1. 일반적인 뜻
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차원 Dimension |
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<colbgcolor=#efefef,#2d2f34> 구분 | 0차원 | 1차원 | 2차원 | 3차원 | [math(\boldsymbol{n})]차원 |
| 위상 | 점 | 선 | 면 | 입체 | 초입체 | |
| 측도 | 셈 측도 | 길이 | 넓이 | 부피 | 초부피 | |
| 활용 | ||||||
| 유클리드 공간 · 측도론( 힐베르트 공간 · Lp 공간) · 민코프스키 시공간 · 차원 조절 | }}}}}}}}} | |||||
5 次 元 / fifth dimension, 5-D
5차원 공간은 위치를 나타내기 위해 필요한 축이 5개인 공간이다.
물론 5차원뿐만 아니라 그 이상의 차원도 2차원 컴퓨터 모니터나 종이 상에다 묘사할 수도 있다. [1]
초기둥과 초뿔, 토러스 종류의 5차원 버전도 존재하며 클라인 병의 5차원 버전도 있다. 4차원에서 다각형-다각형 끼리 듀오프리즘을 만들었다면 5차원은 다면체-다각형 형태의 듀오프리즘이 가능하다. 한차원 건너 뛰고서 다각형--다각형 간의 듀오프리즘 형태도 만들 수 있다. 6차원에서는 다면체-다면체, 다각형-다포체 형태의 듀오프리즘도 만들 수 있으며 다각형-다각형-다각형 형태의 트리플프리즘도 만들 수 있다.
5차원 유클리드 실공간 상의 4변수함수를 실제로 컴퓨터로 그린 사람은 전세계를 기준으로도 드물고 극소수만이라고 한다.
이 링크에서 desmos 3D를 통한 5차원에서의 다변수함수 예시를 감상할 수 있다.
1.1. 5차원 이상 정다포체의 성질
단체(simplex), 초입방체(hypercube), 또는 정축체(orthoplex)가 아닌 볼록한 정다포체는 5차원 이상의 유클리드 공간에서는 존재하지 않는다. (n-1)입방체 벌집 외의 다른 정규 벌집은 6차원 이상의 공간에서 존재하지 않는다. 거기에 3차원이나 4차원처럼 오목한 정다포체조차 5차원 이상에선 존재하지 않는다.5차원에서 정이십사포체에 대응하는 {3,4,3,3}과 {3,3,4,3}은 유클리드 타일링이 되며 정백이십포체에 대응하는 {5,3,3,3}과 정육백포체에 대응하는 {3,3,3,5}는 쌍곡이 된다. 꼭짓점이 정백이십포체인 {3,5,3,3}이나 초입체가 정육백포체인 {3,3,5,3} 역시 꼭짓점이나 초입체가 쌍곡이다. 특히 7차원 이상에서는 오각형 계열 중에서 입방체 {5,3,...,3}를 계승한 경우 한정으로 이포각이 다시 측정되지만, 면이나 꼭짓점 도형이 논콤팩트여서 그렇다. 오각입방체는 [math(\left(2+\sqrt{5}\right))]~4.2360681 차원에서 이포각이 180°가 되며, 그 이후로는 모두 더이상 측정이 불가능해진다.
따라서 각 차원에 해당하는 볼록 정다포체가 3종류뿐이다.[2]
4차원 이하의 반초입방체는 정다포체이지만, 5차원 이상의 반초입방체는 정다포체가 아니다.[3]
5차원부터는 반초입방체라는 새로운 개념의 도형이 생긴다. 무한차원까지 존재하며 n-demihypercube로 불린다. 6차원부터 8차원까지는 e-polytope라는 새로운 개념의 도형이 생긴다.
5차원 단체와 정축체, 입방체의 면적은 다음과 같다.
