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1. 개요
디랙 方 程 式 / Dirac equation[math( (i\gamma^\mu\partial_\mu-m) \psi=0 )]
물리학자
폴 디랙이 정립한 방정식.
슈뢰딩거 방정식을 상대론적으로 확장한 것으로,
상대론적 양자역학에서 핵심적 역할을 하는 방정식이다. 디랙 방정식은
반물질의 존재를 처음으로 시사했다.2. 유도
디랙 방정식이 도출되는데 기반이 되는 에너지-운동량 보존 방정식은 [math(E^2=p^2c^2+m^2c^4)]이나, [math(c=G=\hbar=1)]인 자연 단위(natural units)로도 표현될 수 있기에 본 문서에서는 [math(E^2=p^2+m^2)]로 서술한다.클라인-고든 방정식의 문제점은 음의 에너지와 음의 확률 밀도였다. 디랙은 시간과 공간에 대해 1계 미분방정식을 고안하면 이 두 문제가 사라질 것이라고 예상했다. 하지만 후술하다시피 디랙 방정식도 음의 에너지 문제가 발생한다.
우선, 특수상대론의 에너지 운동량 보존 방정식에 의하면 [math(E^2=p^2+m^2)]이므로
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
\sqrt{E^2-p^2} \,\psi = m\psi \end{aligned} )] |
시간 의존 슈뢰딩거 방정식에 의해 양자역학에서 에너지와 운동량을 연산자의 형태로 쓸 수 있음을 생각하면([math(E = i\dfrac{\partial}{\partial t}, \vec p = -i\vec\nabla)]), 위 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
\sqrt{-\frac{\partial^2}{\partial t^2} +\nabla^2 } \,\psi &= m\psi \\ \sqrt{-\frac{\partial^2}{\partial t^2} +\frac{\partial^2}{\partial x^2} +\frac{\partial^2}{\partial y^2} +\frac{\partial^2}{\partial z^2}} \,\psi &= m\psi \end{aligned} )] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
\sqrt{-\frac{\partial^2}{\partial t^2} +\frac{\partial^2}{\partial x^2} +\frac{\partial^2}{\partial y^2} +\frac{\partial^2}{\partial z^2}} = A\frac{\partial}{\partial t} +B\frac{\partial}{\partial x} +C\frac{\partial}{\partial y} +D\frac{\partial}{\partial z} \end{aligned} )] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
A^2 = -1&, \quad B^2=C^2=D^2=1, \\ AB+BA = 0&, \quad AC+CA=0, \quad AD+DA=0, \\ BC+CB = 0&, \quad BD+DB=0, \quad CD+DC=0 \end{aligned} )] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
\biggl( A\frac{\partial}{\partial t} +B\frac{\partial}{\partial x} +C\frac{\partial}{\partial y} +D\frac{\partial}{\partial z} \biggr) \psi = m\psi \end{aligned} )] |
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[math(\displaystyle
i\gamma^\mu \partial_\mu \psi = m\psi \\ ~\\ \{\gamma^\mu, \gamma^\nu\} = \gamma^\mu\gamma^\nu +\gamma^\nu\gamma^\mu = 2\eta^{\mu\nu} I_4 )] |
3. 장론적 유도
위와 같은 디랙의 방식은 시대가 흐르면서 좀 더 세련된 방식으로 대체된다. 로런츠 공변성이라는 상대성 이론의 벡터공간적 성질이 대두되면서 디랙 방정식과 클라인-고든 방정식에 대한 장론적인 재해석이 이루어진 것이다. 실제로 정규양자화를 하지 않더라도 디랙 방정식과 클라인-고든 방정식은 맥스웰 방정식처럼 고전적으로도 의미가 드러난다. 그리고 이 토대 위에서 모든 상대론적 고전장 이론들은 그에 걸맞은 양자화가 가능하다. 상대론적 장들의 양자화에 대해서는 양자장론 문서 참고.디랙 스피너 장은 각 시공간의 점 [math(x^\mu)]에 복소수 [math(\psi(x^\mu))]를 대응시키는 사상(mapping) [math(\psi: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{C}^4)]으로 볼 수 있다. 로렌츠 변환 [math(x^\mu \mapsto \Lambda_\nu^\mu(A) \,x^\nu)]에 따라 디랙 장은 다음과 같이 변환된다. 디랙 스피너의 로런츠 변환이 어떻게 되는가에 대한 자세한 내용은 스피너 문서나 Peskin저 An introduction to Quantum Field Theory Chap. 3, Mukhi & Mukunda저 Lectures On Advanced Mathematical Methods For Physicists 참고.
