|
'''
열역학 ·
통계역학 ''' |
|||
|
{{{#!wiki style="margin:0 -10px -5px; min-height:calc(1.5em + 5px); word-break:keep-all" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin:-6px -1px -11px" |
기본 개념 | <colbgcolor=#FFF,#111><colcolor=#000,#fff> 열역학 법칙{ 열역학 제1법칙( 열역학 과정) · 열역학 제2법칙( 엔트로피)} · 질량 보존 법칙 · 에너지 · 물질 · 온도( 절대영도) · 압력 · 열( 비열 · 열용량) · 일( 일률) · 계( 반응계 · 고립계) · 상 · 밀도 · 기체 법칙{ 보일 법칙 · 샤를 법칙 · 게이뤼삭 법칙 · 아보가드로 법칙 · 이상 기체 법칙( 이상 기체)} · 기체 분자 운동론 | |
| 통계역학 | 앙상블 · 분배함수 · 맥스웰-볼츠만 분포 · 페르미-디랙 분포 · 보스-아인슈타인 분포 · 맥스웰-볼츠만 통계 · 페르미-디랙 통계 · 보스-아인슈타인 통계 · 페르미온 응집 · 보스-아인슈타인 응집 · 복잡계( 카오스 이론) · 흑체복사 · 브라운 운동 · 역온도 · 위상 공간 | ||
| 열역학 퍼텐셜 | 내부 에너지 · 엔탈피 · 자유 에너지( 헬름홀츠 자유 에너지 · 깁스 자유 에너지) · 란다우 퍼텐셜 · 르장드르 변환 | ||
| 응용 및 현상 | 현상 | 가역성 · 화학 퍼텐셜 · 상전이 · 열전달{ 전도( 열전도율 · 전도체) · 대류 · 복사} · 판데르발스 힘 · 열처리 · 열량( 칼로리) · 네른스트 식 · 물리화학 둘러보기 | |
| 열기관 | 내연기관 · 외연기관 · 열효율( 엑서지) · 열교환기( 히트펌프) · 카르노 기관 · 영구기관 · 열전 소자 | ||
| 관련 문서 | 화학 둘러보기 · 스털링 근사 · 전자친화도 · 이온화 에너지 · 응집물질물리학 · 고체물리학 · 기계공학 · 화학공학 · 정보이론 · 맥스웰의 악마 · 볼츠만 두뇌 · 에르고딕 가설 · 브라질너트 효과 | }}}}}}}}} | |
1. 개요
統 計 力 學 / Statistical Mechanics물리학의 한 분과로, 계의 상태를 통계적인 방법론(확률론 등)에 따라서 해석하고 연구하는 분야다. 주로 연구 대상의 계의 운동 상태(자유도)가 무척 많거나, 수많은 입자를 포함하고 있을 때 확률론[1] 등을 도입해서 계의 운동을 통계적으로 해석해야 될 때 이용된다. 과목의 특성상 열역학과 밀접한 관계를 가지고 있어 자주 열역학과 세트로 엮이며,[2][3] 공대에서도 주로 배우는 열역학과는 다르게 이쪽은 순수 물리학 전공에서 다뤄지는 경우가 많다. 학문의 발전에 따라 통계역학은 양자역학, 정보 이론 등의 분야와도 융합되어, 현대 물리에서는 어느 분야에서든지 약방의 감초처럼 쓰인다. 통계적인 해석이 필요할 때 알게 모르게 섞여 들어가있는 경우가 많다. [4]
궁극적인 목표는 이렇게 분석한 대상을 다른 것까지 일반화시킬 수 있도록 절대적인 거시 법칙을 찾아내는 것이다.
통계역학은 학부 필수 과목으로, 혹은 고체물리 등 여타 분야의 서술 방법으로 여겨지지만 독립된 연구 분야로서의 통계물리도 존재한다(이 경우 통계역학이라고는 잘 불리지 않고 통계물리라고 하는 것 같다). 특히 네트워크 이론이 통계물리 연구자들에 의해 주도된 역사가 있어 현재도 접점이 많다. 대중들에게도 익숙한 복잡계라는 단어가 처음 히트친 것도 네트워크 이론을 연구하는 통계물리학자들의 주도로 이루어졌다고 보아도 크게 틀리지 않다. 현재는 복잡계라는 단어의 외연이 많이 넓어져 복잡계 문서에서 볼 수 있듯이 행정학, 경영학, 사회과학, 산업공학 등에서 컨셉트를 많이 가져다 쓰고 있는 상황이다. 복잡계 문서에서는 복잡계 쪽 개념들의 정의가 모호하다고 쓰여있는데, 그 중 꽤나 많은 경우는 물리학에 기반하여 명료한 의미를 가지고 있는 용어들을 타 분야에서 말로 풀어 써놓았기 때문에 그렇게 보이는 것일뿐이다.
