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선형대수학 Linear Algebra |
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1. 개요
正 射 影 / orthographic projection아래의 그림과 같이, 도형의 각 점에서 한 평면[1]에 내린 수선의 발이 그리는 도형.
얼핏 보면 평면 위로의 그림자와 매우 유사해 보인다. 실제로 위의 그림에서도 위쪽 무한히 먼 곳에 불빛이 있다고 가정하고 생각하면 정사영된 도형은 그림자와 같다.
2. 기하학에서의 정사영
2.1. 길이에 관한 공식
그림과 같이 선분 [math(\mathrm{AB})]를 평면 [math(S)]에 정사영 했을 때 나타나는 선분의 길이를 구하고자 한다. 정사영의 정의에 의해 점 [math(\mathrm{A})]와 [math(\mathrm{B})]에서 평면 [math(S)]에 내린 수선의 발을 각각 [math(\mathrm{A'})]와 [math(\mathrm{B'})]라 하자. 그렇다면, 우리가 구하는 것은 곧 선분 [math(\mathrm{A'B'})]의 길이가 된다.
그런데 이 선분을 평행 이동시켜, [math(\mathrm{A' \to A})]가 되게 하면, 직각 삼각형 [math(\mathrm{BAB})]가 나온다. [math(\overline{\mathrm{AB}} \equiv l)], [math(\overline{\mathrm{A'B'}}=\overline{\mathrm{AB}} \equiv l')]라 한다면, 결국 아래와 같음을 얻는다:
[math(\displaystyle l'=l\cos{\theta} )]
이때, 각 [math(\theta)]는 곧 두 선분이 이루는 각임에 유의하여야 한다.
2.2. 넓이에 관한 공식
그림과 같이 평면 [math(S_{1})]에 면적 [math(A)]인 도형이 있고, 이것을 평면 [math(S_{2})]에 정사영시킨 도형의 면적을 [math(A')]라 하자. 또한, 평면 [math(S_{1})]과 평면 [math(S_{2})]의 이면각은 [math(\theta)]라 하자. 이때, 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle A'=A\cos{\theta} )]
평면 [math(S_{1})], 평면 [math(S_{2})]의 단위 법선 벡터를 각각 [math(\hat{\mathbf{n}}_{1})], [math(\hat{\mathbf{n}}_{2})]라 하면, 이면각의 코사인 값은
[math(\displaystyle \cos{\theta}=\hat{\mathbf{n}}_{1} \cdot \hat{\mathbf{n}}_{2} )]
로 쓸 수 있다. 다만, 넓이를 다루고 있음을 상기하면 내적 값은 음 또한 가능하므로 절댓값을 취해줄 필요가 있으므로
[math(\displaystyle A'=A\, |\hat{\mathbf{n}}_{1} \cdot \hat{\mathbf{n}}_{2} |)]
로도 구할 수 있다.
이때, 길이에 관한 공식에서 [math(l \to A)]로 대치했다고만 생각하면 절대 안 된다. 길이에 관한 공식에서 [math(\theta)]는 두 선분이 이루는 각, 이 경우는 두 평면의 이면각임에 유의해야 한다.
직사각형의 정사영을 구하면 다른 도형은 구분구적법처럼 직사각형으로 쪼개서 넓이를 구할 수 있다.
2.3. 벡터 사영과 스칼라 사영
공간 상의 영벡터가 아닌 두 벡터 [math(\mathbf{V})]와 [math(\mathbf{U})]를 고려하자. 벡터 [math(\mathbf{V})]를 벡터 [math(\mathbf{U})] 위로 정사영 시킨 벡터를 생각할 수 있고, 해당 벡터를 벡터 사영이라 한다. 기호로는 다음과 같이 나타낸다.[math(\displaystyle \mathrm{proj}_{\mathbf{U}} \, \mathbf{V} )]
아래의 그림을 참조하자.
우선 벡터는 선분과 같은 케이스로 취급할 수 있으므로 우리가 찾는 벡터의 길이는 정사영의 정의에 따라
[math(\displaystyle | \mathrm{proj}_{\mathbf{U}} \, \mathbf{V} |=|\mathbf{V}||\cos{(\mathbf{V},\,\mathbf{U})}| )]
이다. [math((\mathbf{V},\,\mathbf{U}))]는 두 벡터가 이루는 각이다.
그렇다면, 우리가 찾는 벡터의 방향은 무엇일까? 바로, [math(\mathbf{U})]와 같을 것이다. 따라서 [math(\mathbf{U})]와 평행하면서 크기가 [math(1)]인, 단위 벡터
[math(\displaystyle \frac{\mathbf{U}}{|\mathbf{U}|} )]
를 [math(\displaystyle \mathrm{proj}_{\mathbf{U}} \, \mathbf{V} )]의 방향이라 쓸 수 있다. 다만, [math(\mathbf{U})]와 반전되는 경우도 있기 때문에 앞에
[math(\displaystyle \frac{\cos{(\mathbf{V},\,\mathbf{U})}}{|\cos{(\mathbf{V},\,\mathbf{U})}|} )]
를 덧붙일 필요가 있어, 벡터
[math(\displaystyle \frac{\cos{(\mathbf{V},\,\mathbf{U})}}{|\cos{(\mathbf{V},\,\mathbf{U})}|} \frac{\mathbf{U}}{|\mathbf{U}|} )]
를 벡터 [math( \mathrm{proj}_{\mathbf{U}} \, \mathbf{V})]의 방향으로 설정할 수 있다.
