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수와
연산 Numbers and Operations |
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1. 개요
Wheel theory/ 바퀴 이론[math(displaystyle {1 over 0})] 과 [math(displaystyle {0 over 0})]를 대수적으로 정의하는 이론으로 이 이론의 수의 순서 구조를 위상적으로 표현해 보면 마치 바퀴처럼 중심과 외곽이라는 이질적인 구조로 이루어져 있어서 붙여진 이름이다.[1] 즉, 전순서 집합인 기존 실수 체계와는 다르게, [math(\pm \infty)]를 한 점으로 콤팩트화시키고, 여기에 위상구조에 포함되지 않는 특이점 하나를 추가한 형태가 된다.
2. 정의와 정리
이 이론에선 각각 [math(\displaystyle {1 \over 0})]과 [math(\displaystyle {0 \over 0})]을 뜻하는 [math(∞)]와 ⊥를 공리로 한다.2.1. 1÷0과 0÷0의 정의
첫번째로 [math(\displaystyle {1 \over 0})]을 먼저 정의를 먼저 해보자.[math(\displaystyle {1 \over 1} = 1, {1 \over 0.1} = 10, {1 \over 0.01} = 100, ... ,{1 \over 0} = ∞)]
간단히 하면
[math(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}{1 \over x} = ∞)]
기존의 무한을 생각한다면 엄밀한 증명은 아니긴 하지만, [math(∞)]를 무한을 뜻하는 기호가 아닌 [math(\displaystyle {1 \over 0})]을 표현한 기호라고 생각하자.
두번째로 [math(\displaystyle {0 \over 0})]은 부정, 모순을 뜻하는 ⊥(Up tack)을 사용한다.
실제로 [math(\displaystyle {0 \over 0})](이하 ⊥)의 위상학적 구조는 순서가 존재 하지 않는, 실수 체계를 벗어난 수이다.
다만, 여기서 짚고 넘어가야할 부분은 위에서 [math(∞)]와 [math(⊥)]를 정의한 방식이 과연 옳은 방식인가 하면 그건 절대로 아니다.
수 체계란 그리 간단히 조종할 수 있는것이 아닌 군, 환, 체가 제대로 성립하는지 부터 엄밀히 봐야하며 체계 또한 모순이 생기지 않게 엄밀하게 정의해야 한다. 그럼에도 위 처럼 정의한 까닭은 해당 이론을 조금 더 가볍게 다루기 위함임을 밝힌다. 조금더 자세히 알고 싶다면 해당 논문을 살펴 보자.
2.2. ∞ = -∞
이 이론의 이름이 바퀴 이론인 이유라고 할 수 있는 정리이다.[math(\displaystyle -∞ = -{1 \over 0})]
[math(\displaystyle = \dfrac{1}{-\dfrac{0}{1}})]
[math(\displaystyle = {1 \over 0})]
[math(=∞)]
∴ [math(∞ = -∞)][math(\displaystyle = {1 \over 0})]
[math(=∞)]
2.3. ∞와 ⊥의 서로의 합
해당 항목에선 [math(\displaystyle{a \over b}+{c \over d}={{a \times d}+{b \times c} \over {b \times d}})]임을 이용한다.2.3.1. ∞+∞
[math(\displaystyle ∞+∞ = {1 \over 0}+{1 \over 0})]
[math(\displaystyle = {1 \times 0 + 1 \times 0 \over 0 \times 0})]
[math(\displaystyle = {0 \over 0})]
[math(\displaystyle = ⊥)]
2.3.2. ∞+⊥
[math(\displaystyle ∞+⊥ = {1 \over 0}+{0 \over 0})]
[math(\displaystyle ={{1 \times 0}+{0 \times 0} \over {0 \times 0}})]
[math(\displaystyle ={{0 + 0} \over 0})]
[math(=⊥)]
[math(\displaystyle ={{0 + 0} \over 0})]
[math(=⊥)]
2.3.3. ⊥+⊥
[math(\displaystyle ⊥+⊥ = {0 \over 0}+{0 \over 0})]
[math(\displaystyle ={{0 \times 0}+{0 \times 0} \over {0 \times 0}})]
[math(\displaystyle ={{0 + 0} \over 0})]
[math(=⊥)]
[math(\displaystyle ={{0 + 0} \over 0})]
[math(=⊥)]
2.4. ∞와 ⊥의 서로의 곱
