2020학년도 대학수학능력시험/의견/수학 영역 해설

1. 개요

2. 6월 모의평가( 2019년 6월 4일)

2.1. 가형

2.1.1. 1~13번(객관식 2~3점)

1번

[해설]

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[math({}_9{\rm C}_7={}_9{\rm C}_2=\dfrac{9\times8}2=36)]

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2번

[해설]

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[math(f'(x)=\dfrac3x\quad\rightarrow\quad f'(3)=1)]

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3번

[해설]

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[math(\begin{aligned}\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\left(e^{2x}-1\right)+\left(e^{3x}-1\right)}{2x}&=\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{e^{2x}-1}{2x} + \dfrac{3}{2} \times \displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{e^{3x}-1}{3x}\\&= 1 + \dfrac{3}{2} = \dfrac{5}{2}\end{aligned})]

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4번

[해설]

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벤 다이어그램을 그려보면 이해가 쉽다.

[math(\begin{aligned}{\rm P}(A)&={\rm P}(A\cup B)-{\rm P}(A^C\cap B)\\&=\dfrac34-\dfrac23=\dfrac1{12}\end{aligned})]

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5번

[해설]

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[math(\displaystyle \int_0^{ln3} e^{x+3} \, {\rm d}x=\left[e^{x+3}\right]_0^{ln3}=e^{ln3+3}-e^3={e^{ln3}}\times{e^3}-e^3=3e^3-e^3=2e^3 )]

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6번

[해설]

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양변을 [math(x)]에 대해 미분하면 다음과 같다.

[math(2x+y+xy'+3y'y^2=0)]

[math(x=2,~y=1)]을 대입하여 점 [math((2, 1))]에서의 [math(y')]의 값을 구하면 답이다.

[math(4+1+2y'+3y'=0,~y'=-1)]

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7번

[해설]

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같은 종류의 장난감을 같은 종류의 상자에 넣는 것은 자연수의 분할이다. 그 경우는 다음과 같으므로 경우의 수는 [math(P(12,\,3)=7)]이다.

[math(\begin{aligned}&(1,\,2,\,9),\,(1,\,3,\,8),\,(1,\,4,\,7),\,(1,\,5,\,6)\\&(2,\,3,\,7),\,(2,\,4,\,6),\,(3,\,4,\,5)\end{aligned})]

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8번

[해설]

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포물선의 식을 정리하면 다음과 같다.

[math((y-2)^2=ax)]

이 식은 초점의 좌표가 [math(\left(\dfrac{a}{4},~0\right))]인 포물선 [math(y^2=ax)]를 [math(y)]축 방향으로 [math(2)]만큼 평행이동한 식이므로, 초점의 좌표는 [math(\left(\dfrac{a}{4},~2\right))]이다. 따라서

[math(b=2,~\dfrac{a}{4}=3,~a=12)]

[math(\therefore a+b=14)]

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9번

[해설]

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(가) 조건을 정리하면 [math(4g'(2)=8 ,\, g'(2)=2)]이다. [math(f'(x)=({\dfrac {2^x}{\ln 2}})'={2^x×ln 2 ×ln 2 \over (ln 2)²})]이므로, [math(f'(x)=2^x)]이다. (나)조건을 이용하면 [math((f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x))]이므로, [math(x=2)]를 대입하면 [math(f'(g(2))g'(2)=10=f'(g(2))×2)] 즉, [math(f'(g(2))=5=2^{g(2)})]이다. 따라서 [math(g(2)=log_2 5)]이다.

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10번

[해설]

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부분적분법에 의하여
[math(\displaystyle \int_{1}^{e}x^3\ln x dx=\dfrac{1}{4}\left[x^4\ln x\right]-\dfrac{1}{4}\int_{-1}^{1}x^3 dx=\left[\dfrac{1}{4}x^4\ln x-\dfrac{1}{16}x^4\right]_{1}^{e}=\dfrac{3e^4+1}{16})]
이다.

