三角數 ｜ triangle number
1. 개요
다각수의 일종으로, 정삼각형 모양을 만들기 위해 사용되는 숫자의 수를 말한다.맨 윗줄부터 1개, 2개, 3개, ...를 나열한 결과로 도출되는 개수이기 때문에, n번째 삼각수는 1부터 n까지의 수를 모두 합한 수이다. 가령 10번째 삼각수면 1+2+3+…+8+9+10=55와 같은 식이다.
2. 구하는 법
1부터 [math(n)]까지의 합으로 구할 수 있다.[math(n)] 번째 삼각수 [math(a_n)]에 대하여 [math(\displaystyle a_n=\frac{n(n+1)}{2})]을 만족한다.
몇 가지 예를 들어 보면 다음과 같다.
- 세 번째 삼각수: [math(\displaystyle \frac{3\times4}{2}=6)]
- 네 번째 삼각수: [math(\displaystyle \frac{4\times5}{2}=10)]
- 다섯 번째 삼각수: [math(\displaystyle \frac{5\times6}{2}=15)]
- 여섯 번째 삼각수: [math(\displaystyle \frac{6\times7}{2}=21)]
- 일곱 번째 삼각수: [math(\displaystyle \frac{7\times8}{2}=28)]
- 여덟 번째 삼각수: [math(\displaystyle \frac{8\times9}{2}=36)]
- 아홉 번째 삼각수: [math(\displaystyle \frac{9\times10}{2}=45)]
- 열 번째 삼각수: [math(\displaystyle \frac{10\times11}{2}=55)]
- 일백 번째 삼각수: [math(\displaystyle \frac{100\times101}{2}=5050)]
3. 삼각수의 합
[math(n)] 번째 삼각수 [math(a_n)]의 값은 [math(\displaystyle a_n=\sum^{n}_{k=1}k=\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n^{2}+n}{2})]이라는 것과 [math(\displaystyle \sum^{n}_{k=1}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6})]이라는 것을 이용하면 1 번째부터 [math(n)] 번째까지의 삼각수의 합 [math(\displaystyle \sum^{n}_{k=1}a_k)]는 [math(\displaystyle \frac{n(n+1)(n+2)}{6})]이다. 예를 들어 1 번째부터 4 번째까지의 삼각수의 합은 1+3+6+10=(4×5×6)/6=20이다.4. 기타
- 중복조합과 조합을 계산할때 유용히 쓰인다.
- 파스칼의 삼각형에도 이 수열이 들어있다.
- 6 이상의 모든 삼각수는 합성수다. n 번째 삼각수가 있다고 가정할 때 n이 홀수면 n으로 나누어떨어지며, n이 짝수일 때는 n+1 또는 n÷2로 나누어 떨어진다. 예를 들어 76 번째인 2926은 38이나 77로 나누어 떨어지며, 69 번째인 2415는 69로 나누어 떨어진다.
- 메르센 소수 번째 삼각수는 모두 완전수이며, 현재까지 알려진 범위 내에선 역 또한 성립한다.
- 삼각수이면서 메르센 수인 수는 1, 3, 15, 4095뿐이다. 이는 노르웨이의 수학자인 트뤼그베 나겔(Trygve Nagell)에 의해 증명되었다.
- Grand Theft Auto 시리즈 중 3D 세계관 사이드 미션(자경단, 구급, 소방, 피자 배달 등)의 목표 개수는 보통 삼각수의 개수로 클리어 된다.[1]
- 인접한 두 삼각수를 더하면 제곱수다.[2]
- 삼각수이자 제곱수인 수는 1, 36, 1225 등이 있다.
5. 2000보다 작은 삼각수 목록
- 1~199: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190
- 200~499: 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496
- 500~999: 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, 861, 903, 946, 990
- 1000~1999: 1035, 1081, 1128, 1176, 1225, 1275, 1326, 1378, 1431, 1485, 1540, 1596, 1653, 1711, 1770, 1830, 1891, 1953
6. 관련 문서
[1]
예를들어 총 레벨 12인 구급차 미션의 경우는 12 번째 삼각수인 78명의 환자를 구해야 하고, 총 레벨 10인 피자 배달 미션의 경우는 10 번째 삼각수인 55판의 피자를 배달 해야한다. 즉, 클리어 레벨의 삼각수만큼 목표를 달성해야 하는 것이다.
[2]
증명: [math(\cfrac{n(n+1)}{2}+\cfrac{(n+1)(n+2)}{2} = \cfrac{(n+1)(2n+2)}{2} = (n+1)^{2})]