2015 개정 교육과정/수학과/고등학교/여담

1. 개요

2. 변경 사항

• {{{#!folding [수학]

• {{{#!folding [수학Ⅰ]

• {{{#!folding [수학Ⅱ]

• {{{#!folding [미적분]

• {{{#!folding [기하]

• {{{#!folding [경제 수학]

3. 평가·입시 관련

3.1. 대학수학능력시험

3.2. 내신 및 기타

• 수학
• 집합으로 정의하는 '함수'와 좌표 평면에 나타내는 '함수'를 다른 시각으로 이해해야 수월하다. 전자를 이산수학적 관점, 후자를 해석학적 관점으로 철저히 나누어지는데, 교육학계는 어째선지 그 관점 자체를 모르는 건지, 받아들이기 힘들다는 건지 좀처럼 바뀌지 않고 있다. 갑자기 함수를 집합으로 정의하다가, 기하학적 그래프를 동원하는데 이 둘은 본래 독립적으로 다룰 수 있는 부분이지 종속되는 관계가 아니다. 이런 점에서 유리함수, 무리함수를 바로 뒤에 서술하는 게 사실 꽤 비약적으로 보일 수 있을 것이다. 흔히 그래프로 나타낸다는 것을 기하학적인 것 하나만 된다고 오해하는 사람들이 많은데, 교과서에도 나와있듯이 그림을 안 그려도 순서쌍 자체도 그래프라고 한다. '기하학적인 그래프로 나타내기'만 따로 빼면, 함수 단원은 '집합'과 함께 '도형의 방정식', '다항식'보다 앞 단원에 배치될 수 있다. 절대로 '그래프=그림'이라고 오해하지 말 것.
• 유의해야 할 팁이 하나 있다. 여기서 생소한 기호가 나오는데, 막상 경우의 수 문제를 풀 땐 [math(_n\!{\rm P}_r)], [math(_n\!{\rm C}_r)], [math(_n\!\Pi_r)] 같은 기호가 이 내용의 본질적인 게 아니라는 것이다. 대수학 문제로 [math(\rm _{5}P_{2}=5 \cdot 4)] 정도만 나올 때 필요하지, 어차피 실전에 가선 조합 기호인 [math(_n\!{\rm C}_r)]랑 [math( n!)](팩토리얼) 밖에 안 쓴다. 이건 확률과 통계에서도 마찬가지.
• 확률과 통계
• 원순열 관련 내용은 굉장히 이상적이어서 그런지 대한민국과 일본 그리고 필리핀에서만 다루며 나머지에서는 암묵지 개념에 불과하다. 원탁을 마주할 일이 별로 없기 때문일 수도 있으나 교육적(사고방식을 기르는 목적)으로는 의미가 있어서 남겨둔 듯 하다.
• 중복 순열에서 쓰는 기호(파이, $\Pi$)는 세계적으로는 비공식 표기이지만 대한민국이랑 일본의 교육과정에서는 수십 년째 사용되고 있다. 원래는 지수로 표기한다. 자동차 번호판을 이용한 경우의 수도 사실은 중복순열을 이용한 것이다. 마찬가지로 중복 조합에서 쓰는 기호(호모지니어스, \rm H)는 세계적으로는 비공식 표기이지만 대한민국이랑 일본의 교육과정에서는 수십 년째 사용되고 있다.[17] 원래는 행렬로 표기한다.
• 기하
• 기하에서 배우는 벡터는 유클리드 기하학 관점에서의 벡터를 배우는 것이지, 선형대수학에서 다루는 그 벡터와는 조금 차이가 있다. 후자의 고급 수학Ⅰ의 행렬과 벡터까지 배웠다면, 벡터의 진(眞) 정의와 시각을 맛볼 수 있을 것이다. 그런데 이는 진로선택과목도 아닌 전문교과1이라 마니아나 특목고생이 아닌 이상 쳐다볼 일이 없을 것이다.
• 벡터[18]의 뜻, 합, 차에 대해 배운다.
• 물리학Ⅱ, 지구과학Ⅱ 에도 등장하지만 벡터의 뜻, 합, 차만 알아도 문제가 없는 수준이다.
• 벡터를 분해하는 사고방식이 매우 중요하다. 직접적으로 다루진 않아도 교수법엔 주요 학습 목표로 여기며, 내신, 수능 시험에도 빈출된다.
• 평면벡터를 이용한 직선의 방정식을 다룬다. 이 부분은 2009 개정 교육과정 때 처음 들어왔다. 물론 공간 벡터에서 다뤘던 3D를 2D화한 버전에 불과해 공간벡터가 삭제되자마자 순식간에 잉여 개념이 되어버렸다
• 원의 방정식도 벡터로 나타낼 수 있다.
• 평면의 결정 조건 및 ' 삼수선의 정리', ' 이면각', ' 정사영' 등을 다룬다. 정사영은 코사인법칙의 3D 버전이라고 보면 좋다.
• 입체도형을 해석할 땐 여러 방향에서 평면화하는 것이 중요하다. 교과서에서는 잘 다뤄주지 않으므로 유의.
• 공간좌표는 고1 수학의 연장선이다. 축이 하나 더 추가되었다고 겁먹을 필요가 없다. 외분점, 내분점, 무게중심 등도 좌표 하나가 추가된 것 외엔 별 거 없다.
• 구의 방정식도 변수가 하나 추가된 것 외엔 거의 똑같다고 보면 된다.
• 공간상의 직선과 평면의 방정식은 다루지 않는다.