혹은 로그의 성질을 이용하여 다음과 같이 풀 수 도 있다.
[math(\displaystyle\int_{1}^{e}x^3\ln x dx=\dfrac{1}{4}\int_{1}^{e}x^3\ln x^4 dx)]
이므로 [math(x^4=t)]로 치환하면 주어진 적분식은
[math(\displaystyle\dfrac{1}{16}\int_{1}^{e^4}\ln t dt=\dfrac{1}{16}\left[t\ln t-t\right]_{1}^{e^4}=\dfrac{3e^4+1}{16})]
이다.

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11번

[해설]

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12번

[해설]

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13번

[해설]

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2.1.2. 14번~20번

14번

[해설]

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다음과 같이 경우를 분류할 수 있다.

[1] [math(\boldsymbol{a=6})]
이 경우 [math(b)]와 [math(c)]는 1, 2, 3, 4, 5 중 하나이므로 경우의 수는 [math(5\times5=25)]

[2] [math(\boldsymbol{a=5})]
이 경우 [math(b)]와 [math(c)]는 1, 2, 3, 4 중 하나이므로 경우의 수는 [math(4\times4=16)]

[3] [math(\boldsymbol{a=4})]
이 경우 [math(b)]와 [math(c)]는 1, 2, 3 중 하나이므로 경우의 수는 [math(3\times3=9)]

[4] [math(\boldsymbol{a=3})]
이 경우 [math(b)]와 [math(c)]는 1, 2 중 하나이므로 경우의 수는 [math(2\times2=4)]

[5] [math(\boldsymbol{a=2})]
이 경우 [math(b)]와 [math(c)]는 1이므로 경우의 수는 [math(1\times1=1)]

따라서 조건을 만족시키는 경우의 수는 [math(25+16+9+4+1=55)]이고, 한 개의 주사위를 세 번 던져서 나오는 경우의 수는 [math(6^3=216)]이므로 구하는 확률은 [math(\dfrac{55}{216})]

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15번

[해설]

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16번

[해설]

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[math(g(x)={\dfrac {f(x)cos x}{e^x}})]를 로그미분법을 이용하여 미분하면 [math({\ln g(x)}={\ln {f(x)cosx \over e^x}}={\ln f(x)}+{\ln cos x}-{\ln e^x}={\ln f(x)}+{\ln cos x}-x)]
[math(\dfrac {g'(x)}{g(x)}={f'(x) \over f(x)}-{sin x \over cos x}-1)] [math(g'(x)=g(x)({f'(x) \over f(x)}-{sin x \over cos x}-1))]이며, 이 식에 [math(g(x))]에 대한 식을 대입하면
[math(g'(x)={f(x)cos x \over e^x}({f'(x) \over f(x)}-{sin x \over cos x}-1))]이다.

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17번

[해설]

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18번

[해설]

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19번

[해설]

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[math(a=x_1,b=x_2-2,c=x_3-4,d=x_4-6)]로 놓으면 주어진 문제는 결국 0부터 6까지의 정수 중 [math(a\le b\le c\le d)]인 순서쌍의 갯수를 구하는 문제가 됨을 알 수 있다. 따라서 주어진 경우의 수는 210개이다.

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20번

[해설]

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ㄱ. (나)의 식을 미분하면
[math(\dfrac{f'(x)}{f(x)}+2\int_{0}^{x}f(t)dt=0)]이다.
이 때 [math(f(x)>0)]이므로 [math(x>0)]일 때 [math(\int_{0}^{x}f(t)dt>0)]이다.
따라서 [math(x>0)]에서 [math(f'(x)<0)]이므로 ㄱ은 참이다.
ㄴ. 위와 비슷한 방법으로 하면 [math(x<0)]일 때 [math(f'(x)>0)]이다.
또 (나)의 식에 [math(x=0)]을 대입하면 [math(f(0)=1)]이므로
ㄴ이 참임을 알 수 있다.
ㄷ. [math(\dfrac{f'(x)}{f(x)}+2\int_{0}^{x}f(t)dt=0)]에서 [math(f(x))]을 곱하면
다음과 같이 나타낼 수 있다.
[math(f'(x)+2F(x)F'(x)=0)]
이를 적분하면 [math(f(x)+\{F(x)\}^2=C)]이고 [math(x=0)]을 대입하면[math(C=1)]이다.
따라서 ㄷ도 참이다.

