1. 개요
영국의 수학자 실바누스 톰슨(Silvanus Thompson: FRS)이 1910년 그의 저서 <CALCULUS MADE EASY>(직역:알기 쉬운 미적분)에서 다음과 같이 쉽게 정리된 미분 및 적분 그리고 편미분등 미적분학(Calculus)을 제안한바 있다.[1]이러한 톰슨 미적분학(Thompson Calculus)으로 일컬어지는 이 책은 100년이 지난 지금까지도 세계 여러 출판사에서 인쇄되어 미적분학 교재로 사용되고 있다.
하지만 전체적인 내용이 대수적이고 기하학적인 개념을 이해와 접근을 위해 용이하게 사용하고 있으므로 엡실론-델타 논법같은 엄밀함을 보장하지는 않아서, 그냥 미적분에 대한 기본 개념 정도로 적절히 받아들이고 사용하기에 편리한 개념을 제공할뿐 학부 과정 혹은 그 이후에도 수학을 계속할 생각이 있는 수학도라면 다른 해석학 책을 통해 개념을 잡아가는 것이 좋을 것이다.
2. 톰슨 미분
2.1. 미분 계산
[math( d )]를 소수점이하의 값들처럼 아주 미소한 값(smallness 또는 a little bit of)을 나타내는 기호라고 정의했다.이러한 정의로 부터 [math( y = x^n )]에서 [math( y = (x)^2 )]일때 [math(d)]를 곱한값을 양변에 각각 더해 줌으로써
[math( y + {\color{red}{dy}} = (x+{\color{red}{dx}})^2 )]를 계산(Calculus)하여
[math(( x+dx)^2 )]가 [math( y +dy )]에 무한하게 수렴하게 할수있다면
[math( y +dy = (x+dx)^2 )]는
[math( y +dy = x^2 +2xdx+(dx)^2 )]이고
[math( y = x^2 )]이므로
[math( \cancel{y} +dy = \cancel{x^2} +2xdx+(dx)^2 )]
[math( dy = 2xdx+(dx)^2 )] 이고
[math((dx)^2 )] 는 아주 더 작아진 값이되므로 [math((dx)^2 = 0 )] 으로 보면(Calculus)
[math( dy = 2xdx )]
[math( \dfrac{dy}{dx} = 2x^1 )]
[math( \dfrac{dy}{dx} = nx^{n-1} )]을 조사할수있다.
이렇게 미분공식
[math(d \left( x^n \right) = n x^{n-1 } )]을 쉽게 얻을수있다.
실바누스 톰슨은 이것을 제1원칙(first principles)으로 부르고 있다.[2]
2.2. 상수
상수(constant)를 포함한 미분계산 [3][math( y = x^3 +5 )]
[math( y +dy = (x+dx)^3 +5 )]
[math( { } = x^3 +3x^2 dx + 3x(dx)^2 + (dx)^3+5 )]
[math((dx)^2 )] 는 아주 더 작아진 값이되므로 [math((dx)^2 = 0 )] 으로 정리하면
[math( {y +dy } = x^3 +3x^2 dx +5 )]
[math( y = x^3 +5 )]로 정리하면
[math( dy = 3x^2 dx )]
[math( \dfrac{dy}{dx} = 3x^2 )]
따라서
[math( y = x^3 +5 )]에서 상수를 [math( C )]로 정리하면
[math( y=x^n + C )]는
[math( \dfrac{dy}{dx} = nx^{n-1} )]임을 조사할수있다.
3. 톰슨 적분
위의 톰슨 미분은 [math( y = x^3 + C )]의 미분(differentiation)이 [math( \dfrac{dy}{dx} = 3x^2 )] 이라는 결과로 부터 [math( \dfrac{dy}{dx} = nx^{n-1} )] 이라는 사실을 보여준다는 점에서 주요하지만 실바누스 톰슨(Silvanus Thompson)은 이러한 과정이 적분(Integration)이라는 역순 계산으로 재사용될때 또 다시 그 중요성을 알수있음을 강조한다.3.1. 적분 기호
우선 톰슨(Thompson)은 적분 기호 [math( \displaystyle \int)](integral,인테그랄)을 톰슨 미분에서 다루었던 미분기호 [math( d )]가 무한정 미세한 크기로 작아지는 값의 기호(sign 또는 symbol)일때 이것의 무한정 방대한 양의 크기로 증가하는 총계 값을 나타내는 데 사용하는 기호로 정의했다.따라서 적분기호에는 항상 미분기호가 따라다닌다.
이러한 미분(differentiation)과 적분(Integration)이 그 역방향에서 동등하다는 논리를 바탕으로
[math( \displaystyle \int dy = y )]이고
[math( \displaystyle \cancel{\int} \; \cancel{d} \; y = y )]
[math( y = y )]임을 설명하였다.
