오메가 함수은(는) 여기로 연결됩니다.
소인수의 수를 세는 오메가 함수에 대한 내용은
소인수 계량 함수 문서 참고하십시오.|
특수함수 Special Functions |
||
|
{{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="letter-spacing: -1px" {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px; word-break: keep-all" |
[math(^\ast)] 특수함수가 아니라 특정 조건을 만족시키는 다항함수이지만, 편의상 이곳에 기술했다. | |
| <colbgcolor=#383B3D> 적분 | 오차함수(error function)( 가우스 함수 · 가우스 적분 함수) · 베타 함수( 불완전 베타 함수) · 감마 함수( 불완전 감마 함수 · 로그 감마 함수) · 타원 적분 · 야코비 타원 함수 · 지수 적분 함수 · 로그 적분 함수 · 삼각 적분 함수 · 쌍곡선 적분 함수 · 프레넬 적분 함수 · 구데르만 함수 | |
| 미분방정식 | 르장드르 함수[math(^\ast)] ( 구면 조화 함수) · 베셀 함수 · 에르미트 함수 · 라게르 함수 · 에어리 함수 | |
| 역함수 | 브링 근호 · 람베르트 W 함수 · 역삼각함수 | |
| 급수 | 제타 함수 · 후르비츠 제타 함수 · 세타 함수 · 초기하함수 · 폴리로그함수 · 폴리감마 함수 · 바이어슈트라스 타원 함수 | |
| 정수론 | 소수 계량 함수 · 소인수 계량 함수 · 뫼비우스 함수 · 최대공약수 · 최소공배수 · 약수 함수 · 오일러 피 함수 · 폰 망골트 함수 · 체비쇼프 함수 · 바쁜 비버 함수 | |
| 기타 | 헤비사이드 계단 함수 · 부호 함수 · 테트레이션( 무한 지수 탑 함수) · 지시함수 · 바닥함수 / 천장함수 · 허수지수함수 · 혹 함수 | |
1. 개요
람베르트 [math(\boldsymbol W)] 함수(Lambert [math(\boldsymbol W)] function)는 특수함수의 하나로, 오메가 함수(omega function) 또는 곱 로그(product logarithm)[1]라고도 한다.함수의 정의에 앞서 우선 다음과 같은 함수를 정의해 보자. (단, [math(x)]와 [math(y)]는 실수)
| [math(y = xe^x)] |
| [math(x = ye^y)] |
이 함수는 초등함수로 나타낼 수 없다.
게다가 [math(y = xe^x)]가 [math(x = -1)]에서 극솟값 및 최솟값 [math(-e^{-1})]을 나타내므로, 람베르트 [math(W)] 함수는 기본적으로 음함수이다. 그래서 양함수로 나타내기 위해 [math(y = -1)]을 기점으로 [math(W_{-1}(x))][* 정의역: [math([-e^{-1}, \,0))]]와 [math(W_0(x))][* 정의역: [math([-e^{-1},\, \infty))]]로 쪼개서 나타낸다. 즉 [math(W(x))]로 이르는 것은 실제로는
| [math(\dfrac{W_{-1}(x)}{{\bf1}_{\mathbb R}(W_{-1}(x))} \cup \dfrac{W_0(x)}{{\bf1}_{\mathbb R}(W_0(x))})][4] |
아래는 람베르트 [math(W)] 함수의 그래프이다. 위의 설명과 같이 두 영역으로 나뉘어 나타난다.
한편, 방정식 [math(xe^x = 1)]의 실수해 [math(x=W_0(1))]를 오메가 상수라고 하며 [math(\Omega)]로 나타낸다. 위 무한급수 식에 [math(x=1)]을 대입하면 값을 얻을 수 있고, 약 0.5671432904이다.
함수를 복소수로 확장할 수 있다. 복소수 [math(z)]와 [math(w)]에 대해 [math(we^w=z)]의 해는 [math(w=W_k(z))]이며, 이때 [math(k)]는 정수이다. [math(k)]가 [math(-1)], [math(0)]이 아닌 경우 무조건 복소수 값을 띤다. 심지어 [math(k)]가 [math(-1)], [math(0)]인 경우에도 상술한 범위[5]를 벗어나면 복소수가 된다.
