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1. 개요
선호관계( 選 好 關 係, preference relation)란 소비자가 선택할 수 있는 임의의 두 대상 중 어떤 것을 더 좋아하는지를 표시하는 체계를 말한다. 비교 대상이 무엇이 되더라도 어떤 것이 더 선호되는지를 표시할 수 있으므로, 취향이라는 지극히 주관적인 대상을 수학적으로 엄밀하게 표시하는 경제학의 유용한 개념이다.실제로 소비자가 선택할 수 있는 소비묶음은 너무나도 많기 때문에 소비자의 선호관계를 일일이 표시하는 것은 일반적으로 불가능에 가까운데, 수학적으로 일부 예외적인 경우를 제외하면 대부분의 선호관계를 하나의 함수로 나타낼 수 있음이 증명되어 있다. 이 함수를 효용함수( 效 用 函 數, utility function)라고 한다. 그래서 선호관계와 효용함수는 연관이 매우 깊은데, 이 문서에서는 선호관계 자체에 대해서만 설명하고 이를 함수로 나타내는 방법론은 효용함수 문서를 참고하자.
2. 강선호·약선호·무차별
소비자의 선호의 대상이 되는 모든 선택의 집합을 [math(X)]라 하면, 선호관계는 집합 [math(X)]의 임의의 두 원소 사이의 선호되는 순서를 표시한다. 서로 다른 두 선택 [math(x)]와 [math(y)]에 대하여 소비자가 [math(x)]를 더 선호하면 [math(x)]가 [math(y)]보다 강선호( 強 選 好)된다고 하고([math(x)] is strictly prefered to [math(y)]), 선호하는 정도가 동일하면 [math(x)]와 [math(y)]가 무차별( 無 差 別)[1]하다고 하며(indifferent between [math(x)] and [math(y)]), [math(x)]가 [math(y)]보다 강선호되거나 둘이 무차별하면 [math(x)]가 [math(y)]보다 약선호( 弱 選 好)된다고 한다([math(x)] is weakly prefered to [math(y)]). 기호로는 다음과 같이 표기한다.- 강선호: [math(x)]가 [math(y)]보다 더 나은 선택, [math(x\succ y)]
- 무차별: [math(x)]나 [math(y)]나 상관없는 선택, [math(x\sim y)] [2]
- 약선호: [math(x)]가 [math(y)]보다 못하지 않은 선택, [math(x\gtrsim y)]
또한 다음이 성립한다.
- [math(x\nsucc y\equiv y\gtrsim x)]: [math(x)]가 [math(y)]보다 강선호되지 않으면, [math(y)]가 [math(x)]보다 약선호된다
- [math(x\nsucceq y\equiv y\succ x)]: [math(x)]가 [math(y)]보다 약선호되지 않으면, [math(y)]가 [math(x)]보다 강선호된다
- [math(\{x\nsucc y,\,y\nsucc x\}\equiv\{y\gtrsim x,\,x\gtrsim y\}\equiv x\sim y)]: 상호 비강선호, 상호 약선호, 무차별은 같은 의미이다
그래서 강선호나 약선호 중 하나만을 이용해도 모든 선호관계를 제대로 표시할 수 있다.
3. 공리
다음을 만족하는 선호관계를 합리적 선호관계(rational preference relation)라고 한다.- 이행성(transitivity): [math(x\succsim y, y\succsim z \implies x \succsim z)]
- 완전성(completeness): [math(\forall x,y \in X: x \succsim y \text{ or } y \succsim x)]
여기서 이행성은 순서(order)라는 특징을 가지기 위한 가장 중요한 기본적인 성질이며 (a가 b보다 앞이고 b가 c보다 앞이라면 a는 c보다 앞이다), 완전성은 우리가 상대하는 모든 객체에 순서를 부여할 수 있게 해준다.[3]
다음은 preorder가 되기위한 성질인데 이미 완전성이라는 매우 강한 조건이 있으므로 반사성은 여기로부터 유도될 수 있다.
- 반사성(reflexity) [math(\forall x \in X : x \succsim x)][4]
모든 선택을 모아놓은 집합 [math(X)]가 유한집합이면 합리적 선호관계를 효용함수로 나타낼 수 있음이
수학적 귀납법으로 증명된다.[5] 그러나 [math(X)]가 무한집합이면 이것만으로는 충분하지 않고 추가로 연속성을 만족시켜야 한다. 따라서 [math(X)]가 무한집합이면 이 합리적 선호관계는 효용함수로 나타내어지기 위한 필요조건이지만 충분조건은 아니다.
추가로 수학적 편의성[6]을 위해서는 다음 조건이 있으면 좋다.
- 연속성( continuity) [math(x\succ y)]라면 x와 y사이에 z가 무조건 존재한다.
[1]
'무차별'이라는 말이 닥치는 대로라는 부정적인 의미를 띠고 있기 때문에 적절하지 않다는 의견이 있다.
[2]
수학적으로
동치관계이다.
[3]
예를 들어 1,2,3과 'a'가 있을 때, 1,2,3은 순서를 정해줄 수 있지만 'a'는 못 정해도 이행성만 만족한다면 (그리고 후에 나올 반사성도 만족한다면) preorder로 대략적인 순서는 정할 수 있다. 하지만 선호관계의 경우 똥이든 금은보화든 일단 줄 수 있으니 뭐가 더 좋냐고 물어본다면 둘 중에 뭐가 더 좋다가 무조건 나와야 하므로 완전성이 필수적이다.
[4]
완전성의 x랑 y를 둘 다 x로 정하면 된다.
[5]
선호가 같은 객체를
동치류로 묶어 버리면 선호관계가 total order (혹은 linear order)가 되므로 한줄로 쫙 나열할 수 있다. 그럼 그 나열된 객체에 그냥 순서 지켜지게 (monotonic) 아무 숫자나 부여하면 된다.
[6]
무차별 곡선(indifference curve) 등을 잘 정의하기 위해서