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상대성 이론 Theory of Relativity |
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1. 개요
시간 지연( 時 間 遲 延) 또는 시간 팽창(time dilation, 時間膨脹)은 상대성 이론에서 시간이 상대적으로 흐르는 현상이다. 길이 수축이 고전 역학에서의 절대적인 공간의 개념을 부정했다면, 시간 지연 현상은 마찬가지로 절대적으로 여겨졌던 시간의 개념을 부정하였다. 물리학자 알베르트 아인슈타인은 1905년 특수 상대성 이론과 1915년 일반 상대성 이론을 발표하며 상대적인 시간 기준계 모델을 제시하였으며, 이 발견은 인류 과학사에서 가장 유명한 사건이 되었다.상황에 따라 시간이 다르게 흐른다는 사실은 언뜻 직관적으로 이해하기 어려운 기이한 현상일 수 있으나, 엄연히 거시적인 세계에서도 확인된다. 대표적인 예시가 우주공간에 떠 있는 인공위성과 지상의 시간차로, 각국의 우주센터에서는 매번 지표면에 발을 붙이고 살아가는 인간의 시계에 맞춰 지연된 인공위성 시계의 오차를 보정하고 있다.
시간 지연은 특수 상대성 이론과 일반 상대성 이론에서 다음과 같이 요약할 수 있다.
- 특수 상대성 이론에 따르면 움직이는 물체의 시간은 느리게 간다.[1]
- 일반 상대성 이론에 따르면 중력장은 시간의 흐름을 늦춘다.
여기서 중요한 전제가 있는데, 일반 상대성 이론은 관측자가 정지, 등속일 때를 포함하여 가속 운동하는 모든 상황까지도 적용가능(사실상 중력장이 존재하는 범위 내에서 전부 적용가능)하지만, 특수 상대성 이론은 관측자가 정지 또는 등속일 때만 적용 가능한 이론이다. 말 그대로 '특수한' 상황에서의 이론이다.
한편 시간이 아무리 느려진다고는 해도, 등속 운동만으로 시간을 반으로 늦추려면 광속의 [math(86.7\,\%)]로 달려야 한다. 즉 [math(259,627,884\,{\rm m/s})]이므로 1초에 [math(2.6 \times 10^5\,{\rm km})] 가량을 가는 속도. 중력장 및 가속운동에 의한 시간지연은 더 클 수 있으나, 태양 정도 질량 및 이와 동등한 가속으론 어림도 없다.[2][3] 즉, 인간이 시간지연을 체감할 수 있으려면 빛과 비견될 정도로 엄청 빠르거나, 블랙홀급 스케일의 중력장이나 이와 대등한 중력 퍼텐셜 차를 일으켜야 한다. 감마 인자에 대해 식을 세워놓고 풀어보면, [math(1\,\%)] 정도의 시간 지연이 일어나기 위해 필요한 속력은 광속의 [math(14\,\%)] (약 [math(4.2\times 10^4\,{\rm km/s})]) 정도이다.
2. 움직이는 물체의 시간 지연
로런츠 변환식으로부터 길이 수축이라든가 시간 지연 같은 걸 나타내는 식을 이끌어낼 수 있다. 그중 한 예가 바로 시간 지연을 나타내는 식[math(\displaystyle \begin{aligned} \Delta T=\gamma \Delta T' \end{aligned} )]
여기서 [math(\Delta T)]은 정지한 관측자의 시간 간격, [math(\Delta T')]는 운동하는 관측자의 시간 간격을 나타낸다. [math(')]은 어떤 기준 관성계를 기준으로 운동한다는 뜻에서 붙였다. [math(\gamma)]는 로런츠 인자로 상대론에서 빈번히 등장하는 값이다. 이 식은 운동하는 물체는 정지한 관측자의 좌표를 기준으로 시간이 느리게 가는 것으로 관측이 된다는 뜻이다.
우리가 경험하는 일상적인 세계에서는 속도의 제곱이 광속의 제곱에 비해 매우 작으므로 [math(\gamma)] 값이 1에 매우 가까운 숫자가 되고, 따라서 [math(\Delta T')]과 [math(\Delta T)]도 아주 거의 비슷한 값이 된다. 물론 1에 매우 가까울 뿐 1은 아니기 때문에 [math(\Delta T')]과 [math(\Delta T)]가 완전히 같은 값이 될 수는 없다.