2. 미적분
이 함수의 미분은 [math(x = W(x)e^{W(x)})]를 이용해서 구할 수 있으며, 음함수의 미분법을 사용하여 양변을 미분하면 다음과 같다.|
[math(\begin{aligned}
1 &= W'(x)e^{W(x)} +W(x)e^{W(x)} W'(x) \\ &= W'(x)e^{W(x)} (W(x)+1) \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned}
e^{W(x)} = \dfrac x{W(x)}
\end{aligned} )]
이고, 이를 대입하면
|
[math(\begin{aligned}
1 &= W'(x)e^{W(x)} (W(x)+1) \\ &= W'(x) \,\dfrac x{W(x)} \,(W(x)+1) \\ W(x) &= xW'(x)(W(x)+1) \end{aligned} )] |
|
[math(\begin{aligned}
W'(x) = \dfrac{W(x)}{x(W(x)+1)} \end{aligned} )] |
부정적분을 구할 때는 부분적분법을 이용하면 된다.
|
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int W(x) \,{\rm d}x &= xW(x) -\int xW'(x) \,{\rm d}x \\ &= xW(x) -\int W(x)e^{W(x)} W'(x) \,{\rm d}x \\ &= xW(x) -\int W(x)e^{W(x)} \,{\rm d}W(x) \\ &= xW(x) -e^{W(x)} (W(x)-1) +C \\ &= xW(x) -\dfrac x{W(x)} (W(x)-1) +C \\ &= x \biggl[ W(x)-1+\frac1{W(x)} \biggr] \!+C \end{aligned} )] |
3. 무한급수 표기
[math(W_0(x))]은 매클로린 전개를 이용하여 무한급수로 나타낼 수 있고, [math(0)] 근처에서 전개한 결과는 다음과 같다.|
[math(\displaystyle \begin{aligned}
W_0(x) &= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n \\ &= x -x^2 +\frac32 x^3 -\frac83 x^4 +\frac{125}{24} x^5 -\frac{54}5 x^6 +\frac{16807}{720} x^7 -\frac{16384}{315} x^8 +\cdots \end{aligned} )] |
|
{{{#!folding [증명] [math(W_0(x))]가 [math(\displaystyle W_0(x) = \sum_{n=0}^\infty a_nx^n = a_0 +a_1x +a_2x^2 +\cdots)]으로 표현된다고 가정하자. [math(W_0(0)=0)]임을 이용하면 [math(a_0=0)]이므로 [math(\displaystyle W_0(x) = \sum_{n=1}^\infty a_nx^n)]이다. 한편, [math(W_0'(0)=1)]임을 이용하면 [math(\displaystyle W_0'(x) = \sum_{n=1}^\infty na_nx^{n-1})]에서 [math(W_0'(0)=1=a_1)]임을 알 수 있다. 람베르트 W 함수의 미분 관계식으로부터 다음 결과를 얻을 수 있다. [math(\begin{aligned} 1 &= e^{W_0(x)} W_0'(x) (W_0(x)+1) \\ \Rightarrow W_0(x) &= W_0(x) e^{W_0(x)} W_0'(x) (W_0(x)+1) \\ &= x W_0'(x) (W_0(x)+1) \\ &= x W_0'(x) W_0(x) +x W_0'(x) \\ \Rightarrow W_0(x) -x W_0'(x) &= x W_0'(x) W_0(x) \end{aligned} )] 이제 위 식에 [math(\displaystyle W_0(x) = \sum_{n=1}^\infty a_nx^n)]을 대입해보자. 우선 좌변은 [math(\displaystyle \begin{aligned} W_0(x) -xW_0'(x) &= \sum_{n=1}^\infty a_nx^n -x\sum_{n=1}^\infty na_nx^{n-1} = \sum_{n=1}^\infty a_nx^n -\sum_{n=1}^\infty na_nx^n \\ &= \sum_{n=1}^\infty (1-n)a_nx^n = \sum_{n=2}^\infty (1-n)a_nx^n \end{aligned} )] 이고 우변은 [math(\displaystyle \begin{aligned} x W_0'(x) W_0(x) &= x \sum_{n=1}^\infty na_nx^{n-1} \sum_{n=1}^\infty a_nx^n = \sum_{n=1}^\infty na_nx^n \sum_{n=1}^\infty a_nx^n \\ &= \sum_{n=2}^\infty \Biggl( \sum_{k=1}^{n-1} ka_k a_{n-k} \Biggr) \end{aligned} )] 이므로 [math(\displaystyle \begin{aligned} W_0(x) -xW_0'(x) &= x W_0'(x) W_0(x) \\ \Rightarrow \quad \sum_{n=2}^\infty (1-n)a_nx^n &= \sum_{n=2}^\infty \sum_{k=1}^{n-1} ka_k a_{n-k} x^n \end{aligned} )] 이다. 