초실수체

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1. 개요2. 정의

2.1. 자연스러운 확장(natural extension)

2.1.1. 부분 집합의 확장2.1.2. 관계의 확장2.1.3. 함수와 연산의 확장

2.2. 순서체2.3. 전달 원리(transfer principle)2.4. 무한소와 무한대

3. 초실수의 분류4. 초실수의 연산5. 표준 부분 원리

1. 개요

超實數 / hyperreal field

초실수체 [math(\mathbb{R}^{*})]란, 무한소를 포함하며, [math(\mathbb{R})]에 대해 성립하는 모든 1차 논리 문장으로 적을수 있는 명제를 [math(\mathbb{R}^{*})]에 대해서도 만족시키고, 거꾸로 [math(\mathbb{R}^{*})]에서 1차논리 문장으로 적힌 명제가 참이면 [math(\mathbb{R})]에서도 만족시키는 [math(\mathbb{R})]의 확대 체(extension field)이다. Edwin Hewitt라는 미국인 수학자가 1948년에 최초로 도입하였다. 실수에서 하던 얘기 대부분[1][2]을 무한소를 가지고서도 할 수 있기 때문에, 미적분학 역사 초기에 오일러, 뉴턴 등이 무한소를 도입하여 미적분을 설명했었던 논리가 아주 틀린건 아니라는 것을 밝힌데에 의의가 있다.

초실수를 이용해 전개하는 해석학을 비표준 해석학(nonstandard analysis)이라고 한다. 표준 해석학이 엡실론-델타 논법 위에서 전개되는 것에 대비해서 이렇게 표현한 것이다.

2. 정의

어떤 집합 [math(I)]에 대해서, [math(I)] 위의 필터(filter on [math(I)]) [math(U)]란 [math(I)]의 부분집합들을 원소로 하고, 다음의 세가지 조건을 만족하는 집합을 말한다.

포함집합(superset)에 닫혀있다: [math(X\in U)] 이고 [math(X\subset Y \subset I)] 이면 [math(Y\in U)]
유한 교집합에 닫혀있다: [math(X,Y\in U)] 이면 [math(X\cap Y \in U)]
[math(I\in U)] 이고 [math(\emptyset \notin U)]

임의의 [math(X\subset I)]에 대하여 [math(X)]와 [math(I-X)] 중에 어느 하나만이, 반드시, 필터 [math(U)]의 원소일 때, [math(U)]를 극대필터라고 한다.

극대필터 [math(U)]의 모든 원소가 무한집합이면 [math(U)]를 자유극대필터(free ultrafilter)라고 한다. 초른의 보조정리를 이용하면, 임의의 무한집합 [math(I)]에 대하여, [math(I)]위의 자유극대필터가 존재한다는 것을 증명할 수 있다.[3] 자유극대필터의 유일성은 보장되지 않는다.[4]

자연수 집합 [math(\mathbb{N})]에 대하여 [math(\mathbb{N})] 위의 자유 극대필터(free ultrafilter on [math(\mathbb{N})]) [math(U)]가 주어졌을 때, 실수열의 집합 [math(\mathbb{R}^{\mathbb{N}})]에 대하여 다음과 같은 동치관계 [math(=_{U})]를 줄 수 있다.

[math(a=_{U} b)] if and only if [math(\{i\in \mathbb{N}|a_{i}=b_{i}\}\in U)]

이 관계가 동치관계인 이유는, 반사성은 전체집합 [math(\mathbb{N})]이 필터의 원소가 되기 때문이고, 대칭성은 정의에 의해 자명하고, 추이성은 필터가 교집합과 포함집합에 닫혀있기 때문이다.

[math(a)]의 동치류를 [math(a_{U}=\{b\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}}|a=_{U}b\})]로 나타내자. 그러면, 초실수체 [math(\mathbb{R}^{*})]는 [math(\mathbb{R})] modulo [math(U)]의 초거듭제곱(ultrapower)이다.