• 수학I을 선행과목으로 하지 않기에 원칙상으로는 내신에서 제2코사인을 이용해야 하는 문제를 출제할 수 없다. 다만 수능에서는 선택과목 문제를 공통과목 개념과 연계해서 출제할 수 있기 때문에 출제될 수 있다.
• 미적분과의 연계가 끊어졌으므로 덧셈정리를 이용하는 문제는 출제할 수 없다.

4. 논란 및 비판

4.1. 지나치게 줄어든 교과의 양에 대한 비판

4.2. 급수와 구분구적법 삭제에 관한 논쟁

4.3. '기하'가 진로용 과목?

• 일단, '진로선택과목'을 구 7차 교육과정 시절의 '심화선택과목'과 비슷한 것으로 오해하지 말도록 하자. 둘은 엄연히 다른 성격의 교과목이다. '심화=진로'가 아니기 때문.
• 기하는 수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 미적분, 확률과 통계 등과 함께 순수 수학 내용으로 묶여왔었고, 개정 후에도 이 흐름이 유지된다는 것엔 변함 없다. 좀 더 진로에 실용적이거나 직업적으로 응용되는 내용이 아니라는 것이다. 세계적인 측면에서 볼 때 이 기하 내용은 고1, 고2 초반 과정에 놓는 경우가 상당수며, 설령 이공계열 전용 심화 과목에 속하는 미적분 교과마저도 진로라 하기에 애매하다.
• 보통 진로라고 하면, 직업적으로 계열이 분명한 의미를 담고 있어야 하는데, 기하나 미적분과 같은 내용들은 순수 수학인즉 일반적인 과정이다. 공학적으로 특수하게 적용되는 함수나 경제수학처럼 특수 이론 같은 게 마구 등장하는 것이 아니라는 것이다. 그러나 개정되면서 경제수학, 실용수학과 동등한 위치에 놓는 아이러니한 정책 결과물이 나왔다. 결론적으로 항상 수학 교과 분량의 감축을 요구하는 사교육걱정없는세상이 2015 개정 교육과정 편제 당시 적극적으로 개입했던것으로 보아, 정치적인 피해를 입었다고 추측된다. 자세한 내용은 해당 문서 참조.

• '포스트코로나 수학과 재구성화'에 따르면 2022 개정 교육과정에서 다시 '일반선택과목'으로 환원하는 쪽[29]으로 가닥이 잡혔으나, 수학·과학 영향력의 약화를 추구하는 문재인 정권의 기조에 못 이겨 결국 잔류했고, 오히려 '미적분(미적분Ⅱ)'까지 진로선택과목으로 끌어들였다. 설령 정권이 바뀌었지만, 2021년 11월 24일에 발표한 총론을 전복시키려는 움직임이 전혀 보이지 않는데다가, 수학과 최종 연구안은 교육감을 뽑는다는 2022. 6. 1. 지방선거 이전인 5월 말에 이미 마감된 상황이다. 상위 기관인 새 정권의 대한민국 교육부와 국가교육위원회가 칼을 빼들지 않는 한, 드라마틱한 변화는 어려워보인다.

4.4. 기하 과목 수준에 대한 교육부의 과잉 인식

• 이전 교육과정의 기하와 벡터를 그대로 계승한 게 아니라 과목간 연계를 끊어버리는 방법으로 개정하여 미적분과의 연계가 싹 끊겼다. 이러면서 '음함수와 매개변수의 미분'과 '평면 운동'이 미적분으로 이동했고, '삼각함수의 덧셈정리'를 이용할 수도 없게 되었다. 여기에 '공간 벡터'가 통째로 빠졌기 때문에 동아시아 교육과정에서는 완벽한 문과 수준 과목이나 다름없게 되었다. 교과 자체가 매우 형편없는 수준으로 떨어져버린것.

• 중국 교육과정에서는 1학년 때 필수2, 필수3 과정에 걸쳐 평면 벡터와 공간좌표를 필수로 배우고 있으며, 선수1-1(문과 2학년) 땐 이차곡선까지 배운다.[출처1] 사실상 기하 전체를 중국에서는 문이과를 막론하고 1~2학년 때 배운다는 것이다. 홍콩에서도 '평면 벡터'를 기본 과정으로 다루고 있으며 공간 벡터까지 필수다.[출처2] 홍콩은 우리보다 더 한 게 벡터는 물론이거니와 '3차정사각 행렬', '행렬식', ' 푸아송 분포'까지 다룬다. 대만은 아예 공간 벡터와 공간 방정식, 행렬 등이 2학년 필수 과정이다.[출처3] 3학년 때는 선택 과목이지만 이보다 오히려 더 어려운 걸 배운다. 싱가포르는 공간 벡터는 물론이고 행렬과 선형변환까지 다룬다. 삼각함수의 근사, 역삼각함수까지 다루는 건 덤. 일본 역시 수학Ⅰ(일본), 수학Ⅱ(일본), 수학Ⅲ, 수학A, 수학B만 참고해봐도 대한민국보다 더 많은 수학 교과 내용을 배운다는 점을 알 수 있으며 공간 벡터를 문과도 배우며 일본의 수능( 대학입학공통테스트)에서 출제된다.

• 대개 구성만 참조해봐도 다른 나라는 오히려 이 '기하' 과목 내용이 초월함수의 미적분보다 하급 취급을 받고 있다. 심지어 대한민국에서도 과거 7차 교육과정 때 기하 전 범위를 초월함수의 미적분보다 낮은 단계인 수학Ⅱ로 분류했었다. '기하' 과목보다 어려운 내용을 담고 있는 '미적분'은 '일반선택과목'인데, '기하'는 위와 같은 모종의 이유로 '진로선택과목'이 되었다. 그리고 개정된 '기하' 과목은 이미 음함수/매개변수 미분이나 평면 운동 파트까지 싹 다 '수학Ⅱ'나 '미적분'으로 이동된 바람에 초월함수와의 연계가 끊어졌으므로 훨씬 쉬워진 과목이다.