사실 등속도 운동이 아니더라도 다음과 같이 원운동을 하는 물체에도 위 식을 적용할 수 있다. 아래 그림과 같이 멈춰있는 파란색 시계는 움직이는 빨간색 시계보다 빨리 흐르며, 그 비율은 [math(\gamma)]와 같다.
2.1. 광속 불변의 원리를 이용한 설명
이 식은 광속의 불변을 공리로 깔고 사고 실험으로 광자시계라는 것을 생각해보면 도출 할 수 있다. 광자시계는 거리를 두고 마주 보는 반사율 100%인 거울 사이를 광자 하나가 오가는 것을 생각하면 된다. 마주 보는 거울이 배치 된 열차를 생각하면 된다. 이것이 시계인 이유는 광속이 일정하기 때문이다. 광자가 거울 사이를 왕복하는 횟수가 곧 흐른 시간과 비례하기 때문에 광자 왕복 횟수로 시간을 잴 수 있다.아래의 그림 (가)와 같이 관성 좌표계의 외부 관측자에 대하여 [math(v)]의 속력으로 움직이는 우주선을 고려하자. 우주선 바닥에는 바닥과 수직인 방향으로 레이저가 장착되어 있고, 천장에는 평면 거울이 장착되어 있다. 레이저에서 펄스(광자 한개 정도를 방사했다고 생각하자.)를 방사하면 우주선 안의 관측자는 그림의 청색 경로로 움직이는 것을 관측할 것이고, 외부 관측자는 그림의 적색 경로로 빛이 움직였다고 관측할 것이다. 외부 관측자와 우주선 안의 관측자가 관측한 레이저에 빛이 나옴을 관측하는 순간 사건과 거울에 반사되어 다시 레이저로 돌아왔을 때 사건 사이의 시간 간격을 각각 [math(\Delta T)], [math(\Delta T')]이라 하자. 이때, (나)가 성립하게 될 것이다. [math(c)]는 광속이다.
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| [math(\displaystyle \begin{aligned} c^{2} \left( \frac{\Delta T'}{2} \right)^2 &= (c^2-v^2)\left( \frac{\Delta T}{2} \right)^2 \\ (\Delta T')^2 &=\left[1-\left(\frac{v}{c}\right)^2 \right] (\Delta T)^2 \\ \\ \therefore {\Delta T}&=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\dfrac{v}{c}\right)^2}}{\Delta T'}\\&=\gamma \Delta T' \end{aligned} )] |
바로 위의 식에서 특수 상대성 이론에서 말하는, "빛보다 빠른 물질은 없다."라는 결론이 도출된다. 시간에 관해 정리한 식이므로 우변에 있는 [math(\Delta T‘)]에 곱해져야하는 숫자는 반드시 실수여야만 한다. 그러므로 루트 안에 있는 [math(1 - (v/c)^2)]라는 식은 항상 0보다 커야만 하기 때문에, 분자에 있는 [math(v^2)](우주선이 움직이는 속력)은 항상 [math(c^2)](광속)보다 작아야만 한다는 결론이 나온다.
2.2. 로런츠 변환을 이용한 설명
정지한 관성계에 대하여 [math(v)]의 속력으로 움직이는 좌표계 [math(\mathcal{O}')]에서 같은 공간에서 일어난 사건의 간격이 곧 고유 시간이 된다. 따라서 두 사건 [math({\rm P}(ct_{\rm P}',\,x_{0}'))], [math({\rm Q}(ct_{\rm Q}',\,x_{0}'))]를 고려한다. 고유 시간은[math( \Delta T' =t_{\rm Q}'-t_{\rm P}' )]
각각을 로런츠 변환하면 한편, 정지한 좌표계 [math(\mathcal{O})]에서 측정한 시간은
[math( \Delta T =t_{\rm Q}-t_{\rm P} )]
각각을 로런츠 역변환하면
[math( \begin{aligned} \Delta T &=\gamma \left[\left( t_{\rm Q}'+\dfrac{v}{c^2}x'_{0} \right)-\left( t_{\rm P}'+\dfrac{v}{c^2}x'_{0} \right)\right] \\&=\gamma (t_{\rm Q}'-t_{\rm P}') \\&=\gamma \Delta T' \end{aligned} )]
다음은 시간 지연을 민코프스키 다이어그램으로 나타낸 것이다.