여기서 [math(x^n)]의 계수를 비교해보면 [math(a_n)]에 대한 점화식을 얻을 수 있다. [math(\displaystyle \begin{aligned} (1-n)a_n &= \sum_{k=1}^{n-1} ka_k a_{n-k} \qquad (n\ge2) \\ \Rightarrow \quad a_n &= -\frac1{n-1} \sum_{k=1}^{n-1} ka_k a_{n-k} \end{aligned} )] [math(a_n)]의 값을 구하기 위해 [math(n=2)]부터 차례로 대입해보면 [math(\displaystyle \begin{aligned} a_2 &= -\sum_{k=1}^1 ka_k a_{2-k} = -(a_1a_1) = -1 \\ a_3 &= -\frac12 \sum_{k=1}^2 ka_k a_{3-k} = -\frac12 ( a_1a_2 +2a_2a_1 ) \\ &= -\frac32 (a_1a_2) = \frac32 \\ a_4 &= -\frac13 \sum_{k=1}^3 ka_k a_{4-k} = -\frac13 ( a_1a_3 +2a_2a_2 +3a_3a_1 ) \\ &= -\frac43 (a_1a_3) -\frac23 {a_2}^2 = -\frac43 \frac32 -\frac23 = -\frac83 \\ &\;\;\vdots \end{aligned} )] 표로 정리해보면 |
[math(n)] | [math(2)] | [math(3)] | [math(4)] | [math(5)] | [math(6)] | [math(7)] | [math(8)] |
| [math(a_n)] | [math(-1)] | [math(\dfrac32)] | [math(-\dfrac83)] | [math(\dfrac{125}{24})] | [math(-\dfrac{54}5)] | [math(\dfrac{16807}{720})] | [math(-\dfrac{16384}{315})] | |
| 인수분해꼴 | [math(-1)] | [math(\dfrac32)] | [math(-\dfrac{2^3}3)] | [math(\dfrac{5^3}{4!})] | [math(-\dfrac{2\cdot3^3}5)] | [math(\dfrac{7^5}{6!})] | [math(-\dfrac{2^{14}}{3^2\cdot5\cdot7})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned}
a_n &= -\frac1{n-1} \sum_{k=1}^{n-1} ka_k a_{n-k} \\
&= -\frac1{n-1} \sum_{k=1}^{n-1} k \cdot (-1)^{k-1} \frac{k^{k-1}}{k!} \cdot (-1)^{n-k-1} \frac{(n-k)^{n-k-1}}{(n-k)!} \\
&= \frac{(-1)^{n+1}}{n-1} \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k^k}{k!} \frac{(n-k)^{n-k-1}}{(n-k)!} \times \frac{n!}{n!} \\
&= \frac{(-1)^{n+1}}{(n-1)\cdot n!} \sum_{k=1}^{n-1} \!\binom nk k^k (n-k)^{n-k-1}
\end{aligned} )]
형태를 보면 아벨의 이항정리 [math(displaystyle sum_{k=1}^{n-1} !binom nk (bk)^{k-1} (c-bk)^{n-k} = nc^{n-1} -(bn)^{n-1})]를 활용할 수 있을 것 같다. 위 식을 조금 변형해보자. 임의의 수열 [math(x_n)]에 대해 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} x_k = \sum_{k=1}^{n-1} x_{n-k})][6]임을 활용하자.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
a_n &= \frac{(-1)^{n+1}}{(n-1)\cdot n!} \sum_{k=1}^{n-1} \!\binom nk k^k (n-k)^{n-k-1} \\
&= \frac{(-1)^{n+1}}{(n-1)\cdot n!} \sum_{k=1}^{n-1} \!\binom n{n-k} (n-k)^{n-k} k^{k-1} \\
&= \frac{(-1)^{n+1}}{(n-1)\cdot n!} \sum_{k=1}^{n-1} \!\binom nk k^{k-1} (n-k)^{n-k}
\end{aligned} )]
식을 보면 [math(a_n)]에 있는 시그마는 아벨의 이항정리에서 [math(b=1)], [math(c=n)]인 경우이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned}
