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평면기하학 Plane Geometry |
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1. 개요
스튜어트 정리(Stewart's theorem)는 스코틀랜드의 수학자 매튜 스튜어트가 증명한 정리로, 삼각형과 관련된 문제를 풀 때 매우 유용하며, 아래와 같다.[math(\displaystyle mb^2+nc^2=(m+n)(mn+d^2)=a(mn+d^2) )]
한편 [math(m=n )]이면 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle mb^2+mc^2=2m(m^2+d^2) )]
이제 양변을 [math(m )]으로 나눠주면
[math(\displaystyle b^2+c^2=2(m^2+d^2) )]
보통 고등학교 때 배우는 중선 정리(아폴로니우스 정리[1])가 된다. 즉, 아폴로니우스 정리의 확장이라고도 생각할 수 있다.
2. 증명
일반적으로 제2 코사인법칙을 이용해 증명하나, 피타고라스의 정리와 삼각함수의 덧셈정리를 통해서도 증명할 수 있다. 엄밀히 말해서 제2 코사인법칙을 이용하지 않는다면 [math(\triangle \rm ABC)]이 이등변 삼각형일 때, [math(\overline{\rm BC})]의 대각이 아닌 두 각 중 하나가 둔각일 때, 두 각 모두 예각일 때의 3가지 경우를 모두 고려해야한다. 그러나, 아래에서는 두 각이 모두 예각일때만 생각한다. (이등변 삼각형일 때에는 자명하고, 둔각일 때에는 부호만 바꿔주면 된다.)2.1. 코사인 법칙
두 변 [math(\overline{\rm AP})]와 [math(\overline{\rm CP})]가 이루는 각을 [math(\theta )]라 하자. 이때, [math(\triangle \rm APC)]에서 제2코사인 법칙에 의해,[math(\displaystyle c^2=m^2+d^2-2md\cos\theta \quad \cdots \quad (\rm I) )]
한편, [math(\triangle \rm ABP)]에 제2코사인 법칙을 적용하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} b^2&=n^2+d^2-2nd\cos(\pi-\theta) \\&=n^2+d^2+2nd\cos\theta \quad \cdots \quad (\rm I\!I) \end{aligned} )]
[math((\rm I))]에 [math(n)]을, [math((\rm I\!I))]에 [math(m)]을 곱하여 더하면, 스튜어트 정리가 유도된다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} mb^2+nc^2&=m^2n+nd^2-2mnd\cos\theta+mn^2+md^2+2mnd\cos\theta \\&=m^2n+mn^2+md^2+nd^2 \\&=mn(m+n)+d^2(m+n) \\&=(m+n)(mn+d^2)\\&=a(mn+d^2) \end{aligned} )]
2.2. 피타고라스 정리
위 그림과 같이 꼭짓점 [math(\rm A)]에서 [math(\overline{\rm BC})]에 내린 수선의 발을 [math(\rm{H})]라 하고, [math(\overline{\rm AH}=h )], [math(\overline{\rm PH}=x )]라 하자. 피타고라스 정리에 의하여 [math(\triangle \rm APH)]에서 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} h^2+x^2=d^2 \end{aligned} )]
또 [math(\triangle \rm AHC)]에서 마찬가지로
[math(\displaystyle \begin{aligned} h^2+(m-x)^2&=c^2 \end{aligned} )]
이것을 정리하고, [math(h^2+x^2=d^2)]임을 이용하면, 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} c^2=d^2+m^2-2mx \quad \cdots \quad (\rm I) \end{aligned} )]
또 [math(\triangle \rm AHB)]에 피타고라스 정리를 사용하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} h^2+(n+x)^2=b^2 \end{aligned} )]
이것을 정리하고, [math(h^2+x^2=d^2)]임을 이용하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} b^2=d^2+n^2+2nx \quad \cdots \quad (\rm I\!I) \end{aligned} )]
이때, [math((\rm I))]에 [math(n)], [math((\rm I\!I))]에 [math(m)]을 곱하여 더해주면, 스튜어트 정리가 유도된다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} &mb^2+nc^2\\& =nd^2+m^2n-2mnx+md^2+mn^2+2mnx \\&=d^2(m+n)+mn(m+n) \\ &= (m+n)(mn+d^2) \\&=a(mn+d^2) \end{aligned} )]
2.3. 삼각함수의 덧셈정리
