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<colbgcolor=#000><colcolor=#fff> 그리고리 페렐만 Григорий Перельман | Grigori Perelman |
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| 본명 |
그리고리 야코블레비치 페렐만 Григо́рий Я́ковлевич Перельма́н Grigori Yakovlevich Perelman |
| 출생 | 1966년 6월 13일 ([age(1966-06-13)]세) |
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[[소련|]][[틀:국기|]][[틀:국기|]] 러시아 SSR 레닌그라드 |
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| 국적 |
[[소련|]][[틀:국기|]][[틀:국기|]] → [[러시아|]][[틀:국기|]][[틀:국기|]] |
| 직업 | 수학자 |
| 모교 | 상트페테르부르크 국립대학교 (1990년 Ph.D.) |
| 업적 |
서스턴의 기하학화 추측 증명[]해당 증명이
푸앵카레 추측 증명을 함의한다.] 리만 다양체에 대한 영혼 추측 증명 |
| 수상 |
국제수학올림피아드 금메달 (1982) 상트페테르부르크 수학학회 상 (1991)[2] |
[clearfix]
1. 개요
세기의 난제 중 하나이자, 밀레니엄 문제 중 하나인 푸앵카레 추측을 증명하며 세계적인 명성을 얻은 러시아의 수학자. 또한 세기의 난제를 풀어냈음에도 모든 부와 명예를 철저히 거부하고 은둔하는 삶을 선택한 '은둔하는 천재'로 유명한 인물이기도 하다.
2. 생애
2.1. 젊은 시절
1966년 소련 레닌그라드에서 유대계 러시아인 부부의 아들로 태어났는데 아버지 야코프(Яков)는 전기 기술자고 어머니 류보피(Любовь)[3]는 수학교사였다. 6살에 레닌그라드 인근의 일반 학교에 입학, 9학년(한국으로 치면 중학교 3학년) 졸업 후 상트페테르부르크 제239번 고등학교[4]에 입학, 체육 제외 전 과목 1등급으로 졸업했다. 5학년 때부터 국립 수학학원에 다녔는데, 페렐만은 이때부터 수학자가 되기로 결심했다고 한다. 프라우다지 인터뷰에선 이때쯤엔 예수가 물 위를 걷기 위해선 발을 얼마나 빨리 움직여야 하는지 같은 성경속 기적을 수학적으로 계산을 하곤했다고 한다.16살이던 1982년 국제수학올림피아드에서 만점으로 금메달을 수상. 이후 레닌그라드 대학교[5]에 입학했다. 1990년 박사 졸업 이후 상트페테르부르크의 스테클로프 수학연구소에서 근무했고, 소련 수학계의 미래라 불리며 미국의 여러 대학에서 강연을 했다. 1994년 리만 다양체에 대한 유명한 난제인 영혼 추측을 증명하였고, 이 공로로 1996년 유럽 수학회에서 주는 상을 수상했지만 수상식에 참석을 거부했다.[6]
이후 페렐만의 재능을 알아본 스탠퍼드 대학교와 프린스턴 대학교에서 페렐만에게 교수 자리를 제안했으나 거절하고, 이후 계속해서 스테클로프 수학연구소에서 연구직으로 근무하게 된다.[7]
2.2. 푸앵카레 추측 증명
그가 36세 되던 해인 2002년 11월, 인터넷 저널인 arXiv에 논문을 올렸는데, 이 논문이 전 세계 수학계를 뒤집어놨다. 바로 푸앵카레 추측(Poincaré conjecture)을 증명한 것. 그런데 그 당시 수학자들은 처음 이 논문의 제목을 보고 "이게 진짜 푸앵카레 추측이야?"라고 할 정도로 푸앵카레 추측과 동떨어진 제목이었다고 한다.
정확하게 표현하자면, 페렐만은 서스턴의 기하학화 추측을 증명한 것이다. 기하학화 추측(Geometrization conjecture)은 모든 각각의 3차원 다양체를 구면이나 토러스를 따라 잘라서 8가지 기하학적 모양들 중 하나를 가진 조각들로 분할할 수 있다는 추측이다. 이 추측은 푸앵카레 추측을 함의한다. 리처드 해밀턴이 바란 대로 시간이 무한히 흐를 때 일부 구역들에서 곡률이 무한대가 되지 않는다는 것을 입증할 수는 없지만 그런 구역들이 통제된 방식으로 붕괴한다는 것을 보일 수 있고, 그것만으로도 위상수학적 결론들을 충분히 도출할 수 있다고 페렐만은 말했다. 푸앵카레 추측 논문의 내용이 너무나도 함축적이라서 수상을 위해 논문 검토를 하는 사람들이 한 문장을 이해하는 데 며칠이 걸린 적도 있었다고 한다.