a_n &= \frac{(-1)^{n+1}}{(n-1)\cdot n!} \sum_{k=1}^{n-1} \!\binom nk k^{k-1} (n-k)^{n-k} \\
&= \frac{(-1)^{n+1}}{(n-1)\cdot n!} ( n\cdot n^{n-1} -n^{n-1} ) \\
&= \frac{(-1)^{n+1}}{(n-1)\cdot n!} (n-1)n^{n-1} \\
&= \frac{(-1)^{n+1} n^{n-1}}{n!} \\
&= \frac{(-n)^{n-1}}{n!}
\end{aligned} )]
따라서 [math(n\ge2)]에 대해 [math(a_n = \dfrac{(-n)^{n-1}}{n!})]은 주어진 점화식 [math(\displaystyle a_n = -\frac1{n-1} \sum_{k=1}^{n-1} ka_ka_{n-k})]의 해임을 알 수 있다. 또한 [math(a_n)]에 [math(n=1)]을 대입하면 [math(a_1=1)]이 나오므로, 위 일반항은 [math(n\ge1)]인 모든 [math(n)]에 대해 성립함을 알 수 있다. 따라서 [math(x=0)]을 중심으로 전개한 [math(W_0(x))]의 매클로린 급수는 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
W_0(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n
\end{aligned} )]
}}}||
4. 함숫값
-
[math(W_0 \biggl( -\dfrac\pi2 \biggr) \!= \dfrac{i\pi}2 \approx 1.5707963268i)]
[math(W_{-1} \biggl( -\dfrac\pi2 \biggr) \!= -\dfrac{i\pi}2)] - [math(W_0 \biggl(-\dfrac1e \biggr) \!= W_{-1} \biggl(-\dfrac1e \biggr) \!= -1)]
-
[math(W_0 \biggl( -\dfrac{\ln a}a \biggr) \!= -\ln a \qquad)] (단, [math(0 < a \le e)])
[math(W_{-1} \biggl( -\dfrac{\ln a}a \biggr) \!= -\ln a \qquad)] (단, [math(a < 0)], [math(e \le a)]) - [math(W_0(0) = 0)]
- [math(W_0(1) = \Omega \approx 0.5671432904)]: 이 값을 오메가 상수라 한다.
- [math(W_0(e) = 1)]
- [math(W_0'(0) = 1)]
- [math(W_0'(1) = \dfrac\Omega{\Omega+1} \approx 0.3618962566)]
- [math(W_0'(e) = \dfrac1{2e} \approx 0.1839397206)]
5. 항등식
-
[math(\displaystyle \int_{-\infty}^\infty \frac{a^2}{(e^x-ax-b)^2+(a\pi)^2} \,{\rm d}x = \frac1{1+W(\frac1a \,e^{-b/a})} \qquad)] (단, [math(a)]와 [math(b)]는 실수이고 [math(a>0)])
증명은 여기(독일어)를 참고. 조금 더 엄밀한 증명은 여기를 참고하라. 단, 두 번째 링크에서는 [math(a=1)], [math(b=0)]인 경우만 다룬다. - [math(\displaystyle \int_{-\infty}^\infty \frac{{\rm d}x}{(e^x-x)^2+\pi^2} = \frac1{1+\Omega} \approx 0.6381037434 \qquad)] ([math(\Omega)]는 오메가 상수)
- [math(\displaystyle \int_{-\infty}^\infty \frac{{\rm d}x}{(e^x-x+1)^2+\pi^2} = \frac12 = 0.5)]
6. 활용
6.1. 방정식의 해 구하기 1
이 문단에서는 방정식 [math(x^x=a)]의 해를 람베르트 [math(W)] 함수로 구해보자.양변에 자연로그를 씌우면,
| [math(x\ln x = \ln a)] |
| [math(\ln x = W(\ln a))] |
| [math(x = e^{W(\ln a)})] |
- [검산]
- -----
위 결과를 본 방정식에 대입하면
가 되므로 답과 일치한다.[math(\begin{aligned}
x^x &= (e^{W(\ln a)})^{e^{W(\ln a)}} \\
&= e^{W(\ln a)\,e^{W(\ln a)}} \\
&= e^{\ln a} \\ &= a
\end{aligned} )]
6.1.1. 번외
방정식 [math(x^{x^{x+1}}=a)]의 해는 위의 형태를 응용하여 구할 수 있다.[math(x^{x^{x+1}}=x^{x\cdot x^x}=(x^x)^{x^x})]이므로 [math(x^x=t)]로 치환하면 [math(t^t=a)]가 되어 위에서 언급한 형태와 동일하다.
따라서 [math(t=x^x=e^{W(\ln a)} \Leftrightarrow x=e^{W\left(\ln e^{W(\ln a)}\right)}=e^{W(W(\ln a))})].