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2.1.3. 21번~30번

21번

[해설]

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22번

[해설]

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[math(10\vec{a}=(20,10))]이므로 성분의 합은 [math(20+10=30)]이다.

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23번

[해설]

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[math(\displaystyle \csc\theta\times\tan\theta = \frac{1}{\sin\theta}\times \frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\frac{1}{\cos\theta})]이므로 [math(\displaystyle \csc\theta\times\tan\theta={7})]이다.

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24번

[해설]

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25번

[해설]

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26번

[해설]

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27번

[해설]

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28번

[해설]

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29번

[해설]

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30번

[해설]

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2.2. 나형

2.2.1. 1~13번(객관식 2~3점)

1번

[해설]

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[math(5^0\times25^{1/2}=1\times\sqrt{25}=5)]

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2번

[해설]

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분모와 분자의 차수가 같으므로 극한값은 최고차항의 계수의 비가 된다.

[math(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{9n^2+4n+1}}{2n+5}=\frac{\sqrt 9}2=\frac32)]

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3번

[해설]

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합집합의 정의에 의하여 [math(a=9)]

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4번

[해설]

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[math(f(1)+f^{-1}(3)=2+2=4)]

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5번

[해설]

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[math(|x-4|=2)]를 만족시키는 [math(x)]의 값은 [math(2)] 또는 [math(6)]이므로, [math(p)]가 [math(q)]이기 위한 충분조건이려면 [math(2)]와 [math(6)]이 모두 [math(a)] 이상이어야 한다. 이를 만족시키는 [math(a)]의 최댓값은 [math(2)]이다.

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6번

[해설]

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[math(\begin{aligned}{\rm P}(A)&={\rm P}(A\cup B)-{\rm P}(A^C\cap B)\\&=\dfrac34-\dfrac23\\&=\dfrac1{12}\end{aligned})]

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7번

[해설]

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그래프를 해석하면 다음과 같다.

[math(\displaystyle\lim_{x\to-1+}f(x)+\lim_{x\to1-}f(x)=0+2=2)]

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8번

[해설]

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로그의 성질을 이용한다.

[math(\begin{aligned}\log_512&=2\log_52+\log_53\\&=2\dfrac1{\log_25}+\log_53\\&=\dfrac2a+b\end{aligned})]

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9번

[해설]

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점화식에 [math(n=1,\,2,\,3,\,4)]를 대입해서 푼다.

[math(\begin{aligned}a_2-a_1&=2\\a_3+a_2&=4\\a_4-a_3&=8\\a_5+a_4&=16\end{aligned})]

[math(\therefore a_2=1,\,a_3=5,\,a_4=9,\,a_5=7)]

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10번

[해설]

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뽑은 공 중 적어도 한 개가 검은 공일 확률은 1에서 뽑은 공이 모두 흰 공일 확률을 뺀 것과 같다. 공을 뽑는 것은 순서를 고려하지 않으므로 조합을 사용한다.

[math(1-\dfrac{{}_4\rm C_3}{{}_7\rm C_3}=1-\dfrac4{35}=\dfrac{31}{35})]

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11번

[해설]

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[math(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(2a_n-3\right))]이 수렴하므로 [math(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(2a_n-3\right)=0)]이다. 따라서 다음이 성립한다.