[math(\mathbb{R}^{*}=\displaystyle\prod_{U} {\mathbb{R}}=\{a_{U}|a\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}\})]

이렇게 구성하는 방법을 ultrapower construction이라 한다.

2.1. 자연스러운 확장(natural extension)

2.1.1. 부분 집합의 확장

실수집합의 부분집합 [math(A\subset\mathbb{R})]을 아래와 같이 초실수집합의 부분집합으로 확장할 수 있다.

[math(A^{*}=\{a_{U}|a\in A^\mathbb{N}\})]

특히, 자연수 집합 [math(\mathbb{N})], 정수 집합 [math(\mathbb{Z})], 유리수 집합 [math(\mathbb{Q})], 무리수 집합 [math(\mathbb{I})]에 대하여, [math(\mathbb{N}^{*})], [math(\mathbb{Z}^{*})], [math(\mathbb{Q}^{*})], [math(\mathbb{I}^{*})] 등을 초자연수 집합, 초정수 집합, 초유리수 집합, 초무리수 집합이라고 한다.

2.1.2. 관계의 확장

아래 첨자의 남용을 막기 위하여 지금부터는 [math(X)]를 실수열의 n-tuple이라 하자. ([math(X_{1},X_{2},X_{3})] 등은 [math(X)]의 수열로서의 항이지, n-tuple의 성분을 나타내는 것이 아니다.) [math(X_{U})]는 [math(X)]의 성분의 동치류로 구성된 [math(\mathbb{R}^{*})]의 n-tuple이다.
실수의 n항 관계 [math(R)]은, [math(\{X_{U}|X\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}\times n},\{i\in\mathbb{N}|X_{i}\in R\}\in U\})]로 확장할 수 있다. 이를 이용하면 순서관계[math(<)]를 확장할 수 있다.

[math(a_{U}<^{*}b_{U} \iff \{i\in\mathbb{N}|a_{i}<b_{i}\}\in U)]

2.1.3. 함수와 연산의 확장

함수 [math(f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R})]에 대하여 [math(f)]의 자연스러운 확장 [math(f^{*})]를 자연스럽게 정의할 수 있다.

[math(f^{*}(X_{U})=(f(X_{1}),f(X_{2}),f(X_{3}).\cdots)_U)]

이렇게 정의해도 잘 정의되는 이유는 임의의 [math(Y\in X_{U})]에 대하여, [math(\{i\in\mathbb{N}|X_{i}=Y_{i}\}\in U)] 이고, [math(U)]가 포함집합에 닫혀있어서

[math(\{i\in\mathbb{N}|X_{i}=Y_{i}\}\subset\{i\in\mathbb{N}|f(X_{i})=f(Y_{i})\}\in U)]

가 성립하기 때문이다. 이를 이용하면 실수의 사칙연산 등을 초실수의 사칙연산으로 확장할 수 있다.

[math(a_{U}+^{*}b_{U}=(a+b)_{U}=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},a_{3}+b_{3}.\cdots)_{U})]
[math(a_{U}\times^{*}b_{U}=(a \times b)_{U}=(a_{1}\times b_{1},a_{2}\times b_{2},a_{3}\times b_{3}.\cdots)_{U})]

집합 [math(A\subset\mathbb{R})]에 대한 지시함수 [math(\bold{I}_{A}:\mathbb{R}\to\mathbb{R})]는

[math(\bold{I}_A(x) =\begin{cases}1&x\in A\\0&x\notin A\end{cases})]

로 정의되는 함수이다. 이 때, 함수 [math(\bold{I}_{A})]의 자연스러운 확장 [math(\bold{I}_{A}^{*})]은, 집합 [math(A)]의 자연스러운 확장 [math(A^{*})]의 지시함수와 같다. 즉,

[math(\bold{I}_{A}^{*}(x)=\bold{I}_{A^{*}}(x)=\begin{cases}1&x\in A^{*}\\0&x\notin A^{*}\end{cases})]

이 성립한다.

