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1. 개요
prime-counting function / 素 數 計 量 函 數' 소수 계량 함수' 줄여서 그냥 '소수 함수'라고 부르기도 한다. '소수 세기 함수'라는 표현을 사용하기도 한다.
일반적으로 prime number의 머릿글자 p에 해당하는 그리스 문자 파이[math((\pi))]를 써서 [math(\pi(x))]로 표시한다. 다만, 원주율과는 무관하다.
| [math(\pi(x))]는 [math(x)]보다 작거나 같은 소수의 개수로 정의된다. |
달리 표현하면 다음과 같다.
[math(\displaystyle \pi(x)=\sum_{n=1}^{x}\bold{1}_{\mathbb P}(n)=\int_{1}^{x}\bold{1}_{\mathbb P}(n)\mathrm{d}\lfloor n\rfloor)]
위 식에서 [math(\bold{1}_{\mathbb P}(n))]는 소수 판별 함수, [math(\lfloor n\rfloor)]는 최대 정수 함수이다.
[math(2)]보다 작거나 같은 소수는 [math(2)] 하나뿐이므로 [math(\pi(2)=1)]이고, [math(3)]보다 작거나 같은 소수는 [math(2)], [math(3)]으로 2개이므로 [math(\pi(3)=2)]이다.
소수의 특성상 일반항을 대수적으로 전개할 수 없기 때문에 초월함수에 속한다. 다만 다른 초월함수와는 달리 연속함수가 아니므로[1] 미분 불가능하나, 증가함수이므로 일단 적분은 가능하다.
1.1. 변형
쌍둥이 소수에 등장하는 하디-리틀우드 추측에서는 이를 약간 변형한 함수를 사용했는데, [math(x)] 보다 '작은' 소수의 개수이다.| [math(\displaystyle \pi_{2}(x))]는 [math(x)]보다 작은 소수의 개수 |
만약 [math(x)]가 합성수라면 [math(\pi(x)=\pi_2(x))]이며, [math(x)]가 소수라면 [math(\pi(x)-1=\pi_2(x))]가 된다.
따라서 다음 등식이 성립한다.
| [math(\displaystyle \pi_2(x)=\sum_{n=1}^{x-1} \mathbf{1}_\mathbb{P} (n)=\pi(x)-\mathbf{1}_\mathbb{P} (x))] |
2. 소수 정리
이 소수 계량 함수가 [math(\displaystyle \frac{x}{\ln x})]에 근사한다는 것이 소수 정리이다.참고로, 이후에는 [math(\displaystyle \int_{2}^{x}\frac{1}{\ln t}\mathrm{d}t)]라는 근사식[2]으로 갈음되었다. 이 둘은 동치라는 것이 증명되었고, 로그 적분 함수가 실제로 좀 더 근사값에 가까우며 다루기 쉽다는 이유로 대체되었다.
이 소수 정리를 파고 들면 정수론의 최종 보스인 리만 가설에 도달하게 된다.