푸앵카레 추측은 프랑스의 위대한 물리학자이자 수학자[8]인 앙리 푸앵카레가 제시한 추측으로 밀레니엄 문제 중 하나인데, 그 문제들 중 현재 증명된 문제는 푸앵카레 추측 단 하나뿐이다.
이 푸앵카레 추측을 간단히 정리하면
컴팩트하고 경계가 없는 3차원 다양체의
기본군이 자명하다면 그 다양체는 3차원 구면과 위상동형이다.
이 짧은 문구를 100년 가까이 아무도 완벽하게 증명해내지 못했다. 실제 푸앵카레는 이 추측을 남겨놓은 책의 마지막에 "이 책은 우리를 머나먼 곳으로 데려다 줄 것이다."라고 적었다. 앤드루 와일스가 페르마의 마지막 정리를 증명한 이후로는 수학계 최대의 난제였다. 이 사람에 대해서 궁금하다면 EBS에서 나온 다큐멘터리를 찾아보는 것도 좋지만, 좀 더 수학적인 내용으로는 NHK에서 나온 게 더 세밀하다. 이 방송을 기반으로 만든 책이 "100년의 난제 푸앵카레 추측은 어떻게 풀렸을까?"이라는 책이다.
페렐만이 등장할 때까지 수학자들은 이 추측에 대해서 단 두 가지 가능성을 놓고 갑론을박을 펼쳤는데, 한 가지는 이것의 반례를 찾아 거짓이라는 것을 증명하는 것, 그리고 또 하나는 이것이 참이라는 것을 증명하는 것이었다. 케네스 아펠은 푸앵카레의 추측의 반례를 제공하려고 노력하다가
위상기하학의 분야인 푸앵카레 추측을 페렐만은 미분기하학과 물리학으로 이 문제를 푼 것. 사실 미분기하학적 증명의 가능성은 계속 제기되어왔으나 비주류였다. 리치흐름을 이용한 해밀턴의 접근법은 희망이 존재하나, 증명에서의 기술적 난점들을 극복하기가 어려웠다. 마이클 앤더슨은 총 스칼라 곡률(total scalar curvature)을 사용한 방법을 모색했다. 그러나 이것 또한 너무 복잡했다. 페렐만이 푼 방식(미분기하학적 접근법)을 대놓고 비난하는 보수적인 수학자들도 있다. 심지어 페렐만의 논문을 검증하고 해설서를 작성한 존 모건 교수도 소감에서 푸앵카레 정리를 위상기하학으로 풀어내지 못한 걸 아쉬워했다. 그래도 그런 그들조차도 페렐만이 해결한 것을 부정하진 못하고 예전에 쓰던 방식대로 풀겠다고 여전히 옛 방식으로 도전하는 경우가 있다고 한다. 보수적인 수학자들이 이를 거부하는 것은 당연한 게, 기본적으로 푸앵카레가 만든 위상기하학은 우주를 알기 위해서 만든 것이며, 또한 학계의 주류가 위상기하학인데 페렐만은 이젠 비주류가 되어버린 미분기하학으로 이 난제를 풀었다. 페렐만은 위상기하학에 관심조차 없었다고...[11]
페렐만이 arXiv에 게재한 논문은 총 3편이었는데, 이것 때문에 3개의 태스크포스가 구성되어 이 논문을 무려 3년간 검증해야 했다.[12] 이때 나온 보고서만 수백 쪽이며, 해설서는 1천쪽이 넘는다고... 수백 페이지에 달하는 보고서가 나온 건 페렐만의 버릇 때문으로 보이는데, 실제로 페렐만은 어릴 적부터 짧고 간결한 풀이를 선호했다고 한다. 뉴욕대에서 나왔던 일화로는 페렐만이 논문을 제출했는데 지도교수가 "풀이가 너무 간결하다"며 다시 써왔으면 좋겠다고 부탁하자, 그의 표정은 마치 "거기서 뭘 더 추가하느냐?"라는 듯한 표정이었다고 한다.[13]
여하튼 수학올림피아드 만점이라는 어렸을 때의 타이틀에 비해 비교적 평범한 수학자로 보였던 페렐만은[14] 이 위대한 업적으로 수학계의 일약 스타가 되었다. 다른 것도 아니고 뛰어난 수학자들이 모인 클레이 수학연구소가 제시한 밀레니엄 문제다. 학계의 난제를 풀어냈으니 그에 따라오는 엄청난 명성은 당연한 것이었다.
