노가다(수학)

시행착오법에 대한 내용은 시행착오법 문서 참고하십시오.


흔히 생각하는 계산 노가다[1]	리만의 계산 노가다[2]	선형대수학의 계산 노가다[3]

1. 개요2. 시행착오법?3. 예시

3.1. 대수학에서3.2. 해석학, 미적분학에서3.3. 물리학

1. 개요

수학 문제 풀이법에 대한 은어. 시간만 있으면 계산을 반복함으로써 답을 얻을 수( 알고리즘)는 있으나 한방에 풀어내는 규칙이나 공식은 잘 모르겠을 때, 엄청난 시간을 들여 단순 계산을 반복하면서 답을 도출하는 것을 말한다. 현재에도 컴퓨터, AI는 이렇게 계산하고 답을 낸다.

이외에도 무지막지한 계산 과정(특히 해석계열) 그 자체를 이르는 의미로도 쓴다. 계산만 많은 저학년 문제, 공식을 알면 계산을 적게 해도 풀 수 있는 고학년 문제 식으로 비교되기도 하며, NGD(NoGaDa. 노가다를 그럴 듯하게 영어로 쓴 것이다.)라고 쓰기도 하며, 비슷한 것으로 GND(중노동), GDND(고된노동), MND(막노동)이 있다.

실제 영미권에서는 Bash라 불리며, 암호학에서는 브루트 포스라고 부른다.

2. 시행착오법?

이 문서에서는 '노가다'라는 것이 단순히 복잡한 계산을 의미하기 때문에, '적합한 수를 대입해보고 안 되면 다른 수를 대입해보는 방식'의 시행착오법(trial and error), 발견적 추론, 예상과 확인과는 다르다. 예시: 삽자루의 청도 우시장 문제다.[4]

나무위키 작성자의 착오로 실제로는 시행착오법이지만 이곳으로 다이렉트된 경우가 많기에 착각하지 말자. 이하 문단에서도 이를 구분짓지 못하고 서술한 부분이 일부 있으므로 적합한 수정이 이루어질 때까진 걸러 읽자. 다만 학생들 입장에서는 계산 결과 답이 나오지 않으면 사실상 버려지는 계산이기에 한 시행에 필요한 계산이 많을수록 달갑지 않은 건 사실이며, 이 방식의 특성상 뭔가 "찍는다"는 느낌이 강한 것도 있다.

3. 예시

3.1. 대수학에서

곱셈 공식, 인수분해를 할 때 아래의 이항정리

[math(\displaystyle (a+b)^{n}=\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} a^{r}b^{n-r} )]

의 성질을 이용하는데, [math(n)]의 값이 클수록 계산량이 무지막지해지는 것을 알 수 있다.

초등학생들이 통분을 어려워하는 이유 중 하나이기도 한데, 단순히 분모를 합치는 게 아니라

[math(\displaystyle \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \times d}{b \times d} + \frac{c \times b}{d \times b} = \frac{ad+bc}{bd})] (2개의 분수의 통분)
[math(\displaystyle \frac{a}{b} + \frac{c}{d} + \frac{e}{f} = \frac{a \times d \times f}{b \times d \times f} + \frac{c \times b \times f}{d \times b \times f} + \frac{e \times b \times d}{f \times b \times d} = \frac{adf+bcf+bde}{bdf})] (3개의 분수의 통분)

꼴로 계산해야 하기 때문이다.

또한 선형대수학에서는 수를 묶음( 벡터, 행렬 등)으로 계산하므로 필연적으로 노가다가 된다. 대표적으로 내적

[math(\displaystyle \left<{\bold a},\,{\bold b}\right> = \sum_{k=1}^{\dim {\bold a}}\overline{a_k} b_k)]

이 있다.[5] 그리고 행렬곱은 이 내적의 반복 계산이다. 노가다와는 별개로 벡터를 볼드체로 적어야 되기 때문에 대학 초년생들은 이를 피하려고 별별 짓을 하게 된다. 물론 벡터 같은 경우에는 볼드체가 아니라 화살표 기호를 쓸 수는 있다. 허나 유클리드 공간상의 벡터가 아닐 경우 쓰기 곤란하고 그만큼 더 펜을 많이 쓰게 되는 건 함정이다. 현대대수학까지 가면 [math(\mathcal Q)][6], [math(\mathscr{H})][7], [math(\frak G)][8]같이 별별 캘리그래피 읽고 쓰는 법까지 죽어라 익혀야 해서 다른 의미의 노가다가 된다.

이러한 수식이 무진장 등장하는 상대성 이론에서는 편의를 위해 아인슈타인 표기법이라는 약식 표기를 쓰기도 한다.

