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절대부등식 Inequalities |
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코시-슈바르츠 부등식 | 산술·기하 평균 부등식 |
| [math(\left({a_n})({b_n}\right)\ge\left({a_n}{b_n}\right))] | [math(\frac{a_n+b_n}{n}\ge\sqrt[n]{{a_n}{b_n}})] | |
| 젠센 부등식 | 영 부등식 | |
| [math(\lambda_n f\left(x_n\right)\ge f\left({\lambda_n}{x_n}\right))] | [math(ab \leq \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q})] | |
| 횔더 부등식 | 민코프스키 부등식 | |
| [math(\|fg\|_1\le\|f\|_p\|g\|_q)] | [math(\|f+g\|_p\le\|f\|_p+\|g\|_p)] | |
| 마르코프 부등식 | 체비쇼프 부등식 | |
| [math(\frac{E(X)}k\ge{\rm P}(X\ge k))] | [math(P(|X-\mu|<k\sigma)\geq1-\frac1{k^2})] | |
| 슈르 부등식 | ||
| [math(a\left(x-y\right)\left(x-z\right)+b\left(y-z\right)\left(y-x\right)+c\left(z-x\right)\left(z-y\right)\geq0)] | ||
| 합 기호는 아인슈타인 합 규약을 일부 사용해 단축하였다. | }}}}}}}}} | |
1. 개요
Cauchy–Schwarz inequality프랑스의 수학자 오귀스탱루이 코시가 만들고 이후 독일의 수학자 헤르만 아만두스 슈바르츠가 수정한 절대부등식이다.[1] 고등학교 과정에서는 변수가 유한 개인
[math(({a_1}^2+{a_2}^2+\cdots+{a_n}^2)({b_1}^2+{b_2}^2+\cdots+{b_n}^2) \ge (a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2)]
일 때를 다루고, 적분형태로는
[math(\displaystyle \int_a^b \{f(x)\}^2 \,{\rm d}x \int_a^b \{g(x)\}^2 \,{\rm d}x \ge \left( \int_a^b f(x)g(x) \,{\rm d}x \right)^{\!2})]
로, 확률론에서는
[math(E(X^2) \,E(Y^2) \ge E(XY)^2)]
로 등장한다.
고등학교 과정에서 이걸 잠깐 보면 후술할 2.3.의 과정과 같이 양변을 빼서 완전제곱식의 합으로 만든 다음 '에이 쉽네'하고 넘어가겠지만, 사실 이 부등식은 수학에선 매우 중요한 부등식이다. 코시-슈바르츠 부등식의 가장 일반적인 형태는 다음과 같다.
[math(\left\Vert v\right\Vert^2\left\Vert w\right\Vert^2\ge\left\vert v\cdot w\right\vert^2)]
여기서 [math(\left\Vert\right\Vert)]는 벡터의 노름, [math(\cdot)]는 벡터의 내적이다. 물론 이 벡터는 3차원 벡터 뿐만이 아니라 선형대수학의 일반적인 내적공간의 벡터이다.
이 코시-슈바르츠 부등식이 적용되는 확률론의 분산/ 공분산, 해석학의 [math(L^2)] 공간 등의 다양한 상황이 거의 내적으로 설명된다는 것을 확인한다면, 선형대수학의 범용성과 이 절대부등식의 심오함을 다시 한번 깨닫게 될 것이다.
이걸로 하이젠베르크의 불확정성 원리까지 증명할 수 있다.
2. 증명
2.1. 판별식을 이용한 증명
많은 곳에서 이 증명이 유용한데, 보면 알겠지만 성분 같은 거 생각 안 하고 벡터와 내적(그리고 딸린 노름)만 가지고 다루며 따라서 주어진 벡터 공간의 차원이 얼마가 됐든, 즉 유한 차원이든 무한 차원이든 전혀 상관 없이 작동하기 때문이다. 따라서 이걸 힐베르트 공간 같은 곳에서도 문제 없이 써먹을 수 있다.실수 [math(t)]에 대한[2] 이차식 [math(\left\Vert v+tw\right\Vert^2=0)] 의 판별식이 0 이하라는 것이 이 부등식과 동치가 됨을 쉽게 확인할 수 있다.