함수 [math(f)]가 [math(A\subset \mathbb{R}^{n})]에서 정의되었을 때에는 [math(f^{*}:A^{*}\to\mathbb{R}^{*})]를

[math(f(X_{U})=(f(X_{1}),f(X_{2}),f(X_{3}).\cdots)_U,\quad \forall X\in A^{\mathbb{N}} )]

로 확장하자. 예를들어 [math(\div)]는 [math(\mathbb{R}\times\left(\mathbb{R}-\{0\}\right))]에서 정의되므로 위와 같은 방법으로 확장할 수 있다.

2.2. 순서체

[math((\mathbb{R}^{*},+^{*},\times^{*},<^{*}))]는 체공리와 순서공리를 만족시키는 순서체이다.

[math(\mathbb{R}^{*})]는 아르키메데스 성질을 만족하지 않는다. 예를들어, 양의 무한대는 1을 유한번 더한 값 보다는 항상 크고, 양의 무한소는 유한번 더해도 0보다는 커도 어떤 양의 실수보다도 작다.

실수 [math(r\in\mathbb{R})]에 대하여 [math(\mathbb{R}^{*})]의 실수를 모든 항이 [math(r)]인 실수열의 동치류 [math((r,r,r,\cdots)_{U})]로 자연스럽게 정의할 수 있다. 이 때, 함수 [math(f:r\mapsto (r,r,r,\cdots)_{U})]는 환동형사상이자 순서동형사상이다. 즉, [math(\{(r,r,r,\cdots)_{U}|r\in \mathbb{R}\} )]은 완비순서체이며, [math(\mathbb{R}^{*})]의 부분체이다.

2.3. 전달 원리(transfer principle)

2.4. 무한소와 무한대

양의 무한소란, 임의의 양의 실수보다 작고 0보다는 큰 초실수이다. 예를들면, 수열 [math(a_{n}=\displaystyle\frac{1}{n})]에 대하여 [math({a}_U)]는 무한소이다. 임의의 양의 실수 [math(r)]에 대하여, [math(\displaystyle\frac{1}{n}\geq r)]을 만족하는 자연수 [math(n)]이 많아야 유한개라서, 자유극대필터의 정의에 의해

[math(\left\{n\in\mathbb{N}\left|\displaystyle\frac{1}{n}< r \right.\right\}\in U)]

가 성립하기 때문이다. 비슷하게, 수열 [math(a_{n}=n)]에 대하여, [math({a}_{U})]는 양의 무한대이다.

재밌는점은, 수열 [math(a_{n}=e^{(-1)^{n}n})]에 대하여, [math({a}_{U})]는 무한소일 수 도 있고, 무한대일 수 도 있다. 자유극대필터의 선택에 의하여 달라지는데, 자유극대필터의 정의에 의해, 짝수집합과 홀수집합중 하나만 자유극대필터의 원소가 된다. 짝수 집합이 원소이면, [math({a}_{U})]는 무한대이고, 홀수집합이 원소이면, [math({a}_{U})]는 무한소이다.[5]

3. 초실수의 분류

초실수체 [math(\mathbb{R}^{*})]의 원소를 초실수라 한다. 비슷하게, [math(\mathbb{N}^{*})], [math(\mathbb{Z}^{*})], [math(\mathbb{Q}^{*})], [math(\mathbb{I}^{*})]의 원소를, 각각, 초자연수, 초정수, 초유리수, 초무리수라고 한다.

무한소란, 절댓값이 임의의 0이 아닌 실수보다 작은 초실수를 뜻한다. 무한소는 다음의 세 가지로 분류할 수 있다.

양의 무한소 : 임의의 양의 실수보다 작고 0보다는 큰 초실수
음의 무한소 : 임의의 음의 실수보다 크고 0보다는 작은 초실수
0

무한대란, 절댓값이 임의의 유한 초실수보다 큰 초실수를 뜻하며, 다음의 두가지 경우로 나뉘어진다.

양의 무한대: 임의의 유한 초실수보다 큰 초실수
음의 무한대: 임의의 유한 초실수보다 작은 초실수

유한 초실수는 무한대가 아닌 초실수를 뜻하며 실수를 포함한다.

