선형 변환

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1. 개요2. 정의3. 핵(kernel)과 상(image)4. 행렬과의 관계5. 합성변환과 역변환6. 선형변환에 의하여 옮겨지는 도형7. 여러 가지 선형변환 및 그 행렬표현8. 활용

1. 개요

線型變換 / linear transformation

벡터 공간에서 벡터 공간으로 가는 준동형 사상인, 그것들 중 벡터 공간의 성질을 보존하는, 즉 선형성을 갖는 함수이다. 함수가 선형성을 가지므로 함수의 입력에 대한 선형 결합(linear combination)으로도 함수를 표현할 수 있다. 선형사상( 線型寫像, linear map) 또는 일차변환( 一次變換)이라고 부르기도 한다. 스칼라가 [math(F)]로 같은 벡터 공간 [math(V)], [math(W)]에 대해, 흔히 [math(V)]에서 [math(W)]로 가는 선형 변환들의 모임을 [math(L\left(V,W\right))][1]라 표시한다.

2. 정의

[math(f:V\rightarrow W)]가 선형 변환이라 함은 다음을 만족시키는 것이다.

* (동차성(Homogeneity)) 임의의 [math(a\in F)], [math(u \in V)]에 대해, [math(f\left(au\right)=af\left(u\right))][2]
* (가산성(Additivity)) 임의의 [math(u, v \in V)]에 대해 [math(f\left(u+v\right)=f\left(u\right)+f\left(v\right))]

특히 이 둘을 합쳐서 선형성이라고 부르기도 한다. 선형성을 만족함은 동차성과 가산성을 동시에 만족하는 것과 동치이다.
* (선형성(linearity)) 임의의 [math(a,b\in F)], [math(u,v\in V)]에 대해, [math(f\left(au+bv\right)=af\left(u\right)+bf\left(v\right))]

이를 만족하지 못 한다면 비선형 변환(non-linear transformation)이라 한다.

다르게는 카테고리 이론을 이용하여 간단하게 Vect(K)에서의 morphism을 선형 변환이라고 정의할 수도 있는데, 집합론을 썼느냐 카테고리 이론을 썼느냐의 차이일 뿐 사실 같은 대상이다.

[math(mathbb{R})]를 스칼라로 갖는 경우를 예로 들어보자.

[math(V=W=\mathbb{R}^{2})]에 대해,

[math(f\left(x,y\right)=\left(5x+3y,7x-2y\right))]는 선형 변환이다.
[math(f\left(x,y\right)=\left(6x,5x\right))]는 선형 변환이다.
[math(f\left(x,y\right)=\left(x^{2}+\sin y,0\right))]는 선형 변환이 아니다.
[math(f\left(x,y\right)=\left(0,0\right))]는 선형 변환이다.
[math(f\left(x,y\right)=\left(x+1,x+5y+2\right))]는 선형 변환이 아니다.

[math(V)]를 [math(\left[0,1\right])]에서 [math(\mathbb{R})]로 가는 연속함수들의 모임이라 하면, [math(\mathbb{R})]-벡터 공간이다. [math(\phi:V\rightarrow \mathbb{R})]을 [math(\phi\left(f\right):=\int_{0}^{1}f)]라 하면 [math(\phi)]는 선형 변환이다.
[math(V)]를 [math(n)]차 정사각 행렬의 모임이라 하면, [math(\mathbb{R})]-벡터 공간이다. 주대각합 [math(\text{tr}:V\rightarrow \mathbb{R})]은 선형 변환이다.
[math(V=W=\mathbb{C})], [math(T\left(z\right):=\overline{z})]라 정의하자. [math(\mathbb{R})], [math(\mathbb{C})]위에서, [math(V)], [math(W)]는 벡터 공간이다.[3]

[math(\mathbb{R})]위에서, [math(T)]는 선형 변환이다.
[math(\mathbb{C})]위에서, [math(T)]는 선형 변환이 아니다. [math(iT\left(1\right)=i\ne-i=T\left(i\cdot 1\right))]이기 때문이다.[4]

3. 핵(kernel)과 상(image)