3.2. 해석학, 미적분학에서

시쳇말로 ' 극한직업'으로 일컫는 것이 이런 쪽을 취급하는 이들일 정도로 밑도 끝도 없는 계산으로 악명높다. 문서 상단에 있는 리만의 깜지만 봐도 잘 알 수 있다.

원인은 다음과 같다.

계산 과정에 무한급수를 다룬다. 원래 식은 간단한 모양이지만 미분이나 적분을 하기 위해서 일종의 무한급수인 테일러 급수로 변환시켜야 하는 일도 잦다. 복소해석학까지 가면 이것도 모자라서 분수항까지 동원하는 로랑 급수까지 등장한다.
정적분을 처음 배울 때 구분구적법이라는 것을 익히게 되는데, 일일이 구간을 쪼개서 리만 합으로 보내는 과정이 상당한 고역이다. 이걸 두 값을 대입한 부정적분의 차로 정리한 오귀스탱루이 코시에게 그랜절을 올려야 할 정도다.
미적분의 기본정리를 쓰더라도 일부 초등함수, 그 가운데 유리함수는 사실상 노가다를 면치 못한다. 적분하기 좋게 부분분수분해를 해야 하는데, 이 과정에서부터 팔저림을 호소하는 학생들이 숱하다.
부분적분, 치환적분, 라플라스 변환, 푸리에 변환 같은 '샛길'의 존재. 쌩으로 푸는 것보다는 쉬워지지만 그만큼 계산 과정이 길어진다.
편미분방정식까지 가면 '여러 개의 수를 뭉탱이로 계산하는'[9] 선형대수학적 방법이 추가된다.
좀 더 수준이 올라가면 미분형식, 중적분, 위상 공간 같은 게 나와서 안 그래도 복잡한 식을 난장판으로 만든다.
상당수의 특수함수가 함숫값 하나 구하는 것 자체가 노가다의 향연이다. 가령 베셀 함수의 경우 미분방정식부터 풀어야 한다.

예를 들자면 [math(displaystyle int frac{sin x}x ,{rm d}x )]를,

[math(displaystyleintleft(1-frac{x^2}{3!}+frac{x^4}{5!}-frac{x^6}{7!}+cdots+left(-1right)^nfrac{x^{2n}}{(2n+1)!}+cdotsright)mathrm{d}x)]

이렇게 풀어야 답이 나온다는 이야기이다.

이 때문에 미분방정식을 다루는 물리학(특히 유체역학 [10]), 미분 기하학, 해석계열 수학과목 [11]은 손가락이 부서져라 계산해야 하는 것이 일상일 수준이다. 다만 이 경우는 흔히 계산 노가다 하면 떠올리게 마련인 '시행착오'법이라고 부르기는 곤란한 면이 있다. 이는 시행착오를 겪어서가 아니라 순전히 무지막지한 계산량 때문에 노가다로 부르는 경우이기 때문. 예를 들어 해석학의 백미라 할 수 있는 엡실론-델타 논법에서는 양수 [math(\varepsilon)]을 갖고 양수 [math(\delta)]를 정의할 것이 요구되는데, [math(\varepsilon/n)]으로 나누거나 [math(\varepsilon)]과 어떤 양수 중에서의 maximum 또는 minimum을 설정하는 등의 계산이 시험에서는 시간은 많이 잡아먹으면서 정확도는 담보 못하는 함정 중의 함정이다. 당장 극한의 선형성을 증명하는 자리에서도 boundedness의 정의와 삼각부등식 쪼개기를 여러 차례 반복하느라 많은 학생들의 분노 게이지가 높아지고, 합성함수의 리만적분 가능성이나 그것을 이용한 일부 증명들은 참고도서 없이 백지상태에서 시키면 학부 고학년, 심지어는 대학원생들조차도 일부 우등생만이 오랜 경험과 여러 선행 정리를 총동원해가며 겨우겨우 증명 마지막에 [math(\varepsilon>0)]을 깔끔하게 '짜낼' 수 있는데, 2학년들이 보는 시험에서 이런 짓을 시키면서 논리가 타당함에도 계산이 틀렸다는 이유로 싹 감점하는 것은 너무 무자비한 일이다. 그래서 계산이 깔끔하지 못해도 교수나 조교들은 어떻게든 부분점수 퍼줄 구석을 찾아내려는 열린 마음으로 채점에 임하며, 그렇기에 논리 전개가 타당하다면 계산이 지저분하고 오류가 섞여있더라도 어느 정도는 넘어가준다. 해석학은 이렇게 자신이 써놓은 답안이 오류 투성이 헛소리 같아도 열심히 노가다를 행하다보면 종강 며칠 후 성적으로 A가 떠 있을 수도 있는 기괴한 과목이다.