두 초실수 [math(a,b)]에 대하여, [math(a-b)]가 무한소이면, [math(a)]와 [math(b)]를 한없이 가깝다고 하고, [math(a\approx b)]라고 쓴다. 이 때, 관계 [math(\approx)]는 동치관계가 되는데, 이 관계의 [math(a)]의 동치류

[math(\text{monad}(a)=\{x\in\mathbb{R}^{*}|a\approx x\})]

를 [math(a)]의 monad라고 한다. 비슷하게, 집합

[math(\text{galaxy}(a)=\{x\in\mathbb{R}^{*}|a-x\text{는 유한 초실수}\})]

은 [math(a)]의 galaxy 라고 한다.

4. 초실수의 연산

[math(\epsilon,\delta)]를 양의 무한소, [math(H,K)]를 양의 무한대, [math(a,b)]를 무한소가 아닌 유한 초실수라고 하자.

아래의 연산 결과는 모두 0이 아닌 무한소이다.
* [math(\epsilon+\delta)], [math(\epsilon\delta)], [math(\displaystyle\frac{\epsilon}{H})], [math(\epsilon a)]

아래의 연산 결과는 모두 무한대이다.
* [math(H+K)], [math(HK)], [math(H+\epsilon)], [math(H+a)], [math(aH)], [math(\displaystyle\frac{a}{\epsilon})], [math(\displaystyle\frac{H}{\epsilon})]

아래의 연산 결과는 모두 유한 초실수이다.
* [math(a+b)], [math(a\times b)], [math(a+\epsilon )]

5. 표준 부분 원리

임의의 유한초실수 [math(a\in \mathbb{R}^{*})]에 대하여, [math(a=a_{0}+\epsilon)]을 만족하는 실수 [math(a_{0})]와 무한소 [math(\epsilon)]이 유일하게 존재한다. 이 때 함수 [math(\text{st}:a\mapsto a_{0})]을 표준 부분함수라고 한다.

즉, 임의의 양의 실수 [math(r)]에 대하여

[math(0\leq|\text{st}(a)-a|=|\epsilon|<r)]

이 성립하므로, [math(\text{st}(a))]를 [math(a)]에 "한없이 가까운" 실수로 이해할 수 있다. 이를 이용해서, 함수의 극한, 미분, 적분 등을 무한소의 개념을 이용하여 정의할 수 있다. 극한의 정의에 대해서 알고싶으면 극한 참고.

[1] 1차논리로 적을 수 있는 명제에 한한다. 아르키메데스 성질은 1차논리의 문장으로 표현할 수 없고, 실수체에서 아르키메데스 성질이 성립하지만, 초실수체에서는 성립하지 않는다. [2] 아르키메데스 성질을 1차논리의 문장으로 [math(\forall y\forall x\exist n((n\in \mathbb{N} \land x>0)\to n\times x> y) )]라고 쓸수 있지 않느냐고 반문할수도 있을텐데, [math(\mathbb{N})]을 초실수체로 '전달'하면 [math(\mathbb{N}^{*})]가 되어서, 자연수(=1을 유한번 더해서 얻은것) n이 더이상 자연수가 아닐수도 있게 된다. 그렇기 때문에 근본적으로 자연수 집합을 1차논리로 어떻게 표현해낼지가 문제가 된다. [3] 선택공리를 배제하면, 즉, ZFC 공리계가 아닌 ZF 공리계에서는 존재성에 대해 증명할 방법이 없다고 한다. 그래서 Errett Bishop 같은 구성주의 수학자들은 초실수에 대해서 부정적으로 보았다. [4] 자유극대필터의 선택에 따라 다른 초실수체가 나올 수 있는데, 연속체 가설을 가정하면, 서로 다른 초실수체가 모두 동형이라고 한다. [5] 필터라는 네이밍이 참 괜찮은게, 짝수항과 홀수항 중 하나는 필터에 의해 걸러지고, 다른 하나는 필터를 그대로 통과해서 버려진다고 생각 할 수 있다.