1. 개요
비앙키 항등식(Bianchi identities)은 발산정리 및 뇌터정리 및 리만다양체 등에서 증명되는 항등식들이다. 제1 비앙키 항등식, 제2 비앙키 항등식, 축약(contract) 제2 비앙키 항등식 등이 있다.비앙키 항등식(Bianchi identities)은 공변미분에서 크리스토펠 기호(Christoffel symbol)와 리만-크리스토펠 곡률 텐서(Riemann-Christoffel curvature tensor) 또는 리만 기호(Riemann simbol)로 다루어질 수 있다. 이로써 축약된(contracted) 형태로도 표현된다.[가]
2. 비앙키 항등식 아이디어
엘리 카르탄(Elie Cartan)이 1925년에 제안한 'the boundary of a boundary is 0'(경계의 경계는 0이다)[2][3][4][5][6]Considérons dans l'espace de Riemann un petit domaine à trois dimensions entourant un point A; à chaque élément de la surface (orientée) qui limite ce domaine est associée une rotation infiniment petite qu'on peut représenter par un système de bivecteurs : la somme géométrique (covariante) de tous ces systèmes de bivecteurs est nulle.
리만 공간에서 점 A를 둘러싼 작은 3차원 영역을 고려하라. 이 영역을 제한하는 (지향된) 표면의 각 요소는 이중 벡터 시스템으로 나타낼 수 있는 무한히 작은 회전과 연관된다: 이러한 모든 이중 벡터 시스템의 (공변량) 기하 합은 0이다.
리만 공간에서 점 A를 둘러싼 작은 3차원 영역을 고려하라. 이 영역을 제한하는 (지향된) 표면의 각 요소는 이중 벡터 시스템으로 나타낼 수 있는 무한히 작은 회전과 연관된다: 이러한 모든 이중 벡터 시스템의 (공변량) 기하 합은 0이다.
이제 위 그림 정육면체를 예를 들어보면 3차원인 정육면체는 그 경계(boundary)에서 6개의 2차원 평면으로 이루어져 있다. 1개의 평면은 4개의 평면들과 그 경계에서 꼭 만난다. 그리고 그 2차원 평면의 경계인 1차원 꼭짓점에서 3개의 경계와 꼭 만난다. 이 1차원 꼭짓점은 0에 값을 갖게 될 것이다. 이처럼 정육면체의 면적에서 그 면적의 모서리 길이에서 그 모서리들이 만나는 한 점의 크기는 무한하게 0에 가까워질 것이다. 이제 이러한 아이디어를 확장해보면 이러한 정육면체의 8개의 꼭짓점에서 모두 0이 되는 어떤 위상공간을 정의해볼 수 있다. 그렇다면 그 위상공간에서는 리만 다양체의 직선들이 만나는 꼭짓점들에서도 항상 0일 것이다.
3. 중력
기하학은 물질에 대한 지침을 제공하지만 물질은 어떻게 기하학에 지침을 제공할까? 기하학은 "적절한 시간(측지선)의 극단적인 경과의 세계선을 추구한다."라는 간단한 핸들로 문제에 대한 지침을 전달한다. 물질이 기하학에 작용할 수 있는 핸들은 무엇일까? 리만과 아인슈타인의 메트릭 기하학에 흥미로운 특징이 많이 있을 때 올바른 핸들을 어떻게 식별할 수 있을까? 물리학은 찾아야 할 대상을 알려준다. 중력(시공간 곡률)과 소스(물질, 스트레스-에너지 텐서 [math( T )] ) 간의 결합 머시너리(machinery)는 소스[math( ( \nabla \cdot T = 0 ) )] 의 자동 보존을 보장한다. 따라서 이제 물리학은 수학에 다음과 같이 질문해야 한다. "기하학의 어떤 텐서가 그와 같은 기능에서 자동으로 보존되는가?" 수학은 "아인슈타인 텐서"라고 대답한다. 물리학은 "그 보존은 어떻게 이루어지는가?"라고 질문한다. 수학은 엘리 카르탄(Elie Cartan)의 "'경계(boundary)의 경계(boundary)는 0'이라는 원칙을 통해서"라고 답한다. (Gravitation, Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler CHAPTER 15 BIANCHI IDENTITIES AND THE BOUNDARY OF A BOUNDARY §15.1. BIANCHI IDENTITIES IN BRIEF)[마]