[math(0\le\left\Vert v+tw\right\Vert^2=(v+tw)\cdot(v+tw)=\left\Vert w\right\Vert^2t^2+2(v\cdot w)t+\left\Vert v\right\Vert^2)]
에서
[math(D/4=(v\cdot w)(v\cdot w)-\left\Vert w\right\Vert^2\left\Vert v\right\Vert^2\le 0)][3]
[math(\therefore\left\Vert v\right\Vert^2\left\Vert w\right\Vert^2\ge\left\vert v\cdot w\right\vert^2)]
등호 조건은 판별식이 0이 되는 건데, 이는 곧 [math(\left\Vert v+tw\right\Vert^2 = 0)]이도록 하는 [math(t)]가 (딱) 하나 존재한다는 것으로, 노름의 성질에 따라 이게 성립할 필요충분조건은 [math(v+tw = 0)]인 것이다. 즉 두 벡터 [math(\vec{v})]와 [math(\vec{w})]가 평행인 것이다.
위 증명을 벡터를 쓰지 않고 증명한다면, 다음과 같다. 이차함수 [math(f(x))]를 다음과 같이 정의하면,
[math(f(x)=(a_1x-b_1)^2+(a_2x-b_2)^2+\cdots+(a_nx-b_n)^2)]
[math(f(x))]는 완전제곱식의 합이므로 임의의 실수 [math(x)]에 대하여, 판별식값이 [math(0)] 이하이다. 위 [math(f(x))]를 전개하면,
[math(f(x)=(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)x^2-2(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)x+(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2))]
이므로 판별식을 세워보면
[math(\dfrac{D}{4}=\left({a_1}{b_1}+\cdots+{a_n}{b_n}\right)^2-\left({a_1}^2+\cdots+{a_n}^2\right)\left({b_1}^2+\cdots+{b_n}^2\right)\le 0)]
이 되어 코시-슈바르츠 부등식을 증명할 수 있다.
등호성립조건은 판별식값이 [math(0)]일 때, 즉 [math(f(x)=0)]가 근이 존재할 때인데, 그 필요충분조건은 [math(a_1x-b_1=a_2x-b_2=\cdots=a_nx-b_n=0)]인 실수 [math(x)]가 존재할 때이다. 따라서 등호성립조건의 필요충분조건은
[math(\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}=\cdots=\dfrac{a_n}{b_n})]
일 때이다. 단, a계열과 b계열 중 적어도 한쪽이 모조리 0이 아닌 이상, 분모가 0이면 분자도 0이다.
2.1.1. 복소수 벡터의 내적 위에서의 증명
위 증명을 응용하여 복소수 벡터 위의 내적에서도 똑같은 코시-슈바르츠 부등식이 성립함을 볼 수 있다.[4]이를 위해 [math(\left\Vert v + tw \right\Vert^2)]를 생각하되, 이를 다음과 같이 변형하겠다.
[math(\displaystyle \left\Vert v + (t e^{i\theta})w \right\Vert^2)].
여기서 [math(t)]는 위와 같이 임의의 실수, [math(\theta)]는 역시 실수인데, 나중에 상황 봐서 값이 정해질 녀석이다. 이제 전개해 보자. 여기서 임의의 복소수 [math(a)]에 대하여 [math((v, aw) = a (v, w))]이고 [math((av, w) = a^* (v, w))]임을 사용하자.
[math(\displaystyle \left\Vert v + (t e^{i\theta})w \right\Vert^2 = \left( v + (t e^{i\theta}) w, v + (t e^{i\theta}) w \right))]
[math(\displaystyle = (v, v) + \left( (t e^{i\theta}) w, v \right) + \left( v, (t e^{i\theta}) w \right) + \left( (t e^{i\theta}) w, (t e^{i\theta}) w \right))]
[math(\displaystyle = (v, v) + (t e^{i\theta})^* \left( v, w \right)^* + (t e^{i\theta}) \left( v, w \right) + (t e^{i\theta})^* (t e^{i\theta}) \left( w, w \right))]
[math(\displaystyle = (v, v) + 2t \mathfrak{Re}\left( e^{i\theta} (v, w) \right) + t^2 (w, w))].
