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수와
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1. 개요
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중, 고교 교육과정에서 배운 지수법칙을 이용하여 다음처럼 부정형임을 증명하는 경우도 있지만, 밑이 0인 경우에는 일반적으로 지수법칙이 성립하지 않기에 엄밀한 증명은 아니다.
[math(\displaystyle 0^0 = 0^{1-1} = \frac{0^1}{0^1} = \frac{0}{0})] [2]
복소해석학에서, 두 복소수 [math(z)]와 [math(w)]에 대하여, 일반적으로 지수연산은 다가함수로 정의된다.
[math(z^w)] = [math(e^{w \cdot \log {z}})]
여기서 log가 복소로그함수라서 다가함수로 정의되기 때문인데, 해당 함수의 주치(principal value)만을 이용하여 정의한다고 하더라도 이변수함수이기 때문에, 두 값이 0에 한없이 가까워 질 때, 지수에 해당하는 [math(w \cdot \log {z})]는 [math(w)]와 [math(z)]의 관계에 따라 값이 다양하게 정의되는 [math(0 \times ∞)]꼴의 부정형이 된다. 즉, [math(0^0)]을 어떠한 값으로 정의하더라도, 모든 방향에 대하여 [math(z^w)]가 연속인 함수가 되게 하는 복소수가 존재하지 않는다.
참고로 [math(0^z (\rm Re(z)<0))]는 일반적인 복소수 범위에서는 해가 존재하지 않는다. 하지만 확장된 복소수에서 [math(0)]의 역수를 [math(\tilde {∞})]로 정의할 수 있는데, 해당 계산식은 [math(z)]의 실수부가 음수라면 허수부에 상관 없이[3] 항상 해당 값을 갖는다. 참고로 일반적인 양의 무한대∞와 같이 방향이 있는 무한대(directed infinity)로 정의되지 않는데, 이는 [math(0)]의 방향이 정의되지 않기 때문에 이의 역수에 해당하는 [math(\tilde {∞})] 역시 방향을 정의할 수 없기 때문이다. 즉, 해당 수의 부호나 실수부, 허수부를 구하는 함수를 씌우면 값이 정의되지 않는다.
2. 극한값
2.1. x의 x제곱의 극한
[math(0^0)]꼴의 부정형 [math(x^x)]는 다음처럼 우극한으로 나타낼 수 있다.[math(\displaystyle 0^0=\lim_{x \to 0^{+}} x^{x} )]
자연로그로 식을 다시 쓰면
[math(\displaystyle x^x = e^{\ln x^x} = e^{x\ln x} )]
이고, [math(x\equiv t^{-1} )]로 잡으면 [math(x\to0^+)], [math(t\to\infty)]가 되므로
[math(\displaystyle \lim_{x\to0^+} x^x = \lim_{t\to\infty} \exp \biggl( -\frac{\ln t}t \biggr) )]
이다. 이때, 지수의 극한값이 존재하므로 로피탈의 정리에 의해
[math(\displaystyle \lim_{t\to\infty} \biggl( -\frac{\ln t}t \biggr) \xlongequal{\textsf{l'H\^opital}} \lim_{t\to\infty} \biggl( -\frac1t \biggr) = 0)]
이 됨에 따라
[math(\displaystyle \lim_{x\to0^+} x^x = e^0 = 1)]
이 된다.
복소로그함수를 이용하면 좌극한은 물론 일반적인 복소극한도 생각할 수 있다.
[math(\displaystyle\lim_{z\to0}z^z=\lim_{z\to0}\exp(z\operatorname{Log}z)=\exp\left(\lim_{z\to0}z\operatorname{Log}z\right)=1)]
여기서 [math(\rm Log)]은 편각을 [math([0,2\pi))]로 제한한 복소로그함수이다.[* 이런식으로 치역의 편각을 [math(2\pi)] 기준으로 제한하는 것을 분지절단이라고 한다. 주로 [math([0,2\pi))]를 쓰지만 [math([a,a+2\pi))] 아무거나 써도 큰 문제가 생기지는 않는다. 심지어 [math(z \operatorname{Log} z)]는 편각을 어떠한 값을 고르더라도 0에 수렴하기에 [math(z^z)]는 분지절단을 하지 않더라도, 어떠한 방법으로도 1에 수렴한다.]