벡터 공간[math(V)], [math(W)]와 [math(f\in L\left(V,W\right))]에 대해[5]

* (핵(kernel))[6] [math(\ker f:=\left\{v\in V:f\left(v\right)=0\right\})]
* (핵 공간의 차원(nullity)) [math(\text{Null}\left(f\right):=\dim\ker f)]
* (상(image)) [math(\text{Im} f:=\left\{f\left(v\right):v\in V\right\})][7]
* (계수(차수; rank)) [math(\text{rank}\left(f\right):=\dim\text{Im} f)]

라 정의한다. 다음이 성립한다.

nullity-rank theorem [8]

[math(\dim V=\text{Null}\left(f\right)+\text{rank}\left(f\right))]

4. 행렬과의 관계

선형 변환은 일종의 함수이기 때문에, 추상적이고 이해하기 힘들다. 반면, 행렬은 숫자를 시각적으로 배열한 것이기 때문에, 선형변환보다는 이해하기 쉽고, 연산이 직관적이다. 그런데, 선형대수학의 기본정리에 따르면, 유한차원 벡터공간에서 정의된 선형변환을 행렬로 볼 수도 있고, 거꾸로, 행렬을 선형변환으로 볼 수 있는 방법이 존재한다. 즉, 정의역과 공역의 기저가 정해지면, 선형변환을 표현하는 행렬이 결정된다. 그뿐만 아니라, 선형변환의 합과 스칼라배는 행렬의 합과 스칼라배로 바뀌고, 선형변환의 합성은 행렬의 곱으로 바뀐다. 즉, 행렬을 선형변환의 아바타처럼 취급할 수 있다.[9] 이에 따라서, 행렬에 정의되는 개념들을, 잘 정의만 된다면, 선형변환에도 정의할 수 있다. 그러한 예로는 주대각합과 행렬식 등이 있다. 또한, 선형변환에 대한 명제를 증명하기 어려운 경우, 행렬을 이용하여 증명하면 수월한 경우가 있다.

여담으로 개정으로 행렬이 수학 교육과정에서 완전히 빠지기 전 기하와 벡터 과목에서 선형변환을 배웠다. 그러나 엄밀하게 정의하고 증명하고 넘어가는 방식을 채택하고 있는 대한민국 교육과정마저도 행렬 부분과 미적분 부분에 있어선 증명하지 않고 넘어가는 게 많은데, 행렬은 선형대수학의 선형사상 때문이고 미적분은 해석학의 엡실론-델타 논법 때문이다! 그래서 선형대수학을 공부하는 사람은 이 선형사상을 이해하는 것을 강요받고 있다고 할 수 있다.

5. 합성변환과 역변환

합성변환
선형변환 [math(f, g)]의 합성변환 [math(f \circ g)]는 벡터를 변환 [math(g)]을 이용하여 이동시킨 벡터를 다시 변환 [math(f)]를 통해 이동시킨 벡터이다. 예를 들어 [math(f : (x_1, x_2) \mapsto (3x_1, 5x_2))], [math(g : (x_1, x_2) \mapsto (2x_1, 4x_2))]일 때, 2차원 벡터 [math((a, b)^T)]는 [math(g)]에 의해서 [math((2a, 4b)^T)]로 이동되고, 이것은 다시 [math(f)]에 의해서 [math((6a, 20b)^T)]로 이동되므로 [math(f\circ g : (x_1, x_2) \mapsto (6x_1, 20x_2))]이다.
역변환
벡터 [math(V)]가 [math(f)]에 의해서 벡터 [math(V')]로 이동될 때, 벡터 [math(V')]는 그 역변환 [math(f^{-1})]에 의해서 벡터 [math(V)]로 이동된다. 예를 들어 [math(f : (x_1, x_2) \mapsto (2x_1, 5x_2))]에 의해 2차원 벡터 [math((a, b)^T)]는 [math((2a, 5b)^T)]로 이동되므로, [math(f^{-1})]에 의해 [math((2a, 5b)^T)]는 [math((a, b)^T)]로 이동된다. 따라서 [math(f^{-1})]는 [math(f\circ g : (x_1, x_2) \mapsto (\frac{1}{2}x_1, \frac{1}{5}x_2))]와 같다.

