나눗셈

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수와 연산 Numbers and Operations
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<colbgcolor=#f5f5f5,#2d2f34> 언어별 명칭
기호	[math(\div)], /
한국어	나눗셈, 나누기, 제법( 除法), 제산( 除算)
영어	division, divided by[1][2]
일본어	[ruby(除法, ruby=じょほう)], [ruby(除算, ruby=じょさん)], [ruby(割り算, ruby=わりざん)]
중국어	除法(chúfǎ)

1. 개요 2. 정의

2.1. 일반적인 나눗셈2.2. 몫과 나머지가 있는 나눗셈

3. 나눗셈 기호4. 초등 수학의 끝판왕5. 고등 수학에서6. 관련 문서

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1. 개요

가장 유명한 이항연산들인 사칙연산 중 가장 나중에 배우는 연산.

2. 정의

2.1. 일반적인 나눗셈

보통 '나눗셈'이라 하면 곱셈의 역연산으로서의 의미로 다음을 일컫는다.

[math(a)]를 [math(b)]로 나눈 수 [math( x=a/b )]는, [math(x \times b = a)]가 되는 수 [math(x)]이다.

다만 [math(b)]가 0이 아닐 때만 그러한 수를 유일하게 정할 수 있으므로, 0으로 나누기는 생각하지 않는다.[3] 나누는 수 [math(b)]를 제수(除數, divisor)[4], 나누어지는 수 [math(a)]를 피제수(被除數, dividend), 나눗셈의 결과값인 [math(a/b)]를 몫(quotient)이라 부르기도 한다. 가감승제의 제에 해당한다.

정수 범위의 지수를 배웠다면, [math(a \div b = a \times b^{-1})]가 성립한다는 것을 알 수 있다. 즉 지수의 부호가 반대인 수를 곱하는 것과 동치이다.

과거 일제강점기 간이학교에서는 무려 1학년 때 배우기도 했다.[5]

2.2. 몫과 나머지가 있는 나눗셈

자연수 혹은 정수의 '몫과 나머지가 있는 나눗셈'은 똑같이 나눗셈이라고 부르지만, 다른 개념이다. [math(a)]와 [math(b)]가 자연수일 때, [math(a = bq + r)]을 만족하는 자연수 [math(q)]와 [math(0\le r<b)]을 각각 나눗셈의 몫(quotient)과 나머지(remainder)로 부르는 것이다. 초/중등 교과과정까지는 [math(a \div b = q \cdots r)] 의 표기가 종종 사용된다.

사실 딱딱하게 본다면 위 두 나눗셈은 이름만 똑같지 다른 연산이다. 많은 사람들이 섞어서 이야기하기는 하지만 일상생활에서는 큰 혼동을 주지는 않는데, 보통 일반인들에게는 나눗셈 하면 '일반적인 나눗셈'을 의미하고 '몫과 나머지가 있는 나눗셈' 개념[6]은 초등교과 때 잠깐 배운 후 잊히기 때문이다. 하지만 학습할 때 둘을 헷갈려하는 오개념 사례가 자주 나타나므로 주의하자.

3. 나눗셈 기호

나눗셈을 나타내는 기호 ÷는 현대에 쓰이는 분수와 모양이 닮아 보이기는 하지만, 사실 분수에서 유래한 기호는 아니다. 그리스어에서 유래한 오벨루스(Obelus)라는 독립된 이름이 있는 유서깊은 이 기호[7] ÷는 그리스 고전시대부터 각주 표시 기호로 사용되다가[8], 1659년에 요한 하인리히 란이 처음으로 나눗셈을 위한 용도로 사용하였다. 독일같은 유럽 국가에서는 :(콜론) 도 사용한다. 예시 이러한 표기는 비례식에서 찾아볼 수 있다.

하지만 현대 와서 실제로 연산이 필요할 때는 훨씬 직관적인 기호인 / 를 쓰거나 아예 분수로 쓴다. 종이에 손으로 계산하는 과정까지 필요하면 이른바 long division이라 부르는 ⟌(U+27CC)를 쓴다.

실제로 국제표준화기구에선 오벨루스(나눗셈 기호)를 사용하지 않을 것을 권장한다. 컴퓨터 키보드에 곱셈 기호(*)는 있지만 나눗셈 기호는 /인 것도 이를 뒷받침해 준다.[9]

4. 초등 수학의 끝판왕

초등 교과과정에서 나눗셈은 나머지가 있든 없든 상관없이 사칙연산 중 끝판왕으로 여겨진다. 한국 현행 교육과정(2015년 개정) 기준으로는 자연수의 나눗셈은 3~4학년에게, 일반적인 분수와 소수의 나눗셈은 5~6학년에게 시련을 안겨주는 내용이다. 6학년 말에 분수와 소수의 혼합계산, 중1 올라가면 정수와 유리수의 혼합계산으로 더 심화된다. 사실 정수와 유리수의 혼합계산은 6학년 혼합계산의 연장선이라 봐도 된다.