보통 부정형 [math(0^0)]의 값을 [math(1)]로 정의하는 이유가 바로 이것이다. [math(f(x)^{g(x)})]꼴의 식에서 밑과 지수 모두 [math(0)]에 가까워질 때, 밑을 [math(e)]로 치환한 함수의 지수에 해당하는 [math(g(x) \ln f(x))]의 값에 따라 어느 값에 수렴하는지가 정해지는데, 둘다 상수함수가 아닌 유한차 다항식의 꼴이라면 로피탈의 정리에 의해 항상 1에 수렴할 수밖에 없다. 만약 [math(g(x))]가 x에 대한 유한차 다항식인 경우 해당 식의 극한값을 의미있게 변경하기 위해서는 자연로그가 붙어있기 때문에 [math(f(x))]가 최소한 [math(\frac{1}{x})]에 대한 지수함수 이상의 수렴속도를 가져가야 한다.[4]
따라서 일변수 함수 중에서도 밑이 지수함수의 모양을 갖춘 경우 [math(0^0)]꼴의 부정형도 사실상 [math(0 \times ∞)]꼴처럼 다양하게 값이 정해진다. 이를테면, 다항식끼리의 지수연산에서 극한값은
[math(\displaystyle \lim_{x\to0} x^x = e^0 = 1)]
이지만, 밑이 지수함수인 경우, 지수법칙에 의해 곱셈식처럼 변하여
[math(\displaystyle \lim_{x\to0^+} (e^{-\frac{1}{x}})^x = \lim_{x\to0^+} e^{-\frac{1}{x}\cdot x} = e^{-1} = \frac{1}{e})]
[math(\displaystyle \lim_{x\to0^-} (e^{\frac{1}{x}})^x = \lim_{x\to0^-} e^{-\frac{1}{x}\cdot x} = e^{1} = e)]
[math(\displaystyle \lim_{x\to0^+} (e^{-\frac{1}{x^2}})^x = \lim_{x\to0^+} e^{-\frac{1}{x^2}\cdot x} = \lim_{x\to0^+} e^{-\frac{1}{x}} = 0)]
[math(\displaystyle \lim_{x\to0^-} (e^{-\frac{1}{x^2}})^x = \lim_{x\to0^-} e^{-\frac{1}{x^2}\cdot x} = \lim_{x\to0^-} e^{-\frac{1}{x}} = ∞)]
와 같이 극한값이 굉장히 다양하고, 심지어 같은 함수여도 위와 같이 좌극한과 우극한이 극단적으로 다른 경우도 존재한다.
2.2. y의 x제곱의 극한
그렇다면, 이변수함수 [math(f(x,\,y)=y^x)]은 어떨까? 이는 다음과 같이 생각할 수 있다.[math(\displaystyle 0^0 = \lim_{(x,\,y)\to(0,\,0)} f(x,\,y) )]
[math(y=0)]이라는 조건에서 이 극한을 생각하면 우극한은
[math(\displaystyle \lim_{x\to0^+} 0^x = 0)]
이 되고, 좌극한은
[math(\displaystyle \lim_{x\to0^-} 0^x = \tilde {∞})]
이 된다. 참고로, 해당 값은 부호에 구애받지 않기 때문에, 복소함수의 경우에는 실수부에만 영향을 받으며, 실수부가 0인 경우에는 아예 정의되지 않는다. 즉, [math(x)]가 실수일 때, 지수가 순허수인 [math(\displaystyle {0^{ix}})]꼴은 극한값 조차 정의되지 않는 것.
반대로 [math(x=0)]이라는 조건을 따라서 생각하면
[math(\displaystyle \lim_{y\to0} y^0 = 1)]
이 된다. 해당 조건은 [math(y)]의 절댓값이 0보다 크다면, 어떠한 복소수에 대해서도 성립한다. 따라서 두 변수의 조건과 극한이 진행하는 방향에 따라 그 극한값이 달라지기 때문에 [math(\displaystyle \lim_{(x,\,y)\to(0,\,0)} f(x,\,y) )]는 정의되지 않게된다. 같은 이유로 복소함수에서의 극한 [math(\displaystyle \lim_{(z,\,w)\to(0,\,0)} z^w )]도 정의되지 않는다.
