1. 개요
전자기파( 電 磁 氣 波, electromagnetic wave)는 전기장과 자기장이 공간상으로 방사되는 파동을 이른다. 전기장 혹은 자기장이 시간적으로 변하거나, 전하가 가속 운동을 하는 등의 이유로 발생되며, 특히나 후자의 경우를 ' 전자기파 방사(electromagnetic radiation)'라 한다. 일상적인 의미의 ' 빛' 역시 가시광선 영역의 전자기파에 대한 통칭이다.전자기파는 영국의 물리학자 제임스 클러크 맥스웰이 맥스웰 방정식을 유도하면서 그 존재를 예측하였고, 그 후 1887년 독일의 물리학자 하인리히 루돌프 헤르츠가 실험으로 그 존재를 입증하였다.
2. 전자기파의 여러 형태
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전자기파·빛의 종류
| 이온화 전자기방사선 | 비이온화 전자기방사선 | ||||
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⟵ 짧은 파장, 높은 진동수 긴 파장, 낮은 진동수 ⟶ |
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기본적으로 전자기파 모두가 빛이지만, 전자기파 중에서 인간의 눈으로도 감지할 수 있는 영역인 가시광선(可視光線, 눈으로 보는 게 가능한 빛)을 흔히 빛이라고 부른다. 범위는 대략 400nm에서 700nm이다. 우리 시각기관이 전파를 감지할 수 있었다면 전파도 가시광선이라고 불렸을 것이다. 일반적으로 빛이라고 불리는 가시광선은, 전체 전자기파를 통틀어 보면 그 비중은 매우 작다. 가시광선 영역을 주로 빨주노초파남보로 나누는 경향이 있으며, 빨간색에 가까울수록 파장이 길고(에너지가 낮고), 보라색에 가까울수록 파장이 짧다(에너지가 높다). 당연히 인간을 기준으로 하기 때문에 자외선이나 적외선 영역을 볼 수 있는 다른 동물들 입장에서는 시각의 영역이 자외선이나 적외선에 걸쳐있는 경우도 많지만 가시광선은 인간이 정의했기 때문에 400nm에서 700nm 으로 고정되어 있다.
보라색보다 파장이 짧으면 자외선이 된다. 파장이 더 짧아지면 X선[1], 파장이 훨씬 더 짧아지면 일반적으로 감마선이라 부른다. 핵폭발과 연관되는 방사선이 바로 감마선이다. 전자기파의 파장이 짧아질수록 에너지와 투과력이 높아지고 몸에 해로워진다. 빨간색보다 파장이 길면 적외선이 된다. 조금 길면 근적외선, 많이 길면 원적외선. 그보다 더 길면 마이크로파부터 시작해서 오만가지 종류의 전파가 된다. 바로 위에서 나오는 전자파도 이쪽 분류 중 하나. 파장이 길어질수록 에너지와 투과력이 약해지는 대신 회절성이 높아지고 멀리 퍼진다.
인간의 망막은 자외선 중 가시광선에 가까운 영역을 인지할 수도 있다고 한다. 다만 이 영역이 수정체에 흡수되기 때문에 못 보는 것인데, 백내장 수술 도중 수정체를 적출했을 때에는 이 영역의 자외선이 보인다고 한다. 푸르스름한 흰색으로 보인다고. 거기에다 파장별로 색깔이 다르게 보이니 미세한 파장 차이까지도 감지할 수 있다!
지구의 대기는 여러 성분으로 되어 있어 우주로부터 오는 우주선 중 전자기파를 흡수하는데, 파장별로 차단하는 정도가 다르다. 파장에 따른 대기의 영향은 아래 그림과 같다.
위 그림을 보면 가시광선, 적외선 및 초단파 ~ 극초단파 대역의 전파 정도만이 대기를 통과해서 지상에 도달하는 것을 알 수 있다. 감마선은 성층권에 막히고, 단파 대역 이하의 전파는 전리층에 막힌다.
3. 전자기파 존재의 도출
3.1. 변위 전류의 도입
앙페르 법칙 문서에서 맥스웰은 앙페르 법칙을 다음과 같이 수정했다고 논의했다.[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H}= \mathbf{J}_{f}+\frac{\partial \mathbf{D} }{\partial t} )]
이 때, 새롭게 붙은 항의 의미를 알기 위해 각 항에 적분을 취하면,
[math(\displaystyle \int_{C} \mathbf{H}\boldsymbol{\cdot} d \mathbf{l}= \int_{S} \mathbf{J}_{f}\boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a}+ \int_{S} \frac{\partial \mathbf{D} }{\partial t} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a} )]
가 된다. 이 때, [math(S)]는 폐곡면, [math(C)]는 [math(S)]를 둘러싸는 폐곡선이다. 우변의 제2항은 전류를 나타내고, 합하는 것이므로 우변의 제3항 또한 전류의 차원이 돼야함을 쉽게 예측할 수 있다. 따라서 우변의 제3항
[math(\displaystyle \int_{S} \frac{\partial \mathbf{D} }{\partial t} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a} \equiv I_{d} )]
로 정의하고, 이것을 변위 전류(displacement current)라 한다.
이 변위 전류를 도입해야만 설명할 수 있는 대표적인 예가 축전기이다. 축전기는 쉽게 말하면 회로가 끊어진 부분이지만, 교류 회로에서는 전류가 흐른다. 따라서 이러한 변위 전류를 도입하면 이 현상을 설명할 수 있으며, 계산적으로도 전도 전류와 변위 전류가 같다는 것을 보일 수 있다. 아래의 예제를 참고하자.