물론 네트워크 이론뿐 아니라 전통적인 물리학적 대상들(엔진, 생체시스템, 화학 반응 시스템, 블랙홀 등)의 에너지, 엔트로피 등을 다루는 연구도 통계물리 분야에서 여전히 활발히 진행중이다. 이쪽에서 최근의 관심 주제는 주로 잘 알려지고 잘 분류된 평형 통계역학으로부터 벗어나 있으면서 다양한 현상을 보여주는 비평형 시스템들이다.
데이터에 대한 통계적 가설 검정 등을 다루는 통계학과 어떤 상관인지 궁금해할 수도 있는데, 생각보다 밀접한 관련은 없다고 봐야한다 (어쩌면 통계역학보다는 '확률적 역학' 정도의 표현이 이해를 도울지도 모른다). 물리학과 학부에서 통계학을 그나마 사용해 볼 수 있는 과목은 통계역학보다는 주로 실험과목들이며, 물리학과 대학원에서 통계학을 제일 빡세게 사용하는 사람들 역시 대부분의 경우 통계물리 이론 전공 학생들이 아닌, 실험물리 쪽 학생들이다. 물론 통계물리 전공자들 중 통계물리학의 이론 모형을 검증하기 위해 시뮬레이션을 하는 사람들, 혹은 빅데이터를 다루는 사람들은 평균 및 표준편차뿐만 아니라 higher order moment들, 그리고 각종 통계적 추정들을 열심히 사용을 하며, 가설 검정을 위해 데이터에 대한 고급 통계처리도 하기도 한다. 여기서 말하려는 건 이론적 방법론으로서의 통계역학은, 사람들이 통계학 하면 기대하는 수리통계학, 내지는 R 돌리는 것 등과는 차이가 많다는 것.
컴퓨터과학(특히 정보이론, 머신러닝)에서 정보엔트로피(섀넌 엔트로피)도 통계역학의 엔트로피와 공유하는 점이 많다 (일단 기본적인 정의 식 자체가 아예 동일하다). 다만 다루는 문제의 성격에 따라 여러가지 파생 량들이 정의가 되는데, 그것들은 포멀리즘(Formalism)에 따라서 물리학의 엔트로피와 정확히 통하는 픽쳐일 수도, 아닐 수도 있다.
2. 내용
통계역학은 '미시적 상태'와 '거시적 상태'를 구분하는 것에서 출발한다. 이를 가장 단순하게 이해하는 것은 고등학교 때 배운 순열과 조합을 떠올리면 된다. 스핀 N개 중에 m개가 위 방향을 향하고 있다고 하자. 그 경우의 수는 N!/(m!)(N-m)!개로 나타날 것이다. 그 각각의 경우는 서로 다른 미시적 상태지만, '위 방향을 향하는 스핀들의 비율'을 r이라는 파라미터로 삼아, 그 경우들 모두를 같은 거시적 상태로 취급하는 식이다.여기에서 통계역학의 핵심이라고 할 수 있는 루트비히 볼츠만의 가설을 하나 더 추가한다. 에너지가 같은 미시적 상태는 모두 같은 확률로 존재한다는 그의 가설은 무수한 비판을 받았지만, 실험결과를 잘 설명하였고, 열역학의 결과도 그대로 유도되었기에(그 당시만 해도 열역학은 현상론적인 수준이었다) 결국 받아들여지게 되었다. 이 가설을 이용하여 어떤 계 내부에 존재하는 상태의 숫자를 직접 센다면, 미시 상태의 수가 가장 많은 경우의 거시 상태가 통계적으로 가장 일어날 확률이 높다고 할 수 있다.
이를 바탕으로 서로 다른 두 계가 연결될 때, 둘을 합친 새로운 계의 미시 상태를 최대로 할 수 있는 조건을 찾을 수 있다. 이 과정에서 유명한 볼츠만의 엔트로피의 정의가 등장하게 되며, 이를 바탕으로 온도를, 열역학 0법칙을 정의하게 된다. > [math( S=k_B \ln W )]
2.1. 앙상블 (Ensemble)
앙상블의 사전적인 정의는 유사한 특성을 갖는 무언가가 모인 집합체이다. 통계역학에서 이 "무언가"는 서로 다른 입자들의 계(system)에 해당한다. 반복하지만, 앙상블은 입자들의 집합이 아니라, 입자들의 계의 집합이다.예컨대 N개의 입자로 이루어진 계를 생각하면, 이 계는 물리적 법칙을 만족하는 f(N)개의 서로 다른 형태로 존재할 수 있다. 이 때 f(N)개의 계 각각을 촬영한다고 생각하면, 이 "사진들의 집합"이 바로 앙상블이다. 따라서 입자들의 계가 가지는 경우의 수 집합이 앙상블이다.