2.3. 각종 상 및 상금, 스카웃 제안 거부
그러나 이 사람은 모든 것을 거절했다. 상금 100만 달러도, 2006년 필즈상도, 이전에 1996년 유럽 수학회에서 준 상도, 이후에 2010년 밀레니엄 상도 모두 거절했다.[15] 상트페테르부르크 자선단체 측은 차라리 100만 달러를 받고 자신들에게 기부하라고 설득까지 했으나, 그는 당연히 불쾌하다는 듯이 거절했다. 또한 국제수학자연맹(IMU)의 회장 존볼이 그의 마음을 돌리기 위해 상트페테르부르크에 직접 찾아갔으나 만나주지도 않았다.그리고 2011년 러시아 과학아카데미 정회원 자격을 또 거부한 것으로 또 세간의 화제를 모았다. 정회원 후보 제출 명단을 넘기도록 본인 동의서를 받지 못했기 때문이다. # 러시아 과학아카데미에 추천한 건 페렐만의 직장인 스테클로프 수학연구소였는데 그의 아카데미 정회원 동의서 서명 대신 사표를 받아 크게 당황했다고 한다.
그는 자신의 논문이 증명된 것으로 족하며 시상식 같은 곳에 끌려가 동물원 속 동물처럼 구경거리가 되기 싫다고 거절 사유를 밝혔다.
밀레니엄 문제를 낸 클레이 수학 연구소에서는 그의 이런 기행에 대해 별로 불쾌해하지 않는 눈치다. 그들의 목적은 수학 분야에 사람들의 관심을 끌어모음으로써 뛰어난 학생들이 수학자가 되게 하는 것인데, 페렐만에게 사람들의 관심이 집중되면서 그 목적을 완벽하게 달성하고 있기 때문이라고 한다.
2.3.1. 거부 행보의 사유 추측
그의 이런 거부 행적의 이유는 확실히 밝혀진 바가 없으나, 더 뉴요커지와의 인터뷰에서 "수학 커뮤니티의 도덕적 기준에 실망했다."고 밝힌 적이 있다. 중국계 미국인 수학자 야우싱퉁(丘成桐, Shing-Tung Yau)[16]이 페렐만의 논문을 경시하고 그의 증명에 태클을 걸고, 동료 중국인 수학자들의 논문에 손을 들어주는 등의 일이 있었는데, 이로 인해 마음고생한 듯. 야우싱퉁은 중국 정부의 강력한 지원 하에 중국 과학 기술계 인력의 세계 진출을 선도하는 주역으로 활동하고 있는데, 위의 일화도 그러한 인맥 관리[17]로 인한 사건으로 보인다. 도덕적으로 진솔한 수학자들조차 정직하지 않은 수학자들을 보고도 눈 감아주는 커뮤니티에 실망했다고.야우싱퉁은 페렐만의 풀이에 대해 '요령을 제시했다'고 깎아내리는가 하면, 자기 인맥에 속한 두 명의 수학자를 시켜 풀이 증명의 마무리 작업을 시키고는 '이들이 진정으로 풀이를 증명했다'는 식의 치졸한 언플을 구사하기까지 했는데, 이것이 여러 수학자들의 눈살을 찌푸리게 만들었다. 이에 더 뉴요커는 야우싱퉁의 업적에 관심이 있다면서 접근을 했고, 야우싱퉁은 신나서 장장 20시간에 걸친 인터뷰를 했다. 그리고 4개월 후 야우싱퉁을 기회주의자로 묘사하는 글이 페렐만의 목에 걸린 필즈상 메달을 낚아채는 그림과 함께 더 뉴요커에 실리자, 명성에 흠이 간 야우싱퉁은 법적 대응을 하겠다고 했다. 그러자 뉴요커는 완전한 사실에 입각한 것이라고 맞받아쳤다.[18] 하여간 야우싱퉁은 뉴욕 타임즈에서 수학계의 황제라고 묘사될 만큼 실력은 뛰어나지만, 명성에 매우 집착하는 스타일인 듯하다.[19]
그래서 당시 언론에 "페렐만은 증명의 핵심 개념을 대략적으로 그렸으나, 자세한 디테일은 종종 빠져있었다"[20]고 하면서 동료 수학자 차오화이둥(曹怀东)과 주시핑(朱熹平)이 그 부분을 채웠다는 내용을 내보냈다. 허나 이 역시 중국 과학기술계의 입지를 넓히기 위해 과장되게 언론플레이를 하면서 안 좋은 시선을 많이 받은 것이다. 거기다 나중에 차오, 주 두 사람이 채운 내용마저도 과거에 예일대의 브루스 클레이너가 페렐만의 증명에 보탠 내용과 똑같다는 사실이 알려지면서 새 됐다. 요약하자면, 야우싱퉁이 자기의 명성을 위해 페렐만의 업적을 뺏으려고 한 것은 아니다. 그러나 자신의 인맥과 국가로 묶인 친목질을 동반한 언론플레이로 그의 업적을 평가절하를 한 것이 잘못이다. 자세한 내용은 여기에 나와있다.