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[math(\displaystyle
\psi \mapsto \psi^\prime \qquad \psi^\prime (x^\mu) = U(A) \,\psi(\Lambda_\nu^\mu(A^{-1}) \,x^\nu) \\~\\ \biggl( U(A) = \biggl( \begin{array}{rr} (A^{-1})^\dagger && 0 \\ 0 && A \end{array} \biggr) \biggr) )] |
디랙 장을 변환시킬 때 왜 인자 [math(x^\mu)]가 거꾸로 변환되는지 의아할 수 있는데, 이 변환이 물리적으로 어떻게 된 건지 차근차근 따지면 자연스러운 것이다. 여기서 어떤 점 [math(x^\mu)]의 장의 값을 얻고 싶다면 사실 변환하기 전의 원래 위치([math(\Lambda_\nu^\mu (A^{-1}) \,x^\nu)])에 있던 장의 값([math(\psi(\Lambda_\nu^\mu (A^{-1}) \,x^\nu))])을 변환([math(U(A) \,\psi(\Lambda_\nu^\mu (A^{-1}) \,x^\nu))])시켜서 얻어야 한다.
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
\psi^\prime ({x^\mu}^\prime) &= \psi^\prime ( \Lambda_\nu^\mu(A) \,x^\nu) \\ &= U(A) \,\psi(x^\mu) \\ &= U(A) \,\psi( \Lambda_\nu^\mu(A^{-1}) \,{x^\nu}^\prime) \end{aligned} )] |
[math(U(A))]는 로런츠 변환에 따른 기저의 차이를 반영하는 유니터리 행렬이다. 동치인 군의 표현이 서로 다른 기저들 [math(\{|\phi_i\rangle\})]와 [math(\{|\phi_i^\prime\rangle\})]로 나타내어진다면 슈어 보조정리에 따라 이들을 연결하는 닮음 행렬이 존재한다. 그중에서 내적이 보존되는 경우에 한정하면 닮음 행렬은 유니터리 행렬이 된다. 기저를 변환시켰을 때 만들어지는 새로운 디랙 감마 행렬
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[math(\displaystyle \gamma^{\prime\mu}=\Lambda_\nu^\mu(A) \,\gamma^\nu)]
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
U(A) \gamma^\mu U(A)^{-1} = \Lambda_\nu^\mu(A) \,\gamma^\nu \end{aligned} )] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
U(A) \sim \operatorname{exp} \biggl( -\frac i2 \omega_{\mu\nu} S^{\mu\nu} \biggr) \end{aligned} )] |
[math(U(A))]를 통해 변환되는 기저를 두 가지로 나눌 수 있으므로 디랙 스피너 [math(\psi(x^\mu))] 또한 왼손 성분과 오른손 성분으로 나누어 생각할 수 있다. 디랙 장은 왼손 성분과 오른손 성분이 서로 얽혀있는 형태이며 질량이 없는 입자의 경우 이 두 성분은 독립적이다. 즉, 입자의 질량이 없는 경우에는 이들 중 하나만 갖고 라그랑지언을 구축할 수 있다. 이때, 다른 하나는 똑같은 구조를 가질 수도 있지만 그럴 필요는 없으며(즉, 둘의 질량이라든가 다른 결합 상수가 다를 수도 있으며), 심지어 아예 없어도 된다. 이러한 오른손과 왼손 각 성분들을 통해 스핀 1/2의 위 아래 상태를 다루기 위해선 성분당 두 개의 복소수가 필요하다. 따라서 디랙 스피너는 4개의 복소수 성분으로 이루어져 있다.
