최근 수정 시각 : 2023-08-28 16:57:59

평균부등식

1. 개요2. 증명
2.1. 변수 2개짜리 평균부등식2.2. 변수 n개짜리 평균부등식2.3. 멱평균 부등식2.4. 횔더 부등식을 이용한 증명
3. 예제4. 관련 문서

1. 개요

여러 종류의 일반화된 평균들, 특히 멱평균(power mean)에 대한 부등식으로 몇 가지의 버전이 있다.

고교과정에서 n=2 일 때로 매우 제한적으로 배우는 AM-GM을 훨씬 확장시켜 온갖 평균을 다 집어넣은 버전이다. 수학을 좀 하는 아이들은 AM-GM에 더해 조화평균까지 알고 있는 경우가 많지만 그 뒤의 확장은 모르는 경우가 많다. 자세한 부등식에 들어가기 전에 먼저 몇가지 정의를 설명한다. [math(n)]개의 양수[1] [math(x_1,x_2,\cdots,x_n)]에 대하여,
  • 최댓값 (Max): 말 그대로 최댓값 (=[math(\max\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right))])
  • 제곱근 멱평균/제곱 평균 제곱근 (RMS: Root-Mean Square)[2]: [math(\sqrt{\frac{{x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2}{n}})][3]
  • 산술평균 (AM: Arithmetic Mean): [math(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n})]
  • 기하평균 (GM: Geometric Mean): [math(\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n})]
  • 조화평균 (HM: Harmonic Mean): [math(\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}})] ( 역수들의 산술평균의 역수)
  • 최솟값 (Min): 말 그대로 최솟값 (=[math(\min\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right))])|}}

이 셋팅에서 평균부등식은 간단히 말해 다음을 일컫는다.
평균부등식
[math(n)]개의 양수 [math(x_1,x_2,\cdots,x_n)]에 대하여 MAX ≥ RMS ≥ AM ≥ GM ≥ HM ≥ MIN, 즉 다음이 성립한다.
[math(\max\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right)\geq\sqrt{\frac{{x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2}{n}}\geq\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\geq\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}\geq\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}}\geq\min\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right))]
[math(x_1 = x_2 = \cdots = x_n)]이 아니면 등호가 성립하지 않는다.

교과 외 고등과정에선 다음 일반화된 버전을 보통 의미한다. 멱평균(power mean) 혹은 일반화된 평균(generalized mean)은, 확장된 실수(즉 실수에 +무한대와 -무한대를 첨가한것) [math(p)]에 대해 다음과 같이 정의될 수 있다.
  • [math(p)]차 멱평균: [math( M_p (x_1, \cdots, x_n) = \left( \frac{ x_1^p + x_2^p + \cdots + x_n^p }{n} \right)^{1/p} )]
p가 0이나 무한대일 때는 극한으로 생각한다. (물론 극한이 수렴함을 증명하여아 한다.)
멱평균 부등식 (power mean inequality) 혹은 일반화된 평균 부등식(generalized mean inequality)
[math(n)]개의 양수 [math(x_1,x_2,\cdots,x_n)]에 대하여, [math(M_p(x_1, x_2, \cdots, x_n))]는 [math(p)]에 대해 단조증가한다. [math(x_1 = x_2 = \cdots = x_n)]이 아니면 순증가이다.
위의 모든 평균들은 다 이 멱평균의 특수한 예로, 최대값/제곱평균제곱근/산술평균/기하평균/조화평균/최소값은 각각 [math(p=+\infty, 2, 1, 0, -1, -\infty)]에 대응된다. 윗버전의 완벽한 일반화라 볼 수 있는 것. 더욱 일반화하면 이런 류의 것이 다 그렇듯 가중치가 있는 버전, 적분형 버전 등도 당연히 생각할 수 있고, 가장 일반적인 측도버전은 다음일 것이다.
음이 아닌 확률변수 [math(X)]에 대해 [math(\mathbb{E}[X^p]^{1/p})]는 [math(-\infty \le p \le \infty)]에서 단조증가이다.

주의할 점은 대학 수학 이상의 정규 교과과정에서 이걸 부르는 정해진 이름은 딱히 없다는 것이다. 즉 멱평균/일반화된 평균 등의 용어가 공식적으로 확인되진 않는다. 다만, 확률변수 버전에서부터 느낄 수 있듯이 이게 필요하다면 횔더 부등식의 특수한 경우로 간주되어 등장하게 된다.