따라서 [math(0^0)]꼴의 부정형은 일반적으로는 값을 정할 수 없으며, 극한 계산법에 따라 0, 1, [math(\tilde {∞})] 등 한정할 수 있는 경우도 있지만, 0의 순허수지수와 같은, 극한으로도 값을 한정하지 못하는 경우도 나오기 때문에 굉장히 독특하다고 할 수 있다.
2.3. 무한 번 제곱한다면?
우선 다음을 정의하자.[math( \overset{n}{\overbrace{a^{a^{\cdots^a}} }}=a\uparrow\uparrow n)]
이를 테트레이션(tetration)이라고 한다. 덧셈, 곱셈, 지수에 이은 4차 연산이라는 의미이다.
그리고 이 연산에서 [math(n)]을 무한대로 보내면 다음과 같이 된다.
[math(\displaystyle \lim_{n\to\infty} a \uparrow\uparrow n = -\frac{W(-\ln a)}{\ln a} )]
여기서 [math(\ln)]은 자연로그, [math(W)]는 람베르트 [math(W)] 함수이다.
이제 [math(a)]에 [math(0)]을 대입해 보자. 여기서 [math(\displaystyle \lim_{x\to0^+} (-\ln x) = \infty)]이고 [math(\displaystyle \lim_{x\to\infty} W(x) = \infty)]이므로 결국 위 극한은 [math(\dfrac{\infty}{\infty})] 꼴의 부정형이 된다.
여기서 부정형의 극한값을 구하기 위해 로피탈의 정리를 적용하면, 최종적으로 무한 번의 [math(0)]제곱은 [math(0)]에 수렴한다는 사실을 얻을 수 있다.
[math(\displaystyle \lim_{a\to0^+} \biggl( -\frac{W(-\ln a)}{\ln a} \biggr)
\xlongequal{\textsf{l'H\^opital}}0)]
3. 편의상 값을 정의하는 경우
부정형이라 어느 한가지 값으로 정의되지는 않지만, 계산기, 프로그래밍 등과 같은 실용적인 분야에선 편의상 [math(0^0=1)]로 놓는 경우가 많으며, [math(0^{-n}=\infty \,(n \in \mathbb{N}) )]로 두는 경우도 많다.수학 분야에 따라서 이산수학이나 수열 등에서 지수가 정수로 한정되는 경우에 한해 밑에 상관없이 0제곱을 한 값을 1로 두는 경우가 많은데, 이런 경우에는 [math(0^0)]은 1로 정의한다.
여기에서 더 많은 예시를 볼 수 있다.
3.1. 다항식
다항식 [math(f(x) )]를[math(\displaystyle f(x) = \sum_{k=0}^n a_kx^k )]
의 형태로 표현하고자 할 때, 지수가 이산적인 상황이므로, [math(x)]의 값에 관계없이 [math(x^0=1)]이라 놓으면 편리하다. 그렇기 때문에 다항식을 다룰 때 [math(0^0=1)]이라 정의하는 경우가 많다.[5]
3.2. 이항정리
x에 대한 항등식 [math((1+x)^n = {}_{n}{\rm C}_{0}×1^n×x^0 + {}_{n}{\rm C}_{1}×1^{n-1}×x^1... )]에서 x=0을 대입해보면 아래와 같은 등식을 얻게된다.[math((1+0)^n = 1 = {}_{n}{\rm C}_{0}×1^n×0^0 + {}_{n}{\rm C}_{1}×1^{n-1}×0^1... )]
이때 [math(0^1, 0^2... )]의 값은 모두 0이므로 2번째 이하의 항의 값은 모두 0이고, 이로 인하여 [math({}_{n}{\rm C}_{0}×1^n×0^0 )]의 값이 1이여야 한다. 이때 임의의 자연수 n에 대하여 [math({}_{n}{\rm C}_{0} = 1^n = 1 )]이므로 00의 값도 1이 되어야 함을 알 수 있다.