====# 예제 #====
|
[문제] 진공에서 면적 [math(A)]인 두 금속판이 [math(d)] 만큼 떨어져 있다. 이 두 극판에 전압 [math(V(t)=V_{0}\sin{\omega t})]을 걸었을 때, 전도 전류와 변위 전류를 각각 구하시오.(단, 모서리 효과는 무시한다.) |
- [풀이 보기]
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극판에 모이는 전하는
[math( \displaystyle q(t)=\frac{\varepsilon_{0} AV_{0}}{d}\sin{\omega t} )]
이므로 전도 전류는
[math( \displaystyle I_{c}=\frac{dq}{dt}=\frac{\varepsilon_{0} AV_{0} \omega}{d}\cos{\omega t} )]
가 된다. 다음으로 변위 전류를 구하자. 극판 내부의 전기 변위장은 쉽게
[math( \displaystyle D=\frac{\varepsilon_{0} V_{0}}{d}\sin{\omega t} )]
임을 구할 수 있으며, 극판 사이에서 전기 변위 선속은
[math( \displaystyle DA=\frac{\varepsilon_{0} A V_{0}}{d}\sin{\omega t} )]
이므로 변위 전류는 아래와 같이 결정된다.
[math( \displaystyle I_{d}=\frac{d}{dt}(DA)=\frac{\varepsilon_{0} AV_{0} \omega}{d}\cos{\omega t} )]
따라서 [math(I_{c}=I_{d})]인 것을 이 예제에서 확인할 수 있다.
3.2. 수학적 도출
거시적으로 관측되는 전자기장의 방정식은 매질 내에서 아래와 같이 나열할 수 있음을 안다. 자세한 내용은 맥스웰 방정식 문서를 참조하자.[math(\displaystyle \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E}&= \frac{ \rho_{f}}{\varepsilon} \\ \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{B}&=0 \\ \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}&=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\ \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}&= \mu \mathbf{J}_{f}+\mu \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \end{aligned})]
이 때, 외부 전하 밀도와 전류는 존재하지 않고, 매질 내에 생겨나는 전류는 옴의 법칙에 의해 생성되는 전류 밀도 [math(\mathbf{J}_{f}=\sigma_{c} \mathbf{E} )]로만 생성된다고 가정하자. 그렇게 되면 마지막 항을
[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}= \mu \sigma_{c} \mathbf{E}+\mu \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} )]
로 쓸 수 있다. 먼저,
[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} )]
에 주목하자. [math(\mathbf{B})]를 소거하기 위해 각 항에 회전 연산을 취하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E})&=-\frac{\partial }{\partial t}(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}) \\ &=-\frac{\partial }{\partial t} \left( \mu \sigma_{c} \mathbf{E}+\mu \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right) \\ &=-\mu \sigma_{c} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}-\mu \varepsilon \frac{\partial^{2} \mathbf{E}}{\partial t^{2}} \end{aligned} )]
이 때, 좌변은 벡터 해석학적으로,
[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E})=\boldsymbol{\nabla} (\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E})-\nabla^{2}\mathbf{E} )]
로 쓸 수 있고, 외부 전하 밀도 [math(\rho_{f}=0)]인 상황을 가정하므로 우변의 제1항은 없어진다. 따라서 결과를 종합하면,
[math(\displaystyle \nabla^{2}\mathbf{E}=\mu \varepsilon \frac{\partial^{2} \mathbf{E}}{\partial t^{2}}+\mu \sigma_{c} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} )]
가 된다. 다음으로 자기장에 대한 항
[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}= \mu \sigma_{c} \mathbf{E}+\mu \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} )]
에서 [math(\mathbf{E})]를 소거하기 위해 양변에 회전 연산을 취하자.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B})&= \mu \sigma_{c} (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E})+\mu \varepsilon \frac{\partial }{\partial t} (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}) \\ &= -\mu \sigma_{c} \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}-\mu \varepsilon \frac{\partial^{2} \mathbf{B}}{\partial t^{2}} \end{aligned} )]
마찬가지로 좌변은
[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B})=\boldsymbol{\nabla} (\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{B})-\nabla^{2}\mathbf{B} )]
로 쓸 수 있고, 이상의 결과를 종합하면,
[math(\displaystyle \nabla^{2}\mathbf{B}=\mu \varepsilon \frac{\partial^{2} \mathbf{B}}{\partial t^{2}}+\mu \sigma_{c} \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} )]
따라서 전기장과 자기장에 대해,