마찬가지로
[math( \displaystyle \int dx = x )]가 된다.
이것은 한편
[math( y = x^n )] 에서
[math( \displaystyle \int dy = \int x^n dx )]일때
[math( \displaystyle y = \int x^n dx )]에서
[math( \displaystyle y = \int \left( x^n \right) dx )]의 [math( \displaystyle \int (\square)\; dx )] 와는 다르다.
3.2. 톰슨 적분 아이디어
이제 [math( y = x^n + C)]의 미분이 [math( \dfrac{dy}{dx} = nx^{n-1} )]일때 [math( \dfrac{dy}{dx} = nx^{n-1})]의 적분은 꺼꾸로 역방향에서 [math( y = x^n + C)]를 다시 보여줄수있어야 한다.[math( y = x^3 +5 )]에서
[math( \dfrac{dy}{dx} = 3x^2 )]
[math( dy = 3x^2 dx )]
[math( {y +dy } = y +3x^2 dx )]
[math( {y +dy } = (x^3+5) +3x^2 dx )]
[math( {y +dy } = x^3 +3x^2 dx +5 )]
한편 미분에서 사라진 값을 적분에서 다시 나타내보면
[math( (x+dx)^3 = x^3 +3x^2 dx {\color{red}{ + 3x(dx)^2 + (dx)^3 }} )]에서
[math( {y +dy } = x^3 +3x^2 dx + 3x(dx)^2 + (dx)^3+5 )]
[math( y +dy = (x+dx)^3 +5 )]
[math( y = x^3 +5 )]
적분기호(Integration symbol)인 [math( \displaystyle \int)](integral,인테그랄)을 사용해서 일반화하면
[math( \displaystyle \int dy = \int a x^n dx )]
[math( \displaystyle y = \int a x^n dx )]
[math( \displaystyle y = \int \left( a x^n \right) dx )]
[math( \displaystyle y = \left( \dfrac{a}{n+1} x^{(n+1)} + C \right) )]
따라서
[math( \displaystyle \int a x^n dx = \dfrac{a}{n+1} x^{(n+1)} + C )] 임을 조사할수있다.
3.3. 톰슨 적분 계산
[math( \dfrac{dy}{dx} = 2x )]를 적분해보면[math( \displaystyle dy = 2x \;dx )]
적분기호(Integration symbol)인 [math( \displaystyle \int)](integral,인테그랄)을 사용해서
양변에 [math( \displaystyle \int)]을 동등하게 해주면
[math( \displaystyle \int dy = \int 2x \;dx )]
[math( \displaystyle y = \int 2x^1 \;dx )]
[math( \displaystyle \int x^n \;dx = \dfrac{1}{n+1} x^{n+1} + C )]로 정리하면
[math( \displaystyle y = \dfrac{2}{1+1} x^{1+1} + C )]
[math( \displaystyle y = x^2 + C )]를 계산(Calculus)할수있다.
3.4. 예
[math( x^2 )]을 적분하면[math( \displaystyle \int x^2 \;dx )]
[math( = \dfrac{1}{2+1}x^{2+1} +C )]
[math( = \dfrac{1}{3}x^{3} +C)]
3.5. 상수
또한 이것은 상수a인 상수항(constant term)만이 있는 적분계산에서도 같다.[math( a )]를 적분하면
[math( a = a \cdot 1 = a \cdot x^0 )]
따라서
[math( \displaystyle \int ax^0\; dx \\
= a \dfrac{1}{0+1}x^{0+1}+C \\
= ax +C )]
4. 읽기
톰슨 미적분학책에는미적분식을 쉽게 읽는 방법도 자세히 설명하고 있다.미분 읽기 [4]
[math( \dfrac{dy}{dx} )]
[dee-wy by dee-eks] 또는 [dee-wy over dee-eks]
[디엑스 분에 디와이 또는 디와이 디엑스]
적분 읽기[5]
[math( \displaystyle \int dy = \int x^2 \;dx )]
[Integral dee-wy equals integral eks-squared dee-eks]
[인테그럴 디와이 이퀄 인테그럴 엑스제곱 디엑스]
5. 체인룰
체인 룰(chain rule)[math( \dfrac{dy}{dx} )]는 [math( \dfrac{dy}{{\color{red}d\square}} \cdot \dfrac{{\color{red}d\square}}{dx} )]와 같다.[6]
[math( y= (x^2 + a^2)^{\frac{3}{2} } )]를 체인룰를 사용해 미분해보면
우선 [math( u= x^2 + a^2 )]로 놓고 - (1)