고전역학적인 환경에서 각 계, 즉 각 사진들의 상태는, N개 입자 각각의 위치 q(3차원)와 운동량 p(3차원)로 이루어진 6N차원의 위상공간(phase space) 상의 각 점에 대응된다. 따라서 앞서의 가정은 곧 앙상블을 6N차원 위상공간의 각 점에서 발견할 확률은 모두 동일하다는 말과도 동치이다.
각 경우의 수가 의존하는 변수, 즉 "서로 다른 사진"인지를 판독하는 변수를, N,V,E로 설정한 경우 Microcanonical, N,V,T인 경우 Canonical, 화학 퍼텐셜 [math(\mu)],V,T인 경우 Grandcanonical 앙상블이라 한다. 이외에도 분석하고자 하는 계의 특성에 따라 임의로 거시적 물리량들을 선택하여 새로운 앙상블을 정의할 수 있다.
2.1.1. 소정준앙상블 (Microcanonical Ensemble)
가장 기본적인 앙상블(Ensemble)로 대부분의 통계역학 책에 제일 먼저 나온다. 이 Ensemble은 기본적으로 미시적으로 엔트로피(Entropy)를 정의한다. 더 나아가 이렇게 정의된 엔트로피를 이용해 다른 거시변수(Macroscopic Variable)를 구하는 방법을 알려준다. 우리는 이를 통해 온도, 압력, 화학퍼텐셜을 미시적인 값들을 통해 정의하는것을 가능하게 한다.기본적으로 마이크로캐노니컬 앙상블(Microcanonical Ensemble)은 에너지, 입자개수, 그리고 부피가 고정된 계(System)를 상정한다. 그 후에 가능한 x, p 변수로 이루어진 위상공간(Phase Space)의 부피를 계산한다. 그러면 엔트로피를 다음과 같이 정의한다.
[math(\displaystyle S = k_B \ln \frac{\text{volume of phase space}}{\hbar^D})]
이때, [math(k_B)]는 볼츠만 상수, [math(\hbar)]는 플랑크 상수, 그리고 [math(D)]는 실공간 차원(Real Space Dimension)이다. 이 정의를 이용해서, 온도를 다음과 같이 정의한다.
[math(\displaystyle \frac{1}{T} = \frac{\partial S}{\partial E})]
이렇게 정의된 온도는 실제 거시적으로 우리가 관찰하는 온도와 같은 값이된다. 여타 다른 거시변수도 엔트로피를 통해서 구할 수 있다.
그리고 마이크로캐노니컬 앙상블을 이용하여, 우리는 이상 기체에 대해 내부 에너지 E = 3/2 NkT 및 상태 방정식 pV = NkT를 유도할 수 있다.
2.1.2. 정준앙상블 (Canonical Ensemble)
N개의 입자가 있는 계를 생각해보자. [math(n_i)]와 [math(\epsilon\ _i\ )]를 각각 i 번째 상태인 입자의 수와 해당하는 에너지 값이라고 하면, 이 계 입자의 총 수 N과[5] 에너지 E가
[math( N=\displaystyle \sum_{i}^{}\ n_i )]
[math( E=\displaystyle \sum_{i}^{}\ n_i\ \epsilon\ _i\ )]
이렇게 주어지는 것은 자명하다. 이제, 앞서 나온 '볼츠만의 가설'을 토대로 생각해보자. N개의 입자들 중 [math( n_1 )]개를 선택하는데, 그 확률이 전부 같고 입자가 구분 불가능하다. 그렇다면 그 선택하는 방법의 개수는[math( E=\displaystyle \sum_{i}^{}\ n_i\ \epsilon\ _i\ )]
[math( _NC_{n_1}=\displaystyle \ { \frac{ N !}{ (N-n_1 )! n_1 ! } } )]
개가 있다. 이제 남은 것들(입자 [math( N-n_1 )] 개) 중에서 [math( n_2 )] 개를 선택하려면?