• '기하(舊 수학Ⅱ/기하와 벡터)'가 여태 수능수학계에서 괴물 취급 받았던 이유는 다름이 아니라 문제들이 죄다 중학교 수학에서 응용되었기 때문이다. 그림도 3차원으로 나오기 때문에 겉만 보고 판단하는 비전문가 입장에서는 당연히 복병처럼 여길 수밖에 없다. 아무튼 교과 학습 난이도와 수능 문제 응용 난이도는 따로 생각해봐야 할 문제인데 이 둘을 구분하지 않고 무작정 '기하'를 진로선택과목으로 분류해놓은 것은 매우 황당한 처사이다. 특히 과거 7차 교육과정 때 기하 전 범위를 초월함수의 미적분보다 낮은 단계인 수학Ⅱ로 분류했다는 전적을 생각해보면 더더욱 황당할 수밖에 없다. 당장 고1 수학만으로도 문제를 어렵게 내는 게 가능한데(특히 1997학년도 대학수학능력시험 29번 문제) 이런 점을 모른다.
• 게다가 '기하' 과목은 수학Ⅰ의 삼각함수만 배우고 바로 뒤에 평면 벡터, 공간도형 단원을 구성해놔도 아무런 문제가 없다.[33][34] 이공계열이 응시하던 수학 가형에서 '기하'가 2021학년도 대학수학능력시험에서 출제 범위로부터 빠지게 되어 엄청난 반발을 산 적이 있었는데 이러한 반발을 인식하여 바로 다음 해인 2022학년도 대학수학능력시험부터 선택 응시로 전환되었다. 그러나 이공계 측의 입장은 여전히 썩 좋지 못한데, 미적분/기하/확률과 통계 중 1택이라는 정책이 무슨 큰 의미가 있겠냐는 까닭이다. 이러한 점으로 볼 때 차라리 과거 7차 교육과정 때 수리 가형의 포맷과 유사하게 '수학Ⅰ', '수학Ⅱ', '기하'를 필수 범위로 놓고 '확률과 통계'와 '미적분' 중에서 1택을 하도록 유도하는 게 더 의미 있었을 수도 있다.

4.5. 공간 벡터 삭제 논란

• 삭제에 반발하는 부분: 수능 범위가 줄어들면, 남은 단원의 문제들이 어려워지는데, 이전의 공간 벡터가 그렇다. 지금은 이 단원까지 날아가는 바람에 더 심각해질 것으로 보인다. 2009 교육과정 기하와 벡터는 당시에도 그 전의 2007 교육과정의 기하와 벡터에서 일차변환과 행렬이라는 대단원이 하나 빠진 것인데, 이 대단원이 하나 없어지자 공간도형 · 공간벡터의 문제가 매우 어렵게 출제 되었다.

• 삭제에 수긍하는 부분: 공간벡터에서만 문제가 어렵게 출제되고 평면벡터에서는 쉬운 문제만 나왔었는데, 아무래도 공간이 평면의 상위호환이라 그런거고, 평면벡터나 공간벡터나 결국 그 본질은 같기 때문에 평면에서도 충분히 어렵게 낼 수 있다. (예. 2011학년도 대수능 22번) 더 나아가서 악명 높았던 '2014 수능 B형 29번'을 살짝 변형해서 순수 공간도형 문제로도 출제할 수 있다.[예시]

4.6. 지나치게 뭉뚱그린 ‘기하’라는 교과 작명

• 과목 작명 자체가 너무 두루뭉술하여 납득이 안 가는 대목이 있다. 달랑 '이차곡선', '공간도형'이 이 '기하'(특히 평면 기하)라는 과목의 대표성을 크게 띤다고 볼 수도 없기 때문이다.[36]

• 미국수학교사회(NCTM, 1920)에서 제시된 <학교수학의 교육과정과 평가의 표준>에서는 기하 영역 가운데 ‘해석기하학적’, ‘변환기하학적’, ‘벡터기하학적’, ‘비유클리드 기하학적’ 측면 등 다양한 기하학 학습 관점을 절충적으로 다룸으로써 학생들에게 문제 상황에 따라 적합한 기하학적 방법과 개념을 효과적으로 적용할 수 있는 능력을 길러 줄 것을 요구하고 있다.[37]
• 이 과목의 전신이었던 2007 개정 교육과정의 기하와 벡터(2007)은 그래도 비유클리드 기하를 제외한 ‘벡터기하학적’(평면벡터와 공간벡터), ‘해석기하학적’(이차곡선, 공간좌표), ‘변환기하학적’(일차변환과 행렬), ‘유클리드 기하’(공간도형)를 모두 다루어서 차라리 그 시절이 오히려 ‘기하’라는 단일 작명이 어울렸을 것이다. 그러나 두 번의 개정을 거듭한 이 과목은 각 관점의 내용이 매우 허술[38]해졌다. 그나마 있던 '변환기하학' 내용마저 날려버렸으며, 벡터기하학은 '공간 벡터'를 삭제시킴으로써 그 기초 허들이 매우 낮아졌다. 그나마 자연계 필수로 가르치던 것마저 이젠 입시 필수 범위에서 필연 3자1택으로 영향력을 떨어뜨리는 등의 행보를 보여 무의미해졌다. '기하'보다는 '미적분과 통계 기본' 마냥 '해석기하와 벡터 기본'이 더 구체화한 작명 면에선 낫다고 볼 수 있겠다.