두 변 [math(\overline{\rm AB})]와 [math(\overline{\rm AP})]가 이루는 각을 [math(\alpha )], 두 변 [math(\overline{\rm AP})]와 [math(\overline{\rm AC})]가 이루는 각을 [math(\beta )]라 하자. 이 때, 다음이 성립한다.[math(\displaystyle \begin{aligned} \triangle {\rm ABP}= \frac{1}{2} bd \sin \alpha \end{aligned})]
[math(\displaystyle \begin{aligned} \triangle {\rm APC}= \frac{1}{2} cd \sin \beta \end{aligned})]
또 [math(\triangle {\rm ABP}: \triangle {\rm APC}= n:m)]임을 이용하면, 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} mb \sin \alpha = nc \sin \beta \quad \cdots \quad (\rm I) \end{aligned})]
한편, [math(\triangle \rm ABC)]에서 삼각함수의 덧셈정리를 적용하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \triangle {\rm ABC}&= \frac{1}{2} bc \sin (\alpha + \beta) \\&= \frac{1}{2} bc(\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta) \end{aligned})]
위의 식에 [math((\rm I))]을 이용하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{2} bc(\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta)&= \frac{1}{2} b(c\sin\alpha\cos\beta + \frac{mb}{n}\cos\alpha\sin\alpha) \\&= \frac{1}{2}b\sin\alpha(c\cos\beta+\frac{mb}{n}\cos\alpha) \quad \cdots \quad (\rm I\!I) \end{aligned})]
또한, [math(\triangle{\rm ABP} +\triangle{\rm APC})]에서 [math((\rm I))]을 이용하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \triangle{\rm ABP} +\triangle{\rm APC}&= \frac{1}{2}d(c\sin\beta+b\sin\alpha) \\&= \frac{1}{2}d(\frac{m}{n}b\sin\alpha+b\sin\alpha) \\&= \frac{1}{2}bd\sin\alpha(\frac{m}{n}+1) \end{aligned})]
그런데 [math(\triangle{\rm ABP} +\triangle{\rm APC} = \triangle {\rm ABC})]이므로 위 식의 우변은 [math((\rm I\!I))]와 같다. 따라서 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} mb\cos\alpha+nc\cos\beta=d(m+n) \quad \cdots \quad (\rm I\!I\!I) \end{aligned})]
또 [math(\triangle \rm ABP)]와 [math(\triangle \rm APC)]에 각각 제2코사인 법칙을 적용하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} n^2={b^2}+{d^2}-2bd\cos\alpha \\m^2={c^2}+{d^2}-2cd\cos\beta \end{aligned})]
따라서 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} m{n^2}=m{b^2}+m{d^2}-2bdm\cos\alpha \\{m^2}n=n{c^2}+n{d^2}-2cdn\cos\beta \end{aligned})]
[math(\displaystyle \begin{aligned} {m^2}n+m{n^2}=m{b^2}+n{c^2}+{d^2}(m+n)-2d(mb\cos\alpha+nc\cos\beta) \end{aligned})]
위 식을 적절히 이항하고 [math((\rm I\!I\!I))]을 이용하면, 스튜어트 정리가 유도된다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} m{b^2}+n{c^2} &= {m^2}n+m{n^2}-{d^2}(m+n)+2d(mb\cos\alpha+nc\cos\beta) \\&= mn(m+n)-{d^2}(m+n)+2d⋅d(m+n) \\&=(m+n)(mn+d^2) \\&= a(mn+d^2) \end{aligned})]
==# 예시 #==
2022학년도 대학수학능력시험 연계교재 수능완성에 수록된 문항으로, 본래 코사인법칙을 이용하여 푸는 것을 의도로 출제된 것이다. 그러나 스튜어트 정리를 이용하면 더 간단하게 풀 수 있다.
[math(\displaystyle 6 \times 7^2+3 \times 5^2=9 \times (3\cdot6+\rm{AD}^2))], [math(9 \times (18+\rm{AD}^2)=369)]이므로 [math(\rm AD=\sqrt{23})]
3. 관련 문서
[1]
파푸스의 중선정리라는 말은 우리나라 및 일본에서만 쓰이는 말이다. 현재는 관습적으로 굳어져 파푸스 중선정리라고 사용하고 있으나, 엄밀히 말하자면 잘못된 표현이다.