3.3. 함수의 개수
두 집합 [math(X)], [math(Y)]에 대하여 각 집합의 원소의 개수를 각각 [math(x)], [math(y)]라 하자. 그런데 만약 두 집합이 모두 공집합이라면, [math(X \to Y)]인 함수는 순서 모음 [math( (\varnothing,\,\varnothing,\,\varnothing) )]으로 단 하나 존재한다. 이런 관점에서 [math(0^0=1)]이라 정의할 수 있다.그렇기 때문에, 초한기수 문서에도 기재돼 있지만, 기수 0끼리의 지수 연산에서는 [math(0^0=1)]로 정의된다. 기수 역시 자연수의 연장선이라 할 수 있기 때문에, 이산수학적인 성격을 띈다.
3.4. 중복 순열
마찬가지로, 0개에서 0개를 중복을 허락해서 뽑는 경우의 수는 사실상 '그냥 안 뽑는 것' 딱 한 가지이다. 따라서 조합론의 관점에서 곱 규칙(rule of product)에 의해 [math(0^0=1)]이라고 할 수 있다. 사실 중복 순열은 특정 집합의 원소로 이루어진 n- 튜플의 개수이므로, 어떤 집합이든 0-튜플은 공집합으로 정의되며 위의 기수의 연산과 마찬가지로 이산수학적인 성격을 띈다.3.5. 뮌하우젠 수
뮌하우젠 수에서는 [math(0^0=0)]으로 정의한다면 추가적으로 0을 포함하여 두가지의 수가 뮌하우젠 수가 된다.3.6. 계산기 프로그램
- 많은 계산기 프로그램에서 [math(0^0=1)]로 정한다. 심지어 윈도우 계산기에도 0^0이라 치면 1이 나온다. 추측건대, 계산기가 모든 수의 0제곱을 1로 인식해서 그런 듯하다.
- 카시오 공학계산기에서는 'Math Error'라며 계산을 거부하고, TI-84 계열 계산기에서는 도메인 오류를 띄우며, Wolfram Alpha 역시 '정의되지 않은 값'이라는 결과를 표시한다. 아예 안드로이드 계산기에는 '정의되지 않거나 1임'이라는 결과를 표시해준다.
4. 바퀴 이론에서의 정의
실수와 [math(∞ = 1/0, ⊥ = 0/0)]을 포함하는 바퀴 위의 수 [math(a, b)]에 대하여[math(\displaystyle {a^b = e^{b \ln(a)}})]
라고 한다면, [math(a = 0, b = 0)]일때 [math(\displaystyle {e^{0 \ln0}= e^{0 \times ∞} = e^⊥})]이다.[6] 따라서,
[math(\displaystyle {0^0 = ⊥})]
이다. 사실 바퀴에서 [math(⊥)]는 부정형과 거의 동일한 의미로 쓰이는 기호이기 때문에 그냥 부정형이라고 보면 된다.
5. 관련 문서
[1]
다른 지수 형태의 부정형으로는 [math(1^\infty)], [math(\infty^0)] 꼴 등이 있다. 모두 자연로그를 이용하여 밑이 [math(e)]인 형태로 치환하면 비슷한 꼴이 된다.
[2]
수학자
오일러 역시 밑이 0인 지수꼴을 분수식으로 변경하여 약분한 뒤에 [math(0^0 = 1)]라는 잘못된 결론을 내렸지만 이후에 취소했다.
[3]
일반적으로 지수함수에서 허수부는 편각에만 영향을 주는데, 애초에 0의 역수의 편각은 정의되지 않기 때문이다.
[4]
해당 이유로, 수학자
뫼비우스 역시 [math(0^0)]의 값을 1로 정의했으나, 정작 [math(f(x))]와 [math(g(x))]를 유한차 다항식으로 한정하지 않아 밑이 지수함수인 반례로 인해 [math(0^0)]을 부정형이라고 인정할 수 밖에 없었다.
[5]
지수는 0으로 고정이고 [math(x)]의 값만 변하는 극한이라서 1로 고정이라 생각해도 편하다.
[6]
[math(\ln{0} = -∞)]라고 알고 있겠지만, 해당 대수학에서는 [math(1/0)]를 ∞로 표현한다. 일반적으로 0의 방향은 정의되지 않기 때문에 위에서 말하는 [math(\tilde{∞})]와 같은 의미이다.