• 이는 고1 수학의 '함수' 단원에서 다루는 초등함수가 '유리함수와 무리함수'[39]밖에 없는 '필요조건의 협소화 현상'[40]과 비슷한 사례다.

4.7. 대충 급조한 듯한 '실용 수학', '경제 수학'

• 창의적인 집필이 대거 요구되는 과목이었으나 사실 그런 부분이 전혀 보이지 않았다는 평가다. 교육과정이 마무리돼야 평가를 내릴 수 있겠다만 현재로선 실패작으로 남을 가능성이 크다.
  
• 실용국어, 실용영어처럼 실용 시리즈로 편성해놓았기 때문에 실용 시리즈를 위한 실용 수학으로 급하게 만들어낸 티가 난다. 여기저기 그림책 수준이라고 봐도 무방한 내용들 및 교과서 두께도 지나치게 얇은 것이 근거다. 또한 진로에 대한 전문적인 내용은 눈 씻고도 찾아볼 수 없으며, 거의 생활 도구로써의 수학만을 다루고 있거나 칠교놀이를 하고 있다. 닮음이나 쪽매맞춤 파트도 전문적인 내용은 거의 전무하고 '생활 속의 닮음을 이용한 건축물이 무엇이 있을까?'하는 내용으로 사례를 나열하는 정도이다.

• 워드프로세서 같은 소프트웨어 유틸리티를 활용해서 서술하는 부분이 있다. 하지만 컴퓨터 좀 만져본 중3이라면 이 과목을 이수하는 건 굉장히 시간 낭비다. 차라리 7차 교육과정의 이산수학처럼 '코딩 수학'(또는 '프로그래밍 수학', '컴퓨터 수학') 같은 과목을 개설해서 전문적인 내용을 추가로 편성했으면 좀 더 나았을 거라는 평. 그리고 사실상 이후에 나온 '인공지능 수학'이 훨씬 실용적이게 되면서 삽질이 되었다.

• 단원 목차를 보고 눈치챘다시피 이미 중학교 때 배웠던 내용을 토대로 사례를 발견하는 식으로 서술하고 있다. 희한하게 진로선택과목이 되었는데, 객관적으로 보나 주관적으로 보나 진로 선택 과목은커녕 기초 공통 과목에 편성하는 것조차 아까운 수준의 내용이 담겨있다. 대푯값과 산포도(중3 과정)만 빠지면 완벽한 중2 수준의 내용이다. 그걸 감안하더라도 절대 중학생들조차 어려워할 내용이 아니다.

• 다음은 경제 수학에 관한 내용이다. 실용 수학만큼 막장은 아니지만 엉성한 부분이 여기 저기 보였다. 교과가 처음 생기다 보니까 오타가 꽤 있는 편이고, 문맥이 어색하거나, 모호한 표현[41]이 꽤 많아 학교 수업을 잘 들을 필요가 있다. 또한, 2단원 「수열과 금융」 파트에서는 여러 가지의 계산식이 나오는데, 기본 식에서 유도만 하면 쉽게 풀리는 문제를 굳이 공식처럼 만들어 혼란을 줄 수 있으니 유도 과정을 잘 살펴볼 필요가 있다.

• 경제 수학은 이자율이 몇 년 뒤에 얼마가 될까 같은 쓸 데 없는 계산은 대학교 경제학과에 진학해서도 아무런 쓸모가 없다. 수학Ⅰ과목을 선수과목으로 배우고 난 다음에 선택하는 선택 심화 과목임에도 불구하고, 더 쉬운 내용을 나중에 쓸데없이 더 자세하게 배운다는 것은 납득하기 힘들다. 상술했던 내용들은 정작 대학교에서 배우는 경제수학(경영수학)에서는 제대로 다루지 않고, 대학교의 기초재무학(과목명: '재무관리' 등) 과목에서 다루는 것들이다. 「함수와 경제」와 「미분과 경제」에 대한 내용은 아직 공개되지 않아 평가를 할 수는 없지만, 만약 이 두 단원이 다루는 범위가 다변수함수 즉 대학교에서 배우는 편미분에 대한 기초내용이 아니라면 정말로 납득할만한 건덕지가 하나도 없어진다. 비유하자면 우선 일차방정식보다 상대적으로 더 어려운 이차방정식부터 배우고, 그 다음에 더 쉬운(?) 일차방정식을 심화 과목(!)으로 배우게 하는 꼴이다.[42]그 외에도 미분과 더불어 상경계 수학에서 가장 중요한 단원인 행렬과 벡터, 경제통계에서 쓰이는 적분도 빠져 있다.[43][44]

4.8. 교과간 위계 붕괴, 연계 해제로 인한 문제점

• 2009 개정 교육과정 과 비교했을때, 2015 개정 교육과정 은 고1 수학만 학습해도 일반선택과목, 진로선택과목의 여러 교과 학습에 문제가 없게 하겠단 명목하에 교과간의 위계 붕괴, 연계 해제가 굉장히 심각해졌다. 이 개편에 따른 부작용으로 일부 내용의 서술 방향이 변경되거나 교수•학습이 불편해지는 사례가 발생하였다. 다만 이 역시 '기하'에 국한된 문제로, 미적분(수1, 수2 선행), 확률과 통계(전통적으로 고1수학만을 선행)은 위계가 크게 달라지지 않았다.
• 하위 항목들은 위 사례들을 기록한 것이다.