[math( x )]에 대해 미분해보면 [math( a )]는 상수이므로 [math( \dfrac{du}{dx}= 2x )]이다. - (2)
이제 [math( y= (x^2 + a^2)^{\frac{3}{2} } )]에 위식 (1)을 대입해보면
[math( y= u^{\frac{3}{2} } )]이고
[math( \dfrac{dy}{du}= \frac{3}{2} u^{(\frac{3}{2}-\frac{1}{1} ) } )]
[math( \dfrac{dy}{du}= \frac{3}{2} u^{\frac{1}{2}} )]이다. - (3)
이제 체인룰을 사용하여 위식 (2),(3)을 대입하여 정리해보면
[math( \dfrac{dy}{dx}= \dfrac{dy}{{\color{red}du}} \times \dfrac{{\color{red}du}}{dx} )]
[math( \dfrac{dy}{dx}= \frac{3}{2} u^{\frac{1}{2}} \times 2x )]
[math( {}= \dfrac{3}{2} \left(x^2 + a^2 \right)^{\frac{1}{2}} \times 2x )]
[math( {}= \left(\dfrac{3}{2}\times 2x \right) \left(x^2 + a^2 \right)^{\frac{1}{2}} )]
[math( {}= 3x \left(x^2 + a^2 \right)^{\frac{1}{2}} )]
6. 루트 미분
루트 미분 예[math( \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2} } )]이고
[math(d \left( x^n \right) = n x^{n-1 } )]이므로
[math(d \left( \sqrt{x} \right) = d \left( x^{\frac{1}{2} } \right) )]
[math( = \dfrac{1}{2} x^{\frac{1}{2} -1 } )]
[math( = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} } )]
[math( = \frac{1}{2} \dfrac{1}{x^{\frac{1}{2}} } )]
[math( = \frac{1}{2} { \frac{1}{\sqrt{x}} } )]
[math( = { \frac{1}{2\sqrt{x}} } )]
7. 편미분
편미분(Partial Dfferentiation)[7][math( y = u \cdot v )] 를 편미분한다면
[math( u )]쪽 미분에서 [math( v )] 는 상수(constant)로 취급하고
[math( dy = v \; du )]
[math( u )]쪽 미분했음을 표시해두면
[math( dy_v = v \; du )] - (1)
[math( \dfrac{dy_v}{du} = v )]
이것을 편미분 기호[math( \partial )](라운드 델타 또는 줄여서 라운드 라고 읽음) 를 사용해보면
[math( \dfrac{\partial y}{ \partial u} = v )]이다.
한편 같은 방식으로
[math( v )]쪽 미분에서는 [math( u )] 를 상수(constant)로 취급하고
[math( dy = v \; du )]
[math( v )]쪽 미분했음을 표시해두면
[math( dy_u = u \; dv )] - (2)
[math( \dfrac{dy_u}{dv} = u )]
이것을 편미분 기호[math( \partial )]를 사용해보면
[math( \dfrac{\partial y}{ \partial v} = u )]이다.
따라서
(1)은 [math( dy_v = v \; du )]
[math( = \dfrac{\partial y}{ \partial u} \; du )]
(2)은 [math( dy_u = u \; dv )]
[math( = \dfrac{\partial y}{\partial v} \; dv )]
따라서 정리하면
[math( dy = \dfrac{\partial y}{ \partial u} \; du + \dfrac{\partial y}{\partial v} \; dv )]이다.
7.1. 예
[math( w = 2ax^2 + 3bxy + 4cy^3 )]을 편미분하면[math( \dfrac{\partial w}{\partial x} = (2a) 2x^1 + (3b)1x^0(y) + 4c0^3
\\= 4ax + 3by )]
[math( \dfrac{\partial w}{\partial y} = 2a0^2 + (3b)x1y^0 + (4c)2y^2
\\= 3bx + 12cy^2 )]이다.
7.2. 2차 미분
[math( w = 2ax^2 + 3bxy + 4cy^3 )]을 편미분하면[math( \dfrac{\partial w}{\partial x} = (2a) 2x^1 + (3b)1x^0(y) + 4c0^3
\\= 4ax + 3by = w_x)]
[math( \dfrac{\partial w}{\partial y} = 2a0^2 + (3b)x1y^0 + (4c)2y^2
\\= 3bx + 12cy^2 = w_y)]에서
[math( w_x = 4ax + 3by )]
[math( w_{xx} = 4a )]이고
[math( w_y =3bx + 12cy^2 )]
[math( w_{yy} = 24cy )]이다.