[math(\displaystyle = (v, v) + \left( (t e^{i\theta}) w, v \right) + \left( v, (t e^{i\theta}) w \right) + \left( (t e^{i\theta}) w, (t e^{i\theta}) w \right))]
[math(\displaystyle = (v, v) + (t e^{i\theta})^* \left( v, w \right)^* + (t e^{i\theta}) \left( v, w \right) + (t e^{i\theta})^* (t e^{i\theta}) \left( w, w \right))]
[math(\displaystyle = (v, v) + 2t \mathfrak{Re}\left( e^{i\theta} (v, w) \right) + t^2 (w, w))].
여기서 [math(\mathfrak{Re}\left( e^{i\theta} (v, w) \right))]는 [math(e^{i\theta} (v, w))]의 실수부이다. 한편 내적의 성질에 따라 위 식은 항상 0보다 크거나 같아야 하므로, 위와 같은 이유로 다음이 성립하여야 한다.
[math(\displaystyle D := \left( 2\mathfrak{Re}\left( e^{i\theta} (v, w) \right) \right)^2 - 4 (w, w) (v, v) \le 0)]
또는
[math(\displaystyle \Vert v \Vert^2 \Vert w \Vert^2 \ge \left( \mathfrak{Re}\left( e^{i\theta} (v, w) \right) \right)^2)].
그러고 보면 이 식은 [math(\theta)]에 상관 없이 성립하는 식이다. 따라서 입맛에 맞춰 [math(\theta)]를 정해주면 그만이다. 지금 원하는 코시-슈바르츠 부등식을 얻기 위해서는 [math(e^{i\theta} (v, w) = |(v, w)|)]이도록 [math(\theta)]를 얻는 것이 좋을 것이다. 일단 [math((v, w) = 0)]이면 더 할 게 없을 것이다. 만약 [math((v, w) \ne 0)]이면 [math(e^{i\theta} = \frac{|(v, w)|}{(v, w)})]이도록 [math(\theta)]를 잡아주자. 그러면 두 경우 모두에서 [math(\mathfrak{Re}\left( e^{i\theta} (v, w) \right) = |(v, w)|)]가 나올 것이고, 그렇게 해서 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle \Vert v \Vert^2 \Vert w \Vert^2 \ge \left| (v, w) \right|^2)].
한편, 위와 같은 이유로 등호가 성립하기 위한 필요충분조건은 [math(D = 0)]인 것이고 이는 [math(\left\Vert v + (t e^{i\theta})w \right\Vert^2 = 0)]이도록 하는 [math(t)]가 (딱) 하나 존재해야 한다는 것과 동치이다. 위와 똑같이, 이는 곧 [math(v + (t e^{i\theta})w = 0)]이도록 하는 [math(t)]가 존재한다는 것, 즉 [math(v)]와 [math(w)]가 평행하다는 것임일 알 수 있다.
이렇게 해서 내적이 주어진 복소수 위에서의 벡터 공간에서도 코시-슈바르츠 부등식이 성립하는 것을 확인하였다. 한편 [math(\theta)]를 마음대로 놓아도 부등식이 성립한다는 점을 생각하면, [math(\theta = 0)] 또는 [math(\theta = -\frac{\pi}{2})]로 놓아서 다음 부등식들을 얻을 수 있을 것이다.
[math(\displaystyle \Vert v \Vert^2 \Vert w \Vert^2 \ge \left( \mathfrak{Re}(v, w) \right)^2)],
[math(\displaystyle \Vert v \Vert^2 \Vert w \Vert^2 \ge \left( \mathfrak{Im}(v, w) \right)^2)].
[math(\displaystyle \Vert v \Vert^2 \Vert w \Vert^2 \ge \left( \mathfrak{Im}(v, w) \right)^2)].