디랙 스피너 장과 감마 행렬의 로런츠 변환을 고려해 보면 이들의 조합으로 만들어지는 성분 중 [math(i \bar\psi \gamma^\mu (\partial_\mu \psi))]와 [math(\bar\psi \psi)]가 로런츠 변환에 불변인 것을 확인할 수 있다. 특히 이 둘은 라그랑지언 안에서 실수이기도 하다. [math(\bar\psi \psi)]의 경우 켤레복소수를 취하고 [math(\gamma^0)]가 Hermitian하다는 걸 사용하여 실수임을 보일 수 있다. [math(i\bar\psi \gamma^\mu (\partial_\mu \psi))]가 라그랑지언 안에서 실수인 것은 다음과 같이 보일 수 있다.
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int ( i \bar\psi \gamma^\mu (\partial_\mu \psi) )^* \,{\rm d}^4x &= \int ( i \psi^\dagger \gamma^0 \gamma^\mu (\partial_\mu \psi) )^\dagger \,{\rm d}^4x \\ &= \int (-i) (\partial_\mu \psi)^\dagger (\gamma^\mu)^\dagger \gamma^0 \psi \,{\rm d}^4x \\ &= \int (-i) ( \partial_\mu [ \psi^\dagger (\gamma^\mu)^\dagger \gamma^0 \psi ] -\psi^\dagger (\gamma^\mu)^\dagger \gamma^0 (\partial_\mu \psi)) \,{\rm d}^4x \\ &= \int i \psi^\dagger (\gamma^\mu)^\dagger \gamma^0 (\partial_\mu \psi) \,{\rm d}^4x \\ &= \int i \bar\psi \gamma^0 (\gamma^\mu)^\dagger \gamma^0 (\partial_\mu \psi) \,{\rm d}^4x \\ &= \int i \bar\psi \gamma^\mu (\partial_\mu \psi) \,{\rm d}^4x \end{aligned} )] |
이제 이 둘을 이용해서 다음과 같은 라그랑지언을 생각할 수 있다.
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
L = \int \!\mathscr{L} \,{\rm d}^4x = \int ( i \bar\psi \gamma^\mu (\partial_\mu \psi) -m \bar\psi \psi ) \,{\rm d}^4x \end{aligned} )] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
i \gamma^\mu \partial_\mu \psi -m \psi = 0 \end{aligned} )] |
여기서 다시 한 번 이 결과가 고전적인 결과라는 것을, 즉 양자역학이 하나도 들어가지 않은 내용이라는 것을 상기하면 좋을 것이다. 다만 자연에서 드러나는 스피너 장은 많은 경우 입자성이 강하게 나타나는 형태이다. 전자가 그 예. 실제로는 장에 게이지 조건을 부여하기 때문에 스피너 장은 항상 양자역학적으로 나타난다. 그것도 양자화된 모양으로. 자세한 것은 양자장론 참고.
양자장론에서도 다루지만 디랙 방정식의 음의 에너지 해 문제와 반물질은 상당히 다르게 해석된다. 디랙 방정식의 음의 에너지 해는 소멸자(annihilator)에 해당하는 것이고 해의 켤레복소수가 반물질에 해당한다. 물질-반물질이 만나면 소멸하는 것이니 뭐가 다르냐고 할 수 있겠지만 전혀 다르다. 그저 양자역학의 상태를 오르고 내려주는 사다리 연산자의 소멸자에 해당하는 것일 뿐, 실체로도 있는 반물질과는 확연히 다른 것이다. 실체로도 있다는 것은, 사실 반물질에 해당하는 생성자(creator)와 소멸자 또한 존재한다는 뜻이다. 자세한 건 양자장론 문서를 참고.
