7차 교육과정/수학과/고등학교/미분과 적분

1. 개요

2. 단원과 내용

2.1. Ⅰ. 삼각함수

2.1.1. 삼각함수의 덧셈 정리

• 단순하게 생각하면 sin(A+B) = sinA+sinB라는 식이 왠지 성립할 것 같으나 실제로는 성립하지 않는 등식이다. 삼각함수의 덧셈정리는 이를 해결하기 위해 발견됐다고 할 수 있다. 정답부터 말하자면, sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB이다. 암기를 지향하는 학생들은 싸코플코싸로 외우기도 한다. 이 정리는 벡터의 내적이나 제2코사인법칙으로 유도한다.(증명 과정은 생략) 벡터의 내적으로 증명하는 것이 더 간단하다.
• 삼각함수의 덧셈 정리를 이용하여 두 삼각함수의 합차로 이루어진 식을 합성할 수도 있게 된다. 이를 이용하여 여러 가지 공식을 유도할 수 있게 되는데, 공식이 무려 20가지가 넘어간다. 암기를 복잡해 하고 두려워 하던 학생들(거의 대부분이 해당되므로) 대부분이 여기서 고배를 마시거나 포기를 하게 된다. 여기서 알아야 할 짧고 굵은 팁을 하나 주자면 「외우면 어렵다.」이다. 그러나 외우지 않고 유도해서 풀게되면 시간부족에 허덕이게 된다.

• 그나마 쉬운 문제들이 나오던 단원이었다. 선택 26번, 즉 첫번째 문제로 등장하는 쉬운 3점 문제가 주로 나왔었다.

2.1.2. 삼각방정식·부등식의 일반해

• 고1 과정에서는 sinx+n=0와 같이 단순한 방정식 또는 ncos(x+θ)=sinx정도의 응용 문제로 나왔으나, 여기서는 식을 합성하거나 여러 가지 공식으로 풀어나가게끔 식을 꼬아서 낸다. tanx+tan³x=0 이라든지, 3sinx+4cosx=0등이 그러한 예이다.
• 식이 범위 안에서 정해지는 특수해[13], 말고도 일반해를 덧붙여 배우게 된다. 삼각함수가 일정 구간마다 종속 값이 반복되는 함수이다 보니, 이를 일반화한 것을 교육하기 위한 것이라 할 수 있다.

2.1.3. 삼각함수 : 여담

• 2007 개정 교육 과정에서 이과용 미적분을 다항함수, 초월함수 구분 없이 한꺼번에 배우게 되는 방향으로 바뀜에 따라 다시 수학Ⅱ로 쫓겨난다.
• 코사인(cosine), 사인(sine), 탄젠트(tangent)를 고1 과정에서 다루고, 시컨트(secant), 코시컨트(cosecant), 코탄젠트(cotangent)를 심화 과정으로 다루던 방식을, 2009 교육과정부터 합쳐서 배우게 된다. 여기에 cosecθ라고 표기했던 것을 cscθ로 줄여 쓰게 됐다.
• 6차, 7차, 2007개정 교육과정까지 고1 과정의 삼각함수와 고2·3 심화 과정의 삼각함수로 분리·명명하던 방식을 2009 개정 교육과정에서 「 미적분Ⅱ」라는 과목으로 통폐합됐다. 즉, 삼각함수의 처음과 끝을 미적분Ⅱ에서 배우게 된다. 이 때문에 수학의 정석과 개념원리가 매우 두꺼워졌다. 2015 개정 교육과정에서는 수학1과 미적분에서 배운다.
• 6차 교육과정 학생이나 2007 개정 교육과정 학생이라면, 삼각함수의 덧셈정리를 회전변환[14]으로 유도할 수도 있다. 확실히 이게 더 쉽게 이해할 수 있는 방법이다.
• 2009 개정 교육과정 문과 학생은 삼각함수를 배우지 않게 됐다. 그나마 다행스러운 것은 경제학에서는 미적분이 이과 못지않게 중요한 반면에, 삼각함수는 상경계 수학에서 차지하는 비중이 행렬보다도 낮다는 점이다. 그러나 2015 개정 교육과정에서는 다시 부활하였다.
• 2009 개정 교육과정( 미적분Ⅱ)부터는 삼각함수의 법칙(사인법칙, 제1, 2코사인법칙)이 통째로 삭제되는 아마겟돈이 일어나고 만다. 이는 수학을 포기하게 만드는 진범 공간도형 파트에서 자주 쓰이던 제이코사인법칙도 더 이상 Bye Bye라는 뜻. 자연과학 및 공학 대학에 진학할 학생에게는 어찌 보면 잘 된 일은 아니니 따로 알아 두는 것이 편하다. 그러나 2015 개정 교육과정에서 다시 부활한다. 근데 공간벡터가 삭제