해당 항목에선 [math(\displaystyle {{a \over b} \times {c \over d}}={{a \times c} \over {b \times d}})]임을 이용한다2.4.1. ∞×∞
[math(\displaystyle {∞ \times ∞} = {{1 \over 0} \times {1 \over 0}})]
[math(\displaystyle ={{1 \times 1} \over {0 \times 0}})]
[math(\displaystyle ={1 \over 0})]
[math(=∞)]
[math(\displaystyle ={1 \over 0})]
[math(=∞)]
2.4.2. ∞×⊥
[math(\displaystyle {∞ \times ⊥} = {{1 \over 0} \times {0 \over 0}})]
[math(\displaystyle ={{1 \times 0} \over {0 \times 0}})]
[math(\displaystyle ={0 \over 0})]
[math(=⊥)]
[math(\displaystyle ={0 \over 0})]
[math(=⊥)]
2.4.3. ⊥×⊥
[math(\displaystyle {⊥ \times ⊥} = {{0 \over 0} \times {0 \over 0}})]
[math(\displaystyle ={{0 \times 0} \over {0 \times 0}})]
[math(\displaystyle ={0 \over 0})]
[math(=⊥)]
[math(\displaystyle ={0 \over 0})]
[math(=⊥)]
2.5. 0이 아닌 실수 x와 ∞, ⊥ 끼리의 덧셈과 곱셈
2.5.1. x + ∞
[math(\displaystyle { x + ∞ } = {x \over 1} + {1 \over 0})]
[math(\displaystyle ={{{x \times 0} + {1 \times 1}} \over {1 \times 0}})]
[math(\displaystyle ={{0 + 1} \over {0}})]
[math(\displaystyle ={1 \over 0})]
[math(=∞)]
[math(\displaystyle ={{0 + 1} \over {0}})]
[math(\displaystyle ={1 \over 0})]
[math(=∞)]
2.5.2. x + ⊥
[math(\displaystyle { x + ⊥} = {x \over 1} + { 0 \over 0})]
[math(\displaystyle ={{{x \times 0} + {1 \times 0}} \over {1 \times 0}})]
[math(\displaystyle ={{0 + 0} \over {0}})]
[math(\displaystyle ={0 \over 0})]
[math(=⊥)]
[math(\displaystyle ={{0 + 0} \over {0}})]
[math(\displaystyle ={0 \over 0})]
[math(=⊥)]
2.5.3. x × ∞
[math(\displaystyle {x \times ∞} = {x \over 1} \times {1 \over 0})]
[math(\displaystyle ={1 \over {1 \over x}} \times {1 \over 0})]
[math(\displaystyle ={{1 \times 1} \over {{1 \over x} \times 0}})]
[math(\displaystyle ={1 \over 0})]
[math(=∞)]
2.5.4. x × ⊥
[math(\displaystyle {x \times ⊥} = {x \over 1} \times {0 \over 0})]
[math(\displaystyle ={1 \over {1 \over x}} \times {0 \over 0})]
[math(\displaystyle ={{1 \times 0} \over {{1 \over x} \times 0}})]
[math(\displaystyle ={0 \over 0})]
[math(=⊥)]
2.6. 0과 ∞, ⊥ 끼리의 덧셈과 곱셈
2.6.1. 0 + ∞
[math(\displaystyle 0 + ∞ = 0 + {1 \over 0})]
[math(\displaystyle ={{0 \over 1} + {1 \over 0}})]
[math(\displaystyle ={{0 \times 0 + 1 \times 1} \over {1 \times 0}})]
[math(\displaystyle ={{0 + 1} \over {0}})]
[math(\displaystyle ={1 \over {0}})]
[math(=∞)]
2.6.2. 0 + ⊥
[math(\displaystyle 0 + ⊥ = 0 + {0 \over 0})]
[math(\displaystyle ={{0 \over 1} + {0 \over 0}})]