[math(_{N-n_1}C_{n_2}=\displaystyle \ { \frac{ ( N - n_1) !}{ (N-n_1 - n_2 )! n_2 ! } } )] 가지의 방법이 있다. [math( n_1 , n_2 )]개를 각각 뽑는 경우의 수는 둘의 곱이며, [math( n_1 )]개 뽑을 때와 [math( n_2 )]개 뽑을 때 경우의 수를 곱하면 [math((N-n_1 )! )]이 약분되어
[math((_NC_{n_1})× (_{N - n_1}C_{n_2}) =\displaystyle \ { \frac{ N !}{ (N-n_1 -n_2 )! n_1 ! n_2 !} } )]
개가 된다. 이런 식으로 하여 합이 N개가 될 때 까지 곱한다면, 그 경우의 수는 [math((_NC_{n_1})× (_{N - n_1}C_{n_2}) =\displaystyle \ { \frac{ N !}{ (N-n_1 -n_2 )! n_1 ! n_2 !} } )]
[math(W= \displaystyle \ { \frac{ N !}{ \prod_{i}{}\ n_i !} } )][6]
가 된다.
이 때 저 [math( n_i )]들을 뽑아놓은 계들을 모아놓아서 캐노니컬 앙상블(Canonical Ensemble 표준 앙상블)이라 한다. 즉, 앙상블 안에 총 [math(\displaystyle \ { \frac{ N !}{ (0)! \Pi\ n_i !} } )]개의 계가 있는 것으로 보아도 무관하다.
보통 우리가 관심 있는 것은 [math( n_i)]의 분포이다. 어떤 식으로 알아낼까? 일단 주어진 조건들부터 생각해본다.
[math(N-\displaystyle \sum_{i}^{}\ n_i=0 )]
[math({ E-\displaystyle \sum_{i}^{}\ n_i\ \epsilon\ _i} =0)]
딱 봐도
라그랑주 승수법을 해야한다는 감이 온다. 이때 계산상의 편의와 몇몇 근사를 위해 [math(W)] 가 아니라 [math(\ln W)] 에 대해 미분한다. [math({ E-\displaystyle \sum_{i}^{}\ n_i\ \epsilon\ _i} =0)]
[math( \omega= \ln W = \ln \displaystyle \ { \frac{ N !}{\Pi\ n_i !} } = \ln N! -\displaystyle \sum_{i}^{}\ \ln{(n_i !)})]
여기에다가
스털링 근사를 적용하면[7][math( \omega = \ln N! -\displaystyle \sum_{i}^{}\ \ln{(n_i !)}=\ln N! -\displaystyle \sum_{i}^{}\ n_i \ln{n_i }- {\lambda\ _1}(E-\displaystyle \sum_{i}^{}\ n_i \epsilon\ _i) - {\lambda\ _2}(N-\displaystyle \sum_{i}^{}\ n_i) )]
이제 특정 [math(n_\alpha)]를 구하기 위해 [math(n_\alpha)]로 편미분하자. [math(\omega)]나 [math(N)] ,[math(E)]는 [math(n_\alpha)]에 대해 상수이므로
[math(0=-\ln n_{\alpha} -1+\lambda\ _1 \epsilon\ _\alpha + \lambda\ _2 )]
[math(n_\alpha = e^{-1+\lambda\ _{1} \epsilon\ _\alpha + \lambda\ _2})]
를 대입한다. 이때 [math( -1+ \lambda\ _2)]는 [math(\alpha)]에 무관하므로 [8] [math(Z= e^{1-\lambda\ _{2}})][9]라는 상수로 놓아도 무방하다. 따라서 [math( N=\displaystyle \sum_{\alpha}^{}\ n_\alpha = \displaystyle {1\over Z}\sum_{\alpha}^{}\ e^{\lambda\ _{1} \epsilon _\alpha})][math(n_\alpha = e^{-1+\lambda\ _{1} \epsilon\ _\alpha + \lambda\ _2})]
[math( n_{\alpha} ={1\over Z} e^{\lambda _{1} \epsilon _\alpha} )]
2.1.3. 대정준 앙상블 (Grandcanonical Ensemble)
이전의 마이크로캐노니컬 앙상블(Microcanonical Ensemble)에서는 완전한 고립계를 상정하여 [math( E,V,N )] 이 보존된다고 가정하고 계를 이 세 변수들로 묘사하였다. 쉽게 상상하자면 "단단한 강철 용기 안에 갇혀 평형을 이루고 있는 기체 분자들의 계"를 예시로 들 수 있다.또한 캐노니컬 앙상블(Canonical Ensemble)에서는 닫힌계를 상정하여 [math( T,V,N )] 이 보존된다고 가정한다. 이는 닫힌 계로 볼 수 있고, 쉬운 예시를 들자면 "온도가 일정하게 유지되는 방 안에 놓여 있는 닫힌 유리병 안의 기체" 같은 계를 생각할 수 있다.