2.2. Ⅱ. 함수의 극한과 연속

2.2.1. 함수의 극한

• 지수함수의 (특수한 패턴을 가진) 극한을 정의하기 위해 자연로그의 밑 $e$($e = 2.718\ 181\ 828\ 459\ 045\ 235\$)라는 개념을 도입하게 되고, 로그함수의 (특수한 패턴을 가진) 극한을 정의하기 위해 자연로그 ln를 배우게 된다. 이를 배우게 되면 비로소 문과생 또는 미분과 적분을 심화 선택하지 않은 이과생을 얕볼 수 있게 된다. 문·이과 공통과목에서 수학Ⅰ만 수능 범위였던 문과생들은 '지수와 로그'에 대한 간단한 정의와 함수만 다루고 넘어가기 때문. 얼핏 보기에는 알파벳이나 문자 등이 섞여 초반에는 굉장히 어려워 보이지만, 그냥 별 거 아니다. 게다가 패턴이 존재하기 때문에 정의만 제대로 파악하면 쉽게 넘어갈 수 있는 부분이다. 솔직히 난이도로 치면 '확률과 통계'나 '수열' 쪽이 더 높을 것이다.
• 삼각함수의 (특수한 패턴을 가진) 극한을 정의한다. 그 특이한 패턴을 가진 함수는 y=(sinx)/x, y=(tanx)/x가 대표적이다. 이것도 지수함수와 로그함수의 미분처럼 패턴과 원리만 파악하면 문제는 중학교 수준으로 내려 간다.
• 그러나 주로 여기서 4점 짜리 기출 문제가 탄생했다. 문제는 이 내용 자체로 출제하지 않는다는 것이다. 초월함수의 극한 파트 내용은 그저 페이크 보스일뿐, 최종보스는 따로 존재한다. 거의 중학교 도형이나 고1 도형의 방정식, 수열 등이 속한다.

2.2.2. 함수의 연속

• 롤의 정리로 시작하여, 중간값의 정리, 평균값의 정리[20]를 다루게 된다. 여기서는 특히 정리라는 단어 자체에 대한 관점을 바꾸는 것이 좋다. 이 정리를 어떻게 이용해야 하는 지를 논리적으로 생각해보고, 때마다 필요성을 판단해야 할 것이다. 정리라는 것이 굉장히 활용적인 개념이라 배우고 나면 뭔가 똥 싸고 안 닦은 느낌이다. 개념 문제도 되게 간단하고 '왜 배우지?'하는 느낌이 짙어서 대부분의 학생이 그냥 스킵하는 분위기가 짙다. 실제로 출제 빈도는 낮지만 몇몇 문제에서 꽁꽁 숨어 페이크 보스로 작용한 적이 많았다.
• 교과 과정 외로 로피탈의 정리가 참고서나 교과서 속 심화 과정으로 등장하게 되는데, 몇몇 문제는 정말 간단히 풀 수 있는 도구(도구를 떠나 그냥 모든 극한 문제를 초토화 시킬 수 있는...)이다. 학원 강사들은 쓰지 말라는데, 실제로 대학 가서는 이거 없으면 시체다. 너무 활용도가 높은 나머지, 몇몇 문제에서는 이것을 쓰지 못하도록 극한 문제를 업그레이드 해버리기도 한다. 실제로 2013학년도 6월 모의고사 29번 문제는 로피탈의 정리를 쓰면 2줄만에 끝나지만, 쓰지 않는다면 식이 매우 길어진다. 이러한 것들은 그냥 도박을 통해 경험하길 바란다.

2.2.3. 함수의 극한과 연속 : 여담

• 2007 개정 교육 과정에서 미적분을 다항함수, 초월함수 구분 없이 한꺼번에 배우게 되는 방향으로 바뀜에 따라 삼각함수와 함께 수학Ⅱ(2007 개정)로 쫓겨나게 된다.
• 2009 개정 교육 과정에서 미적분을 다시 다항함수와 초월함수로 구분해서 배우게 되므로, 삼각함수와 지수함수와 로그함수는 덤으로 미적분Ⅱ로 또다시 독립하게 된다.