[math(\displaystyle ={{0 \times 0 + 1 \times 0} \over {1 \times 0}})]
[math(\displaystyle ={{0 + 0} \over {0}})]
[math(\displaystyle ={0 \over 0})]
[math(=⊥)]
2.6.3. 0 × ∞
[math(\displaystyle 0 × ∞ = 0 \times {1 \over 0})]
[math(\displaystyle ={{0 \over 1} \times {1 \over 0}})]
[math(\displaystyle ={{0 \times 1} \over {1 \times 0}})]
[math(\displaystyle ={0 \over 0})]
[math(=⊥)]
2.6.4. 0 × ⊥
[math(\displaystyle 0 × ⊥ = 0 \times {0 \over 0})]
[math(\displaystyle ={{0 \over 1} \times {0 \over 0}})]
[math(\displaystyle ={{0 \times 0} \over {1 \times 0}})]
[math(\displaystyle ={0 \over 0})]
[math(=⊥)]
2.7. 연산표
([math(a, b \in \mathbb{R})])| <colbgcolor=#fff> [math(+)] | [math(b)] | [math(0)] | [math(\infty)] | [math(⊥)] | <colbgcolor=#000> | <colbgcolor=#fff> [math(\times)] | [math(b)] | [math(0)] | [math(\infty)] | [math(⊥)] |
| [math(a)] | [math(a+b)] | [math(a)] | [math(\infty)] | [math(⊥)] | [math(a)] | [math(ab)] | [math(0)] | [math(\infty)] | [math(⊥)] | |
| [math(0)] | [math(b)] | [math(0)] | [math(\infty)] | [math(⊥)] | [math(0)] | [math(0)] | [math(0)] | [math(⊥)] | [math(⊥)] | |
| [math(\infty)] | [math(\infty)] | [math(\infty)] | [math(⊥)] | [math(⊥)] | [math(\infty)] | [math(\infty)] | [math(⊥)] | [math(\infty)] | [math(⊥)] | |
| [math(⊥)] | [math(⊥)] | [math(⊥)] | [math(⊥)] | [math(⊥)] | [math(⊥)] | [math(⊥)] | [math(⊥)] | [math(⊥)] | [math(⊥)] |
3. ∞+∞ = 2×∞?
분명 위의 연산표를 보면 [math(∞+∞)] 는 [math(⊥)]이지만 [math(2 × ∞)]는 [math(∞)]이다.우리들의 상식선에선 둘은 같아야 된다. 하지만 왜 둘의 결과값이 다를까?
앞서 두 수의 덧셈은 [math(\displaystyle{a \over b}+{c \over d}={{a \times d}+{b \times c} \over {b \times d}})]으로 정의했다.
이를 변형하면 [math(\displaystyle{a \over c}+{b \over c} = {{a \times c} + {b \times c} \over {c \times c}})]
알아보기 쉽게 괄호를 묶으면 [math(\displaystyle{a \over c}+{b \over c} = {{(a + b) \times c} \over {c \times c}})]
[math((a+b))]를 [math(t)]로 치환 한다면 [math(\displaystyle{a \over c}+{b \over c} = {{t \times c} \over {c \times c}})]
하지만 위의 덧셈 공식에 의해서 [math(\displaystyle{a \over c}+{b \over c} = {{t \times c} + {x \times c} \over {c \times c}})] 를 만족하는 [math(x)]가 있어야 하며 [math(x)]는 자명하게 0이 된다.
즉, [math(\displaystyle {{a \over c}+{b \over c}} = {(a+b) \over c})]가 아닌 [math(\displaystyle {{a \over c}+{b \over c}} = {(a+b) \over c} + {0 \over c})] 이라는 것이다.
그러므로 [math(∞+∞)] = [math(\displaystyle {2 \times {1 \over 0}}+{0 \over 0})] = [math(∞+⊥)] = [math(⊥)]이 되는 것이다.