4. 역사와 의미
상대성 이론이 나온 건 1905년이고, 슈뢰딩거 방정식은 1926년에 나왔는데 왜 에르빈 슈뢰딩거가 상대론을 도입하지 않았느냐는 의문이 자연스레 떠오른다.사실 고전적 에너지 대신 상대론적 에너지 공식을 사용하면 슈뢰딩거 방정식을 유도할 때와 같은 방법으로 상대론적 방정식을 유도할 수 있고, 실제로 디랙 방정식 전에 클라인-고든 방정식이라는 상대론적 양자역학 식이 발표되었다. 슈뢰딩거도 이 식에 먼저 도달했는데, 전자의 운동을 제대로 기술하지 못했기 때문에 비상대론적 식을 발표했다고 한다.
전설에 따르면, 디랙은 화로를 쳐다보고 있다가 방정식의 계수가 수가 아닌 행렬이면 어떨까 하는 생각에 제대로 된 방정식을 떠올릴 수 있었다고 한다. 슈뢰딩거가 6개월에 걸쳐서 만든 걸 몇 시간 만에 상대론을 도입한 것인데 디랙 방정식이 상대론적 양자역학을 제대로 기술한 첫 방정식이다. 여러 입자들 중에서도 반정수의 스핀 양자수를 가진 페르미온의 운동을 기술하는 방정식이다.
사실 디랙이 디랙방정식을 유도해낸 과정을 보면, 과정은 틀렸는데 답만 맞은 경우이다. 디랙은 클라인-고든 방정식에서 에너지가 양수인 성분만을 떼어내서 슈뢰딩거의 파동함수처럼 양자역학의 확률 해석이 가능하도록 변형하여 디랙 방정식을 유도해냈다. 하지만 이 과정은 반입자에 해당하는 항을 제거하는 과정이며 그럼에도 불구하고 결과물인 디랙 방정식에 반입자에 해당하는 항이 그대로 살아있으므로 사실상 틀린 과정이라고 할 수 있다. 따라서 정말로 운이 좋았다고 할 수 있다.
디랙은 디랙 방정식을 처음 발표할 때 전자의 음의 에너지 해가 양전자가 아니라 양성자라고 추측했다. 1932년 양전자가 발표되고 왜 더 간단하고 직관적인 반물질을 주장하지 않았느냐고 하자, "Pure cowardice (틀릴까봐 겁났던 게지)"라고 쿨하게 인정했다.
이후 1937년에 에토레 마요라나가 디랙 방정식의 실수해를 발견했다. 이는 물질이자 반물질인 입자가 있음을 뜻하는데, 이를 발견자의 이름을 따 마요라나 페르미온이라고 한다.
네이버캐스트에 설명이 아주 잘 되어 있으니 읽고 싶은 사람은 읽어보라. ( 상 / 하)
5. 디랙의 바다
디랙 방정식을 풀면 해가 두 개 나온다. 왜냐하면 [math(E^2 = (mc^2)^2)]이므로 해는 양수와 음수 이렇게 두 개이기 때문이다. [math(E)]가 [math(mc^2)]이라는 것은 쉽게 이해할 수 있다. 물체의 정지에너지(질량 그 자체가 가지는 에너지)가 [math(mc^2)]이고, 물체가 움직이면 운동에너지가 증가하여 전체 에너지가 증가하므로 [math(mc^2)]의 해는 일반적인 물체의 성질을 보인다. 그러나 에너지가 음수인 해는 운동량이 커질수록 에너지가 감소한다. 디랙은 이것이 우리가 확인할 수 없을 뿐 실재하는 물리적 상태라고 생각했다. (참고로 말하자면 이 마이너스 상태가 반물질은 아니다! 용어가 헷갈리긴 하는데, 반물질은 만들 수도 있고 관찰도 가능하고 결정적으로 양의 질량과 양의 에너지를 가진다. 뒤에 자세히 서술하겠다.)전자는 낮은 에너지 준위가 있으면 전자기파를 방출하고 그 준위로 떨어진다. 그렇다면 '우리 세상'의 전자는 [math(2mc^2)]의 에너지의 전자기파를 방출하고 마이너스 세상으로 떨어질 것이다. 그런데 어떻게 우리 세상에 전자가 존재하는가? 그것은 마이너스 세상에 전자가 꽉 차 있기 때문이다. 즉, 진공이 단순히 아무것도 없는 것이 아니라, 이 마이너스 세상에 전자가 꽉 차 있는 것. 이것을 디랙의 바다라고 부른다.