4. 초기 원형
4.1. 비앙키의 항등식
비앙키 항등식의 초기 원형은 1902년 루이지 비앙키(Luigi Bianchi)가 제안하였고 엘리 카르탄(Elie Cartan)이 1925년, 1928년에 추가 제안하였다.[나][다]1902년 루이지 비앙키(Luigi Bianchi)가 4색인(4 indices) 리만 기호(Riemann simbol)를 5색인(5 indices)으로 확장해 제안한 제2 비앙키 항등식의 초기 원형은 아래와 같다.[가]
|
[math(\displaystyle \begin{aligned}
(rk,ihl)+(rk,hli)+(rk,lih) = 0 \end{aligned})] |
4.2. 카르탄의 항등식
엘리 카르탄(Elie Cartan)이 1925년에 사용한 제2 비앙키 항등식은 다음과 같다.[나]|
[math(\displaystyle \begin{aligned}
D_{\alpha} R_{ij,\beta\gamma} + D_{\beta}R_{ij,\gamma\alpha} + D_{\gamma}R_{ij,\alpha\beta} = 0 \; (i,j,\alpha,\beta,\gamma = 1,...,n) \end{aligned})] |
4.3. 보스의 항등식
한편 아우렐 보스(Aurel Voss)는 1879년 비앙키 항등식 발표 이전에 리만항등식에서 비앙키 항등식으로 진행하는 초기 작업을 행렬식(determinant)과 관련해 선구적으로 연구 발표한 업적을 남긴 바 있다.[12]아우렐 보스(Aurel Voss)가 1880년에 발표한 항등식(제2 비앙키 항등식)은 아래와 같다.
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
\dfrac{\partial H_{rsmp}}{\partial u_{q}} + \dfrac{\partial H_{psmq}}{\partial u_{r}} + \dfrac{\partial H_{qsmr}}{\partial u_{p}} + \displaystyle \sum \dfrac{1}{\Delta} e_{m'n'}(a_{mpn'}H_{rsm'q}+ a_{srm'}H_{pmn'q} +a_{rmn'}H_{qsm'p} +a_{spm'}H_{qmn'r} + a_{qmn'}H_{psm'r} +a_{sqm'}H_{rmn'p})\\ - \displaystyle \sum c_{lh}( \Gamma_{rmh} J_{qslp} + \Gamma_{pmh} J_{rqlq}+\Gamma_{qmh} J_{pslr} +\Gamma_{srh} J_{pmlq}+\Gamma_{sph} J_{qmlr}+\Gamma_{sqh} J_{rmlp} )= 0 \end{aligned})] |
5. 비앙키 항등식과 4색인 리만기호
1902년 루이지 비앙키(Luigi Bianchi)가 크리스토펠 기호(Christoffel symbol)와 리만-크리스토펠 곡률 텐서(Riemann-Christoffel curvature tensor)를 도입해 비앙키 항등식(Bianchi identities)을 다루기 위해 사용한 리만 항등식들(Riemann identities)은 다음과 같다.[가][라] [다]|
[math(\displaystyle \begin{aligned}
(rk,ih) = (ih,rk) , -(rk,ih) = (kr,ih) ,(rk,ih) + (ri,hk) + (rh,ki) = 0 \end{aligned})] |
5.1. [math( (rk,ih) + (ih,kr) = 0)] 항등식
[math( (rk,ih) = (ih,rk) , -(rk,ih) = (kr,ih) )]이므로따라서 [math( (rk,ih) + (ih,kr) = 0)] 항등식이다.
