}\quad \cdots \, \small{(2)} \end{aligned})]
식 [math(\small{(1)})]과 식 [math(\small{(2)})]를 변끼리 더하면,
[math(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm CD}+\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm BC}=\overline{\rm AC}(\overline{\rm BP}+\overline{\rm PD})=\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm BD} )]
4. 톨레미 부등식
임의의 사각형에서,[math(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm CD}+\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm BC}\geq\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm BD})]
가 성립한다. 등호가 성립할 필요충분조건은 사각형이 원에 내접할 때이다.
평면에서의 증명은 원래 증명과 비슷하게 닮음이 되는 점 [math(\rm P)]를 찍고 삼각부등식을 이용한다.
신기한 것은, 이 톨레미의 부등식은 평면 뿐만이 아니라 모든 차원의 사각형에 대해 성립한다! 이 경우는 일반성을 잃지 않고 3차원으로 간주한 뒤 [math(\overrightarrow{\rm AC} \times \overrightarrow{\rm BD})]에 수직인 평면으로 사영을 시켜 증명할 수 있다.
5. 특별한 경우의 톨레미 정리
원을 직선으로 눌렀을 때도 톨레미의 정리는 성립한다. 한마디로, 직선 위의 점 [math(\rm A)], [math(\rm B)], [math(\rm C)], [math(\rm D)]에서도 위의 정리가 성립한다.단순 계산으로 증명할 수 있다.
6. 여담
- 한국에서는 "프톨레마이오스의 정리" 보다는 영어식 발음인 "톨레미의 정리"라는 이름으로 더 많이 알려져 있다.
- 한국의 수학 교육과정에서는 가르치지 않고 수학 경시대회를 준비한다면 학원 같은 곳에서 배우게 된다. 하지만 비단 수학 경시대회가 아니더라도 이 톨레미의 정리는 알아놓으면 고등학교 때까지는 잘만 써먹는다. 삼각함수의 덧셈정리 등을 직각삼각형 2개만 그려 증명할 수도 있다.