2. 증명

2.1. 변수 2개짜리 평균부등식

1. WLOG [math(a\geq b)]라 가정한다. 그러면 [math(\max\left(a,b\right)=a=\sqrt{\frac{2a^2}{2}}\geq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}})]. 즉, MAX ≥ RMS.
2. [math(\frac{a^2+b^2}{2}-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\left(\frac{a-b}{2}\right)^2\geq0)]. 즉, RMS ≥ AM.
3. [math(\frac{a+b}{2}- \sqrt{ab}=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{2}\geq0)]. 즉, AM ≥ GM.
4. [math(\sqrt{ab}-\frac{2ab}{a+b}=\frac{\sqrt{ab}}{a+b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\geq0)]. 즉, GM ≥ HM.
5. WLOG [math(a\geq b)]라 가정한다. 그러면 [math(\min\left(a,b\right)=b=\frac{2}{\frac{1}{b}+\frac{1}{b}}\leq\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{2ab}{a+b})]. 즉, HM ≥ MIN.

2.2. 변수 n개짜리 평균부등식

1. WLOG [math(x_1\geq x_2\geq\cdots\geq x_n)]이라 가정한다. 그러면 [math(\max\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right)=x_1=\sqrt{\frac{n{x_1}^2}{n}}\geq\sqrt{\frac{{x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2}{n}})]. 곧, MAX ≥ RMS.
2. 코시-슈바르츠 부등식에 의해, [math(\left({x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2\right)\left(1+1+\cdots+1\right)\geq\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)^2)]이다. 양변을 [math(n^2)]으로 나눠주고 정리하면, [math(\frac{{x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2}{n}\geq\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)^2)]. 양변에 제곱근을 씌워주면, [math(\sqrt{\frac{{x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2}{n}}\geq\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n})]. 즉, RMS ≥ AM이 성립한다.
3. 항목 참조.[4]
4. AM-GM을 활용한다. [math(\frac{\sum_{k=1}^n\sqrt[n]{\frac{x_1x_2\cdots x_n}{{x_k}^n}} }{n})][math(\geq1)]이므로, 이를 잘 정리해주면, [math(\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n})][math(\frac{\sum_{k=1}^n\frac{1}{x_k}}{n})][math(\geq1)]이고, 곧, [math(\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}\geq\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}})]. 즉, GM ≥ HM이 성립한다.
5. WLOG [math(x_1\geq x_2\geq\cdots\geq x_n)]이라 가정한다. 그러면 [math(\min\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right)=x_n=\frac{n}{\frac{1}{x_n}+\frac{1}{x_n}+\cdots+\frac{1}{x_n}}\leq\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}})]. 즉, HM ≥ MIN이 성립한다.

2.3. 멱평균 부등식

1. 우선 멱평균이 [math((0,\infty))]에서 단조증가함을 보인다. 멱평균을 [math(p)]에 대해 로그미분한 뒤, 식을 정리해 다음처럼 변형시킨다.
[math(\frac{d}{dp} \log M_p(x_1, \cdots, x_n) = \frac{d}{dp} \frac{ \log (\frac{x_1^p + \cdots + x_n^p}{n})}{p} = \frac{ \frac{d}{dp} \log (x_1^p + \cdots + x_n^p) }{p} - \frac{ \log (\frac{x_1^p + \cdots + x_n^p}{n})}{p^2} )]
[math(=\frac{1}{p^2}\left( \frac{ x_1^p \log x_1^p + \cdots + x_n^p \log x_n^p} {(x_1^p + x_2^p + \cdots + x_n^p)} -\log( \frac{x_1^p + x_2^p + \cdots + x_n^p}{n} ) \right))]
형태가 복잡해 보이지만, 볼록함수 [math(f(x) = x \log x)]와 실수쌍 [math( y_i = \frac{x_i^p}{x_1^p + \cdots+ x_n^p})]들에 대해 젠센 부등식을 적용하면 바로 위 식이 0 이상임을 얻을 수 있다.

2. [math(p<0)]인 경우는 [math(M_p(x_1, \cdots, x_n) = M_{-p}(x_1^{-1}, x_2^{-1}, \cdots, x_n^{-1})^{-1})]을 관찰한다. 우변이 [math(p)]에 대해 단조증가이므로 좌변도 단조증가여야 한다.

