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선형대수학 Linear Algebra |
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1. 개요
그람-슈미트 과정(Gram-Schmidt method[1])은 [math(\mathbb{R})], [math(\mathbb{C})]을 스칼라로 갖는 유한차원 내적 공간의 기저로부터, 정규직교(orthonormal) 기저를 얻는 과정이다. 이 과정에 따르면, 모든 유한차원 내적공간은 정규직교 기저를 갖는다.2. 직교기저와 정규직교기저
기저의 모든 성분벡터들이 직교일 때, 그 기저를 직교기저(orthogonal basis)라고 한다. 또, 직교기저의 모든 성분벡터들의 노름이 1일 때(즉 기저가 단위벡터일때), 그 기저를 정규직교기저(orthonormal basis)라고 한다.즉, 다음 조건을 만족하는 벡터 집합을 말한다.
1. 모든 원소는 일차독립이다.
1. 해당 원소를 이용하여 주어진 공간을 생성할 수 있다.
1. 서로 다른 원소는 서로 직교한다. 즉 [math(\forall i\neq j \in I, v_i\cdot v_j=0)]
1. 모든 원소의 노름은 1이다.
1. 해당 원소를 이용하여 주어진 공간을 생성할 수 있다.
1. 서로 다른 원소는 서로 직교한다. 즉 [math(\forall i\neq j \in I, v_i\cdot v_j=0)]
1. 모든 원소의 노름은 1이다.
1, 2는 기저집합의 공통 조건이며, 3까지 만족한다면 직교기저, 4까지 만족하면 정규직교기저라고 하는 것.
3. 구체적인 과정
유한차원 내적 공간[math((V,\left<\cdot,\cdot\right>))]의 기저 [math(\{v_1,\cdots,v_n\})]을 생각하자.[math(\displaystyle \begin{aligned}
u_i &:= v_i -\sum_{j<i} \frac{\left<v_i, u_j\right>}{\left<u_j, u_j\right>} \,u_j \\
w_i &:= \frac{u_i}{|\!\left<u_i, u_i\right>\!|}
\end{aligned} )]
여기서 [math(\{u_1,\cdots,u_k\})]가 직교 기저라는 것은 귀납적으로 보일 수 있다. [math(w_j)]의 크기는 [math(1)]이므로, [math(\{w_1,\cdots,w_n\})]은 정규직교 기저이다.
4. 응용
- 임의의 [math(A \in~)] [math({rm GL}_n(mathbb{C}))]에 대해, [math(U \in {\rm U}(n))]가 존재하여[2], [math(AU^{-1})]은 하삼각행렬(lower triangular matrix)[3]이다.
- [math(A=(v_1,\cdots,v_n) \in {\rm GL}_n(\mathbb{C}))]의 열벡터들은 기저를 이룬다. 이것에 그람-슈미트 과정을 적용하여 얻은 벡터 [math(w_i)]를 이용하여, [math(U=(w_1,\cdots,w_n))]라 하자. 그러면, 첫 번째에 의해 [math(AU^{-1})]은 하삼각행렬임을 알 수 있다.
- 그람 슈미트 과정에서 QR decomposition을 유도할 수 있다.