{3,3,3,3}(5-단체)
| 꼭짓점(vertex, 0차원) | 6개 |
| 모서리(edge, 1차원) | 15개 |
| 면(face, 2차원) | 정삼각형 20개 |
| 포(cell, 3차원) | 정사면체 15개 |
| 초입체(4차원) | 정오포체 6개 |
| 쌍대 | 자기자신 |
높이 = [math(\dfrac{\sqrt{15}}{5}a)]
총 모서리 길이(total edge length) = [math(15a)]
총 면적(total surface area) = [math(5\sqrt{3}a^2)]
겉부피(surcell volume) = [math(\dfrac{5\sqrt{2}}{4}a^3)]
초겉부피(bulk) = [math(\dfrac{\sqrt{5}}{16}a^4)]
초초부피 = [math(\dfrac{\sqrt{3}}{480}a^5)]≈0.0036a5
외접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{15}}{6}a)]
모서리접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{6}}{6}a)]
면접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{3}}{6}a)]
입체접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{6}}{12}a)]
내접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{15}}{30}a)]
{4,3,3,3}(5-입방체)
| 꼭짓점(vertex, 0차원) | 32개 |
| 모서리(edge, 1차원) | 80개 |
| 면(face, 2차원) | 정사각형 80개 |
| 포(cell, 3차원) | 정육면체 40개 |
| 초입체(4차원) | 정팔포체 10개 |
| 쌍대 | 5-정축체 |
총 모서리 길이(total edge length) = [math(80a)]
총 면적(total surface area) = [math(80a^2)]
겉부피(surcell volume) = [math(40a^3)]
초겉부피(bulk) = [math(10a^4)]
초초부피 = [math(a^5)]
외접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{5}}{2}a)]
모서리접5-초구의 반지름 = [math(a)]
면접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a)]
입체접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{2}}{2}a)]
내접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{1}{2}a)]
{3,3,3,4}(5-정축체)
| 꼭짓점(vertex, 0차원) | 10개 |
| 모서리(edge, 1차원) | 40개 |
| 면(face, 2차원) | 정삼각형 80개 |
| 포(cell, 3차원) | 정사면체 80개 |
| 초입체(4차원) | 정오포체 32개 |
| 쌍대 | 5-입방체 |
총 모서리 길이(total edge length) = [math(40a)]
총 면적(total surface area) = [math(20\sqrt{3}a^2)]
겉부피(surcell volume) = [math(\dfrac{20\sqrt{2}}{3}a^3)]
초겉부피(bulk) = [math(\dfrac{\sqrt{5}}{3}a^4)]
초초부피 = [math(\dfrac{\sqrt{2}}{30}a^5)]≈0.0471a5[4]
외접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{2}}{2}a)]
모서리접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{1}{2}a)]
면접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{6}}{6}a)]
입체접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{2}}{4}a)]
내접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{10}}{10}a)]
{3,4,3,3}, {3,3,4,3}, {4,3,3,4} 이렇게 3개는 초초부피가 무한대로 발산하게 된다. 초입체, 입체, 면, 모서리, 꼭짓점의 비율은 다음과 같다.
{3,4,3,3} 1:12:32:24:3
{3,3,4,3} 3:24:32:12:1
{4,3,3,4} 1:4:6:4:1
====# 쌍곡 #====
{5,3,3,3}, {3,3,3,5}, {5,3,3,4}, {4,3,3,5}, {5,3,3,5}은 5차원 이상에서 컴펙트 하이퍼볼릭이다.
5차원에서는 4가지의 오목 정다포체 hyperbolic 벌집이 존재하는데, {5/2,5,3,3}, {3,3,5,5/2}, {5,5/2,5,3}, {3,5,5/2,5}가 있다. 그리고 5차원에서의 다른 것들 한 모서리에서의 이면각의 합 360°보다 크지만 density 값이 결정되지 않아서 쌍곡이 되지 못한 예시도 무수히 많다.