[math(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=r=\dfrac32)]

[math(\therefore\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{r^{n+2}-1}{r^n+1}=r^2=\dfrac94)]

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12번

[해설]

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위 그림과 같이, 두 그래프의 교점의 개수는 곡선 [math(y=\dfrac6{x-5}+3)]의 [math(x)]절편을 기준으로 달라지므로 이를 구해야 한다.

[math(\begin{aligned}\dfrac6{x-5}+3&=0\\6&=-3(x-5)\\2&=-x+5\\\therefore x&=3\end{aligned})]

따라서 [math(x)]절편은 [math(3)]이며, [math({\color{red}k>3})]이면 곡선 [math(y=\dfrac6{x-5}+3)]과의 교점이 한 개이고, [math({\color{#CC33CC}k\leq 3})]이면 두 개이다. 따라서 최댓값은 [math(3)]이다.

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13번

[해설]

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문제의 방정식을 인수분해하여 풀면 다음과 같다.

[math(x^2-nx+4(n-4)=(x-4)(x-n+4)=0)]

[math(\therefore x=4\quad\textsf{or}\quad x=n-4)]

따라서 [math(1,\,n-4,\,4)] 또는 [math(1,\,4,\,n-4)]가 등차수열을 이룬다.

첫째 경우 [math(1+4=2(n-4))]이므로 [math(n=\dfrac{13}2)]인데, 자연수가 아니므로 문제의 조건과 모순이다.

둘째 경우 [math(1+n-4=2\times 4)]이므로 [math(n=11)]이 되어 모순이 없다. 따라서 답은 [math(11)]이다.

2.2.2. 14번~21번(객관식 4점)

14번

[해설]

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• [math(\left(x^2-\dfrac1x\right))]과 [math(\left(x+\dfrac{a}x\right)^4)]의 조합
• [math(x^3)]항은 [math(x^2)]항과 [math(x)]항의 조합
• [math(x^2)]항은 [math(\left(x^2-\dfrac1x\right))]에서 [math(x^2)]을 한 번 택함 [math(\cdots (\rm a))]
• [math(x)]항은 [math(\left(x+\dfrac{a}x\right)^4)]에서 [math(x)]를 세 번 택하고 [math(\dfrac{a}{x^2})]를 한 번 택함 [math(\cdots (\rm b))]
• [math(x^3)]항은 [math(\dfrac1x)]항과 [math(x^4)]항의 조합
• [math(\dfrac1x)]항은 [math(\left(x^2-\dfrac1x\right))]에서 [math(-\dfrac1x)]을 한 번 택함 [math(\cdots (\rm c))]
• [math(x^4)]항은 [math(\left(x+\dfrac{a}x\right)^4)]에서 [math(x)]를 네 번 택함 [math(\cdots (\rm d))]

• [math((\rm a))]: [math(x^2)]을 한 번 택했으므로 계수는 [math(1\times{}_1{\rm C}_1=1)]
• [math((\rm b))]: [math(x)]를 세 번 택하고 [math(\dfrac{a}{x^2})]를 한 번 택했으므로 계수는 [math(1^3\times a\times{}_4{\rm C}_3)]
• [math((\rm a))]와 [math((\rm b))]의 조합으로 만들어진 [math(x^3)]항의 계수는 [math(1\times3=\boldsymbol 3)]
• [math((\rm c))]: [math(-\dfrac1x)]을 한 번 택했으므로 계수는 [math(-1\times{}_1{\rm C}_1=-1)]
• [math((\rm d))]: [math(x)]를 네 번 택했으므로 계수는 [math(1\times{}_4{\rm C}_4=1)]
• [math((\rm c))]와 [math((\rm d))]의 조합으로 만들어진 [math(x^3)]항의 계수는 [math(-1\times1=\boldsymbol{-1})]
• 최종적으로 구하는 [math(x^3)]의 계수는 [math(\boldsymbol{3+(-1)=2})]