4.8.1. 평면 운동과 미적분 연계 해제에 대한 아쉬움

• 2014년 고교 입학생부터 시행된 2009 교육과정에서는 (1998년생 부터 2001년생에 해당), 교육과정 지침상 미적분Ⅱ를 선 이수한 학생만이 기하와 벡터를 학습할 수 있게 해놨기에 두 과목은 뗄 수 없는 관계였다. 음함수의 미분, 매개변수로 나타낸 함수의 미분, 평면에서의 속도와 가속도와 거리, 곡선의 길이에서 미분 · 적분이 쓰였고, 벡터의 내적, 이면각에서는 삼각함수가 쓰였다. 기하와 벡터가 미적분Ⅱ의 개념을 수반하기 때문에, 문제들이 다소 거칠게 나왔었다. 그러나 2018년 입학생부터 시행될 2015 개정 교육과정에서는, 미적분Ⅱ가 미적분으로 개편되고, 기하와 벡터가 기하로 개편되는데, 미적분을 배우지 않은 학생이 기하의 모든 내용을 이해할 수 있도록 조정된다. 한마디로, 기하에서 미적분(특히 이차곡선 접선의 방정식을 구할 때 사용하는 미분 등)을 활용하는 문제는 나오지 않게 된다.

• 따라서 음함수의 미분, 매개변수로 나타낸 함수의 미분, 평면에서의 속도와 가속도와 거리에 대한 내용이, 모두 본거지인 미적분으로 회귀한다. 사실 미적분에서 이들 내용은 연관성도 없고 쓸 일도 없을 것이고, 기존에 있던 내용들과는 괴리감이 있는터라 존재감이 없는 파트로 전락할 가능성이 높다. 오히려 음함수와 매개변수로 나타낸 함수 자체를 기하에서 많이 다루기 때문에 이를 미적분에서 문제가 어렵게 출제되기는 힘들다. 주로 27번 준킬러로 나왔던 이차곡선에 음함수의 미분을 엮어서 출제하는 경우도 더이상 없을 것이다.

• 결국 남은 가능성은 음함수의 미분법을 이용한 순간변화율 문제밖에 없는데, 과거 7차 교육과정 당시 음함수의 미분법을 이용한 순간변화율 문제가 다소 거칠게 출제된 경우가 종종 있었다. 음함수의 미분법을 물어볼 만한 게 이것 외에는 사실상 없어진 현재로써는 음함수의 미분법을 이용한 순간변화율 문제가 킬러 문제로 다시 군림할 가능성이 높다.

• 그리고 평면에서의 속도, 가속도, 거리에 대해서도 말이 많은데, 그 이유는 2009 교육과정에서는 평면운동을 벡터를 이용해서 설명을 했었기 때문이다. 직선운동에서는 방향이 + 또는 - 로 둘 중에 하나이기 때문에 벡터의 도입이 필요가 없었으나, 평면에서는 방향이 중구난방이므로 반드시 벡터를 도입하여, 평면벡터의 x성분과 y성분을 t에 관한 매개변수 함수로써 설명해야한다. 그러나 2015 개정 교육과정에서는 벡터를 도입하지 않고(즉 2007 개정 교육과정 이전의 방식으로) 설명하겠다는 것이다.

• 원래 6차 교육과정까지는 '기하'와 '초월함수 미적분' 내용은 본래 수학II라는 한 교과서에 서술되어있던 내용들이다. 그런데 교과서를 찢어내는 바람에 '기하'에 초월함수 미적분 내용이 들어가버렸고, 이것이 어울리지 않아서인지 빠진 것으로 보인다. 차라리 교과서를 다시 통합하면 모를까, 무리하게 교과서를 찢어내는 바람에 (왜 잃어야 하는지조차 의문인) 명분을 잃게 되고 이 내용들의 연계 또한 어이 없게 해제된 것이다.

5. 과목별 이야깃거리

5.1. 수학

• 정식 교과 명칭은 2007 개정 교육과정 때처럼 그냥 수학이지만 시중 대부분의 참고서는 분량 상의 문제로 '수학(상)/(하)'로 나누고 있다. 하지만 1, 2학기로 나눴을 뿐 엄연히 이 과목의 명칭은 '수학' 단독이다. 즉, 교직자가 과목을 둘로 나누어 '상'과 '하'라는 용어로 부르는 일은 권장되지 않는다.[45] 줄여서 수상, 수하라고 부르기도 한다.
• 이중근호는 지난 교육과정에 빠진 뒤로 다시 복귀되지 않았다. 유리식과 무리식도 지난 교육과정에서 대수학 단원을 지워버리는 바람에 돌아갈 데도 없어 분리되지 않고 여전히 유리함수, 무리함수 하위 파트로 남아있게 되었다.
• 공통 수학에서 집합을 7차 교육과정처럼 다시 첫 단원으로 환원하고, 중학교 수학에도 포함시켜 이항연산, 항등원, 역원, 실수의 개론을 포함해야 한다며 수학전문기관단체가 반발했으나 무시당한 것으로 보인다. 이렇게 '집합' 단원이 뒤로 여전히 밀려있는 이유는 '집합' 단원과 '함수' 단원을 붙이기 위한 일환이었고, 함수 하위 단원에 유리함수와 무리함수를 따로 빼기엔 좀 그래서 이러한 단원 배치가 일어난 것이다. 그런데 사실 '집합'을 1단원에, '함수'를 2단원에 배치시킬 수 있다. 왜냐하면 기초적인 다항식 관련 개념이나 좌표 등은 이미 중학교 때 다뤘기 때문에 '다항식과 나머지 정리' 앞에 다뤄도 전혀 상관이 없으며, 유리함수와 무리함수는 따로 빼거나 함수의 극한 단원에 통합시켜도 전혀 문제가 없기 때문.[46]
• 공통 수학의 '증명' 파트는 사실 증명을 직접적으로 다루는 게 아니라 '증명된 정리'를 다루는 것이다. 증명을 해나가는 과정을 다루지 않으므로 혼동하지 말 것. 아니나 다를까 원래 저 '증명'이라고 소개하는 파트는 본래 '수와 연산'인즉 '대수학' 파트에서 다루던 내용들이다. 원래 이차부등식 후반 파트에 있었다. 명제는 수리논리학 파트이다. 여긴 증명용으로 뽑아 소개하는 것이므로 따로 논리학 책을 뒤져보지 않아도 된다. 거기서 정의하는 명제와 벤 다이어그램이 수학과 상당히 다르기도 하다.