위의 두 앙상블은 각각 고립계와 닫힌계를 의미하는데, 그랜드캐노니컬 앙상블(Grandcanonical Ensemble)혹은 매크로캐노니컬 앙상블(Macrocanonical Ensemble)로 불리는 앙상블은 열린계를 가정한다. 즉, 에너지와 물질교환이 모두 이루어지는 평형계인 것이다. 이러한 계에서는 화학적 포텐셜 [math( \mu )], 부피 [math( V )] , 및 그 온도 [math( T )] 가 보존된다고 가정할 수 있다.
그랜드캐노니컬 앙상블(Grandcanonical Ensemble)에 대한 근본적인 법칙들을 발견하기 위하여, 캐노니컬 앙상블(Canonical Ensemble)에서 자주 사용하는 논리인 매우 큰 열저장소 논리를 똑같이 적용해 보자.
위 그림과 같이 열린 계가 매우 큰 열저장소 및 입자들의 저장소와 평형을 이루고 있다고 생각하자. 그러면 총 에너지와 총 입자수의 보존에 의하여 당연히 [math(E_r +E_s =E )]임과 [math( N_r + N_s = N )]임을 안다.
우리가 가정한 열과 입자들의 저장소는 우리가 관찰하려고 하는 계보다 매우 크다. 따라서,
[math( E_s << E_r , E )] 이고 [math( N_s << N_r , N )] 이며
[math( \displaystyle \frac{E_s}{E}=(1-\frac{E_r}{E}) << 1 )]
[math( \displaystyle \frac{N_s}{N}=(1-\frac{N_r}{N}) << 1 )]
가 성립한다. 이제 계의 모든 가능한 에너지와 입자 수에 대하여 어떤 위상공간의 점, 즉 특정한 에너지([math(E_i)])와 특정한 입자 수([math(N_i)]) 값을 갖는 미시상태에 그 계가 있을 확률을 다음과 같이 쓸 수 있을 것이다.
[math( P(E_s = E_i, N_s = N_i) \propto \Omega(E_r = E - E_i, N_r = N - N_i))]
그러하므로 우리는 위의 다른 앙상블을 전개해 왔던 논리 대로, 모든 경우의 수 [math(\Omega)]에 로그를 취하여 테일러 급수 전개를 해 볼 수 있다. 일차항 까지만 전개하면
[math( k_B \ln \Omega(E - E_i, N-N_i) = k_B[ \ln \Omega(E,N) - \partial_E(k_B \ln \Omega(E, N))E_i - \partial_N(k_B \ln \Omega(E,N))N_i + ... ])]
이고 엔트로피 및 온도, 화학적 포텐셜의 정의에 의하여 위 식은 다음과 같아진다.
[math( \displaystyle k_B \ln \Omega(E - E_i, N-N_i) = k_B[ \ln \Omega(E,N) - \frac{E_i}{T} + \frac{N_i \mu}{T} + ... ])]
따라서 우리가 원하는 확률값은
[math( \displaystyle P(E_i, N_i) \propto \Omega(E-E_i, N-N_i) \approx C\exp({ - \frac{E_i}{k_B T} + \frac{N_i \mu}{k_B T}}) )]
이제 근사적으로 구한 함수는 어떤 값에 비례한다고만 했지 그 앞의 비례상수를 아직 모르는 상태이다. 이 값을 진짜 확률값으로 만들기 위해 정규화를 해야 한다. 모든 확률의 합은 1이 되어야 한다는 그 성질 ([math(\sum P = 1)])을 만족시키도록 확률함수 앞의 상수([math(C)])를 다음과 같이 결정한다.
[math( \displaystyle P(E_i, N_i) = \frac{\exp({ - \frac{E_i}{k_B T} + \frac{N_i \mu}{k_B T}}) }{\sum_{N_i} \sum_{E_i} \exp({ - \frac{E_i}{k_B T} + \frac{N_i \mu}{k_B T}}) } )]
위의 확률을 그대로 구해도 상관 없지만, 위 시그마 기호로 표현된 급수 합을 적분으로 표현할 수 있다. 각 입자수에 대하여 또한 각 에너지에 대하여 일반화 위치에 3N, 일반화 운동량에 3N의 자유도가 존재하며 이를 모두 적분한다. 이에 따라 얻어지는 확률분포는
[math( \displaystyle \rho(p, q, N_i) = \frac{\exp(- \beta H(p,q) + \beta N_i \mu) }{\sum_{N_i = 0}^{\infty} {1 \over h^{3N_i}} \int d^{3N_i}q d^{3N_i}p \exp(- \beta H(p,q) + \beta N_i \mu)})]
여기서 분모는 그랜드 캐노니컬의 분배함수이다.