여기서 [math(\mathfrak{Re}(v, w))], [math(\mathfrak{Im}(v, w))]는 각각 [math((v, w))]의 실수부, 허수부이다. 다시 한 번, 이 세 부등식들은 주어진 벡터 공간이 무엇이든 복소수 위의 벡터 공간이고 내적만 잘 주어져 있으면 항상 성립한다. 그래서 (무한 차원) 힐베르트 공간에서도 잘 성립한다. 이를 이용하여, 특히 마지막 부등식을 이용하여 하이젠베르크의 불확정성 원리를 손쉽게 유도할 수 있다.
2.2. 산술·기하 평균 부등식을 이용한 증명
이 방법은 코시 슈바르츠 부등식의 확장을 위한 유용한 증명 방법이다.[math(A=a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2,\quad B=b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2)]
라 하면,
| [math(\begin{aligned}2=1+1&=\dfrac{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}{A}+\dfrac{b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2}{B}\\&=\left(\dfrac{a_1^2}{A}+\dfrac{b_1^2}{B}\right)+\left(\dfrac{a_2^2}{A}+\dfrac{b_2^2}{B}\right)+\cdots+\left(\dfrac{a_n^2}{A}+\dfrac{b_n^2}{B}\right)\\&\ge\dfrac{2a_1b_1}{\sqrt{AB}}+\dfrac{2a_2 b_2}{\sqrt{AB}}+\cdots+\dfrac{2a_nb_n}{\sqrt{AB}}\end{aligned})] |
단 위의 증명은 [math(AB\neq 0)]일 때이고, [math(AB=0)]이면 어차피 임의의 양의 정수 [math(n)]에 대해 [math(a_nb_n)]값도 [math(0)]이므로 부등식이 성립한다.
산술.기하 평균 부등식을 이용하여 증명할때, 코시 슈바르츠 부등식에서 등호가 성립하는 조건을 보여야 하는데 보일 수 없다.
중간에 root a^2b^2이 a,b 부호에 관계없이 근호를 벗겼는데, 엄밀히 말하면 근호를 벗길 때는 절댓값을 취하고 다시 절댓값을 벗기는 식으로 두번에 나눠서 해야한다.
2.3. 소거하여 증명
[math(\left(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2\right)\left(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2\right)-\left(a_1b_1+a_2 b_2+\cdots+a_nb_n\right)^2=\displaystyle\sum_{1\le i<j\le n}(a_ib_j-a_jb_i)^2\ge 0)]
3. 확장
코시-슈바르츠 부등식은 다양한 방법으로 확장이 가능하다. 그 중 대표적인 예가 헬더 부등식이고, 헬더 부등식의 여러 형태 중 (소위 [math(n)]차 코시라고 일컬어지는) 하나는 다음과 같다.[math(i=1,2,\dots,n)]이고, [math(j=1,2,\dots,m)]일 때, [math(n)]이 짝수이면 [math(a_{i,j})]가 실수, [math(n)]이 홀수이면 [math(a_{i,j})]가 음이 아닌 실수라고 하자. 그러면, 다음 부등식이 성립한다.
| [math(\begin{aligned}&\left(a_{1,1}^n+a_{1,2}^n+\cdots+a_{1,m}^n\right)\left(a_{2,1}^n+a_{2,2}^n+\cdots+a_{2,m}^n\right)\cdots\left(a_{n,1}^n+a_{n,2}^n+\cdots+a_{n,m}^n\right)\\\ge&\left(a_{1,1}a_{2,1}\cdots a_{n,1}+a_{1,2}a_{2,2}\cdots a_{n,2}+\cdots+a_{1,m}a_{2,m}\cdots a_{n,m}\right)^n\end{aligned})] |
[math(A_i=a_{i,1}^n+a_{i,2}^n+\cdots+a_{i,m}^n)]
라 하면,
[math(n=\underbrace{1+1+\cdots+1}_{n\text{개의 }1}=\displaystyle\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\frac{a_{i,j}^n}{A_i}=\sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^n\frac{a_{i,j}^n}{A_i}\ge\sum_{j=1}^m\frac{na_{1,j}a_{2,j}\cdots a_{n,j}}{\sqrt[n]{A_1A_2\cdots A_n}})]
이고, 이 부등식에서 양변에 [math(\dfrac{\sqrt[n]{A_1A_2\cdots A_n}}{n})]을 곱한 후 [math(n)]제곱하면 증명이 된다.