[math( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \nabla^{2}\mathbf{E}=\mu \varepsilon \frac{\partial^{2} \mathbf{E}}{\partial t^{2}}+\mu \sigma_{c} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\\ \\ \displaystyle \nabla^{2}\mathbf{B}=\mu \varepsilon \frac{\partial^{2} \mathbf{B}}{\partial t^{2}}+\mu \sigma_{c} \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\end{array}\right. )]
의 편미분 방정식을 얻는다. 이 때, 매질이 전도성 물질이 아니라고 가정([math(\sigma_{c}=0)])하면, 이 편미분 방정식이 기술하는 것은 명확해지고,
[math( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \nabla^{2}\mathbf{E}=\mu \varepsilon \frac{\partial^{2} \mathbf{E}}{\partial t^{2}}\\ \\ \displaystyle \nabla^{2}\mathbf{B}=\mu \varepsilon \frac{\partial^{2} \mathbf{B}}{\partial t^{2}}\end{array}\right. )]
직교 좌표계라 생각하면, 위 방정식은
[math(\displaystyle \nabla^{2}V_{i}=\mu \varepsilon \frac{\partial^{2} V_{i}}{\partial t^{2}} \qquad (i=x,\,y,\,z) )]
의 형태가 되고, 이것은 전파 속력이 [math(v)]인 명백한 파동 방정식
[math(\displaystyle \nabla^{2}f=\frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}} )]
의 형태가 된다. 따라서 전도성 매질 내가 아닌 이상 전기장과 자기장이 공간상으로 파동 형태로 방사될 수 있음을 위에서 유도한 방정식으로부터 추측할 수 있다. 만약 그것이 사실이라면, 전파 속도는
[math(\displaystyle v^{2}=\frac{1}{\mu \varepsilon} \, \rightarrow \, v=\frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}} )]
이고, 특히 이것이 진공이라면,
[math(\displaystyle c \equiv \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0} }}=299,792,458\,\textrm{m/s} )]
가 된다. 이 때, [math(\varepsilon=\kappa_{e} \varepsilon_{0})], [math(\mu=\kappa_{m} \mu_{0})]의 감수율 형태로 표현할 수 있고, 매질 내에서의 전파 속도는
[math(\displaystyle \begin{aligned} v&=\frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}} \\ &=\frac{1}{\sqrt{\kappa_{e} \kappa_{m} }}\frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0} }} \\ &=\frac{c}{\sqrt{\kappa_{e} \kappa_{m} }} \end{aligned} )]
이 때,
[math(\displaystyle \frac{c}{v}=\sqrt{\kappa_{e} \kappa_{m}} )]
으로 쓸 수 있는데, 전자기파 중에는 빛 또한 포함되고, 광학에서는 좌변을 굴절률이라 칭한다. 따라서 두 감수율은 굴절률과 관계된다.
3.3. 평면 전자기파의 방사 형태
위 문단에서 전기장과 자기장이 공간상을 파동 형태로 방사될 수 있음을 추측했다. 그것이 사실이라면, "전자기파는 어떤 형태로 방사되는가?"에 대한 의문이 자동으로 나올 것이다. 이 문단에서는 그 물음을 해결해보자. 위 문단에서 전기장 혹은 자기장이 공간상으로 방사될 때, 다음과 같은 편미분 방정식으로 기술된다고 했다.[math(\displaystyle \nabla^{2} \mathbf{V}=\mu \varepsilon \frac{\partial^{2} \mathbf{V}}{\partial t^{2}} )]
위 방정식의 해는 평면파(plane wave)라 하며, 다음과 같이 기술될 수 있다.
[math(\displaystyle \mathbf{V}(\mathbf{r},\,t)=\mathbf{V}(\mathbf{\hat{k}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}-vt) )]
이 때, [math(\mathbf{\hat{k}})]는 파의 진행 방향을 나타내는 단위 벡터이다. 이 때, 다음과 같이 쓰자.
[math(\displaystyle \mathbf{\hat{k}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}-vt \equiv \xi )]
외부 전하 밀도가 없고, 자기홀극은 존재하지 않으므로 전기장, 자기장은 다음을 만족시킨다.
[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{V}=0 )]
이에
[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{V}=\sum_{i} \frac{\partial V_{i}}{\partial x_{i}} =\sum_{i} \frac{\partial V_{i}}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial x_{i}} )]
이 때,
[math(\displaystyle \frac{\partial \xi}{\partial x_{i}}=\frac{\partial }{\partial x_{i}}\sum_{i} ( \hat{k_{i}}x_{i}-vt)=\sum_{i} \hat{k_{i}} )]
이고,
[math(\displaystyle \sum_{i} \frac{\partial V_{i}}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial x_{i}}=\sum_{i} \hat{k_{i}} \frac{\partial V_{i}}{\partial \xi} = \frac{\partial}{\partial \xi}(\mathbf{\hat{k}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{V}) )]
이므로
[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{V}= \frac{\partial}{\partial \xi}(\mathbf{\hat{k}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{V})=0 )]
따라서 일반적인 상황에서 다음이 성립해야 한다.
[math(\displaystyle \mathbf{\hat{k}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{V}=0 )]
이에 전자기파의 방사 형태는
[math(\displaystyle \mathbf{\hat{k}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E}=0 \qquad \qquad \mathbf{\hat{k}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{B}=0 )]
이 되고, 전기장과 자기장은 진행 방향에 각각 수직으로 진동한다. 이에 추가적으로 진행 방향과 진동 방향이 수직이므로 전자기파는 횡파(transverse wave)이다.