[math( \displaystyle \mathbb{Z} = {\sum_{N = 0}^{\infty} {1 \over h^{3N}} \int d^{3N}q d^{3N}p \exp(- \beta H(p,q) + \beta N \mu)})]
여기에 깁스의 수정인자인 [math(1/N!)]을 곱하면
[math( \displaystyle \mathbb{Z} = {\sum_{N = 0}^{\infty} {1 \over h^{3N} N!}\int d^{3N}q d^{3N}p \exp(- \beta H(p,q) + \beta \mu N)})]
캐노니컬 앙상블에서의 분배함수가 [math( \displaystyle Z(T,V,N) = {1 \over h^{3N}} \int d^{3N}q d^{3N}p \exp(- \beta H(p,q)))] 이었음을 상기하면
[math( \displaystyle \mathbb{Z}(T,V, \mu) = \sum_{N = 0}^{\infty} \exp(\beta \mu)^N Z(T,V,N))]
여기서 특히 [math( exp(\beta \mu) = z)]이고 fugacity 혹은 '휘산도'라고 부른다.
또한 위 식으로부터 그랜드 캐노니컬(혹은 매크로 캐노니컬)앙상블의 그랜드 캐노니컬 분배함수(Grand canonical partition function)은 모든 캐노니컬 분배함수(Canonical partition function)의 휘산도(fugacity)라는 가중인자에 대한 가중합임을 알 수 있다.
2.2. 고전 통계역학
맥스웰-볼츠만 분포2.3. 양자 통계역학
|
'''
고체물리학·
응집물질물리학 ''' |
||
|
{{{#!wiki style="word-break: keep-all; margin:0 -10px -5px; min-height:calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin:-5px -1px -11px" |
<colbgcolor=#056666><colcolor=#fff> 기반 | 전자기학 · 양자역학( 양자장론 · 이차양자화) · 통계역학 · 미분방정식 · 위상수학( 매듭이론) |
| 결정학 | 고체 · 결정 · 결정 격자(브라베 격자) · 군론( 점군 · 공간군) · 역격자( 브릴루앙 영역) · 구조 인자 · 결함 · 준결정 | |
| 에너지띠 이론 | 결정 운동량 · 페르미 - 디랙 분포 · 자유 전자 모형(= 드루드-조머펠트 모형) · 드루드 모형 · 분산 관계 · 원자가띠 · 전도띠 · 띠틈 · 페르미 준위 · 페르미 면 · 꽉묶음 모형 · 밀도범함수 이론 · 도체 · 절연체 · 반도체( 양공 · 도핑) | |
| 자성 | 강자성( 이징 모형) · 반자성 · 상자성 · 반강자성 · 준강자성 · 홀 효과 · 앤더슨 불순물 모형(콘도 효과) · 초전도체(쿠퍼쌍 · 조지프슨 효과 · BCS 이론 · 보스-아인슈타인 응집 · 마이스너 효과) | |
| 강상 관계 | 상전이(모트 전이) · 페르미 액체 이론 · 초유동체 · 준입자( 양공 · 엑시톤 · 포논 · 마그논 · 플라즈몬 · 폴라리톤 · 폴라론 · 솔리톤 · 스커미온) · 선형 응답 이론(쿠보 공식 · 요동-흩어지기 정리) · 평균장 이론 · 그린 함수 · 스펙트럼 함수 · 파인만 다이어그램 | |
| 위상 물리학 | 위상부도체( 그래핀) · 기하학적 위상 · 양자 홀 효과 · 마요라나 페르미온(마요라나 영준위 상태) | |
| 실험 및 장비 | 전자현미경( SEM · TEM · STM · AFM) · XRD · 분광학( NMR · 라만 분광법) · 방사광 가속기 | }}}}}}}}} |
2.3.1. 페르미-디랙 분포
전자와 같이 스핀이 반정수인 페르미온이 따르는 통계적 분포이다. 한 state에 하나의 입자만 들어갈 수 있다(파울리의 배타 원리)는 조합론적 성질로부터 아래 분포 식을 얻는다.[math( \displaystyle N(E) = {1 \over \mathrm{exp}{E-\mu \over kT} +1} )]
함수의 꼴을 보면 일종의 시그모이드 함수임을 알 수 있다. [10]
위 그래프는 온도와 통계분포사이의 관계를 나타낸 것이다. [math(\beta = 1/k_B T )]이기 때문에 온도가 절대 영도로 접근할 수록 계단함수의 모양을 갖게 된다.