이렇게 학문과는 별개로 치졸한 친목질과 언론플레이가 있었으나, 전세계 수학계는 야우싱퉁의 업적과 다른 중국계 수학자들이 수학계에 미치는 영향력 때문에 아무 소리도 못하고 있다. 이런 수학계의 악폐습 때문에 페렐만이 수학계의 명성과 거리를 두게 된 것으로 보인다.
2.4. 수상 이후 행적과 근황
필즈상 수상 직후에 그나마 알고 지내던 수학계 동료들과도 연락을 끊고 완전히 잠적했다. 이후 자살을 했다는 둥, 생활비가 없어 상트페테르부르크 교외에서 버섯을 캐어 먹는다는 둥의 이야기가 돌았고, 나중에는 사과 하나를 사는 것도 고민해야 할 정도로 가난해졌다는 소리까지 나왔다.|
|
| 어머니와 산책 중인 페렐만 |
더더욱 세계적으로 그에 대하여 호기심을 가지게 되어 전 세계 여러 방송사들이나 언론이 그를 취재하고자 러시아를 찾아갔으나, 그 누구도 성공하지 못했다. 2007년 일본 NHK 측이 러시아로 와서 몇 주 동안 대기했으나 그를 전혀 만나지 못했다. 결국 페렐만의 은사를 설득하여 그와 전화 통화를 시도했으나, 여러 번의 시도 끝에 통화가 이뤄진 페렐만은 오로지 은사에게만 전화로 대화를 했으며, 다른 이가 받으면 즉시 끊는다고 말하는 통에 목소리조차도 듣지 못했다. 결국 은사조차도 만나기를 거부하고 은사에게 "앞으론 당신도 전화하지 않았으면 한다."라는 말을 남기고 끊어버렸다. 전화 통화 전 이 은사는 페렐만을 100% 밖으로 나오게 할 수 있다며 자신했지만, 이 상황을 겪고 너무나도 참담해 보였다. 이 은사가 인터뷰하길, "25년 전에는 이런 성격이 아니었는데 이 문제를 해결하기 위하여 그는 뭔가가 달라진 모양입니다..."
2009년에는 한국 EBS 측에서도 그를 만나고자 현지 취재 갔으나, 그가 살던 아파트의 관리인은 그동안 전 세계 내로라 하는 방송사나 언론이 찾아와 끈질기게 별별 방법을 다 썼으나 그 누구도 그를 만나지도 그의 목소리도 듣지 못했다고 말했다. 그리고 역시 EBS 측도 페렐만의 어머니를 통하여 "일절 만날 일도, 그 어떤 대화도 안 할 테니 헛수고 말고 돌아가라"는 답변을 들었을 뿐이다.