위 논의로 전자기파가 횡파인 것까지는 알아내었다. 다만, 전기장과 자기장이 어떤 관계인지는 아직 확인할 수 없다. 이 문단에서는 그것을 해결해보자. 우선, 패러데이 법칙
[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} )]
를 이용하자. 좌변을 다음 형태로 쓰면,
[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}=\boldsymbol{\nabla} \times (E_{x}\mathbf{\hat{x}})+\boldsymbol{\nabla} \times (E_{y}\mathbf{\hat{y}})+\boldsymbol{\nabla} \times (E_{z}\mathbf{\hat{z}}))]
각 성분은 다음과 같은 형태로 되어 있고, 벡터 해석학을 이용하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla} \times (E_{x_{i}}\mathbf{\hat{x}}_{i} )&=E_{x_{i}} (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{\hat{x}}_{i})-\mathbf{\hat{x}}_{i} \times (\boldsymbol{\nabla} E_{x_{i}} ) \\ &= (\boldsymbol{\nabla} E_{x_{i}} ) \times \mathbf{\hat{x}}_{i} \end{aligned} )]
로 쓸 수 있다. 이 때, 여기서 나온 항을 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla} E_{x_{i}}&=\sum_{j} \frac{\partial E_{x_{i} }}{\partial x_{j}} \mathbf{\hat{x}}_{j} \\ &=\sum_{j} \frac{\partial E_{x_{i} }}{\partial \xi} \frac{\partial \xi}{\partial x_{j}} \mathbf{\hat{x}}_{j} \\ &=\sum_{j} \frac{\partial E_{x_{i} }}{\partial \xi} \hat{k_{j}} \mathbf{\hat{x}}_{j} \\ &=\frac{\partial E_{x_{i} }}{\partial \xi} \mathbf{\hat{k}} \end{aligned} )]
따라서
[math(\displaystyle \begin{aligned}\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}&=\frac{\partial E_{x}}{\partial \xi} (\mathbf{\hat{k}} \times \mathbf{\hat{x}})+\frac{\partial E_{y}}{\partial \xi} (\mathbf{\hat{k}} \times \mathbf{\hat{y}})+\frac{\partial E_{z}}{\partial \xi} (\mathbf{\hat{k}} \times \mathbf{\hat{z}}) \\ &=\frac{\partial }{\partial \xi} (\mathbf{\hat{k}} \times E_{x}\mathbf{\hat{x}})+\frac{\partial}{\partial \xi} (\mathbf{\hat{k}} \times E_{y}\mathbf{\hat{y}})+\frac{\partial}{\partial \xi} (\mathbf{\hat{k}} \times E_{z} \mathbf{\hat{z}}) \\ &=\frac{\partial}{\partial \xi} (\mathbf{\hat{k}} \times \mathbf{E}) \end{aligned} )]
우변은 다음과 같이 계산된다.
[math(\displaystyle -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial \xi} \frac{\partial \xi}{\partial t}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial \xi} \frac{\partial }{\partial t}(\mathbf{\hat{k}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}-vt)=v \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial \xi} )]
이상의 결과를 종합하면,
[math(\displaystyle \frac{\partial}{\partial \xi} (\mathbf{\hat{k}} \times \mathbf{E})=v \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial \xi} \, \rightarrow \, \frac{\partial}{\partial \xi} (\mathbf{\hat{k}} \times \mathbf{E}-v\mathbf{B})=0 )]
이것이 일반적인 상황에서 성립하려면,
[math(\displaystyle \mathbf{\hat{k}} \times \mathbf{E}=v\mathbf{B} )]
가 성립해야 한다. 따라서 여기서
[math(\displaystyle \left| \mathbf{E} \right|=v\left| \mathbf{B} \right| )]
를 얻을 수 있다. 또한, 앙페르 법칙[2]
[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}= \mu \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} )]
를 위와 같은 방법으로 하면,
[math(\displaystyle \mathbf{\hat{k}} \times \mathbf{B}=-\frac{ \mathbf{E} }{v} )]
임을 쉽게 증명할 수 있다. 위의 두 결과를 종합하면, 결국
[math(\displaystyle \mathbf{\hat{E}} \times \mathbf{\hat{B}}=\mathbf{\hat{k}} )]
로 쓸 수 있고, 전자기파가 방사될 때, 진행 방향, 자기장, 전기장은 서로 오른손 법칙을 따르도록 방사된다. 아래는 이 내용을 시각화한 것이다.
위를 종합하면, 전자기파의 방사 형태를 다음과 같은 4가지 식으로 정리된다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{\hat{k}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E}&=0 \\ \mathbf{\hat{k}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{B}&=0 \\ \mathbf{\hat{k}} \times \mathbf{E}&=v\mathbf{B} \\ \mathbf{\hat{k}} \times \mathbf{B}&=-\frac{ \mathbf{E} }{v} \end{aligned})] }}}
이것을 풀어서 설명하면 다음과 같다.
- 전자기파는 횡파이며, 전기장과 자기장은 진행방향의 수직하는 방향을 각각 이룬다.
- 전자기파는 진행 방향과 전기장, 자기장은 오른손 법칙을 이루면서 방사된다.
3.4. 평면 전자기파의 수학적 형태
비전도성 물질 내에서 전자기파의 진행에 대한 편미분 방정식은[math( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \nabla^{2}\mathbf{E}=\mu \varepsilon \frac{\partial^{2} \mathbf{E}}{\partial t^{2}}\\ \\ \displaystyle \nabla^{2}\mathbf{B}=\mu \varepsilon \frac{\partial^{2} \mathbf{B}}{\partial t^{2}}\end{array}\right. )]
임을 위에서 다뤘다. 이것의 해는 알려져 있으며, 단색 파동(monochromatic wave)일 경우 진동수는 하나로 결정되므로 다음과 같이 주어진다.
[math(\begin{aligned}\displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{r},\,t)&=\mathbf{\hat{E}}E e^{i(\mathbf{k} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}-\omega t)}\\\mathbf{B}(\mathbf{r},\,t)&=\mathbf{\hat{B}}B e^{i(\mathbf{k} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}-\omega t)}\end{aligned})]
이 때, [math(\mathbf{k})]는 파수 벡터로, 방향은 진행방향이고, 크기는 파수 [math(k \equiv 2\pi/\lambda)]인 벡터이며, [math(\omega \equiv 2\pi f)]의 각진동수이다. 이제 전자기파의 진행 방향을 [math(z)]축에 국한해 보자. 이 경우 [math(\mathbf{k}=k \mathbf{\hat{z}})]가 되고, [math(\mathbf{r}=z \mathbf{\hat{z}})]인 지점을 관측하면 다음과 같다.