5.2. 수학 Ⅰ

• 수학Ⅰ은 80년대 고1 수학에 있던 내용이다.[47] 그렇게까지 먼 옛날로 가지 않아도 2016 수능 세대까지만 해도 ' 삼각함수'는 고1 수학 맨 마지막에서 두 번째 단원이었고, ' 수열'과 ' 지수와 로그'(함수 제외) 역시 2017 수능 ~ 2020 수능 세대까지 고1 수학 맨 뒷 단원에 있었다. 그래서인지 일부 고등학교에서는 1학년 1학기 때 고1 수학을 한 뒤 2학기 때 이 과목을 나가기도 한다. 그렇게 되면 고1 수학 분량이 6단원에서 9단원으로 예전처럼 늘어난다.
• '직전 교육과정'과 비교하면 '나형(인문계)' 기준으로 삼각함수와 지수,로그 함수가 들어와서 학업 부담이 늘었다고 하나, 어디까지나 직전 교육과정이랑만 비교했을 때 그런 것이다. 그 이전에는 삼각함수는 30년 넘게 고1 때 배웠고, 지수함수와 로그함수 역시 몇 십년 넘게 고2 때 문이과 공통으로 배우던 내용이므로, 그 이전에 비하면 오히려 학업 부담이 줄어들었거나 유지된 것이나 다름없다. 그러니 구성상의 논제를 마치 수준적인 순서로 일치시키면 안된다. 예컨대 '벡터의 정의', '이차곡선'도 당장 고1 과정으로 끌어내려도 문제가 없는 수준이다.
• 교과가 불필요하게 분리된 감이 크다고 볼 수 있다. 이 교과는 ‘지수함수와 로그함수’, ‘삼각함수’, ‘수열’ 총 3개 단원으로 구성되어 있는데, 삼각함수 단원 이후 갑자기 수열이 도입되기 때문에 굉장히 매끄럽지 못한 구성을 가지고 있다. 이전 2009 개정 교육과정 수학 II 가 구성상 문제를 가지고 있어 그 구성상의 문제를 해결하기 위함, 혹은 문과 학생에게 초월함수의 기초를 가르치기 위함이라고 근거를 들어도 굳이 왜 새로운 교과 구성으로 재탄생시켰는지에 대한 의문은 명쾌하게 해소되지 않는다. 아무래도 2015 개정 교육과정 수학과가 정치적 피해를 매우 많이 입은 것으로 보아서, 이전 교육과정까지 최대 4개 단원으로 구성되었던 각 교과의 대단원 수를 억지로 3개 단원으로 감축해서 교과 수를 늘려 학습량이 더 많아보이도록 착시현상을 주기 위한 행위로도 보인다.
• 삼각함수를 일부러 떼어서 다른 교과로 끌어와 굳이 불필요한 교과까지 하나 더 만들었으면서 정작 시컨트, 코시컨트, 코탄젠트의 정의와 삼각함수의 덧셈정리는 또 미적분 II 를 계승했다고 봐도 무방한 교과인 미적분에 그대로 남아있다. 이런 어이없는 구성 때문에 수학 I 에서는 코탄젠트를 1/탄젠트로 굳이 풀어쓴다던가, 기하에서는 제2코사인법칙은 가능한데[48] 덧셈정리를 활용한 문제는 출제불가능해지는 어이없는 일이 일어났고, 멀쩡한 기출 문제를 삼각함수의 역수 정의 그 하나를 교과에서 언급해주지 않아 교과과정에 알맞게 기출문제를 이용하려면 멀쩡한 문제를 삭제, 변형해서 풀어야하는 등 번거로운 일들이 일어나고 있다.