페렐만의 한 동료의 말에 의하면 " 밀레니엄 문제 중 하나인 나비에-스토크스 방정식에 관심이 있다."고 밝혔다고 한다. 이걸 보면 "지금도 연구를 하고 있을 수도 있다"는 이야기지만 진실은 저 너머에. 다만 2009년 EBS 다큐 프라임에서 취재를 갔을 당시 아직까지 연구를 진행 중이라는 암시가 있었다. 프로그램상에서 페렐만이 사는 아파트의 관리인이 "페렐만의 어머니로부터 그가 스위스의 제네바에서 충돌 관련 연구를 한다고 들었다"라고 언급했다. 아마도 CERN에서 LHC 관련 연구를 수행하고 있는 것 같다. 사실 푸앵카레 추측을 풀어낸 뒤에 100만 달러의 상금을 거절하면서 " 내가 우주의 비밀을 좇고 있는데 100만 달러를 좇겠는가."라고 일갈했다는 이야기가 있다. 또한 현재 연구중인 분야는 4차원에서 존재가능한 위상의 형태 개수의 대한 연구로 알려져있으며 페렐만의 동료 야코프 엘리아쉬버그는 페렐만이 나비에-스토크스 방정식의 해의 존재와 매끄러움에 관심을 가지고 있다고 했다. 이를 볼때 연구를 계속하고 있을 개연성은 있다.
2014년 스웨덴으로 거처를 옮겼다는 현지 뉴스가 나왔지만, 이후에도 상트페테르부르크에서 목격되는 걸로 봐선 완전히 고향을 떠난 건 아닌 듯 하다.
2014년, EBS의 한 프로그램에서 페렐만을 인터뷰하려는 시도가 또 있었다. 하지만 페렐만으로부터 돌아온 대답은 "난 인터뷰 같은 거 안 할 테니 꺼지쇼."
2017년 러시아 뉴스에서 근황이 밝혀졌는데, 어머니가 교통사고를 당했다고 한다. 취재진들의 과도한 취재 시도에 무례하다고 일갈하며 촬영마저 거부. 관련 영상.
2019년 8월, 페렐만의 은사 세르게이 룩신(Сергей Рукшин)이 페렐만에 대해 짧은 인터뷰를 진행했다. 계속 상트페테르부르크에 거주하며, 스위스로 종종 비공개 강연을 가는 듯하지만, CERN에서 일을 하는 것은 루머일 가능성이 높다고 한다. 또한 소문으로 알려진 만큼 가난에 쪼들리며 사는 건 아니다. 어머니가 수학 교사를 은퇴하고 운영하는 식당도 그 근방에서 상당히 유명한 맛집이고, 그곳에서 가끔씩 페렐만을 목격할 수 있다고 한다. 페렐만은 여러 기관과 단체에서 연구 자금을 후원 받았고, '은둔'한 뒤에도 여러 강연에 나간 바 있기에 빈곤에 시달린다는 이야기는 낭설이다. 본인 소유의 아파트도 있기 때문에 어머니와 함께 사는 것은 그저 개인의 의지인 것으로 보인다.
[]
[2]
그가 수락한 마지막 상.
[3]
혼전성은 '시테인골츠(Штейнгольц)'.
[4]
수학, 물리학에 특화된 학교. 특징이 한국의
과학고등학교나
과학중점학교와 유사한 것으로 보인다.
[5]
현 상트페테르부르크 대학교. 소련 치하에서 레닌그라드로 이름이 바뀌었다가, 소련 해체 이후 상트페테르부르크로 환원되었다.
[6]
영혼 추측을 증명한 페렐만의 논문은 아주 짧은 분량이었고 증명에 사용된 이론도 비교적 간단한 것이었지만 당시까지 다른 수학자들은 더 복잡한 방법으로 부분적인 증명만 제시했다.
[7]
소련-러시아의 필즈 메달리스트들은 1970년 수상자인 세르게이 노비코프(Сергей Новиков)와 페렐만 외에는 모두 1990년대
소련 해체를 기점으로 러시아를 떴다. 필즈상 받고 스카우트되기도 하고, 대학원 시절부터 유학하다 말뚝 박은 후 받기도 했다. 페렐만 다음의 러시아인 수상자인 2010년 수상자 스타니슬라프 스미르노프(Станислав Смирнов) 역시 소련 시절 IMO 금메달리스트였지만, 소련 해체 후
미국에서 유학하고 제네바 대학교에서 교수 생활을 하고 있다.
[8]
사실상 마지막으로 당대의 수학과 과학을 전부 배운 수학자라고 한다. 20세기 이후, 수학과 과학의 양이 방대해지고 있으므로 이를 모두 습득하는 것은 불가능해졌다.