5.2. 제1 비앙키 항등식
[math( (rk,ih) + (ri,hk) + (rh,ki) = 0 )]은 현재 제1 비앙키 항등식으로 알려져 있다.4색인 리만기호(four index Riemann symbol) [math( (43,21) )]를 아래와 같은 리만-크리스토펠 곡률 텐서(Riemann-Christoffel curvature tensor)로 정리한다면,
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
B^{4}_{321} = \Gamma^{4}_{32,1}- \Gamma^{4}_{31,2} + \Gamma^{0}_{32} \Gamma^{4}_{01} - \Gamma^{0}_{31} \Gamma^{4}_{02} \end{aligned})] |
| <colbgcolor=#efefef,#555555> [math(\displaystyle (rk,ih) = B^{r}_{kih})] | [math(\displaystyle \Gamma^{r}_{ki,h}- \Gamma^{r}_{kh,i} + \Gamma^{0}_{ki} \Gamma^{r}_{0h} - \Gamma^{0}_{kh} \Gamma^{4}_{0i})] |
| [math(\displaystyle (ri,hk) = B^{r}_{ihk})] | [math(\displaystyle \Gamma^{r}_{ih,k}- \Gamma^{r}_{ik,h} + \Gamma^{0}_{ih} \Gamma^{r}_{0k} - \Gamma^{0}_{ik} \Gamma^{4}_{0h})] |
| [math(\displaystyle (rh,ki) = B^{r}_{hki})] | [math(\displaystyle \Gamma^{r}_{hk,i}- \Gamma^{r}_{hi,k} + \Gamma^{0}_{hk} \Gamma^{r}_{0i} - \Gamma^{0}_{hi} \Gamma^{4}_{0k})] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
(rk,ih) + (ri,hk) + (rh,ki) = \Gamma^{r}_{ki,h}- \Gamma^{r}_{kh,i} + \Gamma^{0}_{ki} \Gamma^{r}_{0h} - \Gamma^{0}_{kh} \Gamma^{r}_{0i}\\ + \Gamma^{r}_{ih,k}- \Gamma^{r}_{ik,h} + \Gamma^{0}_{ih} \Gamma^{r}_{0k} - \Gamma^{0}_{ik} \Gamma^{r}_{0h}\\ + \Gamma^{r}_{hk,i} - \Gamma^{r}_{hi,k} + \Gamma^{0}_{hk} \Gamma^{r}_{0i} - \Gamma^{0}_{hi} \Gamma^{r}_{0k}\\ = \Gamma^{r}_{ki,h} -\Gamma^{r}_{ik,h} - \Gamma^{r}_{kh,i} + \Gamma^{r}_{hk,i}+ \Gamma^{0}_{ki} \Gamma^{r}_{0h}\\ - \Gamma^{0}_{ik} \Gamma^{r}_{0h}- \Gamma^{0}_{kh} \Gamma^{r}_{0i} + \Gamma^{0}_{hk} \Gamma^{r}_{0i} + \Gamma^{r}_{ih,k}\\ - \Gamma^{r}_{hi,k} + \Gamma^{0}_{ih} \Gamma^{r}_{0k} - \Gamma^{0}_{hi} \Gamma^{r}_{0k} = 0 \end{aligned})] |
6. 제2 비앙키 항등식
리만-크리스토펠 곡률 텐서는 [math( B_{4321} = \dfrac{\partial \Gamma^{4}_{32}}{\partial x^{1}} - \dfrac{\partial \Gamma^{4}_{31}}{\partial x^{2}} + \Gamma^{0}_{32} \Gamma^{4}_{01} - \Gamma^{0}_{31} \Gamma^{4}_{02} )]이고그리고 메트릭텐서 및 크리스토펠 기호의 정의로부터
[math( g_{21} = \dfrac{\partial^2 f_{} }{\partial x_{2} \partial x_{1}} = \Gamma_{21}^{4} \left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{4}} \right) \; , \; \Gamma_{21}^{4} = \dfrac{\partial^2 f_{} }{\partial x_{2} \partial x_{1}} \left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{4}} \right)^{-1} )]을 얻을 수 있다.
그리고 [math( (rk,ih) + (ih,kr) = 0)] 항등식으로부터 [math( (rk,ih) = (ih,rk) \;,\; -(rk,ih) = (kr,ih) )]을 얻을 수 있다.
