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1. 개요
특수함수의 하나로, 각각 [math(\mathrm{Shi}(x))], [math(\mathrm{Chi}(x))]로 표기하며, 정의는 다음과 같다.[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{Shi}(x)&\equiv \int_{0}^{x}\frac{\sinh{t}}{t}\,\mathrm{d}t \\ \mathrm{Chi}(x) &\equiv \gamma+\ln x+\int_{0}^{x}\frac{\cosh{t}-1}{t}\,\mathrm{d}t \end{aligned})]
유독 쌍곡 코사인 적분의 정의에 오일러-마스케로니 상수 [math(gamma)]와 자연로그가 붙어 있는데, [math(\dfrac{\cosh t}{t})]는 0부터 적분할 수 없어서 피적분함수에서 [math(t^{-1})]를 빼고 그 부정적분인 로그를 더한 뒤, [math(\mathrm{Shi}(x))]와의 차이가 0으로 수렴하도록 오일러-마스케로니 상수를 더하는 것이다.[1]
[math(x>0)] 구간에서 각 함수의 그래프는 아래와 같다.
친척인 삼각 적분 함수와 마찬가지로 [math(\mathrm{sinh})], [math(\mathrm{cosh})]만 적분이 정의되고 그 외의 쌍곡선 함수에서는 정의되지 않는다. 이에 [math({\mathrm{Shi}(x)}/{\mathrm{Chi}(x)})]로 쌍곡 탄젠트 적분 함수를 만들 수 없는 것도 같다.
둘 다 대칭함수이다. [math(\mathrm{Shi}(x))]는 홀함수, 실수부를 취한 [math(\Re(\mathrm{Chi}(x)))]는 짝함수이다.[2]