[math(\begin{aligned}\displaystyle \mathbf{E}(z,\,t)&=\mathbf{\hat{E}} E e^{i(kz-\omega t)}\\\mathbf{B}(z,\,t)&=\mathbf{\hat{B}}B e^{i(kz-\omega t)}\end{aligned})]
이 때 다음과 같이 쓸 수 있다. [math(\phi_{i})]는 위상차이다.
[math( \displaystyle \begin{aligned} E\mathbf{\hat{E}}&=\mathbf{\hat{x}}E_{x}e^{i \phi_{x}}+\mathbf{\hat{y}}E_{y}e^{i \phi_{y}} \\ B\mathbf{\hat{B}}&=\mathbf{\hat{x}}B_{x}e^{i \phi_{x}}+\mathbf{\hat{y}}B_{y}e^{i \phi_{y}} \end{aligned} )]
이상에서
[math(\displaystyle \begin{aligned}\mathbf{E}(z,\,t)&=\mathbf{\hat{x}}E_{x}e^{i(kz-\omega t +\phi_{x})}+\mathbf{\hat{y}}E_{y}e^{i(kz-\omega t +\phi_{y})} \\ \mathbf{B}(z,\,t)&=\mathbf{\hat{x}}B_{x}e^{i(kz-\omega t +\phi_{x})}+\mathbf{\hat{y}}B_{y}e^{i(kz-\omega t +\phi_{y})} \end{aligned} )]
그런데 물리적인 해석이 가능한 것은 실수부의 파이므로 다음과 같이 관측된다.
| [math( \displaystyle \begin{aligned} \mathbf{E}(z,\,t)&=\mathbf{\hat{x}}E_{x}\cos{(kz-\omega t +\phi_{x})}+\mathbf{\hat{y}}E_{y}\cos{(kz-\omega t +\phi_{y})} \\ \mathbf{B}(z,\,t)&=\mathbf{\hat{x}}B_{x}\cos{(kz-\omega t +\phi_{x})}+\mathbf{\hat{y}}B_{y}\cos{(kz-\omega t +\phi_{y})} \end{aligned} )] |
4. 전자기파의 발견
1887년, 독일의 물리학자 헤르츠(G. L. Hertz;1857~1894)는 방전관과 공진관을 설치해서 전자기파의 존재를 실험적으로 확인하였다.방전관에 매우 큰 전압을 걸면 방전이 일어나면서 전자는 금속구 사이에서 가속한다. 가속하는 전하는 변하는 전기장을 만들고, 이것은 공간 상으로 자기장을 유도한다.[3] 또 변하는 자기장은 전기장을 유도해내면서 공간상에 방사되는 전자기파가 발생하고, 이것은 공진관에 전달되게 된다. 이것을 헤르츠가 검출해냄으로써 처음으로 전자기파의 존재가 드러나게 된다.
또한 헤르츠는 이 전자기파의 반사 및 굴절, 편광, 속력 등을 조사해서 빛의 성질과 일치함을 밝혀냄으로써 전자기파에 빛이 포함된다는 것 또한 증명해내었다.
5. 평면 전자기파의 편광
전자기파의 전기장이 한 평면의 방향으로 정렬하고 있을 때를 선형 편광되었다고 한다. 이 경우[math( \displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{r},\,t)=E_{0}\hat{\boldsymbol{\xi}}\, e^{i(\mathbf{k} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}-\omega t+\phi)})]
와 같이 특정한 방향(위의 예에선 [math(\hat{\boldsymbol{\xi}})]이다.)으로만 향하게 된다.
이번에는 [math(z)]축으로 전파되는 전자기파를 고려하자. 위에서
| [math( \displaystyle \mathbf{E}(z,\,t)=\mathbf{\hat{x}}E_{x}\cos{(kz-\omega t +\phi_{x})}+\mathbf{\hat{y}}E_{y}\cos{(kz-\omega t +\phi_{y})} )] |
[1] 선형 편광: [math(\phi_{y}-\phi_{x}=m\pi \,(m\in \mathbb{Z}))]
주어진 조건을 대입하면,
| [math( \displaystyle \mathbf{E}(z,\,t)=\mathbf{\hat{x}}E_{x}\cos{(kz-\omega t +\phi_{x})}+\mathbf{\hat{y}}E_{y}\cos{(kz-\omega t +\phi_{x}+m\pi)} )] |
[math(\cos{(kz-\omega t +\phi_{x}+m\pi)}=\pm\cos{(kz-\omega t +\phi_{x})})]
를 갖는다. 따라서 전자기파는
[math( \displaystyle \mathbf{E}(z,\,t)=[\mathbf{\hat{x}}E_{x} \pm \mathbf{\hat{y}}E_{y}]\cos{(kz-\omega t +\phi_{x})} )]
가 되고, 결론적으로 [math(\mathbf{\hat{x}}E_{x} \pm \mathbf{\hat{y}}E_{y})]의 방향으로 선형 편광되어 있다.
[2] 타원 편광: [math(\phi_{y}-\phi_{x}=\pi/2)]이고, [math(E_{x} \neq E_{y})]
이 조건을 대입하면,
| [math( \displaystyle \mathbf{E}(z,\,t)=\mathbf{\hat{x}}E_{x}\cos{(kz-\omega t +\phi_{x})} \pm \mathbf{\hat{y}}E_{y}\sin{(kz-\omega t +\phi_{x})} )] |
[math(\begin{aligned}\displaystyle E_{x}\cos{(kz-\omega t +\phi_{x})} &\equiv X\\\pm E_{y}\sin{(kz-\omega t +\phi_{y})} &\equiv Y\end{aligned})]
로 쓰고, 이것을 적절히 처리하면,
[math( \displaystyle \frac{X^{2}}{E_{x}^{2}}+\frac{Y^{2}}{E_{y}^{2}}=1 )]
로 쓸 수 있다. 이 방정식은 타원의 방정식이다. 따라서 위에서 주어진 전기장은 진행 방향에 수직한 한 평면에 타원을 생각했을 때, 그 타원 위의 점을 따라 회전하면서 나아간다.