따라서 [math( B_{4321} = \dfrac{\partial \Gamma^{4}_{32}}{\partial x^{1}} - \dfrac{\partial \Gamma^{4}_{31}}{\partial x^{2}} + \Gamma^{0}_{32} \Gamma^{4}_{01} - \Gamma^{0}_{31} \Gamma^{4}_{02} \\
= \dfrac{\partial^{2} g_{32}}{\partial x^{1}x^{4}} - \dfrac{\partial^{2} g_{31}}{\partial x^{2}x^{4}} + \Gamma^{0}_{32} \Gamma^{4}_{01} - \Gamma^{0}_{31} \Gamma^{4}_{02} \\
= \dfrac{1}{2} \left( 2\dfrac{\partial^{2} g_{32}}{\partial x^{1}x^{4}} - 2\dfrac{\partial^{2} g_{31}}{\partial x^{2}x^{4}} \right) + \Gamma^{0}_{32} \Gamma^{4}_{01} - \Gamma^{0}_{31} \Gamma^{4}_{02} \\
= \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\partial^{2} g_{32}}{\partial x^{1}x^{4}} + \dfrac{\partial^{2} g_{32}}{\partial x^{1}x^{4}} - \dfrac{\partial^{2} g_{31}}{\partial x^{2}x^{4}} - \dfrac{\partial^{2} g_{31}}{\partial x^{2}x^{4}} \right) + \Gamma^{0}_{32} \Gamma^{4}_{01} - \Gamma^{0}_{31} \Gamma^{4}_{02} )]
[math({}= \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\partial^{2} g_{32}}{\partial x^{1}x^{4}} + \dfrac{\partial^{2} g_{14}}{\partial x^{3}x^{2}} - \dfrac{\partial^{2} g_{31}}{\partial x^{2}x^{4}} - \dfrac{\partial^{2} g_{24}}{\partial x^{3}x^{1}} \right) + \Gamma^{0}_{32} \Gamma^{4}_{01} - \Gamma^{0}_{31} \Gamma^{4}_{02} )]
이제 괄호안의 [math(\left( \dfrac{\partial^{2} g_{32}}{\partial x^{1}x^{4}} + \dfrac{\partial^{2} g_{14}}{\partial x^{3}x^{2}} - \dfrac{\partial^{2} g_{31}}{\partial x^{2}x^{4}} - \dfrac{\partial^{2} g_{24}}{\partial x^{3}x^{1}} \right) )]를 취해서
[math( B_{1234;5} = \dfrac{\partial}{\partial x_5} \left({}_1^{\color{red}3}{\rm \square}_4^{\color{red}2} + {}_{\color{red}3}^1{\rm \square}_{\color{red}2}^4 - {}_2^{\color{red}3}{\rm \square}_4^{\color{red}1} - {}_{\color{red}3}^2{\rm \square}_{\color{red}1}^4 \right) )]를
[math( B_{5432;1} = \dfrac{\partial}{\partial x_1} \left( {}_5^{\color{red}3}{\rm \square}_2^{\color{red}4} + {}_{\color{red}3}^5{\rm \square}_{\color{red}4}^2 - {}_4^{\color{red}3}{\rm \square}_2^{\color{red}5} - {}_{\color{red}3}^4{\rm \square}_{\color{red}5}^2 \right) )]로 바꾸면
제2 비앙키 항등식[마][17][18][19]
[math( \dfrac {\partial(rk,ih)}{\partial x_l} +\dfrac {\partial(rk,hl)}{\partial x_i} +\dfrac {\partial(rk,li)}{\partial x_h} = 0 )]
[math( B_{5432;1} + B_{5413;2}+ B_{5421;3} = 0 )]
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
B_{5432;1} = \dfrac{\partial}{\partial x_1} \left(\dfrac{\partial^2 g_{34} }{\partial x_5 \partial x_2} +\dfrac{\partial^2 g_{52} }{\partial x_3 \partial x_4} - \dfrac{\partial^2 g_{35} }{\partial x_4 \partial x_2} - \dfrac{\partial^2 g_{42} }{\partial x_3 \partial x_5} \right)\\ B_{5413;2} = \dfrac{\partial}{\partial x_2} \left(\dfrac{\partial^2 g_{14} }{\partial x_5 \partial x_3} +\dfrac{\partial^2 g_{53} }{\partial x_1 \partial x_4} - \dfrac{\partial^2 g_{15} }{\partial x_4 \partial x_3} - \dfrac{\partial^2 g_{43} }{\partial x_1 \partial x_5} \right)\\ B_{5421;3} = \dfrac{\partial}{\partial x_3} \left(\dfrac{\partial^2 g_{24} }{\partial x_5 \partial x_1} +\dfrac{\partial^2 g_{51} }{\partial x_2 \partial x_4} - \dfrac{\partial^2 g_{25} }{\partial x_4 \partial x_1} - \dfrac{\partial^2 g_{41} }{\partial x_2 \partial x_5} \right) \end{aligned})] |