수학교사라면 임용고시에서 열률을 계산하기 위해 계산 노가다를 해본 경험이 있을 것이다. 바로 미분기하학 과목인데, 이 과목은 그 노가다 심하다는 해석학과 선형대수에서 익힌 것을 바탕으로 곡선과 곡면을 거쳐 보다 일반적인 개념인 다양체를 공부하는 계산의 향연이다. 어디까지나 학부 졸업생 수준에서 출제되기 때문에 임용 미분기하학의 출제범위 자체는 아주 넓은건 아니지만, 그 살떨리는 경쟁률의 치열한 시험에서 아무리 사소한 계산 실수조차도 낙방과 재수로 이어지기 때문에 대한민국의 수학 시험에서 맛볼 수 있는 가장 끔찍한 노가다 중 하나라 할 수 있다. 게다가 미분기하학의 노가다가 강렬해서 그렇지 임용시험의 다른 해석학 과목에서 계산 노가다 문제가 없는 것도 아니니 수험생들은 붙고 싶으면 그냥 열심히 계산하는 수밖에 없다.

해석적 정수론도 별반 다르지 않다. 고작(?) 자연수의 성질을 알아내려고 몇 겹이나 되는 자연로그([math(\log \log \log \log x)][12] 같은...)라든가 온갖 해석학적 계산 노가다를 하게 된다.

3.3. 물리학

물리학에서도 빼놓을 수 없다. 어쩌면 추상적인 범위로 표현된 수학 구조의 증명과 귀결로 이루어진 현대 수학보다 더 노가다가 필요할지도 모른다. 가깝게는 접두어 변경[13]이나 국제단위계 ↔ 미국 단위계 환산[14]부터, 멀게는 물리학의 최전선에서 각종 자연 단위계 변환까지 노가다가 판을 친다. 게다가 유효숫자와 차원까지 고려해야 하고 차원분석을 통해 제대로 계산하고 있는지 수시로 확인해야 하기 때문에 생각 이상으로 머리를 굴릴 일이 많다.

가령, 플랑크 온도를 구하기 위해서는

[math(\begin{aligned} \displaystyle h &= 6.626\,070\,15\times10^{-34}\rm\,J{\cdot}s \\ c &= 299\,792\,458\rm\,m{\cdot}s^{-1} \\ G &= 6.674\,30(15)\times10^{-11}\rm\,N{\cdot}m^2kg^{-2} \\ k_{\rm B} &= 1.380\,649\times10^{-23}\rm\,J{\cdot}K^{-1} \\ \displaystyle \pi &\equiv \int^1_{-1} \frac{{\rm d}t}{\sqrt{1-t^2}} = 2\int_0^1 \frac{{\rm d}t}{\sqrt{1-t^2}} \\ &\Leftrightarrow 2\int_{-1}^1 \frac{{\rm d}t}{1+t^2} = 4\int_0^1 \frac{{\rm d}t}{1+t^2} \\ &\approx 3.14159265358979 \cdots \end{aligned})]

이 다섯 개의 상수에 대한 식을 모조리 계산해야 하는 노가다가 필요하다.[15]

해석학을 사용하는 이론물리학 분야로 넘어가도 노가다는 당연히 존재한다. 양자 단위의 장의 자취를 나타내는 양자화중 정준양자화, 슈윙거 적분과 경로적분의 기반은 푸리에 변환으로 이루져있다. 라그랑지언과 해밀토니언으로 푸리에 변환 범위가 기본적으로 지정돼있는데, 이들은 운동, 포텐셜, 스칼라, 상호작용따위의 성분별로 쪼개고, 대칭, 변환, 변칙등으로 항을 추가하고 맞추면서, 공식의 길이가 n줄로 늘어나는데, 수학적으로 분석하려면 노가다가 필요하다.

이러한 양자화, 특히 경로적분의 메커니즘을 살펴보기 위해서는 라그랑지언 혹은 해밀토니언을 크게 “리만 합으로 표현된 운동 성분“, “포텐셜 성분“, “상호작용 성분“으로 일일히 쪼개서 최소 작용의 원리에 따라 각 성분별로 소거 및 정리해나가고, 최종적으로 그린함수 내지는 전파인자를 정의해나가서 노가다가 발생한다. 자세한 것은 경로적분 문서를 참조하면 된다.

이를 수렴하도록 하는 재규격화로 나타내는 과정 또한 성분을 확장하고, 더하고 쪼개는 바람에 노가다가 요구된다. 포텐셜을 테일러 전개하여 n계 미분항까지 확장시키고, 조절항과 같은 추가 보정항을 더한다면 식이 1n줄 이상 넘어가 컴퓨터 대수 프로그래밍 패키지[16]으로 이를 나타내야 한다.

계산물리학은 노가다 그 자체이다. 전파인자가 2종류밖에 없는 양자화의 계산마저도 변환이 수렴하지 않아 매개변수화 및 재규격화를 해서 형태 인자를 구하는 과정도 당연히 노가다가 요구되는데, 전파인자가 n종류면 노가다 수준을 넘어선 영역이라서 컴퓨터가 계산을 해야 한다.