5.3. 수학 Ⅱ

• 수학 Ⅱ 는 Ⅱ라서 왠지 수준이 더 높을 것으로 보이지만, 2015 개정 교육과정 해설서에 따르면 2015 개정 교육과정 수학Ⅱ는 고1 수학을 이수한 학생들이 배우는 과목이며, 수학Ⅰ의 이수는 불필요하다. 즉, 2, 5차 교육과정 때처럼 Ⅱ과정이 Ⅰ과정의 다음 단계가 아니라는 것이다.[49][50] 그래서인지 교과 학습 수준은 수학Ⅰ과 비슷하며 지금의 수학Ⅱ는 수학Ⅰ을 안 하고 넘어와도 상관 없게끔 구성해 놓았을 정도로 수학Ⅰ과의 연계와 접점이 없다.[51][52] 수학Ⅰ에서 다루는 '수열'의 경우, 과거 미적분Ⅰ에서 배우던 '수열의 극한'(수열의 후속 단원)이 미적분으로 올라갔기 때문이다.
• 개정 교육과정 첫 해 당시 일부 자연계 지망 자율형 사립고등학교에서는 커리큘럼의 효율성을 도모하고자 ' 수학Ⅱ+ 미적분'으로 병렬식 병합 구조로 진도를 빼는 경우가 흔하다. 물론 이래놓고 내신 시험지의 명칭은 '수학Ⅱ'하에 치러진다. 이러한 이유는 이과반이 '수학Ⅱ→미적분'식의 순차적으로 진도를 빼기엔 중복되는 내용이 굉장히 많아 진도 효율성이 현격히 떨어지기 때문. 이는 직전 2009 개정 교육과정 때 ' 미적분Ⅰ+ 미적분Ⅱ(3, 4단원)'으로 나갔던 학교[53]의 경우로 보았을 때 흔치 않은 일은 아닌 듯 하다. 참고로 2007 개정 교육과정 때는 정규 교육 방식이었다. 당시엔 지금처럼 '공통 미적분', '이과 추가 미적분'의 형태가 아닌 '문과용 미적분', '이과용 미적분'[54] 커리큘럼으로 분리됐었다.

5.4. 미적분

• 기하는 '평면 벡터' 한 단원을 소홀히 한다는 게 문제점이지만, 미적분은 아예 전 단원을 익히지 않으면 공대 가서 재앙을 맛본다.[55]이공계열 학과 수학의 기초가 되는 과목이다. 따라서 미적분을 소홀히 공부하거나 아예 하지 않으면 이공계열 학과 생활에 막대한 지장을 초래할 것이다.][56]경제·경영 계열 학과 수학의 기초가 되는 과목이다.]
• 한국과학기술한림원에서 조사한 바에 따르면 '미적분'은 대학 과정과 90% 이상의 연계율을 보였고, ' 기하'는 30% 정도의 연계율을 보였다고 주장한다.( 연구 보고서 바로가기) 2021~2026년 수능 세대라면, 기하를 학교 수업 시간에 열심히 듣고 미적분을 수험 과목으로 선택하는 걸 추천한다.[57][58][59]

• 미적분 과목의 경우 시중 참고서 책 두께에 비하여 사실 실질적인 개념 학습량은 기하보다 많지 않다. '기하'는 아예 새로운 내용을 익혀야 하는 반면에, '미적분'은 이전의 '수학Ⅱ'에서 내용물과 대상만 바뀌었을 뿐 구조적으로는 거의 흡사하다. 1단원은 극한의 큰 틀만 알면, 대상물이 함수에서 수열로 바뀌었을 뿐이다. 2, 3단원도 함수의 폭이 다항함수에서 초월함수나 몫다항함수, 곱다항함수 등으로 확장되었을 뿐, 미분과 적분의 개념을 적용하는 건 똑같다. 단지 수능 기출 문제집 기준으로는 개발된 문항이 많아 수능 대비생 입장으로는 기출 문제 학습량이 다소 방대하다고 느껴질 뿐이다.[60]
• 2015 개정 교육과정 체제로 들어서면서 각 교과의 대단원 수가 3개 단원으로 극심하게 축소되었으나 비교적 분량이 정상적인 이 교과에 한해 일부 출판사가 4개 대단원으로 분류해놓았다.[61] 3개 단원으로 축소되면서 기존에 미분법 단원과 분리되어 있던 지수, 로그, 삼각함수의 미분, 덧셈정리, 자연로그 등이 이전의 미적분2에서 내용 가감 없이 미분법으로 모두 흡수되어버리면서 미분법 단원이 실질적으로 2개 단원으로 취급될 정도로 커졌기 때문. 안 그래도 가장 내용이 많은 과목인데 그 내용이 미분법에 몰려있다..

5.5. 확률과 통계

• 2015 개정 교육과정부터 이항정리 파트에서 시그마를 사용한 표기가 사라졌는데,[62] 정작 기출문제 등에선 시그마를 사용한 이항정리 문제가 나오고 수열의 합을 이용하는 공식을 통한 풀이법이 존재하므로 교과서엔 다루지 않더라도 수열에 대한 복습은 되어 있어야한다. 어차피 수능 응시생이라면 수학I/II를 모두 배울 테니 큰 지장은 없을 것이다.
• 조건부확률 파트에서 확률의 곱셈정리와 확률의 곱셈정리와 조건부확률이라는 파트가 등장하여 공식[63]이 등장하는데 일부 교과서나 참고서 등에 간접적으로 등장한다.
• 확률과 통계는 과목 이름만 들었을 땐 단순히 '확률'과 '통계'만 배우는 것 같지만, 사실 이산수학을 비롯한 여러 수학적 센스들을 배우는 것과 다름 없다. 특히 '순열과 조합'이라는 수학적 사고의 근원이 되는 중요한 단원이다. 그만큼 정통 수학적 사고력과 상당히 밀접한 과목이라고 할 수 있다.