3. 마지막으로 특수값 [math(p=\infty, 0, -\infty)]에 대해 [math(M_p)]의 극한값이 원하는 값으로 수렴함을 보인다.
(a) 최대값: 최대값을 [math(M)]이라고 하면 [math(p>0)]일 때 [math(M^p \le (x_1^p + \cdots + x_n^p) \le nM^p)]가 성립한다. 양변을 [math(n)]으로 나누고 p제곱근을 씌운 뒤, [math(p \rightarrow \infty)]의 극한을 보내고 샌드위치 정리를 사용한다.
(b) 최소값: 최소값을 [math(m)]이라 하면 [math(p<0)]일 때는 비슷하게 [math(m^p \le (x_1^p + \cdots + x_n^p) \le n m^p)]가 성립한다. 방법은 대동소이하지만 [math(p)]가 음수이므로 p제곱근을 씌울때 부등호방향이 바뀌는 것만 유의하면 된다.
(c) 기하평균: 로그형태 [math(\log M_p = \frac{ \log (x_1^p + \cdots + x_n^p)- \log n}{p})]로 바꾸어 극한 [math(p \rightarrow 0)]을 취하면 되는데, 늘 그랬듯이 로피탈의 정리 혹은 미분계수의 정의식을 사용하면 된다. 분자를 [math(p)]로 미분하면 [math(\frac{x_1^p \log x_1 + \cdots + x_n^p \log x_n}{x_1^p + \cdots + x_n^p})]이고 [math(p=0)]일 때의 이 값은 [math(\frac{\log x_1 + \cdots + \log x_n}{n} = \log \sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n})]이므로 [math(M_0(x_1, \cdots, x_n) = \sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n})]이 증명된다.

2.4. 횔더 부등식을 이용한 증명

실수 [math(\alpha>\beta)]에 대해 [math(\mathbb{E}[X^\alpha]^{1/\alpha} \ge \mathbb{E}[X^\beta]^{1/ \beta} )]을 보이면 된다.
(a) [math(\alpha>\beta>0)]일 경우: 횔더 부등식의 기본형태 [math(\mathbb{E}[x^p]^{1/p} \mathbb{E}[y^q]^{1/q} \le \mathbb{E}[xy])]에서 [math(x = X^\beta, y = 1, p = \alpha/\beta)]로 놓자. 그러면 [math( \mathbb{E}[X^{\alpha}]^{\beta/\alpha} \le \mathbb{E}[X^\beta] )]를 얻을 수 있다.
(b) [math(\alpha>0>\beta)]일 경우: [math( \gamma = (\alpha^{-1} - \beta^{-1})^{-1})]에 대해 [math(x = X^\gamma, y = X^{-\gamma}, p = 1 - \alpha/\beta , q = 1 - \beta/ \alpha)]로 맞춰주자.
(c) [math( 0 > \alpha > \beta)]일 경우: [math(X^{-1})]을 대신 생각하면 (a)의 경우가 된다.

3. 예제

양의 실수 [math(a,b,c)]에 대하여, [math(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\geq9)]가 성립한다. AM-HM에 의해, [math(\frac{a+b+c}{3}\geq\frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}})]이 성립하고, 이를 정리해주면 구하고자 하는 부등식이 증명된다. 등호는 [math(a=b=c)]일 때 성립한다. 코시-슈바르츠 부등식이 훨씬 더 쉬운 것 같은데...?[5]

4. 관련 문서



[1] 원칙적으로는 음이 아닌 실수여도 된다. 조화평균의 경우 [math(\frac{1}{0}=\infty)]로 간주하여 0으로 취급하면 문제없다. 다만 확장된 실수 개념의 모호함으로 교과과정에선 다루지 못한다 [2] 책에 따라서는 SQM (Square-root Quadratic Mean)이라 부르기도 한다. [3] 수학보다는 화학이나 물리학에서 주로 쓰이는데, 고전역학적으로 질량 [math(m)]과 운동에너지 [math(E_{k})]가 주어지면, 운동에너지에서 스피드 [math(v)]를 구하는건 [math(\displaystyle{E_{k}=\frac{1}{2}mv^{2}})]를 이용해서 구할 수 있다. 분자의 운동에너지의 총 합이 바로 온도가 되는데, 문제는 이상 기체 분자의 운동속력은 맥스웰-볼츠만 분포를 따르게 된다. 즉, 분포가 주어지게 되므로, 이것만으로는 분자의 운동속력을 구할 수는 없다. 하지만, 그 대표값으로 삼는게 바로 RMS. 즉, [math(\displaystyle{E_{k}=\sum_{v\in AREA}\frac{1}{2}mv^{2}}=\frac{3}{2}kT=\frac{1}{2}m\bar{v}^2)]라는 공식을 이용하여 구할 수 있는 [math(\bar{v})]가 바로 맥스웰-볼츠만 분포를 따르는 기체분자의 평균 운동속력이다. [4] 수학적 귀납법을 사용해 증명한다. [5] 애초에 부등식은 푸는 방법이 매우 다양하며, 특히 KMO 고등부나 IMO로 올라갈수록 그 경향이 더욱 심해진다. 결국 부등식을 풀 때는 여러 가지 해법 중 본인에게 가장 쉬운 해법을 선택하여 풀면 되는 것이다. 그러니까 음수일때 AM-GM 좀 쓰지 말자