그리고 오목한 유클리드 정규 벌집은 실제로는 만들 수 없지만, 내각의 합이 360°가 되는 경우를 생각해보고, 그 조건을 만족시키는 오목한 계열을 찾아보면 5차원에서는 {5,3,3,5/2}, {5/2,3,3,5}, {5/2,3,5,5/2}, {5/2,5,3,5/2}, {5,3,5/2,5}, {5,5/2,3,5}, {3,5/2,5,3}, {3,5,5/2,3}, {5,5/2,5,5/2}, {5/2,5,5/2,5}도 이포각의 합이 360°가 되지만 {4,3,3,4}, {3,4,3,3}, {3,3,4,3}와 달리 유클리드 정규 벌집을 만들 수 없으며, 6차원 이상은 오목 쌍곡 벌집조차 완전히 사라진다.
- small stellated 120-cell honeycomb{5/2,5,3,3}
- pentagrammic order 600-cell honeycomb{3,3,5,5/2}
- order 5 icosihedral 120-cell honeycomb{3,5,5/2,5}
- great 120-cell honeycomb{5,5/2,5,3}
5차원 오목 쌍곡의 몇배의 쌍곡 공간을 덮는 수(density)는 다음과 같다.
| {5/2,5,3,3} | 5 |
| {3,3,5,5/2} | 5 |
| {3,5,5/2,5} | 10 |
| {5,5/2,5,3} | 10 |
여담으로 이들 쌍곡 오각형 계열 중 {5,3,3,3}, {5/2,5,3,3}, {5,5/2,5,3}, {3,5,5/2,5} 이렇게 4개는 이포각이 완전히 같다.
- {5,3,3,3} 벌집 [math(\cos^{-1}\left(-2-\sqrt{5}\right))]~180-121.61316i°
- {3,3,3,5} 벌집 [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{-1-2\sqrt{5}}{5}\right))]~180-24.70736i°
- {5/2,5,3,3} 벌집 [math(\cos^{-1}\left(-2-\sqrt{5}\right))]~180-121.61316i°
- {3,3,5,5/2} 벌집 [math(\cos^{-1}\left(-5-2\sqrt{5}\right))]~180-168.37531i°
- {5,5/2,5,3} 벌집 [math(\cos^{-1}\left(-2-\sqrt{5}\right))]~180-121.61316i°
- {3,5,5/2,5} 벌집 [math(\cos^{-1}\left(-2-\sqrt{5}\right))]~180-121.61316i°
2. DC 코믹스의 5차원
- 5차원(DC 코믹스) 문서 참조.
3. 이야깃거리
영화 인터스텔라에도 블랙홀 내부 장면에서 5차원이 나오는 것으로 되어 있다. 하지만 이것은 4차원의 공간+1차원의 시간을 나타낸 설정상의 용어였기 때문에 이 항목에서 다루는 5차원과는 많이 다르다. 그러니 그 영화와 이 항목의 주제로 엄연히 따진다면 4차원이다.[5][6] 5차원부터는 시공간까지 합쳐도 현실에서 묘사가 불가능하다. 4차원의 공간+1차원의 시간도 공간이 4차원이기 때문에 묘사가 불가능하며 3차원의 공간+2차원의 시간도 현실에선 시간이 1차원이어서 묘사가 불가능하다. 6차원부터는 시간여행이 가능할 것으로 보인다.
[1]
물론 차원이 높아지면 높아질수록 컴퓨터가 고차원을 표현하기 위해 써야 하는 시간,전기에너지는 증가한다.
[2]
5차원 이상의 공간에서 존재하는 정다포체는 각각 n차원 정(n+1)포체(=단체), n차원 정(2n)포체(=초입방체), 그리고 n차원 정2n포체(=정축체)이다.
[3]
2차원:
선분,
3차원:
정사면체,
4차원:
정십육포체
[4]
정팔면체의 부피의 정확히 1/10배이다.
[5]
3차원 공간에 1차원의 시간이라 하여 우리가 사는 이 세상은 4차원이라 하는 것과 같은 것.
[6]
이게 다 차원이 기하학적인 의미와 물리학적인 의미를 가지고 있기 때문에 벌어지는 혼동이다. 제대로 정의가 될 때까진 어느 쪽이 맞다 할 수가 없다. 다만 현재는 시간과 공간을 분리하여 설명하는 쪽이 주류이다.