1. 정의
대칭행렬(symmetric matrix)은 다음을 만족하는 행렬 [math(A)]를 말한다.[math(A=A^{\sf T})]
여기서 [math(A^{\sf T})]는 [math(A)]의 전치행렬이다. 위 식을 만족하려면 [math(A)]는 정사각행렬이어야 한다.
2. 성질
실수 성분 대칭행렬은 다음 성질들을 가진다.- 고윳값들은 모두 실수이다.
- 서로 다른 고윳값에 해당하는 고유벡터들은 서로 정규직교기저로 선택될 수 있다.
- 따라서, 대각화 가능하다. 즉, 대수적 중첩도(algebraic multiplicity)와 기하적 중첩도(geometric multiplicity)가 같다. 뿐만 아니라 대각화 시 기저변환행렬이 직교행렬이 된다. 수반 연산자 문서 참고.
3. 예
[math(\begin{aligned}A &= \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 4 & 5 \\
4 & 2 & 6 \\
5 & 6 & 3 \\
\end{pmatrix} \\
A^{\sf T} &= \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{21} & a_{31} \\
a_{12} & a_{22} & a_{32} \\
a_{13} & a_{23} & a_{33} \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 4 & 5 \\
4 & 2 & 6 \\
5 & 6 & 3 \\
\end{pmatrix} \\
\therefore A &= A^{\sf T}
\end{aligned})]