5.6. 기하

• 기하는 '공간 벡터', '음함수/매개변수함수의 미분', '평면 운동' 등을 들어내서 그런지 별개 과목 중 확률과 통계(2015)와 분량이 비슷해졌다. 2019년 3월이 돼서야 시중 참고서가 속속 등장했다. SSEN 쎈 '기하'(208p), 신 수학의 바이블 '기하'(328p) 참조. 그러나 가격은 각각 13,000원, 16,000원으로 인하되지 않았다. 참고로 개념원리는 2021 수능 출제 과목에서 빠졌다는 이유로 발간 계획이 없었다가 2022 수능에 재포함되어 6월경에 내놓겠다고 하였으며, 수학의 정석도 2019년 4월에야 책을 발간했다. 하지만 EBS 수학의 왕도 측은 발간 계획이 없다고 밝혔다. #
• 퍼스널 컬러가 존재하는 메이저 참고서들 한정으로, '기하' 과목은 공교롭게도 모두 갈색으로 되어있다. (개념원리, 개념쎈, 쎈, 수학의 바이블)

5.7. 경제 수학

• 경제 수학은 수능 출제 과목에서 제외되었다. 또한 이 교과서들은 융복합적 사고를 통한 교재집필이 요구되나 집필 난이도 및 판매량 추이의 예측 불가능성에 의거하여 좋은 교재가 출판되지 않을 것이라 가정해볼 수 있었다. 하지만 정형화된 흐름에 따라 교재가 개발되나 외국에 참고할만한 교재도 마땅하지 않고 또한 기술상 문제풀이와 교과성에 상이점도 존재하기 때문에 교재가 등장할 가능성은 매우 낮다고 판단할 수 있다.
• '경제수학' 이라는 교과가 처음 생기다 보니까 오타가 꽤 있는 편이고, 문맥이 어색하거나, 모호한 표현[64]이 꽤 많아 학교 수업을 잘 들을 필요가 있다.
• 2020년 현재, 경제수학의 출판사는 광주광역시교육청에서 발간한 도서 뿐이다.

5.8. 실용 수학

• 실용 수학도 수능 출제 과목에서 제외되었다. 진로 선택 과목이지만 교육부 총론에 의하면 고1 수학인 수학보다 먼저 배우는 '마이스터 고등학교', '특성화 고등학교' 전용 과정으로 명시하였다. 연구 보고서 참조. 너무 하다 싶을 정도로 중학교 1학년 통계 파트 복붙으로 도배하거나 교과서 수준이 너무 낮고 급하게 짜여져 있어보이는 이유가 이것이다. 내용들이 웬만해선 굳이 말 안 해줘도 당연히 알 만한 내용을 길게 늘려 쓴 느낌이 든다.
• 일반적으로 건축학과/ 건축공학과나 환경공학과에 진학을 희망하는 학생들이 선택해서 배울 가능성이 있다. 이외에 산업디자인, 산업공학과, 일부 디자인학과에서도 요구할 것으로 예상했으나, 막상 교과서를 까고 보니 중학교, 초등학교 수준의 교과서다. 한 마디로 그림책 수준.[65][66] 진로선택과목임에도 불구하고 진로에 대한 전문적인 내용은 눈 씻고도 찾아볼 수 없으며, 거의 생활 도구로써의 수학만을 다루고 있거나 칠교놀이를 하고 있다. 닮음이나 쪽매맞춤 파트도 전문적인 내용은 거의 전무하고 '생활 속의 닮음을 이용한 건축물이 무엇이 있을까?'하는 내용으로 사례를 나열하는 정도이다.

5.9. 인공지능 수학

• 인공지능 수학은 수능에 직접 출제되지 않는 교과인 만큼, 일반계 고등학교에서는 개설되는 경우가 많지 않을 것으로 보이며[67], 오히려 IT 관련 분야의 특성화고등학교에서 개설될 가능성이 높다고 예상된다.
• 부산시교육청 기사 언급에 따르면 행렬, 벡터, 베이즈 정리에 관한 내용이 들어갈 것으로 예측하고 있다. 그러나 이는 고급 수학Ⅰ와 고급 수학Ⅱ(전문 교과Ⅰ)에도 들어 있는 내용이다(물론 일반고는커녕 과학고에서도 불문율 때문에 거의 개설하지 않는 교과이다). 기존에 있던 교과서들을 적절히 활용하여 해결할 수 있는 문제를 갖다가 또 문어발식으로 비슷한 내용이 다수 들어가 있는 새 교과서를 탄생시키는 것에 대해 이견이 있을 수 있다. 이러한 관계는 실용 수학, 심화 수학에도 보이는 상황이다. 그밖에 '경제' 교과와 '사회적경제' 교과가 그러하고, '통합과학'과 '융합과학'의 관계가 그러하다.
• 현재로서 전면 개정을 할 수가 없기 때문에 신설에 의해 생기는 '과목 간 중첩 현상'은 어쩔 수 없는 현상으로 보이기는 하다. 이에 따라 이 '인공지능 수학' 교과에 해당하는 내용 중 일부가 차기 2022 개정 교육과정에서는 다시 하급 과정으로 통폐합·귀속될 수도 있다(특히 행렬, 벡터)
• 행렬이 일단 복귀가 되었으나, 역시나 수학적 특징과 연산은 다루지 않는다고 선을 그어놓았다. 수학 영역에서 수학적 특징과 연산을 다루지 않는다는 것은 결국 ‘이런게 있다’ 며 한 번 보여주고 끝내는 것이다. 즉 내용 복귀 의의 자체가 없다고 봐도 무방하고 이런식으로 할 것이면 차라리 내용을 복귀시키지 않는게 낫다. 수학영역과 과학탐구영역에서 수리•정량적 계산을 다루지 않고 정성적으로만 다루는것은 아무런 의미가 없기 때문이다.

5.10. 통합 수학

• 수능에 직접 출제되지 않는 교과로 고등학교 과정을 간단히 복습하는 과목.
• 고1때 배우는 수학과는 엄연히 다른 과목이다.

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