2.3. 관련 문서
3. 중력장에 의한 시간 지연
등가원리 문서의 마지막 단락에서 이끌어낸 결과를 가져오자면 [math(\Delta \Phi \ll c^2)]를 만족하는 충분히 약한 중력장[4]에서 두 지점 A, B에서 흐른 시간의 비는 아래와 같이 주어진다. 이는 등가원리를 응용하여 도출할 수 있다.[math(\displaystyle \begin{aligned} \dfrac{\Delta t_A}{\Delta t_B} \approx 1+\dfrac{\Phi_A-\Phi_B}{c^2} \approx \exp\left(\dfrac{\Phi_A-\Phi_B}{c^2}\right) \end{aligned} )]
3.1. 예시: 태양계
이를 태양계에 적용해 보면 아래와 같이 나타난다.|
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지구시(TT, 혹은 역표시(ET))와 국제원자시(TAI)는 지표면을 기준으로 한다. 여기서 지구 중력장에 의한 시간 지연을 뺀 지심좌표시(TCG)와 비교하자면 지구 중력장이 만든 퍼텐셜차가 시간의 흐름 비를 결정한다.[5] 즉 수식으로 나타내면 아래와 같다.
[math(\Phi_{\text{TCG}}-\Phi_{\text{TT}}=\dfrac{GM_{\text{Earth}} }{R_{\text{Earth}} })][6]
따라서
[math(\dfrac{\Delta t_{\text{TCG}} }{\Delta t_{\text{TT}} }=1+\dfrac{GM_{\text{Earth}} }{c^2 R_{\text{Earth}} } \approx 1+7\times 10^{-10})]
이번에는 태양 중력장 내에서 지구와 같이 공전하는 TCG와 공전하지 않는 시계 [math(\rm X)]를 비교하자면 지구의 공전속도 항이 들어간다.
[math(\dfrac{\Delta t_{\text{X}} }{\Delta t_{\text{TCG}} }=\left(1 - \dfrac{v_{\text{Earth}}^2}{c^2}\right)^{-\frac{1}{2}}\approx 1+5\times 10^{-9})]
다만 지구는 실제로 공전속력과 태양으로부터의 거리가 미세하게 변하는 타원운동을 하기 때문에 실제 계산은 훨씬 복잡하다.
또한 시계 [math(\rm X)]에서 태양을 비롯한 나머지 천체의 중력장까지 다 배제하면 TCB가 된다. 이 둘 사이의 비율은 태양의 중력장에서 도출할 수 있다.
[math(\dfrac{\Delta t_{\text{TCB}} }{\Delta t_{\text{X}} }=1+\dfrac{GM_{\text{Sun}} }{c^2 R_{\text{Earth\ orbit}} } \approx 1+1\times 10^{-8})]
따라서 TAI로 1년이 흐를 때, TCG는 (1년+0.02초), 시계 [math(\rm X)]는 (1년+0.18초), TCB는 (1년+0.49초) 흐름을 알 수 있다. 추가로 계산해보자면 태양 표면에서는 (1년-33초) 흐르게 된다. 꽤 미세한 차이지만, 과학에서는 이런 시각 표기 체계를 엄연히 구분해서 쓴다.
3.2. 예시: 인공위성
내비게이션에 위치 정보를 보내주는 인공위성은 대략 4㎞/s로 인공위성은 지구 주위를 빠르게 공전한다. 이때 지표면보다 위에 있으므로 일반상대론 효과로 시간이 좀 더 빨리 흐르며(아래 그림의 초록색 곡선), 초속 수 [math(\rm km)]로 공전하므로 시간의 흐름이 느려진다.(빨간색 곡선) 파란색 곡선이 알짜 효과이며, 그래프의 세로 축은 지표의 원자시계로 1초 흐를 때 인공위성에서 몇 피코초 더 빨리 흐르는지를 나타낸다.이 그림에 따른다면 지표에서 하루([math(86400\,{\rm s})])가 흐를 때 GPS는 [math(30\text{-}40\,{\rm{\mu}s})] 더 흐른다. 이를 보정하지 않으면 내비게이션과 같은 위치추적 장치는 하루에 [math(10\,\rm{km})] 정도의 오차를 내고 만다. 전파 신호로 위치를 추적하므로 하루 당 오차에서 광속을 곱하면 된다. GPS가 매일 그만한 시간 지연과 함께 일반 상대성 이론에 따른 중력 관련 오차를 수정해주기 때문에 지상에서의 위치를 정확하게 추적할 수 있는 것이다.
