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정수론 Number Theory |
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1. 개요
Dirichlet's theorem어떤 an+b꼴(단, a와 b는 서로소인 정수)의 등차수열에서, 그 수열 안에 존재하는 소수의 개수는 무한하다는 해석적 정수론의 정리이다. 당연하겠지만 a,b가 서로소가 아니면 an+b는 gcd(a,b)를 약수로 가지기 때문에 의미없다.
예로 4n+1꼴의 소수와 4n+3꼴의 소수는 모두 무한히 있다는 사실을 알 수 있다.[1]
이를 조금 더 변형하면 다음과 같은 따름정리를 얻을 수 있다. 해당 따름정리는 아래 영상에서 소개된다.
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[math(x)]이하의 소수 [math(p)]에 대해, 임의의 자연수 [math(N)]과 서로소인 [math(r)]에 대하여 다음이 성립한다. [math(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{\lVert\{p\equiv r\pmod{N}|p \leq x\}\rVert}{\pi(x)}=\frac{\pi(x; N, r)}{\pi(x)} = \frac{1}{\varphi(N)})] 단, [math(\varphi(x))]는 [math(x)] 이하의 자연수 중에서 [math(x)]와 서로소인 자연수의 개수를 나타내는 오일러 피 함수 [math(\pi(x))]는 [math(x)] 이하의 소수의 개수를 나타내는 소수 계량 함수이다. |
즉, 임의의 자연수 a를 잡아서 그와 서로소인 임의의 서로 다른 자연수 b, c, d 등등을 잡으면, 소수가 b, c, d와 법 a에 대해 합동일 확률의 극한은 같다. 예를 들어서 소수의 1의 자리수가 1, 3, 7, 9일 확률은 [math(\varphi(10)=4)]이므로 25%([math(=\displaystyle \frac{1}{4})])로 수렴하며, 아래 두자리가 01, 03, 07, 09, … , 91, 93, 97, 99일 확률은 [math(\varphi(100)=40)]이므로 2.5%([math(=\displaystyle \frac{1}{40})])에 수렴하는 것.
2. 증명의 대략적 아이디어
디리클레 정리의 증명에는 리만 제타 함수에서 따온 오일러 곱(Euler product)의 아이디어가 중요하게 사용된다. 예를 들어 4n+1꼴 소수와 4n+3 꼴 소수의 개수가 모두 무한히 많다는 것을 증명하기 위해서는, 다음과 같은 오일러 곱 둘을 생각할 수 있다.
[math( f_1(s)=\displaystyle 1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{5^s} + \frac{1}{7^s} + \cdots = \prod_{p \equiv 1} \left(1 - \frac{1}{p^s} \right)^{-1} \prod_{q \equiv 3} \left(1 - \frac{1}{q^s} \right)^{-1} )]
[math( f_2(s)=\displaystyle 1 - \frac{1}{3^s} + \frac{1}{5^s} - \frac{1}{7^s} +\cdots= \prod_{p \equiv 1} \left(1 - \frac{1}{p^s} \right)^{-1} \prod_{q \equiv 3} \left(1 + \frac{1}{q^s} \right)^{-1} )]
([math(p,q)]는 모두 소수, 하단 곱에서 합동식 기호는 법 4에 대해서)[math( f_2(s)=\displaystyle 1 - \frac{1}{3^s} + \frac{1}{5^s} - \frac{1}{7^s} +\cdots= \prod_{p \equiv 1} \left(1 - \frac{1}{p^s} \right)^{-1} \prod_{q \equiv 3} \left(1 + \frac{1}{q^s} \right)^{-1} )]
만약 4n+3꼴 소수들인 q의 개수가 유한하다고 하면, 두 함수의 비율 [math(f_1/f_2)]는 유한개의 0이 아닌 수들의 곱으로 이루어져 있을 것이다. 한편 [math(s \rightarrow 1)]의 극한을 생각하면, [math(f_1(1))]은 발산하는데 [math(f_2(1))]은 교대수렴한다. 이는 [math(f_1(1)/f_2(1))]이 0이 아닌 수가 된다는 것과 모순이므로 가정이 잘못되었고, 따라서 4n+3꼴 소수는 무한히 있어야 한다.
4n+1꼴 소수에 대해서는 대신 곱 [math(f_1 f_2)]을 생각할 수 있고, 만약 p의 개수가 유한하다 하면 이 곱이 [math(s \rightarrow 1)]일 때 0이 아닌 유한한 수로 수렴함을 보일 수 있는데, q에 대한 곱 [math(\prod_{q} (1- q^{2s})^{-1})]이 [math(s=1)]에서 수렴하기 때문이다. 여기서 모순을 보이려면 [math(f_2(1))]의 값이 실제로 0이 아닌 것을 계산해서 보여야 하는 과정이 추가되긴 한다.
위에 예로 든 [math(f_1, f_2)]는 모두 디리클레 지표(Dirichlet character)에 대해 정의되는 디리클레 L-함수(Dirichlet L-function)
[math( \displaystyle L(s, \chi) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\chi(n)}{n^s} = \prod_{p} \left( 1 - \frac{\chi(p)}{p^s} \right)^{-1} )]
의 일종이다. 여기서 디리클레 지표 [math(\chi)]는 주어진 법 [math(a)]에 대해
[math( \displaystyle \chi(mn) = \chi(m) \chi(n), \chi(n+ak)=\chi(n), \chi(n) = 0 \text{ if } \gcd(n,a)>1)]
을 만족하는 함수 [math(\chi : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C})]이다.위의 경우에선 법은 [math(a=4)]였고, [math(f_1, f_2)]는 법 4에 대해 가능한 모든 L-함수들이었다. 일반적인 법 [math(a)]에 대해서 디리클레 지표는 정확히 기약잉여계 개수만큼 존재하고, 어떤 기약잉여계의 b에 대해서도 이들 지표의 L-함수들을 적절히 지수를 취해서 곱하면 (an+b꼴 소수만으로 이루어진 곱)*(수렴하는 곱) 꼴을 얻어낼 수 있다는 걸 보일 수 있다. 즉 여기까지 왔으면 "[math(L(1,\chi))]가 한 경우[2]만 제외하면 모두 0이 아닌 값으로 수렴한다"는 사실만 보여도 디리클레 정리를 증명할 수 있다. 물론 저게 가장 어려운 핵심 부분이지만...
[1]
학부 수준에서는 이를 각각 르장드르 기호 [math((a/p))]를 이용하여 증명하기도 한다.
[2]
(a,n)=1이기만 하면 [math(\chi(n)=1)]. 이런 경우를 자명한 지표(trivial character)라고 한다