4. 이외의 연산들
4.1. 역수
- [math(\displaystyle {1 \over ∞})]
- [math(\displaystyle {{1 \over ∞} = {1 \over {1 \over 0}}})]
[math(\displaystyle {= {0 \over 1}})]
[math(\displaystyle {= 0})]
- [math(\displaystyle {1 \over ⊥})]
- [math(\displaystyle {{1 \over ⊥} = {1 \over {0 \over 0}}})]
[math(\displaystyle {= {0 \over 0}})]
[math(\displaystyle {= ⊥})]
4.1.1. 역수로부터 파생되는 연산들
- [math(\displaystyle {∞ \over ∞})]
-
[math(\displaystyle {{∞ \over ∞} = {∞ \times {1 \over ∞}}})]
[math(\displaystyle {= {∞ \times 0}})]
[math(\displaystyle {= ⊥})]
- [math(\displaystyle {∞ \over ⊥})]
-
[math(\displaystyle {{∞ \over ⊥} = {∞ \times {1 \over ⊥}}})]
[math(\displaystyle {= {∞ \times ⊥}})]
[math(\displaystyle {= ⊥})]
- [math(\displaystyle {⊥ \over ∞})]
-
[math(\displaystyle {{⊥ \over ∞} = {⊥ \times {1 \over ∞}}})]
[math(\displaystyle {= {∞ \times 0}})]
[math(\displaystyle {= ⊥})]
- [math(\displaystyle {⊥ \over ⊥})]
-
[math(\displaystyle {{⊥ \over ⊥} = {⊥ \times {1 \over ⊥}}})]
[math(\displaystyle {= {⊥ \times ⊥}})]
[math(\displaystyle {= ⊥})]
4.2. 제곱
- [math(displaystyle {0^0})]
-
[math(\displaystyle {{0^0} = {0 \over 0}})]
[math(\displaystyle {= ⊥})]
- [math(\displaystyle {a^∞})], ([math(\displaystyle {a>1})])
- [math(\displaystyle {\lim_{x\to ∞}{a^x} = ∞})]
- [math(\displaystyle {a^⊥})], ([math(\displaystyle {a>1})])
- [math(\displaystyle {a^⊥ = {(a^∞)}^0})]
- [math(\displaystyle {= {{a^∞} \over {a^∞}}})]
- [math(\displaystyle {= {∞ \over ∞}})]
- [math(\displaystyle {= ⊥})]
- [math(\displaystyle {∞^0})]
-
[math(\displaystyle {∞^0 = {∞ \over ∞}})]
[math(\displaystyle {= ⊥})]
- [math(\displaystyle {⊥^0})]
-
[math(\displaystyle {⊥^0 = {⊥ \over ⊥}})]
[math(\displaystyle {= ⊥})]
- [math(\displaystyle {0^∞})]
- [math(\displaystyle {0^∞ = 0})]
- [math(\displaystyle {0^⊥})]
-
[math(\displaystyle {0^⊥ = {(0^∞)}^0})]
[math(\displaystyle {= 0^0})]
[math(\displaystyle {= ⊥})]
4.2.1. 제곱으로부터 파생되는 연산들
- [math(\displaystyle {1^∞})]
-
[math(\displaystyle {{1^∞} = s})]
[math(\displaystyle {\ln{1^∞} = \ln{s}})]
[math(\displaystyle {∞\ln{1} = \ln{s}})]
[math(\displaystyle {∞ \times 0 = \ln{s}})]
[math(\displaystyle {⊥ = \ln{s}})]
[math(\displaystyle {{e^⊥} = s})]
[math(\displaystyle {{1^∞} = {s} = ⊥})]
- [math(\displaystyle {1^⊥})]
-
[math(\displaystyle {1^⊥ = {(1^∞)}^0})]
[math(\displaystyle {= ⊥^0})]
[math(\displaystyle {= ⊥})]
- [math(\displaystyle {∞^∞})]
-
[math(\displaystyle {∞^∞ = {{1^∞} \over {0^∞}}})]
[math(\displaystyle {= {⊥ \over 0}})]
[math(\displaystyle {= ⊥})]
- [math(\displaystyle {∞^⊥})]
-
[math(\displaystyle {{∞^⊥} = {{1^⊥} \over {0^⊥}}})]
[math(\displaystyle {= {⊥ \over ⊥}})]
[math(\displaystyle {= ⊥})]
- [math(\displaystyle {⊥^∞})]
-
[math(\displaystyle {{⊥^∞} = {{0^∞} \over {0^∞}}})]
[math(\displaystyle {= {0 \over 0}})]
[math(\displaystyle {= ⊥})]
- [math(\displaystyle {⊥^⊥})]
-
[math(\displaystyle {{⊥^⊥} = {{0^⊥} \over {0^⊥}}})]
[math(\displaystyle {= {⊥ \over ⊥}})]
[math(\displaystyle {= ⊥})]
5. 바퀴 이론의 수학적 의미
사실 바퀴 이론은 수학적인 의미가 거의 없다. 일단 기존 수 체계에 포함시키기는 불가능하며 위에서 보았듯이 [math(∞)]나 [math(⊥)]이 연산에 들어가면 거의 무조건 [math(⊥)]이 튀어나온다. 즉, 연구할 가치가 거의 없다. 많이 쳐줘봐야 "극한을 사용하지 않고 사칙연산으로 거의 대부분의 부정형 여부를 가릴 수 있다" 정도이다.그렇다고 연구가 아예 진행이 되지 않은것은 아니다.