3.3. 관련 문서
4. SF에서의 시간 지연
SF장르, 그중에서도 특히 우주 여행을 다루는 작품에서 심심찮게 등장하는 요소다. 아광속 여행을 통해 미래로 워프하는 것은 가능하지만, 과거로 가는 것은 불가능하므로 자신이 출발했던 시대(본인에게는 며칠 전으로 느껴지는)로 다시는 돌아갈 수 없기 때문. 한편으로는 가장 많이 무시되는 과학 법칙이기도 하다. 이걸 다루기 시작하면 창작자들도 매우 머리가 아프기 때문. 과학법칙을 빡빡하게 지키려 하는 하드 SF작품들 속에서도 적지않은 수의 작품들이 시간지연을 무시한다.보통 다섯 가지 방법으로 해결한다.
- 시간 지연을 받아들이고 현실적인 범위 내로 세계관의 크기를 한정한다.
- 다시는 원래 시대로 돌아가지 않을 각오가 된 막장들만 취급한다.
- 그런 거 필요없고 텔레포트! 즉 상대성 이론을 따르지 않는 이동 방법을 등장시킨다.
- 시간 지연이 이루어지고 세계관의 크기도 크며 시간 지연 자체가 스토리텔링의 한 축이다. 시간 지연을 겪는 등장인물들은 이로 인해 원래 세계와 격리되어간다.
- 그냥 무시하거나 기술에 대한 설명을 하지 않는다.
[예] 은하수를 여행하는 히치하이커를 위한 안내서와 어슐러 K. 르 귄의 앤서블도 넓게 보면 3의 범위에 속한다. 다만 사람이 아닌 정보만을 전할 수 있다.
[예] 인터스텔라, 톱을 노려라!, 영원한 전쟁, 배틀타임트랩: 초시공간여행(원제: Time Trap, 영화 자체가 배틀이랑 상관없다.), 별의 목소리, 혹성탈출(1968년 영화), 최근에는 픽사의 버즈 라이트이어(애니메이션)가 이 대열에 합류했다.
[1]
이 말은 중의적 표현을 띠고 있다. 정지된 관측자의 입장에서 매우 빠르게 움직이는 물체의 시곗바늘은 관측자보다 느리게 움직인다. 반대로 매우 빠르게 움직이는 물체에 위치한 관측자는 주변 환경의 시곗바늘이 자신보다 더 느리게 움직일 것이다. 다만 이건 물체의 입장에선 물체의 시간이 더 빠르게 간다고 말할 수도 있다. 시간이 빠르다·느리다라는 애매한 표현보다는 시계바늘을 통한 설명이 시간 지연을 설명할 때에는 더 유용하다. 중의성을 제한하면 '관측 관성계에 대해 상대 운동하는 물체의 시간은 더 느리게 흐른다' 정도의 의미가 된다.
[2]
그나마도 이 수준이 지구 공전 속도(약 [math(30\,{\rm km/s})])로 인한 영향보다 두 배 크다.
[3]
현재까지 인간이 만들어낸 가장 빠른 탐사선인
파커 태양 탐사선의 순간속도는 초속 192km인데, 이 속도를 유지하며 무려 56일을 이동해야 겨우 1초 후의 미래로 갈 수 있다.
[4]
태양계에도 적용 가능
[5]
물론 지구의 자전까지 고려해야 하지만 시간 지연 효과가 아래 서술하는 것보다 훨씬 작아서 편의상 생략
[6]
만유인력장의 단위질량 당 퍼텐셜 에너지에 해당된다.
[7]
그런데
스타크래프트 2를 보면 기술력이 테란보다 우월하다는
UED도 아니고
히페리온과 같은
코프룰루 구역의 테란 함선도
초공간도약으로 보이는 항법을 잘만 쓴다. 하기야 이 동네는
생물인
저그
거대괴수도 초공간 도약 같은 걸 하긴 하지만….