8. 이중적분
[math( \displaystyle \iint f(x,y) dxdy )][math( f(x,y) = (x^2 + y^2) )]를 예로 들면
안쪽(inner) [math( dx )] 부터 적분해보면
[math( \displaystyle \int (x^2 + y^2) dx = \dfrac{1}{3}x^3 + xy^2 )]
이어서 바같쪽(outer) [math( dy )]를 적분해보면
[math( \displaystyle \int \left( \dfrac{1}{3}x^3 + xy^2 \right) dy = \dfrac{1}{3}x^3 y + x\dfrac{1}{3}y^3 )]
정리하면
[math( \displaystyle \int \left( \dfrac{1}{3}x^3 + xy^2 \right) dy = \dfrac{1}{3}x^3 y + \dfrac{1}{3}xy^3 )]
8.1. 예
[math( x^2 - y^2 + 1 )]을 구간 0과1에서 이중적분하면1번째 적분은
[math( \displaystyle \int_0^1 \int_0^1 (x^2 - y^2 + 1 ) dxdy )]
[math( \displaystyle \int_0^1 (x^2 - y^2 + 1 ) dx )]
[math( = \left[ \dfrac{1}{3}x^3 - y^2x + x \right]_0^1 )]
[math( = \left( \dfrac{1}{3}1^3 - y^21 + 1 \right) - (0 - 0 +0) )]
[math( = \left( 1 + \dfrac{1}{3} \right) - y^2 )]
[math( = \dfrac{4}{3} - y^2 )]
2번째 적분은
[math( \displaystyle \int_0^1 \left( \dfrac{4}{3} - y^2 \right) dy )]
[math( = \left[ \dfrac{4}{3}y - \dfrac{1}{3}y^3 \right]_0^1 )]
[math( = \left( \dfrac{4}{3}1 - \dfrac{1}{3}1^3 \right) - (0-0) )]
[math( = \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{3} )]
[math( = \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{3} = 1 )]
따라서
[math( \displaystyle \int_0^1 \int_0^1 (x^2 - y^2 + 1 ) dxdy = 1 )]
[math( = \left[ \dfrac{4}{3}y - \dfrac{1}{3}y^3 \right]_0^1 )]
[math( = \left( \dfrac{4}{3}1 - \dfrac{1}{3}1^3 \right) - (0-0) )]
[math( = \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{3} )]
[math( = \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{3} = 1 )]
따라서
[math( \displaystyle \int_0^1 \int_0^1 (x^2 - y^2 + 1 ) dxdy = 1 )]
9. 삼각함수의 곱미분
[math( y= sin \theta )][math( y'= \dfrac{d(sin\theta)}{d\theta} )]
[math( y+dy = sin(\theta + d\theta) )]
[math( dy = sin(\theta + d\theta) -y )]
[math( dy = sin(\theta + d\theta) -sin \theta )]
이제 서로 다른 각도들(angles) [math(M)]과 [math(N)]을 가정하면
[math( sin M -sin N = 2 cos \dfrac{M+N}{2} \cdot sin \dfrac{M-N}{2} )] 이므로
[math(M=\theta + d\theta)]과 [math(N=\theta)]을 얻을수있고
따라서
[math( dy = 2cos\dfrac{\theta + d\theta+\theta}{2} \cdot sin \dfrac{\theta + d\theta-\theta}{2} )]
[math( dy = 2cos\left(\theta + \dfrac{1}{2}d\theta \right) \cdot sin \dfrac{1}{2}d\theta )]
이어서 [math(cos\dfrac{1}{2}d\theta )]가 [math( cos \theta )]에 무한히 작은것으로 다룰수있으면 따라서 [math( sin \dfrac{1}{2}d\theta = \dfrac{1}{2}d\theta )]로 다루어 볼때
[math( dy = 2cos\theta \cdot \dfrac{1}{2}d\theta )]를 얻을수있다.
[math( dy = cos\theta d\theta )]
[math( \dfrac{dy}{d\theta} = cos\theta )]를 조사할수있다.
삼각함수의 곱미분 을 조사할수있다.
10. 관련 문서
[1]
구텐베르크 프로젝트 - Calculus Made Easy , Silvanus P. Thompson 1914 2nd edition ,THE MACMILLAN CO. P17 CHAPTER IV. SIMPLEST CASES
https://www.gutenberg.org/files/33283/33283-pdf.pdf
[2]
CHAPTER IV. SIMPLEST CASES. P17 ,CHAPTER VI. SUMS, DIFFERENCES, PRODUCTS AND QUOTIENTS. P36 , CHAPTER XVI. PARTIAL DIFFERENTIATION. P172
[3]
CHAPTER V. NEXT STAGE. WHAT TO DO WITH CONSTANTS P25
[4]
CALCULUS MADE EASY P16 NOTE TO CHAPTER III. How to read Differentials.
[5]
CHAPTER XVIII. Integrating as the Reverse of Differentiating ,HOW TO INTEGRATE P191
[6]
NTRODUCING A USEFUL DODGE 67
[7]
CHAPTER XVI. PARTIAL DIFFERENTIATION. P172