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수학
상수 Mathematical Constants |
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1. 개요
란다우 상수(Landau constant)는 복소해석학에서 중요하게 취급하는 수 중 하나로, 복소 평면의 단위 원판에서 해석 함수가 최대값을 가질 때 관련된 상수이다. 이 상수는 최대 모듈러스 원칙에 의해 정의되며, 대표적으로 반경r의 단위 원판 위의 해석 함수의 절댓값의 최대와 관련이 있다는 것이다. 한편 이 상수는 리만 제타 함수, 감마 함수, 베타 함수 등 여러 특수함수와 연결되며, 수학적 분석에서 깊이 있는 연구의 대상이다.[1] 에드문트 란다우의 이름이 붙여졌다.2. 표현식
란다우 상수[math(G )][math(G = \dfrac{\Gamma^2\left(\dfrac{1}{4}\right)}{4\sqrt{\pi}} \approx 0.566... )]
2.1. 란다우 상수[math(G )]
단위 원판 [math(|z| < 1 )]에서 해석 함수 [math(f(z) )]의 멱급수 전개 [math(f(z)= \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n Z^n )] 에 대해[math(f(0)=0,|f(z)|<1 )]인 경우, [math(f(z) )]의 두 번째 계수 [math(a_2)] 의 절댓값이 가질 수 있는 최대값을 조사한다.
[math(G = \sup|a_2| )]
해석 함수로는 블라슈케 함수(Bloch Function)가 활용된다.
3. 블라슈케 함수
블라슈케 함수(Bloch Function) 활용 형태 및 정의[math( f(z) = \dfrac{z}{1+\alpha z} \; ,\; {\sf where}\, |\alpha| <= 1 )]
여기서 [math( z = x + yi \; , \; x=\Re(z),y = \Im(z),\; \alpha= 2.0({\sf pola} -x),0.1(+y,-y, +x {\sf pola}))] 조건에서 밝기가 최대인 영역을 구현한다.
4. 관련 문서
[1]
\[euDML\]Ueber die zahlentheoretische Funktion ... (n) und ihre Beziehung zum Goldbachschen Satz , E. Landau , Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (1900) Volume: 1900, page 177-186
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