4. 따름 정리
4.1. 네스빗(Nesbitt) 부등식
네스빗 부등식(Nesbitt's inequality)
임의의 양의 실수 [math(a,b,c)]에 대하여, 다음 부등식이 성립한다.
[math(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\ge\dfrac{3}{2})]
[math(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\ge\dfrac{3}{2})]
4.1.1. 증명
일단 알아두어야 할 것이 있다.[math((a^2+b^2+c^2)^2=(a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+a^2)\ge(ab+bc+ca)^2)]
[math(\therefore a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca)]
[math(\therefore (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\ge 3(ab+bc+ca))]
이 성질은 여러 부등식을 증명할 때 많이 사용하므로 알아두면 좋다. 한국수학올림피아드에서도 이 공식이 많이 도움이 된다.
4.2. Titu's Lemma(T2의 도움정리)
[math(T_2)]의 도움정리(Titu's lemma)
임의의 [math(n)]개의 실수 [math(a_1,a_2,\dots,a_n)]과 [math(n)]개의 양의 실수 [math(b_1,b_2,\dots,b_n)]에 대하여, 다음 부등식이 성립한다.
[math(\dfrac{a_1^2}{b_1}+\dfrac{a_2^2}{b_2}+\cdots+\dfrac{a_n^2}{b_n}\ge\dfrac{(a_1+a_2+\cdots+a_n)^2}{b_1+b_2+\cdots+b_n})]
[math(\dfrac{a_1^2}{b_1}+\dfrac{a_2^2}{b_2}+\cdots+\dfrac{a_n^2}{b_n}\ge\dfrac{(a_1+a_2+\cdots+a_n)^2}{b_1+b_2+\cdots+b_n})]
4.3. 권방화(权方和) 부등식(Radon's Inequality)
권방화(权方和) 부등식
임의의 [math(2n)]개의 양의 실수 [math(x_1,x_2,\dots,x_n,y_1,y_2,\dots,y_n)]과 주어진 실수 [math(m)]에 대하여, 다음 부등식이 성립한다.
||<tablealign=center><tablebordercolor=#fff,#313234><bgcolor=#fff,#313234>
[math(\dfrac{x_1^{m+1}}{y_1^m}+\dfrac{x_2^{m+1}}{y_2^m}+\cdots+\dfrac{x_n^{m+1}}{y_n^m}\begin{cases}\ge\dfrac{(x_1+x_2+\cdots+x_n)^{m+1}}{(y_1+y_2+\cdots+y_n)^m}&(m>0\text{ 또는 }m<-1\text{일 때})\\\le\dfrac{(x_1+x_2+\cdots+x_n)^{m+1}}{(y_1+y_2+\cdots+y_n)^m}&(-1<m<0\text{일 때})\end{cases})]
||참고 자료
5. 관련 문서
[1]
CBS 부등식이라고도 하는데, C는 코시, S는 슈바르츠, B는 러시아 수학자인 빅토르 야코블레비치 부냐콥스키(Viktor Bunyakovsky)를 뜻한다. 아래의 적분형 버전은 부냐코프스키가 증명한 것.
[2]
증명을 찬찬히 보면 알겠지만 주어진 벡터들이 실수체 [math(\R)] 말고도 다른 순서체(ordered field) 위의 벡터 공간에 있어도 상관 없이 이 증명을 써먹을 수 있다는 것을 알 수 있다. 물론 판별식의 부호에 따른 근의 개수 판별 역시 잘 작동한다.
[3]
[math(0\le\left\Vert v+tw\right\Vert^2)]이기 때문에 위에서 얻은 이차방정식의 실근은 아예 없거나 중근이어야 하는데, 이는 [math(D\le 0)]이어야 함과 동치이다.
[4]
위에서 소개한 코시-슈바르츠 부등식을 보면 내적에 절댓값이 씌워져 있는데, 그 덕에 저 부등식은 복소수 위의 내적에서도 잘 성립한다. 실수 위의 벡터만 다뤘으면 절댓값을 안 씌워도 잘 성립한다.