나눗셈이 어려운 직접적인 이유는 계산절차의 복잡함이다. 실제 나눗셈을 계산하는 데에는 덧셈, 뺄셈, 곱셈이 모두 필요하다. 장제법을 할 때 몫의 자릿수를 얼추 추측하고, 곱셈을 한 뒤, 둘을 비교해서 몫이 적절한지 확인하고, 그렇지 않으면 짜증을 내면서 위 과정을 반복하고, 둘을 빼서 다음 단계로 넘어가는 과정을 생각해 보자. 일단 계산량 자체가 다른 사칙연산 몇배에 맞먹는 노가다이다. 소수의 나눗셈이면 여기에 소숫점 좌우로 와리가리하는 자릿수 놀음과 근사값을 구하는 과정이 추가된다. 이걸 십진법이 정확히 뭔지도 모르는 채 곱셈을 어떻게 하는지 겨우 배운 초딩들이 배우게 되는 것이다.

하지만 학년이 올라갈수록 더욱 심각하게 다가오는 문제는 '나눗셈이 무엇을 의미하는지?'의 개념 문제이다. 몫과 나머지가 있는 자연수의 나눗셈은 '포함제(partition)'와 '등분제(quotition)' 등으로 그나마 이해될 수 있다. 사과 10개를 3명한테 최대한 고르게 나눠준다거나(등분제), 3개짜리 선물상자로 최대한 많이 포장한다거나(포함제). 하지만 (8/5) / (2/3)이나 0.167/23.9가 뭔지는 이렇게 설명할 수 없다. 수의 나눗셈을 현실 개념으로 이해하려면 비율로 생각하는 것이 가장 자연스럽지만, 학습순서를 생각하면 비율은 나눗셈을 완전히 배운 다음에 나와야 한다. 이렇게 나눗셈이 뭔지도 정확히 이야기할 수 없는 상황에서 나눗셈의 연산을 이해해야 하는 것이다. 분수의 나눗셈은 왜 뒤집어 곱하는지[10], 소수의 나눗셈의 세로셈법이 왜 성립하는 것인지 과연 자신있게 초등학생한테 설명할 수 있을까? 이러한 이유로 나눗셈은 초등수학 교육의 끝판왕이며 수포자 양성 관문이다.

5. 고등 수학에서

대학수학[11] 중 수 체계에서 유리수와 실수를 완벽하게 정의하는 수준까지 가면, 사실 정수의 나눗셈이 잘 정의되게 만든 것이 유리수의 구성임을 알게 된다.

몫과 나머지가 있는 자연수의 나눗셈은 일반적인 정수에서의 나눗셈으로 일반화된다. 보통 중등 교과과정에는 음수를 나누는 나머지를 정의하지 않지만, 정수론에서 일반화되는 내용. 이 나눗셈은 사회에서의 공기같은 비중과는 달리 정수론같은 고급 수학에서는 상당히 큰 의미를 차지한다. 다만 의미를 차지하는 건 의외로 몫이 아니라 나머지다. 자세한 것은 나머지와 합동식 항목 등을 참고. 이외에도 유한체에서는 다른 방식으로 나눗셈을 정의하기도 한다.

고교과정에서는 다항식의 나머지가 있는 나눗셈이 잠깐 등장한다.( 나머지 정리와 인수정리를 이용하면 된다. 때로는 조립제법도 나온다.)

6. 관련 문서

[1] 사용법: '20 divided by 4 is 5', [2] '10 over 2 is 5'처럼 over를 사용하기도 한다. [3] 다만, 무한대를 포함한 확장된 실수 체계에서는 [math(\dfrac 1{\infty}=0)]으로 정의하지만, 0으로 나누는 건 여전히 정의되지 않는다. [4] 읽을 땐 '제쑤'로 읽는다. [5] 1940년 발행된 간이학교 2학년 산술서 1단원의 ‘前學年ノ復習’(이를 현대 일본어로 쓰면 前学年の復習인데, 당시 교과서에는 가타카나가 쓰였기 때문이다.)에 나눗셈 문제가 일부 수록돼 있다. 자세히 보면 次ノ割算ヲシナサイ라고 가타카나와 한자만 쓰여 있다. [6] 일반적인 나눗셈은 체에서의 나눗셈이고, 몫과 나머지가 있는 나눗셈은 체에 속하지 않는 환에서의 나눗셈이다. [7] 오벨리스크와 어원이 같다. [8] 논문 같은 데에 간간히 쓰이는 각주 기호 칼표(dagger)가 여기서 유래하였다고 한다. [9] 컴퓨터 등에서의 편의성 등으로 역사적 표기가 대체되는 사례는 많다. [10] A/B÷C/D의 분모를 통분하여 분모를 나누어 없앤 후 남은 AD÷CB(AD/CB)를 중간과정을 생략하여 나타낸 것이다. [math(\frac{A}{B} ÷ \frac{C}{D} = \frac{AD}{BD} ÷ \frac{BC}{BD} = \frac{AD}{BC})]
중학생 때는 곱셈의 연산법칙과 역수 개념을 배우니까 그걸로 설명할 수 있다. 일반적인 나눗셈은 곱셈 역연산으로 정의되기 때문. [11] 법적으로 초등학교 = 초등수학, 중고등학교 = 중등수학, 대학교 이상 = 고등수학 이다.

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