[9]
가능한 경우의 수를 모두 컴퓨터를 돌려서 일일이 계산하는 것으로 증명했다. 그래서 수식 같은 것은 일절 없고, 일일이 대입해서 컴퓨터로 계산하고, 사람은 컴퓨터의 계산이 틀린 게 아니라는 것을 증명했다.
[10]
다만
리만 가설의 경우 약간 다른데, 리만 가설이 참일 것이라는 가정을 토대로 해서 쌓인 논문이 상상을 초월한 양이다 보니, 만약 리만 가설이 거짓이라고 밝혀진다면 마치
아인슈타인의
상대성 이론이 무너진 만큼의 여파가 밀려온다. 그래서 몇몇 수학자들은 "리만 가설이 참이어야만 하는 이유"까지 대가면서 참이 아니냐고 주장한다는 듯하다.
[11]
이런 현상을 페렐만을 인정하지 못하는 무식쟁이들의 똥고집이라 생각하면 오산이다. 이 정도 떡밥은 새로운 증명법을 발견만 한 것으로도 푸앵카레-페렐만-아무개 정리라는 이름이 백년 후 교과서에 남겨질법한 업적으로 평가받을 수 있다. 한 번 증명한 정리는 두 번, 세 번 또 증명할 가치가 있다. 정상급 수학자들은 수십년 전 거물들이 남긴 정리를 또다른 방식으로 증명함으로써 스타덤에 오른 이들이 굉장히 많으며, 이미 증명된 정리를 또 다루는 후속 연구의 업적이 연구의 발전에 있어서는 더 큰 가치를 지니는 경우도 많고, 반대로 고생해서 난제를 해결해놨더니 보편적이지도 않고 아름답지도 않은 편법을 썼다고 비판받는 불쌍한 수학자들도 흔하다.
[12]
1. Bruce Kleiner, John Lott(
미시간 대학교); 2. Zhu Xiping(중국 중산 대학교), Huai-Dong Cao(
리하이 대학교); 3. John Morgan(
컬럼비아 대학교), Gang Tian(
MIT)
[13]
NHK 다큐멘터리를 보면 지도교수가 꼭 영화
아마데우스를 보는 듯한 느낌이었다고.
"그 많은 소리 중에서 어떤 소리를 어떻게 빼야 할지 정확히 말해주세요. 딱 적당한 음만 있을 뿐이에요."
[14]
단, 페렐만은 이미 몇 가지 수학적 업적을 세웠다. 페렐만은 1994년에 영혼 추측(Soul conjecture)을 증명하여 1996년 유럽 수학회로부터 상을 받았으나 수상식에 참석을 거부하였다.
[15]
다만 1991년 상트페테르부르크 수학회에서 준 상은 거절하지 않고 받았다.
[16]
한국어식 독음은 구성동. 1990년에 미국으로 귀화했으며,
화교 수학자 중에서 세계 최정상권에 있는 권위자이다.
칼라비-야우 다양체를 포함한 수많은 수학적인 정리를 만들어 내는 데 기여하였으며, 1982년
필즈상을 수상했다. 현재는
하버드 대학교 교수로 재직 중이며, 2009년에
칭화대학 수학과학센터 주임으로 초빙되어 겸임하는 중이다.
[17]
소위 중국인들이 말하는
꽌시(관계). 팔이 안으로 굽는 건 어쩔 수 없지만, 이걸 너무 노골적으로 당연하게 생각하는 게 문제.
[18]
해당 기사가 멀쩡히 남아있는 것으로 보아 흐지부지 넘어간 것으로 보인다.
[19]
야우싱퉁 본인도 푸앵카레 추측까지는 아니어도 난제에 가까운 정리들을 여러 개 증명하여 페렐만 이상의 다양한 업적을 가진 위대한 학자이다. 문제는 그의 후배들까지 페렐만과 동급으로 취급하려 드는 작태이다. 페렐만의 엄청난 업적이 그런 수학자들 수준에 비할 바가 아니란 것은 본인이 더 잘 알 텐데도 그랬으니 언론에서도 곱게 보지 않은 것이다.
[20]
"In Perelman’s work, many key ideas of the proofs are sketched or outlined, but complete details of the proofs are often missing"
[21]
아버지는 조상들 묘를 보러 이스라엘에 갔다가 거기서 사망했다. 여동생은 스웨덴에서 프로그래머로 일한다고 한다.