고체물리에서 전자의 에너지에 따른 확률분포 계산에서 자주 사용되며, 이때의 전자가 존재할 확률이 1/2이 되는 에너지를 페르미 준위라고 한다. [11]
물리학도가 아닌 공대생, 특히 전자공학도는 반도체물성, 고체물리전자 같은 과목에서 본 Fermi function이라는 이름이 더 익숙할 것이다. [12]
2.3.2. 보스-아인슈타인 분포
스핀이 정수인 보손이 따르는 분포이다. 한 state에 여러 입자들이 들어갈 수 있다는 성질로부터 아래 분포 식을 유도한다.[math( \displaystyle N(E) = {1 \over \mathrm{exp}{E-\mu \over kT} -1} )]
이것이 어떻게 페르미 디랙 분포에서 분모가 +1이 -1로 바뀌는지는 오일러 공식을 통해 직관적으로 음미할 수 있다. 가능한 모든 N(E)를 합산하여 나온 결과 값이 오일러 공식에서 유도한 전체 확률 분포 합인 1이라고 가정할 때 보스-아인슈타인 분포에서는 그 위상(state)의 차이가 없어야 하기 때문이다. 한편 페르미-디랙 분포에서는 [math( e^{\pi i} )]의 위상의 차이를 가정하기 때문에 일단 1을 더하고 시작한다. 다시 말해, 보스-아인슈타인에 의해 유도된 분포 결과는 다른 분포에서 다시 총합 1로 회귀해서 1가지 상태로서 파악하지만, 페르미-디랙 분포에서 유도된 분포 결과는 다른 분포에서 다시 그 상태 경우에 수에 따라 차이를 나눌 수 있다. 굳이 쉽게 말하자면 양과 질의 개념에 대응한다.
2.4. 복잡계 및 상전이
3. 기타
물리학과에서 개설될 경우 학부 3학년 과목이다.한국에서의 시초는 경성제국대학 이공학부가 1938년 신설되면서 물리학과에 '통계역학' 과목을 개설한 것을 시초로 본다.
Ludwig Boltzmann, who spent much of his life studying statistical mechanics, died in 1906, by his own hand. Paul Ehrenfest, carrying on the work, died similarly in 1933. Now it is our turn to study statistical mechanics.
일생동안 통계역학을 연구했던 루트비히 볼츠만은 1906년 스스로 목숨을 끊었다. 파울 에렌페스트가 그의 일을 이어받았고 1933년 자살했다. 이제 우리가 통계역학을 배울 차례다.
David. L. Goodstein의 교재 States of Matter의 도입부 때문에 뭔가 무시무시하고 사람 잡는 과목이라는 오해(?)를 받기도 한다.일생동안 통계역학을 연구했던 루트비히 볼츠만은 1906년 스스로 목숨을 끊었다. 파울 에렌페스트가 그의 일을 이어받았고 1933년 자살했다. 이제 우리가 통계역학을 배울 차례다.
2021년 노벨물리학상이 오랜만에 통계물리이론 분야에 주어졌다. 수여 취지를 보면 비전공자들 입장에서는 (특히 Parisi의 경우) 그래서 정확히 뭘 했다는 것인지 애매모호하다고 느낄 수 있는데, 원래 통계물리학자들이 하는 일이라는 게 특정 대상이나 특정한 문제가 아니라 서로 다른 온갖 대상들에 대해 적용될 수 있는 framework를 만드는 작업이기 때문에 그렇다. Parisi의 경우에는 spin glass를 연구했고 KPZ equation을 만들었는데, 질서가 깨져있는(disordered) 온갖 종류의 시스템을 이런 것들로 설명해낼 수 있다.
이렇듯 보편적 framework를 추구한다는 통계물리의 특성은 universality라는 키워드에서 단적으로 드러난다. 학부 통계역학에서는 universality를 잘 배울 일이 없지만, 화공/화학과나 원자력과에서 임계현상을 다룰 때, 그리고 물리학과 대학원 통계역학 및 상전이 과목에서 universality를 맛볼 수 있다.