그렇다면 반물질은 무엇인가? 물속에서 물의 "부재"가 공기방울이라는 입자로 보이듯이 마이너스 세상에서 전자가 하나만 없으면 우리 눈에는 그것이 입자로 보일 것이다. 마이너스 세상에서의 부재이니 질량은 양수이고, 전하는 전자와 반대로 양전하다. 만약 전자와 양전자(전자의 반입자는 전통적으로 양전자(positron)이라고 부른다)가 충돌한다면, 즉 전자가 마이너스 세상에 내려갈 자리를 찾았다면, [math(mc^2+mc^2)](반입자가 입자라는 관점) 혹은 [math(mc^2-(-mc^2))](에너지 준위의 차이를 고려한 관점)[1]만큼의 에너지를 방출하고 전자는 마이너스 세상으로 내려간다. 즉, 우리가 관찰할 수 있는 세계에서 사라진다. 이 과정을 쌍소멸 (annihilation)이라고 한다. 이와 반대로 빛에너지를 마이너스 세상의 전자가 흡수하여 우리 세상으로 올라오는 경우도 있다. 이것은 쌍생성 (pair production)이라고 한다.
디랙의 바다를 응용한 개념으로 진공의 양자요동과 진공 분극(vacuum polarization)이 있다. 양자요동은 디랙의 바다에 불확정성 원리를 적용하여 생겨난 개념이다. 진공 분극은 하전입자가 디랙의 바다에 영향을 주어서 디랙의 바다에 의해 하전입자 주변의 전기 퍼텐셜에 변화가 생기는 효과를 일컫는다. 실제로 원자의 스펙트럼을 정밀하게 측정하면 진공 분극으로 인해 원자핵이 만드는 퍼텐셜이 쿨롱 퍼텐셜로부터 벗어나 있음을 확인할 수 있다.
위에선 언급한 사례를 제외하면 디랙의 바다를 이용한 기술은 물리학계에서 선호되지 않는다. 디랙의 바다로 반물질을 설명하면 여러가지 문제가 생기며, 사실 디랙의 접근 방식이 처음부터 심각한 문제를 야기한다. 예를 들어 보손들이 갖는 음의 에너지 문제는 디랙의 바다로 여전히 해결되지 않는다. 더군다나 디랙의 접근 방식, 그러니까 디랙 방정식이 파동함수를 바로 기술하는 것으로 간주하면 인과율이 깨지는 문제가 발생한다.[2] 이런저런 문제점들로 인해 디랙의 방식은 더 이상 쓰이지 않으며 대신 장을 양자화하여 우리가 아는 입자들을 기술하는 방식을 쓴다. 이 방식을 쓰면 디랙의 바다 같은 것 없이도 음의 에너지 문제가 말끔하게 해결된다는 것을 알 수 있다.[3] 그렇다면 이미 발견도 된 반물질은? 디랙 방정식의 해에 켤레 복소수를 취하면 새로운 자유도를 얻을 수 있는데, 사실 이게 진짜 반입자에 해당한다. 더 자세한 내용은 양자장론 항목에서 찾아보자.