6. 선형변환에 의하여 옮겨지는 도형

[math(V=W=\mathbb{R}^{2})]일 때, 선형 변환에 의해 어떤 평면도형이 옮겨지는 평면도형의 방정식은 다음과 같이 구할 수 있다.

1. 원래 도형의 방정식에 따라, 해당 도형 위의 임의의 점의 좌표를 [math((g(x_0), h(x_0)))] 형태로 나타낸다.

원래 도형의 방정식이 [math(y=g(x_0))]이면 점의 좌표를 [math((x_0, g(x_0)))]과 같이 나타낼 수 있다.

2. 이 점을 선형 변환을 통해 이동시킨 점의 x좌표와 y좌표를 나타낸 후 정리한다.
3. 2번에서 구한 x좌표와 y좌표의 관계식을 구하면 그것이 옮겨진 후의 평면도형의 방정식이다.

예를 들어 선형 변환 [math(f\left(x,y\right)=\left(x+2y,x-y\right))]에 의해서 직선 [math(y=2x+1)]은 다음과 같이 옮겨진다.

1. 이 직선 위의 임의의 점을 [math((x_0, 2x_0+1))]로 나타낼 수 있다.
2. 이 점을 이 선형 변환을 통해 이동시킨 점의 좌표를 나타낸다. [math(f\left(x,y\right)=\left(x+2y,x-y\right))]에서 [math(x=x_0, y=2x_0+1)]이므로, 옮겨진 점의 x좌표는 [math(x_0+2(2x_0+1))], y좌표는 [math(x_0-(2x_0+1))]가 된다. 이것을 정리하면 x좌표는 [math(5x_0+2)], y좌표는 [math(-x_0-1)]가 된다.
3. 2번에서 구한 x좌표 [math(x=5x_0+2)]와 y좌표 [math(y=-x_0-1)]의 관계식을 구하면 [math(y=-\frac{1}{5}x+\frac{9}{5})]이므로, 옮겨진 후의 도형의 방정식은 [math(y=-\frac{1}{5}x+\frac{9}{5})]이다. 즉, 직선 [math(y=2x+1)]은 이 선형 변환에 의해 [math(y=-\frac{1}{5}x+\frac{9}{5})]으로 옮겨진다.

7. 여러 가지 선형변환 및 그 행렬표현

해당 선형변환들에 대한 행렬 표현을 같이 다루므로 행렬표현 문서에 서술되어 있다.

8. 활용

기대효용이론에서, 기대효용을 나타내는 효용함수의 서수성을 유지시키는 강단조증가변환은 [math(f(u)=au+b,\,(a\neq0))] 꼴의 선형 변환뿐이다.

초등학교 수학에서 나오는 이른바 '동물 다리 세기' 문제는 본질적으로는 선형 변환이라고 볼 수 있다. 물론 교육 수준상 그대로 다루기는 무리이기 때문에 예상과 확인으로 푸는 방법을 사용한다.

단위 변환, 환율은 선형 변환의 대표적인 활용례이다.

[1] 행렬 표현으로부터 알 수 있겠지만 이 집합도 벡터공간이 된다. [2] 스칼라 [math(a)]배만큼 결과값 [math(f\left(u\right))]의 크기를 바꾸는 성질로 인해 영어로 Scaling이라고 하기도 한다. [3] 이 예는 스칼라체의 중요성을 보여준다. [4] 참고로 이런 꼴을 배반선형사상(Antilinear map)이라고 한다. [5] 핵과 상이 부분 공간임이라는 것은 쉽게 알 수 있다. [6] 영공간(nullspace)이라고도 한다. 그런데, 핵은 대수학에서 전반적으로 두루 쓰이는 용어인 반면, 영공간은 선형대수학에서만 한정적으로 쓰이는 경향이 있다. [7] 선형변환

Y=AX

의 상은

A

의 열공간과 같다. [8] 책에 따라서는 dimension theorem이라고 하기도 한다. [9] 물론 이 아바타는 기저에 따라서 바뀐다.