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특수함수 Special Functions |
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[math(^\ast)] 특수함수가 아니라 특정 조건을 만족시키는 다항함수이지만, 편의상 이곳에 기술했다. | |
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1. 개요
logarithmic integral function대수적분함수( 對 數 積 分 函 數)[1]
특수함수의 하나로, 다음과 같이 정의되는 함수이다.
[math({\rm{li}}(x)=\begin{cases}\displaystyle\int_{0}^{x} \frac{{\rm d}t}{\ln{t}} & \quad (x<1) \\\displaystyle \lim_{c \to 0^+} \left(\int_{0}^{1-c} \frac{{\rm d}t}{\ln{t}}+\int_{1+c}^{x} \frac{{\rm d}t}{\ln{t}} \right ) &\quad (x>1) \end{cases} )]
로그의 정의에 따라 [math(\ln 1=0)]이기 때문에 [math(x=1)]일 때에는 값이 정의되지 않는다. 이 함수의 그래프는 아래와 같다.
이 함수는 소수 계량 함수와 관계가 깊으며, 물리학과 화학에서도 사용한다. 수론에서 주로 다루며 이것이 소수 정리이다. 따라서 정수론(특히 해석적 정수론)을 공부한다면 반드시 익혀둬야 하는 함수다.[2] 이 소수 정리를 연구하다 보면 최종적으로 마주치는 것이 다름 아닌 리만 가설이다. 이외에도 스큐스 수를 계산하는 데에 쓰이는 함수이기도 하다. 사실 스큐스 수는 위의 소수 정리에서 나온 부산물이다.
보통은 [math(1)]을 기점으로 쪼개서 두 적분의 합으로 표현한다. 한편, 적분 범위를 [math([0,\,x])]가 아닌 [math([2,\,x])]로 규정한 경우도 있다.[3] 이 경우, 대문자 [math(\mathrm{L})]을 써서 [math(\mathrm{Li}(x)\equiv\mathrm{li}(x)-\mathrm{li}(2))]로 정의한다.[4] 이럴 경우 특이점인 [math(1)]이 적분 구간에 포함되지 않는다. [math([0,\,x])]의 방식은 주로 미국식 표현 방식이고
[math({\rm{li}}(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} \frac{{\rm d}t}{\ln{t}} )]
와 같이 나타내고, [math([2,\,x])]는 주로 유럽식이고
[math({\rm{Li}}(x)=\displaystyle\int_{2}^{x} \frac{{\rm d}t}{\ln{t}} )]
와 같이 나타낸다. 또한, [math(x>1)] 범위에서 불완전 감마 함수를 이용해
[math({\rm li}(x)\equiv-\Gamma(0,\,-\ln x)-i\pi)]
로 표기할 수 있다.
한편, [math(\operatorname{Li}(x))]는 다음과 같은 급수 전개식을 갖는다. 이 식은 독일의 수학자 요한 폰 졸트너가 1809년에 제시했다.[출처] 아래의 식에서 [math(\gamma)]는 오일러-마스케로니 상수이다.
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
\operatorname{Li}(x) = \gamma +\ln \ln x +\sum_{r=1}^\infty \frac{\ln^rx}{r\cdot r!} \end{aligned} )] |
1.1. 라마누잔-졸트너 상수
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수학
상수 Mathematical Constants |
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[math(^\ast)] 초월수임이 증명됨. | ||||
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[math(G)] (카탈랑 상수) |
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[math({rm Si}(pi))] (윌브레이엄-기브스 상수) |
[math(gamma)] (오일러-마스케로니 상수) |
[math(gamma_n)] (스틸체스 상수) |
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[math(Omega)] (오메가 상수)[math(^\ast)] |
[math(2^{sqrt{2}})] (겔폰트-슈나이더 상수)[math(^\ast)] |
[math(C_n,)] (챔퍼나운 상수)[math(^\ast)] |
[math(A,)] (글레이셔-킨켈린 상수) |
[math(A_k,)] (벤더스키-아담칙 상수) |
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[math(-e, {rm Ei}(-1))] (곰페르츠 상수) |
[math(mu)] (라마누잔-졸트너 상수) |
[math(B_{2})], [math(B_{4})] (브룬 상수) |
[math(rho)] (플라스틱 상수) |
[math(delta)], [math(alpha)] (파이겐바움 상수) |
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Ramanujan-Soldner constant
위 그래프에서 보듯 [math(x>1)] 범위에서 [math(x)]절편이 하나 존재하는데, 발견자인 요한 폰 졸트너와 이를 해석적으로 계산해낸 스리니바사 라마누잔의 이름을 따와서 라마누잔-졸트너 상수라고 한다. 이 상수는 그리스 문자 [math(mu)]로 표기하며, 소수로 표현하면 약 [math(1.451369\cdots)] 정도이다.
2. 지수 적분 함수와의 관계
지수 적분 함수와 관련성이 크다. 지수 적분 함수를 이용한 다음과 같은 항등식이 존재한다.[math(\begin{aligned}
\mathrm{li}(x)&=(\mathrm{Ei}\circ\ln)(x) \\
&=\mathrm{Ei}(\ln(x))
\end{aligned} )]
이것의 증명은 아래와 같다. 적분
[math(\displaystyle \mathrm{li}(x)=\int_0^x\frac1{\ln t}\,\mathrm{d}t )]
의 분자, 분모에 [math(t)]를 곱하여
[math(\displaystyle \mathrm{li}(x)=\int_0^x\frac t{t\ln t}\,\mathrm{d}t )]
꼴로 만들어 [math(\ln{t}\equiv-k)]로 치환하면
[math(\displaystyle \dfrac{\mathrm{d}t}t=-\mathrm{d}k\qquad\qquad\lim_{t\to0^+}\ln t=-\infty )]
가 성립함에 따라
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\mathrm{li}(x) &= \int_0^x \frac t{t\ln t} \,\mathrm{d}t \\
&= \int_{\infty}^{-\ln x} \frac{e^{-k}}{-k}(-\mathrm{d}k) \\
&= -\int_{-\ln x}^{\infty} \frac{e^{-k}}k \,\mathrm{d}k
\end{aligned} )]
이 적분은 지수 적분 함수와 자연로그의 합성함수 꼴이므로
[math(\displaystyle \mathrm{li}(x)=\mathrm{Ei}(\ln x) )]
로 쓸 수 있다.
3. 관련 문서
[1]
대수(對數)는 로그를 의미한다.
[2]
옛날(
가우스와
르장드르가 살아 있었을 시절)에는 [math(\dfrac x{\ln x})]를 썼다.
[3]
사실, [math(2)]보다는 [math(x)]절편인 [math(\mu)]가 더 걸맞기는 하지만, 이 수는 다음 문단에서 볼 수 있다시피
정수가 아닌지라...
[4]
표기가 비슷한
폴리로그함수와 혼동에 주의.
[출처]
Johann Georg von Soldner, 1809,
treatise Théorie et tables d'une nouvelle fonction transcendante (영어 번역: Theory and tables of a new transcendental function)