1. 개요
Euler characteristic'오일러 표수'라 번역되기도 한다.
도형의 위상수학적 불변량 중 하나로, 다양한 도형에 대해 정의될 수 있는 만큼 나름 등장이 다양하다. 다면체의 경우 면의 수 [math(f)], 변의 수 [math(e)], 꼭짓점의 수 [math(v)]에 대하여 [math(\chi:=v-e+f)]로 정의되고, 2차원 곡면의 경우 곡면을 삼각화한 뒤에 저 값으로 정의할 수 있다. 면이 없는 그래프의 경우 단순히 [math(\chi=v-e)]. 보다 고차원 도형에서도 일반적으로 얼추
(점)-(선)+(면)-(3차원 무언가)+(4차원 무언가)- ...
정도로만 받아들이면 충분할 것이다.대수적 위상수학에서의 가장 엄밀한 최종적 정의는 호몰로지(homology)를 이용한 [math(\chi(X) = \sum (-1)^i h_i(X) )]의 정의이고, (여기서 [math(h_i = \dim_{\mathbb{Q}} H_i(X;\mathbb{Q}))]는 베티 수(Betti number)) 만약 [math(X)]가 단체 컴플렉스(simplicial complex) 혹은 CW 컴플렉스(CW complex)와 호모토피 동형이라면 위의 정의인 [math(k)]차원 셀의 개수의 교대합 [math(\chi(x) = \sum (-1)^i k_i)]으로도 오일러 지표를 계산할 수 있다.
오일러 지표가 신비하다는 것은 이게 위상수학적 불변량이란 것인데, 즉 늘리거나 줄였을 때에 똑같다는 걸 말한다. 정확히 말하면 위상동형 뿐만이 아니라 호모토피에 대한 불변량(homotopy invariant)이다. 예로 볼록다면체들은 모두 구면이랑 위상동형이므로 오일러 지표가 모두 2로 똑같다. 이렇게 말하면 무덤덤해 보일 수도 있지만 웬만한 다면체에 대해서 [math(v-e+f=2)]라고 생각해보면 꽤 놀라운 사실이다. 토러스같이 '구멍'이 뚫릴 때에만 오일러 지표가 다른 값으로 바뀌게 된다.
2. 초등적 예시
2.1. 평면그래프에서
그래프, 즉 선을 점으로 이은 도형에서 오일러 지표인 (점)-(선)의 값은 고리의 개수와 관련이 있다. 연결되어 있는 그래프라면 고리의 개수 [math(h)]에 대해 [math(\chi = 1-h)]로 나타난다. 알파벳을 예시로 생각해 보면 C, I, J, K 같은 애들이 [math(h=0)], O, P 등은 [math(h=1)], B는 [math(h=2)] 정도로 생각할 수 있을 것이다. 알파벳을 그리고 어떻게 점을 찍고 선을 이어서 모양을 만들어도 (점)-(선)의 값은 항상 동일하게 나온다.초등수학에선 '10m 직선 가로수길 위에 1m마다 나무를 심으면 몇 그루를 심게 될까?'라는, 간격은 10개이지만 양끝 점이 둘다 세어져서 +1이 되어 11그루가 답인 낚시 문제가 나오고는 하는데, 여기서도 사실 직선의 오일러 지표가 1이므로 1이 더해진다는 해석이 가능하다. ([math(v-e=1)]에서 [math(e=10)]이므로) 만약 가로수길이 호숫가를 따라 만들어진 원형이었다면 답은 10그루가 되었을 것인데, 원의 오일러 지표가 0이기 때문.
2.2. 다면체에서
아마 가장 익숙하고 쉬운 예시일 것이다. 보통 '모든 볼록다면체에 대해 [math(v-e+f=2)]이다'는 식으로 등장하게 된다. 아는 다면체(각기둥류, 각뿔류, 정다면체 등등)등에 대해 직접 계산해서 확인해 보자. 정다면체 문서에는 저 값이 계산되어 있기도 하다. 자연계 지구과학Ⅱ를 선택한 고등학생 한정으로 광물 파트에서 잠시나마 스쳐 배우거나, 수학경시대회를 했다거나, 중학교 수학 볼록다면체 단원에서 '오일러 지표'라는 용어를 모른 채 그 값을 도출해 내는 등 좀 더 일찍 봤을 수도 있다.다면체의 오일러 표수가 2가 아닐 때는 도넛처럼 구멍이 뚫릴 때로, 정육면체 중간에 일자 구멍을 파놓은 다면체에 대해서 오일러 지표를 계산한다면 0을 얻을 수 있다. 일반적으로는 다면체에서 '구멍'이 [math(g)]개 뚫렸다면 [math(\chi = 2 - 2g)]의 공식을 따른다.
평면그래프에서 [math(v-e+f=1)]이 되는 것도 이와 연관지어 볼 수 있는데, 볼록 다면체의 한 면에 다른 면들을 모두 사영시키면 둘이 동치임을 확인할 수 있다. 볼록다면체의 표수 증명도 이 사실을 이용해 증명하는데, 점과 선의 개수에 대한 코시의 귀납법 증명이 널리 알려져 있다. 이는 온갖 평면그래프에 대한 정리들, 심지어 4색 정리를 생각할 때도 기초적인 정리가 된다.
3. 위상수학 및 기하학에서
오일러 표수는 도형에 대한 일종의 '합'처럼 행동하는데, [math(M,N)]이 컴팩트라면 다음이 성립한다.