하지만 연구를 할 수록 바퀴 이론에선 두 수의 뺄셈과 나눗셈이 각각 덧셈과 곱셈의 역연산으로 정의가 되지 않는 등 우리가 알고 있는 실수 체와 거리가 멀어지며 점차 연구할 가치를 잃어가게 된 것이다. 즉 0으로 나눌 수 있게 만든 수 체계가 도리어 왜 0으로 나누면 안 되는지 보여주기만 한 셈.
단적인 예로 [math(\displaystyle 0^∞)]의 정의이다. 위의 연산결과에 따르면
[math(\displaystyle {0^∞}=s)]
[math(\displaystyle ={(0^∞)\over(1^∞)})]
[math(\displaystyle ={s \over ⊥})]
그러면
[math(\displaystyle s={s \over ⊥})]
[math(\displaystyle 1={1 \over ⊥}={⊥})]
이라는 모순된 결과가 나온다. 사실 이렇게 된다면 [math(\displaystyle 0^∞)]을 [math(\displaystyle ⊥)]으로 정의하면 모순이 되지는 않지만, 그렇게 정의한다면 바퀴 이론은 기존 수 체계와 전혀 다른 수 체계를 다룬다는 뜻이 되어버린다. 부정형문서에서도 알 수 있듯이 0^∞은 부정형이 아닌 0으로 정의되는 값이다.
이와 관련한 논문은 1997년에 나왔지만, 위키피디아의 Wheel theory 문서도 그로 부터 7년이 지난 2004년에 만들어 졌고 나무위키의 바퀴 이론 문서는 논문이 나온지 26년만인 2023년에 만들어졌다는 것만 보아도 수학계에서도 주목을 크게 받지 못했다는걸 알 수 있다.[2][3] 따라서 바퀴 이론은 그저 0으로 나누기를 대수적으로 가능하게 만드려는 시도 중 하나일 뿐, 크게 연구 혹은 기존 수 체계와 병행하여 이용할만한 가치가 있다고 보기는 어렵다.
6. 둘러보기
[1]
기존 수 체계의 수의 순서 구조를 위상적으로 표현하면 일직선이다. 반면 순환하는 구조는 0으로 나누기 항목에 언급된 리만구의 2차원버전으로 바퀴에서 중섬의 특이점이 빠진 구조다.
[2]
여기서 한 술 더 뜨자면 바퀴 이론을 다루는 사이트는 미러 위키를 제외 한다면 앞서 서술한 바퀴 이론 논문, 위키피디아의 문서, 나무위키의 본 문서 딱 세개밖에 없다. 그마저도 나무위키의 본 문서는 개요에 달린
이상엽Math의 영상 업로드 이후에 생성된 문서이다.
[3]
구글에
바퀴 이론이라고 검색하면 정작 바퀴 이론에 대한건 거의 없고 사랑의 발달이란 바퀴처럼 하나의 순환과정으로서 라포형성단계, 자기노출단계, 상호의존단계, 개인욕구충족단계 네 가지 단계를 거친다는 내용의 이론인 사랑의 수레바퀴 이론과 새로운 형태의 소매점은 시장 진입 초기엔 저가격, 저서비스, 제한적 제품구색으로 시장에 진입하지만 비슷한 소매점이 생겨나고 경쟁하며 고비용, 고가격, 고소비 소매점으로 위치가 확립되고, 그 결과 새로운 유형의 소매점이 저가격, 저서비스, 제한적 제품구성으로 시장에 진입할 수 있는 여지를 제공하고 이것이 수레바퀴 처럼 반복된다는 내용의 소매 수레바퀴 이론이 더 많이 뜬다.
영어로 검색해도 별반 다를것이 없다. 1페이지엔 바퀴 이론의 내용과 그에 대한 질문을 하는 글이 뜨지만 2페이지로 넘어가 보면 역시 사랑의 수레바퀴 이론과 소매 수레바퀴 이론에 대한 설명 뿐이다.