4. 교재
- Charles Kittel - Thermal Physics, W. H. Freeman
- Frederick Reif - Fundamentals of Statistical and Thermal Physics
- Daniel V. Schroeder - An Introduction to Thermal Physics
- Stephen J. Blundell, Katherine M. Blundell - Concepts in Thermal Physics
- Michael Plischke, Birger Bergersen - Equilibrium Statistical Physics
- Donald A. McQuarrie - Statistical Mechanics
- Roger Bowley & Mariana Sánchez - Introductory Statistical Mechanics
- Keith Stowe - An Introduction to Thermodynamics and Statistical Mechanics
- Robert Hardy & Christian Binek - Thermodynamics and Statistical Mechanics
- Walter Greiner, Ludwig Neise, Horst Stöcker - Thermodynamics And Statistical Mechanics
이론물리학 강의록으로 유명한 데이비드 통 교수의 통계역학 강의록. 케임브리지 대학교 수학과, 천문학과 3학년 수업을 위해 저술됐다. 다른 데이비드 통 강의록들처럼 무료로 대중에게 공개돼있다는 점이 장점. 석사과정 후속 과목으로 비평형 현상에 관한 Kinetic Theory 강의록, 임계 현상에 관한 통계장론 강의록도 있다.
-
R. K. Pathria, Paul D. Beale - Statistical Mechanics
대표적인 물리학과 대학원 통계역학 서적.
5. 관련 문서
[1]
수학의 하위 분야인
해석학에서 다루는 진짜배기
확률론이나
측도론에 비해 상대적으로 간단한 내용들이다. 물리학에서
디리클레 함수 같은
병리적 함수라든가
실해석학에서 나오는
르베그 측도,
비탈리 집합 같은 것을 접하지 않기 때문.
[2]
대표적으로 열역학에서 중요하게 쓰이는
온도,
엔트로피 등의 파라미터들을 통계역학에서 순수하게 이론적으로 재정의하며, 그게 열역학에서의 정의와 일치함을 보일 수 있다. 열역학이 눈에 보이거나 측정할 수 있는 수치들을 바탕으로 거시적으로 접근한다면, 통계역학에서는 원자 단위에서부터 출발하여 미시적으로 접근한다는 것이 차이.
[3]
사실상, 현대에 와서는 열역학-통계역학 사이의 구분이 다소 모호해진 감도 있다. 물리학과 학부 과정에서의 통계역학 강좌들을 보면 통계-열-역학(또는 물리) 단어가 대학별로 교수별로 마구 뒤섞여 개설되곤 한다. 다른 과목들은 기껏해야 양자역학/양자물리 정도인 데 반해 과목명의 바리에이션이 큰 편.
[4]
계가 에너지를 갖는 방식(해밀토니안)만 알고 있다면, 분배함수를 거쳐 거시적인 열역학적 양들을 얻어낼 수 있으며 절차적으로 굉장히 캐노니컬하다(실제 계산의 어려움은 다른 문제다).
[5]
통계물리학에서는 일반적으로 입자 수가 매우 많은 경우, 즉 [math( N\to\infty )]인 경우를 다룬다.
[6]
0!=1
[7]
충분히 큰 N에 대해, [math( \ln N! = N\ln N - N + O(\ln N))]
[8]
[math( \lambda\ _{1})]은 에너지 고유값 앞에 곱해져있어 에너지에 따라, 즉 알파에 따라 항이 변한다
[9]
이를 partition function 이라고 한다
[10]
시그모이드 함수가
페르미 디락 분포와 동일한 형태이다
[11]
온도가 0K일 때, 페르미 준위는 통계역학의 Grand canonical ensemble에서 등장하는 Chemical potential이 된다.
[12]
페르미-디랙 분포 함수와 전자의 상태밀도함수를 곱해서 적분하면 전자 농도를 알 수 있다. 정공도 비슷한 방법으로 농도를 계산하는 것이 가능하다.
[13]
사실 kittel의
고체 물리학 책 또한 설명이 불친절하고, 노테이션이 계속 달라지는 등 호불호가 굉장히 갈리는 편이다. 그러나
고체 물리학 학부 교재로써 많이 채택하는 지라...
[14]
사실 통계역학은 미시세계와 거시세계를 연결하여 기술하는 학문이기 때문에 양자역학의 흐름을 모르고 통계역학을 이해할 수 없다
[15]
옥스퍼드 대학교
물리학과 2학년 통계역학 커리큘럼 전공서이다.
[16]
열역학이든 통계역학이든 한학기가 끝나면 워낙 공식이 쏟아지게 나와서 무엇을 배웠는지 현타가 오기 마련이다 그때 이책을 보면 비로소 지나왔던 지점들이 도로망으로 연결되는 느낌이 들 것이다
[17]
통계역학도 다룬다