[math(\chi(M \cup N) = \chi(M) + \chi(N) - \chi(M \cap N) )]
즉 도형들을 합쳤을 때의 오일러 표수는 비교적 쉽게 계산할 수 있다. 닫힌 2차원 곡면을 모두 분류하면 가향인 것은
토러스들의 연결합(connected sum), 비가향인 것은
사영평면들의 연결합으로 나타낼 수 있는데, 연결합인 경우 오일러 지표는 2가 빠진다. 토러스의 오일러 지표는 0이고 사영평면의 오일러 지표는 1이므로, 다음을 알 수 있는 것.
[math(\chi( \mathbb{T} \# \mathbb{T} \# \cdots \# \mathbb{T} ) = 0-2(g-1)=2-2g)]
[math(\chi( \mathbb{P} \# \mathbb{P} \# \cdots \# \mathbb{P} ) = k-2(k-1)=2-k)]
즉 닫힌 2차원 곡면은 가향성과 오일러 지표만으로 모두 구분할 수 있다. 물론 이렇게 안해도 삼각화 등등을 통해 오일러 지표를 구할 수도 있다. 물론 오일러 표수는 불변량이기 때문에 어떤 식으로 삼각화, 심플렉스, CW구조를 주어 계산해도 그 값은 똑같다.[math(\chi( \mathbb{P} \# \mathbb{P} \# \cdots \# \mathbb{P} ) = k-2(k-1)=2-k)]
가우스-보네 정리(Gauss-Bonnet theorem)는 유향 옹골곡면[1]에 대해 전곡률(total curvature)과 경계에서의 측지곡률(geodesic curvature)의 합은 곡면의 오일러 지표의 [math(2\pi)] 배수라는 내용을 말하고 있다. 경계가 없는 경우는 곡면의 전곡률이 오일러 지표의 배수로 나타나게 된다. 이 가우스-보넷 정리가 스토크스 정리에서 얻어지는 것처럼, 보다 높은 차원에서도 오일러 지표는 특정 미분형식의 적분으로 나타낼 수 있고, 이것을 서술한 버전이 천-가우스-보넷 정리(Chern-Gauss-Bonnet theorem)이다. 보다 고급 과정에서 오일러 지표는 벡터 다발(vector bundle)에 할당되는 특성류(characteristic classes)로서 일반화되기도 한다.
3.1. 몇 가지 예시
짝수 차원 초구의 오일러 지표는 항상 0이고, 홀수 차원 초구의 오일러 지표는 항상 2다.
{{{#!folding [n차원 단체로의 삼각분할을 이용한 증명]
n차원 초구는 n차원
정다포체와
위상동형이며, 정다포체 중 가장 단순한
n-단체(n-simplex)로 삼각분할해 풀 수 있다.{{{#!folding [n차원 단체로의 삼각분할을 이용한 증명]
그런데 n-단체에 포함된 m차원 도형(m-단체)의 수는 [math({}_{n+1}\mathrm{C}_{m+1})]이다. (3-단체인 정사면체 안에 포함된 2-단체인 정삼각형의 수를 세는 것과 같다.) 이를 이용해 [math(\chi = v - e + f - c + \cdots)]를 구하면 아래와 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \chi &= \sum_{k=0}^{n-1} \left(-1\right)^k {}_{n+1}\mathrm{C}_{k+1} \\ &= {}_{n+1}\mathrm{C}_{1} - {}_{n+1}\mathrm{C}_{2} + {}_{n+1}\mathrm{C}_{3} - {}_{n+1}\mathrm{C}_{4} + \cdots + \left(-1\right)^{n+1} {}_{n+1}\mathrm{C}_{n} \end{aligned})]
그런데 이 이항계수의 합은 이항정리에 따라 다음과 같이 [math(-\left(1-1\right)^{n+1})]를 전개한 것 중 첫 항과 마지막 항을 뺀 것과 같으며, [math(-\left(1-1\right)^{n+1}=0)]이므로 다음과 같이 단순화할 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \chi &= \sum_{k=0}^{n-1} \left(-1\right)^k {}_{n+1}\mathrm{C}_{k+1} \\ &= -\sum_{k=1}^n \left(-1\right)^k 1^{n+1-k}{}_{n+1}\mathrm{C}_k \\ &= -\sum_{k=0}^{n+1} \left(-1\right)^k 1^{n+1-k}{}_{n+1}\mathrm{C}_k + \left(-1\right)^0 1^{n+1}{}_{n+1}\mathrm{C}_0 + \left(-1\right)^{n+1} 1^{0}{}_{n+1}\mathrm{C}_{n+1}\\ &= - (1-1)^{n+1} + 1 + \left(-1\right)^{n+1} \\ &= 0+1+\left(-1\right)^{n+1} \end{aligned})]
위 공식에서 [math(n)]이 홀수면 [math(\chi=2)], [math(n)]이 짝수면 [math(\chi=0)]이 된다.}}}
4. 기타
레온하르트 오일러가 연구해서 오일러의 이름이 붙었지만, 사실 르네 데카르트가 독자적으로 연구했다는 사실이 밝혀지기도 했다.
[1]
유향 곡면은 방향성을 가지고 있는 곡면이다. 곡률 자체가 방향성을 어떻게 잡느냐에 따라서 바뀌기 때문에 중요한 요소.