신호 및 시스템

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1. 개요2. 선형 시불변 시스템(LTI system)3. 푸리에 해석(Fourier analysis)4. Z 변환5. 기타

1. 개요

Signals and Systems

라디오, 텔레비전, 핸드폰 등의 방송 통신 기기는 물론 영상, 음성 등의 신호처리의 기초가 되는 학문. 줄여서 신시라고 부른다.

푸리에 해석(Fourier analysis), 라플라스 변환(Laplace transform), Z 변환(Z-transform) 등을 이용하여 연속시간(continuous-time) 및 이산시간(discrete-time) 신호 및 시스템을 해석, 표현하고 그 특성을 분석하는 법을 배우는 과목. 신호와 시스템의 기본 개념과 그 특성, 시간 영역(time domain) 함수(x(t))의 주파수 영역(frequency domain) 표현(X(f)), 선형 시불변(LTI) 시스템의 시간 및 주파수 영역에서의 표현, 시스템 전달함수(transfer function), 시스템 안정성(stability) 분석, 라플라스 변환, Z 변환 및 그 응용을 다룬다.

전기전자공학과, 컴퓨터공학과에서 주로 디지털 신호처리, 신호 및 시스템라는 이름으로 개설되어 있으며 신호와 시스템이라는 이름으로 개설되기도 한다. 또한 신호 및 시스템은 이후 배우게 되는 디지털신호처리( DSP)의 선수과목이므로 해당 커리큘럼을 잘 따르는 것이 중요하다.

센서, 제어, 통신과도 연관이 있다.

'아날로그' 신호를 '디지털'로 변환해서 받아들이고 분석하는 데 의의가 있으므로 현대에는 인간의 생명 활동으로 인해 발생하는 '생체 신호'를 분석하는 식으로 응용하기도 한다. 즉 의료기기를 이용한 질병의 진단에 필수적이며, 더 나아가서 영상 데이터 분석에도 광범위하게 쓰이고 있다.

2. 선형 시불변 시스템(LTI system)

선형성(linearity)과 시불변성(time-invariance)의 특성을 모두 만족하는 시스템으로, 간단히 LTI(linear and time-invariant) 시스템이라고도 한다.

선형 시스템의 정의는 여타 다른 분야에서 '선형'의 정의와 마찬가지로 여러 인풋 신호들 [math( x_i)]에 대한 시스템의 아웃풋이 [math( y_i)]일 때 이 인풋의 중첩(superposition) 신호인 [math( \displaystyle x(t)=\sum_i c_i x_i(t))] 에 대한 출력이 [math( \displaystyle y(t)=\sum_i c_i y_i(t))]으로 나오는 시스템을 의미한다.

시불변 시스템은 같은 신호에 대하여 언제나 같은 반응을 하는 시스템이다. 즉 시간에 대한 평행이동을 제외하고는 같은 형태인 두 인풋 [math(x(t), x(t-\tau))]에 대하여 아웃풋 역시 각각 [math(y(t), y(t-\tau))]를 만족하는 시스템이다. 좀더 쉽게 설명하면 시불변 특성은 동기화된 시간변위(synchronized time shift)로 이해할 수 있다.

위 두가지 조건에 의하여 다음과 같이 인풋과 아웃풋을 컨볼루션(Convolution, 합성곱)으로 연결할 수 있게 된다.
[math( \displaystyle y(t)=x(t) * h(t) \equiv \int x(\tau)h(t-\tau) d\tau)]

3. 푸리에 해석(Fourier analysis)

시간 영역과 주파수 영역을 넘나들 수 있도록 도와주는 일련의 식과 특성들. 당초 푸리에는 열전도를 설명하기 위한 미분방정식을 해석하기 위해 만든 것이다.~~그땐 전자공학이 없었다~~ 푸리에가 처음 만든 것은 주기신호만을 해석할 수 있는 푸리에 급수(FS: Fourier Series)였으며, 후에 비주기 신호 해석이 가능한 연속시간 푸리에 변환(CTFT: Continuous Time Fourier Transform)을 만들었다. 컴퓨터의 등장 이후 이를 활용하기 위해 샘플링을 통해 이산시간 영역에서 분석이 가능토록 이산시간 푸리에 변환(DTFT: Discrete Time Fourier Transform)과 이산 푸리에 변환(DFT: Discrete Fourier Transform)이 만들어졌다. 현재는 곱셈 연산에 취약한 컴퓨터를 위해 덧셈 연산을 활용토록 만든 고속 푸리에 변환(FFT: Fast Fourier Transform)이 만들어졌다.

우리가 생활에서 볼 수 있는 흔한 푸리에 해석은 오디오나 미디어 플레이어의 시각화 기능 중 하나인 오르락 내리락하는 막대기이다. 2진 데이터를 활용한 푸리에 해석은 우리 삶에서 3G, LTE 등의 모습으로 사용되고 있다.

또한 CTFT의 일반화 버전인 라플라스 변환도 있다.[1]

4. Z 변환

간단히 말해 이산 시간 영역에서 적용이 가능하도록 변형한 라플라스 변환이다. 따라서 대부분의 성질이 라플라스 변환과 유사하다.

5. 기타

다수의 전자공학과 커리큘럼은 신호 및 시스템의 다음 과목으로 디지털신호처리(DSP)를 개설하고 있으며, 여기에서 이산시간 푸리에변환과 이산 푸리에변환 그리고 디지털 필터에 대해 학습하게 된다.

오펜하임(Alan V. Oppenheim)의 '이산시간 신호처리' 교재가 유명하다. 3판 번역본이 절찬리에 판매되고 있다. 원서와 달리 본문 내용과 연습문제 쪽에 오타가 산재해 있으니 유의하자.

[1] [math(s \triangleq \sigma + j \omega)]이고 입력 신호가 [math(x(t))]일 때 [math(x(t)e^{-\sigma t})]의 CTFT라고 생각하면 된다. 참고로 이는 기존에 CTFT가 존재하지 않던 입력 신호에 대해서도 수렴영역(ROC: Region Of Convergence)만 잘 잡아주면 해당 신호를 주파수 영역으로 변환해서 해석하는 것을 가능하게 해준다.