[3] 원 편광: [math(\phi_{y}-\phi_{x}=\pi/2)]이고, [math(E_{x} = E_{y})]
이것은 위의 타원 편광의 결과를 이용해서 쉽게 증명할 수 있다. [math(E_{x} = E_{y} \equiv E)]라 놓으면,
[math( \displaystyle {X^{2}}+{Y^{2}}=E^{2} )]
가 되므로 전기장은 진행 방향에 수직한 한 평면에 원을 생각했을 때, 그 원 위의 점을 따라 회전하면서 나아간다는 것을 알 수 있다. 이런 편광을 원 편광이라 한다.
[4] 일반적인 타원 편광: 그 외
위의 특수한 상황이 아닐 경우에는 일반적인 타원 편광이 된다. 이것은 타원의 장축이 [math(x)] 혹은 [math(y)]축과 평행하지 않고, 기울어진 타원을 그리면서 전자기파가 진행하게 된다.
아래는 위에서 다룬 선형 편광과 원 편광을 시각화한 동영상이다.
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6. 전도성 물질 내에서 전자기파
이번에는 전자기파가 전도성 물질 내에서 무슨 일이 일어나는지 논의해보자. 이번엔 전도성 물질 내를 고려하므로 전기 전도도 [math(\sigma_{c})]는 무시하지 않는다. 따라서 전도성 물질 내에서 전기장에 대한 방정식은[math( \displaystyle \nabla^{2}\mathbf{E}-\mu \sigma_{c} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}-\mu \varepsilon \frac{\partial^{2} \mathbf{E}}{\partial t^{2}}=0 )]
으로 주어진다. 단색 평면파를 고려하므로 해당 평면파의 각진동수를 [math(\omega)]라 놓으면,
[math( \displaystyle \mathbf{E} = \mathbf{E}(\mathbf{r})\,e^{-i \omega t} )]
으로 쓸 수 있다. 따라서 이것을 방정식에 대입하면,
[math( \displaystyle \nabla^{2}\mathbf{E}+i \omega \mu \sigma_{c} \mathbf{E}+ \omega^{2} \mu \varepsilon \mathbf{E}=0 )]
이 때, 다음을 이용하자.
[math( \displaystyle \begin{aligned} \sqrt{\kappa_{e} \kappa_{m}} & \equiv n_{0} \\ \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0} }} & \equiv c \\ \varepsilon &= \kappa_{e} \varepsilon_{0} \\ \mu &= \kappa_{m} \mu_{0} \end{aligned} )]
특히 [math(n_{0})]는 비전도성 물질 내에서의 굴절률이라고 명시했다. 따라서 위의 방정식은
[math( \displaystyle \nabla^{2}\mathbf{E}+\frac{\omega^{2} n_{0}^{2}}{c^{2}} \left( 1+i \frac{\sigma_{c}}{\omega \varepsilon} \right) \mathbf{E}=0 )]
문제를 간단히 하기 위해서 전자기파의 진행 방향은 [math(z)]축 방향이라 가정하자. 평면파를 다루므로 전기장은 [math(z)]에만 의존한다. 따라서 방정식은
[math( \displaystyle \frac{d^{2} \mathbf{E}}{dz^{2}}+\frac{\omega^{2} n_{0}^{2}}{c^{2}} \left( 1+i \frac{\sigma_{c}}{\omega \varepsilon} \right) \mathbf{E}=0 )]
이 된다. 이 때,
[math( \displaystyle \tilde{n}^{2} \equiv n_{0}^{2} \left( 1+i \frac{\sigma_{c}}{\omega \varepsilon} \right) )]
로 정의하자. tilde(~)는 복소수를 의미하는 것에서 붙였다. 또한, 이것은
[math( \displaystyle \tilde{n} = n_{0} \left( 1+i \frac{\sigma_{c}}{\omega \varepsilon} \right)^{1/2} )]
형태로도 쓸 수 있는데, 굴절률과 관계되는 항이긴 하지만, 복소수로 주어진다. 따라서 이런 것을 복소 굴절률이라 하며, 의미는 후술하도록 하겠다. 따라서 해당 방정식은
[math( \displaystyle \frac{d^{2} \mathbf{E}}{dz^{2}}+\frac{\omega^{2} \tilde{n}^{2}}{c^{2}} \mathbf{E}=0 )]
으로 정리된다. 만약, 전도도가 0이라면, [math(\tilde{n} = n_{0})]가 되고, 이 방정식의 해는
[math( \displaystyle \mathbf{E} \propto \exp{\left( i \, \frac{\omega n_{0}}{c}\,z \right)} )]
형태로 주어진다. 이 때, [math(n_{0})]는 굴절률이므로 [math({\omega n_{0}}/{c})]는 파수 [math(k \equiv 2 \pi/ \lambda)]임을 쉽게 증명할 수 있다. 따라서 이 경우의 공간상의 해는
[math( \displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{r}) \propto e^{ikz} )]
형태로 주어지나, [math(\tilde{n})]는 복소수이므로 파수 또한, 복소수로 나타날 것이며, 복소 파수 [math(\tilde{k})]라 놓으면,
[math( \displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{r}) \propto e^{i \tilde{k}z} )]
으로 해가 나올 것이다. 이것을 방정식에 대입하면 다음과 같다.