|
[math(\displaystyle \begin{aligned}
B_{5432;1} + B_{5413;2}+ B_{5421;3} = \dfrac{\partial}{\partial x_1}\dfrac{\partial^2 g_{34} }{\partial x_5 \partial x_2}- \dfrac{\partial}{\partial x_2} \dfrac{\partial^2 g_{43} }{\partial x_1 \partial x_5} +\dfrac{\partial}{\partial x_1}\dfrac{\partial^2 g_{52} }{\partial x_3 \partial x_4}\\ -\dfrac{\partial}{\partial x_3} \dfrac{\partial^2 g_{25} }{\partial x_4 \partial x_1}-\dfrac{\partial}{\partial x_1} \dfrac{\partial^2 g_{35} }{\partial x_4 \partial x_2} +\dfrac{\partial}{\partial x_2}\dfrac{\partial^2 g_{53} }{\partial x_1 \partial x_4} \\ - \dfrac{\partial}{\partial x_1} \dfrac{\partial^2 g_{42} }{\partial x_3 \partial x_5} +\dfrac{\partial}{\partial x_3}\dfrac{\partial^2 g_{24} }{\partial x_5 \partial x_1} +\dfrac{\partial}{\partial x_2}\dfrac{\partial^2 g_{14} }{\partial x_5 \partial x_3}\\
- \dfrac{\partial}{\partial x_3} \dfrac{\partial^2 g_{41} }{\partial x_2 \partial x_5}-\dfrac{\partial}{\partial x_2} \dfrac{\partial^2 g_{15} }{\partial x_4 \partial x_3} +\dfrac{\partial}{\partial x_3}\dfrac{\partial^2 g_{51} }{\partial x_2 \partial x_4} = 0
\end{aligned})] |
6.1. 축약 제2 비앙키 항등식
[math( (rk,ih) + (kr,ih) = 0)] 항등식과 [math( (rk,ih) + (ri,hk) + (rh,ki) = 0 )] 제1 비앙키 항등식을 전제로비앙키의 관례에 따라 4색인(4 indices) 리만 기호(Riemann simbol) [math( (43,21) )]에 추가로 공변미분 자리(;)를 도입하고 그 자리에 성분[math( (l) )]을 넣어 5색인(5 indices) [math( (54,321) )]으로 정리해보면
제2 비앙키 항등식 [math( (rk,ihl)+(rk,hli)+(rk,lih) = 0 )]와 [math( (rkih;l)+(rkhl;i)+(rkli;h) = 0 )]를 얻을 수 있다.
이제 이것을 리만-크리스토펠 곡률 텐서로 표현해보면
[math( B_{rkih;l}+ B_{rkhl;i}+ B_{rkli;h} = 0)]
축약(contraction)을 위해 거리함수텐서(metric tensor)를 역원으로 [math( g^{\square} )]를 취해 정리해보면
[math( g^{ri} \left(B_{rkih;l} + B_{rkhl;i} + B_{rkli;h} \right) = 0)]
[math( \left(g^{ri} B_{rkih;l} \right) + \left(g^{ri} B_{rkhl;i} \right) +\left(g^{ri} B_{rkli;h} \right) = 0)]
[math( \left(B_{kih;l}^{i} \right) + \left( B_{khl;i}^{i} \right) +\left( B_{kli;h}^{i} \right) = 0)]
[math( \left(B_{kih;l}^{i} \right) + \left(- B_{klh;i}^{i} \right) +\left(- B_{kil;h}^{i} \right) = 0)]
[math( B_{kh;l} -B_{klh;i}^{i} - B_{kl;h} = 0)]
[math( g^{kh} \left(B_{kh;l} - B_{klh;i}^{i} -B_{kl;h} \right) = 0)]
[math( \left( g^{kh} B_{kh;l} \right) - \left( g^{kh} B_{klh;i}^{i} \right) - \left( g^{kh} B_{kl;h}\right) = 0)]
[math( B_{;l} - B_{l;i}^{i}- B_{l;h}^{h} = 0)]
이제 [math( i= h)]인 공변 인텍스(covariant indexes)로 다시 정리해보면
[math( B_{;l} - B_{l;i}^{i}- B_{l;i}^{i} = 0)]
[math( B_{;l} -2 B_{l;i}^{i} = 0)]
[math( B_{;l} = 2 B_{l;i}^{i} )]
[math( \dfrac{1}{2}B_{;l} = B_{l;i}^{i} )]
[math( \dfrac{1}{2}\nabla_{l} B = \nabla_{i}B_{l}^{i} )]
이렇게 축약된 제2비앙키 항등식(contracted Bianchi identities)을 얻을 수 있다.
여기서 [math(\nabla_{i}B_{l}^{i} )]의 예에서 [math(\nabla_{i} )] 는 공변도함수(공변미분값), [math(B_{l}^{i} )] 은 (측지선의 공선점)입자의 속도벡터값이다.
6.2. 아인슈타인 텐서
축약 제2 비앙키 항등식[math( \dfrac{1}{2}B_{;l} = B_{l;i}^{i} )]은
[math( B_{l;i}^{i} = \dfrac{1}{2}B_{;l} )]
[math( B_{l;i}^{i} - \dfrac{1}{2}B_{;l} =0)]
이렇게 아인슈타인 방정식의 아인슈타인 텐서를 발산이 0인 보존법칙을 만족하는 결과로 보여준다.