- [검산]
- -----
본 방정식에 대입하면
이므로[math(\begin{aligned}
x^{x+1} &= (e^{W(W(\ln a))})^{e^{W(W(\ln a))}+1} \\
&= e^{W(W(\ln a))e^{W(W(\ln a))}}\cdot e^{W(W(\ln a))} \\
&= e^{W(\ln a)}\cdot e^{W(W(\ln a))}
\end{aligned} )][math(\begin{aligned}
x^{x^{x+1}} &= (e^{W(W(\ln a))})^{e^{W(\ln a)}\cdot e^{W(W(\ln a))}} \\
&= e^{W(W(\ln a))e^{W(W(\ln a))}e^{W(\ln a)}} \\
&= e^{W(\ln a)e^{W(\ln a)}} \\ &= e^{\ln a} \\ &= a
\end{aligned} )]
6.2. 방정식의 해 구하기 2
이 문단에서는 [math(a^x = bx+c\, (b\neq0,a\neq0,1))]의 해를 람베르트 [math(W)] 함수로 구해보자.[math(z = bx+c)]으로 놓으면,
[math(x = \dfrac{z-c}b)]
가 되고, 대입하면 [math(a^{{(z-c)}/b} = z)], 양 변에 [math(a^{ c/b})]를 곱하면
[math((a^{1/b})^z = a^{c/b}z )]
가 된다. 여기서 상수를 각각 [math(a^{1/b} \equiv p)], [math(a^{ c/b} \equiv q)]로 치환하자.
[math(t = p^z \to z = \log_pt)]로 놓으면,
[math(t = q\log_pt)]
가 되고 이 식을 변형하면
[math(p^{t/q} = t)]
가 된다. 이제 양변에 [math(-1/t)]제곱을 취하면
[math(p^{-1/q} = \left( \dfrac1t \right)^{1/t})]
이제 [math(1/t \equiv u)]로 치환해주면,
[math(u^u = p^{-1/q})]
로, 바로 윗 문단에서 푼 [math(x^x = a)] 꼴이다. [math(u)]에 대해 풀고 치환했던 문자들을 정리하면, [math(x)]에 대한 해는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
| [math(x = - \left[ \dfrac1{\ln a}W\biggl(-\dfrac{a^{- c/b}\ln a}b \biggr)+\dfrac cb \right])] |
- [검산]
- -----
먼저 본 반정식의 좌변에 대입하면, [math(\dfrac{1}{\ln a} = \log_a e,\, e^{-W(x)} =\dfrac{W(x)}{x})] [math((x\neq0))]이므로
[math(\begin{aligned}a^x &= e^{-W(-\frac{a^{-c/b}\ln a}{b})}\,a^{-\frac{c}{b}}\\&=-\dfrac{b}{\ln a}W\left(-\frac{a^{-c/b}\ln a}{b}\right)\end{aligned})]
우변에 대입하면
[math(\begin{aligned}bx+c &= b\left[-\dfrac{1}{\ln a}W\left(-\frac{a^{-c/b}\ln a}{b}\right)-\dfrac{c}{b}\right]+c\\&=-\dfrac{b}{\ln a}W\left(-\frac{a^{-c/b}\ln a}{b}\right)\end{aligned})]
이상에서 양변이 일치하므로 본 방정식의 해이다.
7. 관련 문서
[1]
정의가 로그함수([math(x = e^y)])와 유사하다.
[2]
예를 들어서 [math(x=e)]라고 한다면 [math(e=ye^y)]를 만족하는 [math(y)]의 값은 [math(y=1)]이므로 [math(y=W(e)=1)]이 된다.
[3]
[math(f(x)=xe^x)]라 하면, [math(f^{-1}(x)=W(x))]이고,
역함수의 정의에 의해 [math(f(f^{-1}(x))=f(W(x))=W(x)e^{W(x)}=x)]이기 때문이다.
[4]
[math({\bf1}_{\mathbb R})]은
실수 판별 함수이다. 실수이면 [math(1)], 실수가 아닌 경우 [math(0)]이다. 따라서
함숫값이 실수가 아닐 경우 정의역에서 제외된다.
[5]
[math(k=-1)]인 경우 [math(-e^{-1} \le z < 0)], [math(k=0)]인 경우 [math(z \ge -e^{-1})]
[6]
단순히 수열을 거꾸로 나열한 것에 불과하다. [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} x_k = x_1 +x_2 +\cdots +x_{n-2} +x_{n-1} = x_{n-1} +x_{n-2} +\cdots +x_2 +x_1 = \sum_{k=1}^{n-1} x_{n-k})]
[7]
이때, [math(e^{W(\ln a)})]를 [math(a)]의 초제곱근(Super-root)이라고 한다.
[8]
선로의 형태가 정말로 이 함수의 그래프처럼 생겼다.