이렇게 노가다가 심하다 보니 각종 가정[17]을 붙여서 수식을 간략화시키려는 경향도 있는데, 그래서 아래와 같은 유머도 있을 정도다.

레너드 호프스태터: 어떤 농부가 자기 닭이 알을 안 낳아서 물리학자를 불렀대. 그런데 물리학자가 말하기를: "해결책이 있지만, 오직 진공상태의 구형 닭에게만 효과가 있을 테요."

"A farmer has some chickens who don't lay any eggs. The farmer calls a physicist to help. The physicist does some calculation and says "I have a solution but it only works for spherical chickens in a vacuum!"

- 빅뱅 이론

[1] 첫 문제의 출처는 2004년 고3 3월 학평 나형 14번이고, 두 번째 문제 출처는 2007년 고1 6월 학평 26번 문제이다. 세 번째 문제는 2006년 고2 6월 학평 가형/나형 13번 문제이다. 첫 번째 문제는 1, 1+2+3+4, 1+2+3+4+...+7, ... 로 이어지는 수열이므로 10번째는 1+2+3+...+28=14×29=406이 된다. 두 번째 문제의 답은 4×50=200이며, 세 번째는 한 자리 숫자가 차지하는 칸이 3×10=30칸이고, 두 자리 숫자가 차지하는 칸이 4×90=360칸, 세 자리 숫자의 칸은 391번째부터 5칸씩을 차지하므로 395, 400, ... 번째 칸은 공백이 되며, 1,000번째 칸도 역시 공백이다. [2] 미분기하학(정확히는 리만기하학)에 대한 노가다다. 출처 [3] 3차 정사각행렬의 역행렬을 각각 첨가행렬과 크라메르 공식으로 구하는 과정이다. 출처 [4] 해당 글이 카페 회원들만 볼 수 있게 막혀있는 관계로 간략히 설명을 하자면, 연립일차방정식 문제를 푸는 방법에 대한 얘기다. 초등학생 시절에는 일일이 값을 대입해서 정답을 때려맞추는 노가다 방식으로 풀 것이고, 중학생 이상이면 가감법이나 대입법을 쓸 것인데, 보통 초딩이 후자 방식으로 풀면 학부모들이야 멋모르고 습득이 빠르다며 좋아하겠지만, 노가다 방식이 왜 그 방정식의 값이 이렇게 도출되는지를 터득하는 추론 능력을 길러주기 때문에, 실제로는 전자의 방식이 학생들의 학습에 있어서 매우 중요하다는 얘기다. [5] 저 [math(\overline{a_k} b_k)]만 보고 저게 왜 노가다지? 하고 의문을 갖는 사람이 있을텐데, 켤레가 취해진 것을 보듯 저건 복소수끼리의 곱, 즉 다항식×다항식 꼴이다. 쉽게(?) 풀어서 쓰자면 [math(\Re(a_k)\Re(b_k) + \Im(a_k)\Im(b_k) - \Im(a_k)\Re(b_k)i +\Re(a_k)\Im(b_k)i)]인 셈. 그리고 한 번으로 끝나는 게 아니라 벡터의 성분 개수만큼 해야 한다. 흔히 생각하는 내적은 고등학교 수준에서 [math(\Im(a_k) = \Im(b_k) = 0)]임에 따라 [math(\Re(a_k)\Re(b_k))]만 남은 꼴이다. [6] 흘림체 Q [7] 필기체 H [8] 블랙레터 G [9] 행렬곱, 역행렬, 삼각화, 대각화, 내적, 외적, 텐서곱 등 다수 [10] 상대성 이론을 전공하는 사람이 "그쪽 분야는 참 힘들게 산다." 라고 혀를 찰 정도다. 물론 일반상대성이론의 기반이 미분기하학 등 수학과 고학년~대학원 수준 수학임을 생각하면 요쪽도 만만찮기는 마찬가지. [11] 수치해석학 제외. 이건 사실 컴퓨터에게 노가다를 시키는 과목이라서 제외된다. [12] 보통 저 [math(x)] 자리에 손으로 적을 엄두조차 못 내는 큰 수가 들어간다. [13] 센티미터를 밀리미터로 바꾸는 등 [14] 야구 중계를 보다 ' 3피트가 얼마나 되지?' 하고 찾아본 일이 있을 것이다. [15] 가령 마지막에 있는 상수인 원주율의 경우, 두번째 줄의 식를 이용하면 십만 개의 항까지 계산해야 겨우 [math(3.1415\mathbf{8}\cdots\cdots)]이 된다. [16] Sympy, xAct등 [17] 완전한 구체, 이상 기체 or 완전 진공 상태, 마찰력이 없음 등