7. 관련 문서
[가]
Rendiconti by Accademia nazionale dei Lincei. Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali Language Italian Volume ser.5:v.11:sem.1 (1902) Matematica - Sui simboli a quattro indici e sulla curvatura di Riemann. Nota del Socio Luigi Bianchi P3-7
https://archive.org/details/rendiconti51111902acca/page/n9/mode/2up
[2]
직역: 리만 공간의 기하학 La géométrie des espaces de Riemann ,Élie Cartan, Publisher: Gauthier-Villars, 1925, CHAPITRE IV
http://archive.numdam.org/article/MSM_192591_0.pdf
[3]
E. Cartan. — Leçons sur la Géométrie des Espaces de Riemann (Cahiers scientifiques publiés sous la direction de M. Gaston Julia. Fascicule II). — Un vol. gr. in-8° de vi-274 pages et 34 figures. Prix: 40 francs. Gauthier-Villars et Cie. Paris, 1928.
https://www.e-periodica.ch/cntmng?pid=ens-001:1928:27::65
[4]
Gravitation, Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler (1973)W. H. Freeman
http://fma.if.usp.br/~mlima/teaching/PGF5292_2021/Misner_Gravitation.pdf
[5]
On manifolds with corners ,Dominic Joyce
https://arxiv.org/pdf/0910.3518.pdf
[6]
Vector Calculus, Michael Corral (Schoolcraft College) PDF LastEedition 2022(original 2008) GNU GFDL
https://www.mecmath.net/
[마]
Gravitation, Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler (1973)W. H. Freeman ,CHAPTER 15 BIANCHI IDENTITIES AND THE BOUNDARY OF A BOUNDARY §15.1. BIANCHI IDENTITIES IN BRIEF P364
http://fma.if.usp.br/~mlima/teaching/PGF5292_2021/Misner_Gravitation.pdf
[나]
La géométrie des espaces de Riemann ,Élie Cartan, Publisher: Gauthier-Villars, 1925, CHAPITRE IV.
http://archive.numdam.org/article/MSM_192591_0.pdf
[다]
E. Cartan. — Leçons sur la Géométrie des Espaces de Riemann (Cahiers scientifiques publiés sous la direction de M. Gaston Julia. Fascicule II). — Un vol. gr. in-8° de vi-274 pages et 34 figures. Prix: 40 francs. Gauthier-Villars et Cie. Paris, 1928.
https://www.e-periodica.ch/cntmng?pid=ens-001:1928:27::65
[가]
[나]
[12]
Zur Theorie der Transformation quadratischer Differentialausdrücke und der Krümmung höherer Mannigfaltigkeiten ,Aurel Voss,Mathematische Annalen (1880) Volume: 16, page 129-179
https://eudml.org/doc/156882
[가]
Rendiconti by Accademia nazionale dei Lincei. Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali Language Italian Volume ser.5:v.11:sem.1 (1902) Matematica - Sui simboli a quattro indici e sulla curvatura di Riemann. Nota del Socio Luigi Bianchi P3-7
https://archive.org/details/rendiconti51111902acca/page/n9/mode/2up
[라]
\[직역:리만 공간의 기하학\]La géométrie des espaces de Riemann ,Élie Cartan, Publisher: Gauthier-Villars, 1925, CHAPITRE IV.
http://archive.numdam.org/article/MSM_192591_0.pdf P23
[다]
\[직역\]절대미분 계산의 방법과 그 응용 Ricci, M.M.G., and T., Levi-Civita. "Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications." Mathematische Annalen 54 (1901): 125-201.
http://eudml.org/doc/157997 P142 Chapitre I §6,P183 Chapitre V §2
[마]
[17]
\[ wolfram MathWorld\]Bianchi Identities
https://mathworld.wolfram.com/BianchiIdentities.html
[18]
Holonomy and the Lie Algebra of Infinitesimal Motions of A Riemannian Manifold November 1955Transactions of the American Mathematical Society 80(2):528-528 ,DOI:10.1090/S0002-9947-1955-0084825-8 ,Authors: Bertram Kostant , Massachusetts Institute of Technology
https://www.ams.org/journals/tran/1955-080-02/S0002-9947-1955-0084825-8/S0002-9947-1955-0084825-8.pdf
[19]
\[Mathematics Stack Exchange\]Direct proof of the second Bianchi identity
https://math.stackexchange.com/questions/1494262/direct-proof-of-the-second-bianchi-identity