최근 수정 시각 : 2024-12-05 08:55:10

거대수 정원수

1. 개요2. 상세3. 여담

1. 개요

巨大數庭園數( 신자체: 巨大数庭園数, Large Number Garden Number)
Googology Wiki 페이지 일본어 원문 페이지

[math(f^{10}(10\uparrow^{10}10))][1]

2019년 12월 21일 일본의 P進大好きbot이란 유저[2]가 만들어낸 수. 새로운 수로 인정되면서 유효한 가장 큰 수들을 압도할 정도로 어마무시한 크기를 가진 수이다.

2. 상세

이 수는 P進大好きbot이 이전에 정의한 ZFC 공리계를 초월한 강력한 집합론인 고차 집합론을 넘어선 일차 이론을 이용한 함수를 사용해 정의되었는데, 이 수에 쓰인 [math(f(n))] 함수는 무려 고차 집합론들의 대각선화(diagonalize)인 집합족들을 대각선화(diagonalization)하는 무시무시한 함수이다. 즉, 이 함수는 고차 집합론에서 정의 될 수 없을 정도로 큰 집합족에서 정의 될 수 있는 모든 함수를 압도한다는 말이 된다.

이 때문에 계산 불가능한 함수가 계산 가능한 함수와 격이 다른 수준의 성장률을 보이고, 계산 불가능한 함수 중에서도 라요 함수가 바쁜 비버 함수와 격이 다른 성장률을 보이듯이, 거대수 정원수 함수 [math(f(n))]은 [math(\text{Rayo}(n))], [math(F_7^{63}(n))]등의 계산 불가능한 함수들과 격이 다른 성장률을 가진다.[3]

거대수 정원수에서 사용되는 1차 우주 이론 U 함수에서 U(0)은 1차 집합 이론에 대한 우주 역할을 한다. 그런데 재미있는 것은 U(0)의 거듭제곱은 2차 집합 이론의 우주 역할, 그것의 거듭제곱은 3차 집합 이론... 결국 임의의 n차 집합 이론은 U(1)에 포함된다. 다시 말하면 U(0)에서 나올 수 있는 모든 이론들은 U(1)에 포함되기 때문에 U(1)을 넘을 수 없고 U(1)에 나올 수 있는 모든 이론들은 U(2)를 넘을 수 없다. U(a+1)과 U(a)는 아예 차원이 다른 세계인 것이다. U(1)만 해도 모든 n차 집합 이론을 포함하므로 이 다음으로 큰 피쉬 수 7마저도 0으로 보이게 할 만큼 크다. 마지막으로 거대수 정원수는 칸토르 정규형태로 매핑되었기 때문에 우주의 개수는 앱실론 노트개 이다. 정의를 보면 알겠지만 재귀는 당연하고 확장을 무수히 반복해도 뛰어넘을 수 없게 설계 자체가 그렇게 되어 있는 것이다. [math(f(n))]에서 n이 특이점이 겨우 오는 정도까지만 키워도 U(n)을 피쉬 수 7은 고사하고 U(10100)차 이론에 쓰인 큰 수 만들기 방법으로도 뛰어넘을 수 없다.

거대수 정원수 함수에 들어간 수는 라요 수, 피쉬 수 7, 빅풋에 쓰인 구골 보다 훨씬 더 큰 [math(10\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow10)]인데, 불필요하게 큰 수인 것처럼 보이지만 이는 [math(f(n))]이 작은 n에 대해서는 그리 빠르게 성장하지 않기 때문이다.

거대수 정원수의 정의에 오류가 있는 것이 아직 증명되지 않았고, 그 수의 정의자가 후술할 다른 오류수들의 오류를 발견하고 증명하였으므로, 유효한 가장 큰 수가 거대수 정원수로 바뀌게 되었고 현재까지도 그 타이틀을 가지고 있는 상태이다. 이 수 자체가 너무나도 큰 나머지 그레이엄 수가 25년간이나 타이틀을 가지고 있었다면 이 수는 그 이상의 시간동안 타이틀을 뺏기지 않을지도 모른다.

