1. 개요
雙 曲 honeycomb / hyperbolic honeycomb3차원 또는 그 이상의 쌍곡 공간에서 정의되는 허니컴. 쌍곡 테셀레이션과 마찬가지로, 무수히 많은 종류의 쌍곡 허니컴이 존재한다.
2. 3차원 정규 쌍곡 허니컴
3차원 쌍곡 공간에서 정의되는 허니컴. 쌍곡 테셀레이션과 마찬가지로 슐레플리 기호를 이용해 {p,q,r}로 표기할 수 있다.쌍곡 테셀레이션을 표현하기 위해 푸앵카레 원반 모형을 사용했듯, 쌍곡 허니컴은 푸앵카레 공(Poincaré ball) 모형을 사용해 표현할 수 있다.
슐레플리 기호의 두 숫자 중 최소 하나가 무한대여야만 파라콤팩트가 되었던 쌍곡 테셀레이션과 달리, 쌍곡 허니컴은 세 숫자가 모두 유한해도 파라콤팩트가 될 수 있다. 정규 쌍곡 허니컴 {p,q,r}은 다음과 같이 분류할 수 있다.
- 셀 형태 {p,q}와 꼭지점 형태 {q,r}에 따라 다음과 같이 분류된다.
| 종류 | 셀의 크기가 유한 | 한 셀을 이루는 면이 서로 만남 |
| 콤팩트 | O | O |
| 파라콤팩트 | X | O[1] |
| 논콤팩트 | X | X |
4차원에는 콤팩트 쌍곡 허니컴 4종과 파라콤팩트 쌍곡 11종이 존재한다.
콤팩트 쌍곡은 셀의 크기가 무한대로 뻗어나가지 않으며, 파라콤팩트 쌍곡은 셀의 크기가 무한대로 뻗어나간다. 논콤팩트 쌍곡의 경우 셀을 이루는 각각의 면이 아예 한 지점에 수렴조차 하지 않는다.
쌍곡 테셀레이션을 푸앵카레 원반 위에 나타내듯, 이들도 푸앵카레 공 안에 구현할 수 있다. 쌍곡 테셀레이션과 허니컴 자체는 마찬가지로 무수히 많이 존재하나, 의미있는 콤팩트/파라콤팩트 허니컴은 15종밖에 없다.
- 콤팩트 쌍곡 - 4종
- {4,3,5} - 5차 정육면체 허니컴
- {3,5,3} - 3차 정이십면체 허니컴
- {5,3,4} - 4차 정십이면체 허니컴
- {5,3,5} - 5차 정십이면체 허니컴
- 파라콤팩트 쌍곡 - 11종
- 셀이 정다면체인 파라콤팩트 쌍곡 허니컴 - 4종
- {3,3,6} - 6차 정사면체 허니컴
- {3,4,4} - 4차 정팔면체 허니컴
- {4,3,6} - 6차 정육면체 허니컴
- {5,3,6} - 6차 정십이면체 허니컴
- 셀이 테셀레이션이고 꼭지점 형태가 정다면체인 파라콤팩트 쌍곡 허니컴 - 4종
- {4,4,3} - 3차 정사각테셀레이션 허니컴
- {6,3,3} - 3차 정육각테셀레이션 허니컴
- {6,3,4} - 4차 정육각테셀레이션 허니컴
- {6,3,5} - 5차 정육각테셀레이션 커니컴
- 셀과 꼭지점 형태가 모두 테셀레이션인 파라콤팩트 쌍곡 허니컴 - 3종[2]
- {3,6,3} - 3차 정삼각테셀레이션 허니컴
- {4,4,4} - 4차 정사각테셀레이션 허니컴
- {6,3,6} - 6차 정육각테셀레이션 허니컴