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15번

[해설]

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16번

[해설]

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[math(12=2^2\times3)]이고 주사위의 눈은 1부터 6까지의 자연수이므로, [math(a\times b\times c\times d=12)]인 경우는 1, 1, 2, 6인 경우, 1, 1, 3, 4인 경우, 1, 2, 2, 3인 경우가 있다. 주사위를 네 번 던지므로 전체 경우의 수는 [math(6^4)]이고 각 경우의 수는 순서를 고려하여 네 숫자를 배열하는 경우의 수와 같으므로 모두 [math(4!/2!)]이다. 곧 구하는 확률은 다음과 같다.

[math(\cfrac{\dfrac{4!}{2!}+\dfrac{4!}{2!}+\dfrac{4!}{2!}}{6^4}=\dfrac{6^2}{6^4}=\dfrac1{36})]

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17번

[해설]

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18번

[해설]

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19번

[해설]

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20번

[해설]

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[math(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)-4x^3+3x^2}{x^{n+1}+1})]의 값이 6으로 수렴하므로, 분모와 분자의 차수는 같아야 한다. 나아가, 분모의 최고차항의 계수가 1이므로 분자의 최고차항의 계수는 6이다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(f(x)-4x^3+3x^2=6x^{n+1}+\cdots)]

이 식의 좌변에 삼차항이 이미 있으므로, 우변의 [math(n)]은 2 이상이다. 그러므로 [math(f(x))]는 [math((n+1))]차식이다.

한편, [math(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x^n})]의 값이 4로 수렴하고 분모의 극한이 0이므로, 분자의 극한도 0이어야 한다. [math(f(x))]는 다항함수이므로 실수 전체의 집합에서 연속인바 다음이 성립한다.

[math(\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)=f(0)=0)]

곧, [math(f(x))]는 상수항을 갖지 않는다. 한편, [math(f(0)=0)]이므로

[math(f(x)=\cdots+ax^{n+2}+bx^{n+1}+cx^n+dx^{n-1}+ex^{n-2}+\cdots+zx)]

라 하고 분모와 분자를 약분하면

[math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x^n}&=\lim_{x\to0}\dfrac{\cdots+ax^{n+2}+bx^{n+1}+cx^n+dx^{n-1}+ex^{n-2}+\cdots+zx}{x^n}\\&=\lim_{x\to0}\left(\cdots+ax^2+bx+c+\dfrac{d}{x}+\dfrac{e}{x^2}+\cdots+\dfrac{z}{x^{n-1}}\right)\\&=\begin{cases}c\quad&(d=e=\cdots=z=0)\\\textsf{\footnotesize{수렴하지 않음}}\quad&(\textsf{otherwise})\end{cases}\end{aligned})]

와 같이 [math((n-1))]차 이하의 항들의 계수에 따라 식의 수렴 여부가 달라진다. 문제에서는 이 식이 4로 수렴하므로, [math(d=e=\cdots=z=0)]이어야 한다. 곧, [math(\boldsymbol{f(x)})]의 최저차항의 차수는 [math(\boldsymbol n)]인 것이다. 앞서 밝혔듯이 [math(n\geq 2)]이므로 [math(\boldsymbol{f(x)})]는 2차 이상이다.

위의 내용을 종합하면, [math(f(x))]는 최고차항이 [math((n+1))]차이고 최저차항이 [math(n)]차이므로

[math(f(x)=ax^{n+1}+bx^n\quad(a\neq 0,\,n\geq 2))]

으로 쓸 수 있다. 여기에서 다시 다음이 성립한다.

[math(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x^n}=\lim_{x\to0}\dfrac{ax^{n+1}+bx^n}{x^n}=\lim_{x\to0}{(ax+b)}=b=4)]

[math(\therefore f(x)=ax^{n+1}+4x^n\quad(a\neq 0,\,n\geq 2))]

따라서 [math(f(x))]는 3차 이상이다. 이제 [math(f(x))]의 차수를 분류해 보자.