[math( \displaystyle \tilde{k}^{2}=\frac{\omega^{2} \tilde{n}^{2}}{c^{2}} )]
따라서
[math( \displaystyle \begin{aligned}\tilde{k}^{2} &= \frac{\omega^{2} n_{0}^{2}}{c^{2}} \left( 1+i \frac{\sigma_{c}}{\omega \varepsilon} \right) \\ \tilde{k} &= \frac{\omega n_{0}}{c} \left( 1+i \frac{\sigma_{c}}{\omega \varepsilon} \right)^{1/2} \end{aligned} )]
이것을 다시 표기하면,
[math(\begin{aligned}\displaystyle \tilde{k}^{2}&= \frac{\omega^{2} n_{0}^{2}}{c^{2}} \left( 1+\frac{\sigma_{c}^{2}}{\varepsilon^{2} \omega^{2}} \right)^{1/2}e^{i \phi}\\\phi&=\tan^{-1}{\left( \frac{\sigma_{c}}{\varepsilon \omega} \right)}\end{aligned})]
형태로 나타낼 수 있다. 이상에서
[math( \displaystyle \begin{aligned} \tilde{k}&= \frac{\omega n_{0}}{c} \left( 1+\frac{\sigma_{c}^{2}}{\varepsilon^{2} \omega^{2}} \right)^{1/4}e^{i \phi/2} \\ &=\frac{\omega n_{0}}{c} \left( 1+\frac{\sigma_{c}^{2}}{\varepsilon^{2} \omega^{2}} \right)^{1/4} \left[ \cos{\left( \frac{\phi}{2} \right)}+i\sin{\left( \frac{\phi}{2} \right)} \right] \end{aligned} )]
복소 굴절률이
[math( \displaystyle \tilde{n} =n+ik )]
의 형태로 나뉜다고 하면 복소 파수는
[math( \displaystyle \tilde{k} =\frac{\omega}{c}n+i\frac{\omega}{c}k)]
가 되고, 위에서 [math( \phi= \tan^{-1}{\left( {\sigma_{c}}/{\varepsilon \omega} \right)} )]임을 이용하면,
[math( \displaystyle \begin{aligned} n&=\frac{n_{0}}{\sqrt{2}} \left[ \left( 1+\frac{\sigma_{c}^{2}}{\varepsilon^{2} \omega^{2}} \right)^{1/2} +1 \right]^{1/2} \\ k &= \frac{n_{0}}{\sqrt{2}} \left[ \left( 1+\frac{\sigma_{c}^{2}}{\varepsilon^{2} \omega^{2}} \right)^{1/2} -1 \right]^{1/2} \end{aligned} )]
으로 쓸 수 있다. 따라서 맨 위에서의 방정식의 해는
[math( \displaystyle \mathbf{E}=\mathbf{E_{0}} \exp{\left( -\frac{\omega k}{c} z \right)} \exp{\left[ -i \omega \left( t-\frac{n}{c} z \right) \right]} )]
가 된다. 비전도성 매질에서와 비교하면 감쇠항
[math( \displaystyle \exp{\left( -\frac{\omega k}{c} z \right)} )]
이 붙었음을 알 수 있다. 이에 일반적으로 복소 굴절률의 [math(n)]을 굴절률로 해석하고, [math(k)]는 매질 내에서 파의 감쇠와 관련된 것으로 해석한다. 이 때,
[math( \displaystyle z=\frac{c}{\omega k} )]
이면 전기장은 매질에 입사한 직후의 [math(e^{-1})]으로 줄어든다. 이것을
[math( \displaystyle \delta \equiv \frac{c}{\omega k} )]
로 정의하고, 침투 깊이(skin depth)[4]라 한다. 이 물리량은 '전자기파가 전도성 매질 내를 얼마나 잘 투과하는 가'를 나타낸다. 전기 전도도가 높은 알루미늄의 경우 [math(10^{6}\,\textrm{Hz})]의 파가 투과할 때, 근사적으로 [math(8 \times 10^{-5}\, \textrm{m})]가 나오는데, 전자기파는 전기 전도도가 높은 전도성 물질 즉, 금속 내에서 급격히 감쇠한다는 것을 보여준다.[5]
문제를 간단히 하기 위해 이제부터는 전기장이 [math(x)]축의 방향으로 선형 편광되었다고 가정하자. 그렇게 되면, 전도성 매질 내에서 전기장은
[math( \displaystyle \mathbf{E}=\mathbf{\hat{x}} E_{0} e^{i (\tilde{k} z-\omega t)} )]
이 된다. 평면파를 기술하고 있으므로 자기장 또한,
[math( \displaystyle \mathbf{B} = \mathbf{B}(\mathbf{r})\,e^{-i \omega t} )]
형태가 될 것이다. 이 때, 패러데이 법칙을 사용하면 다음과 같다.