2.3. Ⅲ. 미분법

2.3.1. 여러 가지 함수의 미분법

• 이 장의 삼각함수에서 배웠던 삼각함수의 덧셈정리와 여러 가지 공식을 사용한다. 위에서 말했듯이 sine, cosine의 도함수를 유도 하기 위해서는 필요가 없다. 오히려 복잡하다. 이를 감지한 건지 2009 개정 교육과정에서부터는 삼각함수의 덧셈정리나 공식을 사용하지 않고 도함수를 유도한다.
• 몫의 미분법을 통해 분수함수를 미분할 수 있고, 합성함수의 미분을 통해 사인, 코사인의 미분을 활용하여 여러 가지 삼각함수의 도함수를 유도할 수 있게 됐다. 그 밖에 원의 방정식과 같이 하나의 변수에 대해서만 미분할 수 있다는 관념을 음함수를 미분하면서 깨게 된다. 그 외에 역함수도 미분할 수 있게 된다.

2.3.2. 도함수의 활용

• 도함수의 활용 파트는 수학Ⅱ(7차)에서 다루던 내용과 비슷하고, 그 함수가 초월함수로 바뀌었을 뿐이다.
• 이계도함수를 활용한 함수의 개형 파악 및 극대/극소/변곡점 구하는 것이 가능해진다. 이전까지는 손도 못 대던 함수의 그래프를 대충 그려 볼 수도 있다.

2.3.3. 미분법 : 여담

• 2007 개정 교육 과정에서 미적분을 다항함수, 초월함수 구분 없이 한꺼번에 배우게 되는 방향으로 바뀜에 따라 삼각함수와 함께 수학Ⅱ(2007 개정)로 쫓겨나게 된다.
• 2009 개정 교육 과정에서 미적분을 다시 다항함수와 초월함수로 구분해서 배우게 되므로, 삼각함수와 지수함수와 로그함수는 덤으로 미적분Ⅱ로 또다시 독립하게 된다.
• 2009 개정 교육 과정에서는 '음함수의 미분법, 매개변수 함수의 미분법'이 기하와 벡터(2009 개정)라는 과목으로 이동하게 됐다. 이는 이차곡선의 접선을 증명하기 위해 미분이라는 도구를 통해 증명하기 위한 것으로 보인다. 2015 개정 교육 과정에서는 본거지인 미적분으로 회귀했다.
• 2009 개정 교육 과정에서 '평면 위의 운동' 파트가 '평면 벡터'의 개념과 함께 다루기 위해 빠지게 됐다.

2.4. Ⅳ. 적분법

2.4.1. 여러 가지 함수의 부정적분

• 미분의 역연산이지만, 여기서는 치환적분과 부분적분이라는 것이 도입되어 초월함수의 적분 과정이 매우 복잡한 계산이 되어 버린다. 그래도 대학교 수학과 비교하면 훨씬 깔끔하다.

2.4.2. 정적분과 정적분의 활용

• 수학Ⅱ(7차)에 다루던 정적분의 활용에 '회전체의 부피'가 추가됐을 뿐이다.

2.4.3. 적분법 : 여담

• 2007 개정 교육 과정에서 미적분을 다항함수, 초월함수 구분 없이 한꺼번에 배우게 되는 방향으로 바뀌게 되었는데, 이 미분과 적분을 한 권에 담지 못하여 어쩔 수 없이 미분법과 찢어져야 했다. 그 결과가 적분과 통계(2007 개정)라는 교과서의 탄생 비하인드인데, 미분과 적분에서 다루던 적분법과 수학Ⅱ에서 다루던 다항함수의 적분이 합쳐져 한 교과서로 신설 이동하게 돼버렸다. 덕분에 1단원에 적분이 나오는 아이러니한 교과서가 등장하게 됐다.
• 2009 개정 교육 과정에서 미적분을 다시 다항함수와 초월함수로 구분해서 배우게 되므로, 미적분Ⅱ로 또다시 독립하게 된다.
• 2009 개정 교육 과정에서 '평면 위의 운동' 파트가 '평면 벡터'의 개념과 함께 다루기 위해 기하와 벡터로 빠지게 됐다. 2015 개정 교육 과정에서는 본거지인 미적분으로 회귀했다.
• 2009 개정 교육 과정에서는 회전체의 부피가 고급 수학 Ⅱ로 빠진다.

3. 수능 선택 과목

3.1. 2011학년도 이전의 수능

3.2. 2012학년도 이후의 수능