이때,
[math(\displaystyle \cos{(\mathbf{V},\,\mathbf{U})}=\frac{\mathbf{V} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{U}}{|\mathbf{V}||\mathbf{U}|} )]
로 쓸 수 있는 점을 상기하면, 찾는 벡터 사영은
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{proj}_{\mathbf{U}} \, \mathbf{V}&=|\mathbf{V}| \frac{|\mathbf{V} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{U}|}{|\mathbf{V}||\mathbf{U}|} \frac{\mathbf{V} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{U}}{|\mathbf{V} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{U}|} \frac{\mathbf{U}}{|\mathbf{U}|} \\ &=\frac{\mathbf{V} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{U}}{|\mathbf{U}|^{2}} \mathbf{U} \end{aligned} )]
로 쓸 수 있다.
참고로 위의 벡터 사영의 크기를 스칼라 사영(component[2])이라 하고, 스칼라 사영은
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{comp}_{\mathbf{U}} \,\mathbf{V} &= |\mathrm{proj}_{\mathbf{U}} \,\mathbf{V}| \\&= \frac{|\mathbf{V} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{U}|}{|\mathbf{U}|} \end{aligned} )]
이다.
2.4. 기타
- 과거 공간벡터가 있던 기하와 벡터 시절, 기벡의 가장 어려운 파트 중 하나라서 수능 수학 킬러 문제로 단골 출제되는 내용이였다. 과거에는 고정 29번으로 순수 공간도형을 주고 그 도형에 태양광선을 비추어 정사영을 이용해 이면각을 구하는 문제나 벡터를 정사영 시켜 도형의 방정식을 유도해 해당 도형들(직선, 평면, 구) 사이의 위치 관계를 파악하는 것이 중점인 문제가 킬러로 출제되었다.
- 정사영 파트는 정사영에 대한 정확한 정의를 알아야 문제에 응용할 수 있다. 개념 공부할 때, 반드시 정사영의 정의는 10번 이상 읽어보는 게 기본이다.
- 풀기 전에 문제를 잘 읽어야 한다. 왜냐하면, 어디 평면을 기준으로 정사영 시켰느냐에 따라 정사영은 달라지며, 위에서 미리 언급한대로, [math(\theta)]의 의미를 길이와 넓이의 경우가 다르다는 것을 인지하지 못하거나 착각하여 실수하는 등 오류를 범할 가능성이 높기 때문이다.
3. 선형대수학에서 정사영
3.1. 사영
[math( V )]를 벡터공간이라고 하자. 그러면, 선형변환 [math( T:V\to V )]가 [math( T^{2}=T )]를 만족시키면 [math( T )]를 사영이라 한다.조건 [math( T^{2}=T )]를 멱등성(idempotence)이라고 한다. 여러번 적용해도 한번 적용한 것과 같은 결과가 나온다는 뜻. 그렇다면 멱등성이 있는 선형변환을 왜 사영이라고 부르는지 의문이 생길 것이다. 종이에 연필을 세워놓고 빛을 비춘다고 생각해보자. 그러면, 연필이 세워진 방향에 상관없이 연필의 그림자는 종이에 생긴다. 그럼 그 그림자의 길이와 똑같은 연필을 준비해서 방금 그 그림자와 일치하도록 종이 위에 놔두고 다시 빛을 쬐면, 방금과 똑같은 그림자가 다시 한번 생길 것이다.
즉, 연필이 벡터라면, 연필에 빛을 비춰서 그림자를 만드는 변환 [math( T )]의 상(image)이 종이인거고, 연필의 그림자에 다시 한 번 [math( T )]를 적용해도, 같은 그림자가 나오므로 멱등성이 있는 것이다.
다음 성질은, 사영의 기본적 성질중 하나이다.
[math( T:V\to V )]가 사영이면, [math( \text{Im}\,T\oplus \text{Ker}\,T=V )]
가 성립한다.
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반대로, [math( U\oplus W=V )]이면, [math( \text{Im}\,T=U )]이고, [math( \text{Ker}\,T=W )]인 사영 [math( T )]가 유일하게 존재한다. [math( v\in V )]이면, [math( v=u+w )]를 만족하는 [math( u\in U )]와 [math( w\in W )]가 유일하게 존재해서, [math( T(v)=T(u)+T(w)=u+0=u )]로 [math( T )]의 함수값을 유일하게 결정할 수 있기 때문이다.