[math(\begin{aligned}\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\,\to \, i\tilde{k} \mathbf{\hat{z}} \times \mathbf{E}=i \omega \mathbf{B}\end{aligned})]
따라서 전도성 물질 내에서 자기장은
| [math( \displaystyle \begin{aligned} \mathbf{B}&=\mathbf{\hat{y}} \frac{E_{0}}{\omega} \tilde{k} \exp{\left( -\frac{\omega k}{c} z \right)} \exp{\left[ -i \omega \left( t-\frac{n}{c} z \right) \right]} \\ &=\mathbf{\hat{y}} \frac{E_{0} n_{0}}{c} \left( 1+\frac{\sigma_{c}^{2}}{\varepsilon^{2} \omega^{2}} \right)^{1/4} \exp{\left( i\frac{\phi}{2} \right)} \exp{\left( -\frac{\omega k}{c} z \right)} \exp{\left[ -i \omega \left( t-\frac{n}{c} z \right) \right]} \end{aligned} )] |
6.1. 좋은 도체(good conductor)
일반적으로 전기 전도도가 굉장히 높다고 취급하는 도체 이를테면, 철이나 알루미늄 등은 기본적으로 다음을 만족시킨다.[math( \displaystyle \kappa_{m} \simeq 1 \qquad \qquad \frac{\sigma_{c}}{\varepsilon \omega} \gg 1 )]
따라서 금속 내의 파수는
[math( \displaystyle \begin{aligned} \tilde{k}&= \frac{\omega n_{0}}{c} \left( 1+\frac{\sigma_{c}^{2}}{\varepsilon^{2} \omega^{2}} \right)^{1/4}e^{i \phi/2} \\ & \simeq \frac{\omega n_{0}}{c} \sqrt{\frac{\sigma_{c}}{\varepsilon \omega}} e^{i \phi/2} \end{aligned} )]
이 된다. 그런데, [math(\phi \rightarrow \pi/2)]이고, [math(n_{0}\equiv \sqrt{\kappa_{e} \kappa_{m}} \simeq \sqrt{\kappa_{e}} )]이므로 위 식은 아래와 같이 쓸 수 있다.
[math( \displaystyle \begin{aligned} \tilde{k}&= \frac{\omega }{c} \sqrt{\frac{\sigma_{c}}{\varepsilon_{0} \omega}} e^{i \pi/4} \\ &= \frac{\omega }{c} \left[ \sqrt{\frac{\sigma_{c}}{2\varepsilon_{0} \omega}}+i \sqrt{\frac{\sigma_{c}}{2\varepsilon_{0} \omega}}\,\right] \end{aligned} )]
따라서 이러한 좋은 도체에서 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle n=k= \sqrt{\frac{\sigma_{c}}{2\varepsilon_{0} \omega}} )]
또한, 이러한 좋은 도체에서 침투 깊이는 다음과 같다.
[math( \displaystyle \begin{aligned} \delta &\equiv \frac{c}{\omega k} \\ &=\frac{c}{\omega} \sqrt{\frac{\varepsilon _{0} \omega}{\sigma_{c} }} \\&=\sqrt{\frac{2}{\mu_{0}\sigma_{c}\omega}} \end{aligned} )]
여기서 주목해야 할 점은 도체 내부의 자기장은
[math( \displaystyle i \tilde{k} \mathbf{\hat{z}} \times \mathbf{E}=i \omega \mathbf{B} )]
으로 주어지는데, 파수에서 위상과 관련된 인자 [math(e^{i \pi/4})]이 곱해지기 때문에 전도도가 높은 좋은 도체 내에서는 전기장과 자기장의 위상차가 [math(\boldsymbol{\pi/4})]만큼 나면서 전파된다는 것이다.
7. 포인팅 벡터
8. 전자기학의 경계치 문제
이 문서에선 전자기파가 서로 다른 매질의 경계면에서 반사, 굴절, 투과의 성질과 전파 공간에 제약을 줬을 때 어떻게 방사되는지 설명한다.
9. 전자기파 방사
10. 전자기파의 에너지 양자화
본래 전자기파의 에너지는 연속적이라고 예측되었으나, 그것에 모순을 일으킨 실험이 바로 양자역학의 태동을 알린 ' 흑체복사' 실험이다. 빛의 에너지를 연속적이라 가정하고 문제를 풀면 자외선 파탄이 발생하였고, 플랑크가 했던 것처럼 전자기파의 에너지가 양자화되어 있다고 가정하면 흑체 복사 스펙트럼을 설명할 수 있었다.이후, 아인슈타인이 광전효과를 설명하면서 전자기파를 파동이 아닌 에너지가 밀집된 입자, 즉 광자의 흐름으로 보아야 한다고 주장하였고, 그렇게 함으로써 광전효과가 설명될 수 있었다. 이때, 아인슈타인이 주장했던 진동수가 [math(\nu)]인 전자기파의 에너지는
[math(\displaystyle E=h \nu )]
이었다. [math(h)]는 플랑크 상수이다.
빛은 파동성과 입자성, 즉 이중성을 띄고, 이 둘의 관점은 상호보완적인 관계를 갖고 있다. 이와 관련된 자세한 내용은 현대 물리학 책을 참고해보는 것을 권한다.
11. 건강
12. 여담
13. 관련 문서
[1]
즉, 자외선보다 에너지가 높다.
[2]
전도성 물질이 아닌 곳을 가정하고 있음에 주의하자.
[3]
자세한 것은
전자기파 방사를 참조하자.
[4]
'표면 깊이'라고도 번역되나, 여기서는 한국물리학회의 변역명을 따랐다.
[5]
물론
감마선같은 고에너지의 전자기파는 두꺼운
콘크리트도 투과할 만큼 침투 깊이가 크다.
[6]
전기 전도도를 0으로 잡으면, 쉽게 증명할 수 있다.
[7]
단일 파를 다루고 있다는 것에 주의하자. 적절하게 선형 편광된 두 전자기파를 중첩하면, 진공에서도 전기장과 자기장에 위상차가 존재하면서 방사될 수 있다.