비슷한 수로 거대수 저택수가 있다. 마찬가지로 이 수를 정의한 유저가 만든 수다.[4]

3. 여담

거대수 정원수라는 이름은 간단하게 줄인 이름이고 사실은 풀 네임이 존재한다.
さあ盟友、ついに巨大数庭園の完成だ！　この庭園の機能を説明しよう。まず１つ目は住所と間取り図の判定機能。文字列を読み込むと、それがどの箱庭の住所を表しているかやどの箱庭で再現可能な巨大数庭園の間取り図なのかを自動で判定してくれるんだ。次に２つ目が間取り図の解析機能。箱庭の住所を指定してそこで再現可能な巨大数庭園の間取り図を読み込むと、その庭園が生み出せる巨大数を教えてくれるのさ。そして肝心の３つ目の機能が巨大数の生成機能。ひとたび自然数を入力すると、それを文字数の上限とした範囲内にある全文字列を探索し、それぞれを住所と間取り図の判定機能に読み込ませることで箱庭ごとに再現可能な間取り図のみを残して列挙し、更に間取り図の解析機能に読み込ませることでそれらが生み出せる巨大数を入手し、それら全てをまとめ上げることで新たな巨大数を生み出せるんだ！　え？　それで本当に巨大な数が得られるのかって？　相変わらず盟友は疑り深いなあ。でもいいさ、この巨大数庭園自体の間取り図がここにある。これを解析機能に読み込ませれば、どれほど巨大な数を生み出せるのかを教えてくれるからね。え？　この間取り図の文字数？　そんなものを知って何になるんだい？
자 동지, 드디어 거대수 정원의 완성이다! 이 정원의 기능을 설명하지. 먼저 1번째는 주소와 방 배치도[5] 판정 기능. 문자열을 읽으면 그것이 어떤 모형 정원[6]의 주소를 나타내고 있는지와 어떤 모형 정원에서 재현 가능한 거대수 정원의 방 배치도인지를 자동으로 판정해 주는 거야. 다음으로 2번째가 방 배치도의 해석 기능. 모형 정원의 주소를 지정하고 거기서 재현 가능한 거대수 정원의 방 배치도를 읽으면 그 정원이 만들어낼 수 있는 거대수를 알려주는 거야. 그리고 중요한 3번째 기능이 거대수 생성 기능. 일단 자연수를 입력하면, 그것을 문자열의 상한으로 한 범위 내에 있는 전체 문자열을 탐색하고, 각각을 주소와 방 배치도의 판정 기능으로 읽게 함으로써 모형 정원마다 재현 가능한 방 배치도만을 남겨 열거하고, 거기에 방 배치도의 해석 기능으로 읽게 함으로써 그것들이 만들어 낼 수 있는 거대수를 얻고, 그것들을 모두 모아 정리함으로써 새로운 거대수를 만들어 낼 수 있는 거야! 어? 그래서 정말 거대한 수를 얻을 수 있냐고? 여전히 동지는 의심이 많구나. 그래도 괜찮아, 이 거대수 정원 자체의 방 배치도가 여기 있어. 이걸 해석 기능에 읽어들이게 하면 얼마나 거대한 수를 만들어낼 수 있는지 알려주니까. 어? 이 방 배치도의 문자의 수? 그런건 알아서 뭐하게?[7]
수의 이름으로 받아들이기엔 상당히 긴 이름이지만 수의 제작자 P進大好きbot의 다른 수들도 비슷한 방식의 풀 네임이 있기 때문에 제작자만의 독특한 작명 센스로 받아들이면 될 듯.

[1] [math(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(10\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow10)))))))))))] [2] 리틀 바이겟돈 등의 오류수들의 오류를 찾아내고 증명한 사람이다. [3] 격이 다르다는 게 각각의 함수로는 일반적으로 뛰어넘는 게 불가능하다는 의미다. [4] 다만 크기는 바쁜 비버는커녕 거대수 누각수라는 같은 유저가 만들어낸 수보다 훨씬 작다. 둘다 최소 초월정수의 확장 개념인 것은 같다. 다만 거대수 저택수는 최소 초월정수보다 확실히 더 큰지 알 수 없고 크더라도 재귀를 통해 쉽게 역전이 가능할 것으로 예측된다. [5] 間取り図, 방의 배치와 크기 등을 기록한 도면 [6] 箱庭, 상자 안에 만든 모형 정원 [7] 사실 크기는 고사하고 이것조차도 알 수 없다. 단지 피쉬 수 7보다도 훨씬 크다는 말로도 한없이 부족하다는 것 정도만 알려졌을 뿐...

분류