[1] [math(\boldsymbol{f(x)})]가 3차
이 경우 [math(n=2)]이고 [math(f(x)=ax^3+4x^2)]이 된다. 그러면

[math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)-4x^3+3x^2}{x^{n+1}+1}&=\lim_{x\to\infty}\dfrac{(a-4)x^3+7x^2}{x^3+1}\\&=a-4=6\end{aligned})]

[math(\therefore a=10,\,f(x)=10x^3+4x^2,\,\boldsymbol{f(1)=14})]

[2] [math(\boldsymbol{f(x)})]가 4차 이상
이 경우 [math(n\geq 3)]이고 [math(f(x)=ax^{n+1}+4x^n)]이 된다. 그러면

[math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)-4x^3+3x^2}{x^{n+1}+1}&=\lim_{x\to\infty}\dfrac{ax^{n+1}+\cdots}{x^{n+1}+1}\\&=a=6\end{aligned})]

[math(\therefore a=6,\,f(x)=6x^{n+1}+4x^n,\,\boldsymbol{f(1)=10})]

따라서 [math(f(1))]의 최댓값은 [math(14)]이다.

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21번

[해설]

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2.2.3. 22번~30번(단답형)

22번

[해설]

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[math({}_9\rm C_7={}_9\rm C_2=\dfrac{9\times 8}2=36)]

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23번

[해설]

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평행이동한 그래프의 방정식은 [math(y=\dfrac2x+4)]이므로 [math(a=\dfrac22+4=5)]이다.

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24번

[해설]

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[math(\{a_n\})]의 공비를 [math(r)]이라 하면 [math(\dfrac{a_5}{a_3}=r^2=9)]이므로 [math(r=3\;(\because r>0))]이다.

[math(\displaystyle\sum_{k=1}^4 a_k=2+6+18+54=80)]

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25번

[해설]

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위치를 두 번 미분하면 가속도이므로 다음이 성립한다.

[math(x=t^3-5t^2+6t\quad\rightarrow\quad x''=6t-10)]

따라서 답은 [math(6\times3-10=8)]이다.

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26번

[해설]

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[math(B=\{1,3\})]이므로 [math(A-B=\{2,4,8,16\})]이다.
[math(X-(A-B)=\emptyset)]이므로 [math(X\subset A-B)]이다.
따라서 주어진 조건을 만족하는 [math(X)]의 수는 4개중 2개를 뽑는 경우의 수와 같으므로 6개다.

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27번

[해설]

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28번

[해설]

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29번

[해설]

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30번

[해설]

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3. 9월 모의평가( 2019년 9월 4일)

3.1. 가형

3.1.1. 1~13번(객관식 2~3점)

1번

[해설]

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[math(2\vec b = (2,\,2))]이므로 [math(1+0+2+2 = 5)]이다.

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2번

[해설]

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[math(\begin{aligned}\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{e^{6x}-e^{4x}}{2x}&=\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\left(e^{6x}-1\right)-\left(e^{4x}-1\right)}{2x}\\&=3 \times \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{e^{6x}-1}{6x} - 2 \times \displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{e^{4x}-1}{4x}\\&= 3-2=1\end{aligned})]

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3번

[해설]

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4번

[해설]

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2의 배수이려면 일의 자리가 0, 2, 4, 6, 8의 5개 중 하나여야 하고, 십의 자리가 6의 약수이려면 십의 자리가 1, 2, 3, 6의 4개[1] 중 하나여야 한다. 따라서 구하는 경우의 수는 [math(5\times 4=20)]

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[해설]

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6번

[해설]

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7번

[해설]

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8번

[해설]

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9번

[해설]

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10번

[해설]

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11번

[해설]

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12번

[해설]

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13번

[해설]

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3.1.2. 14번~21번(객관식 4점)

14번

[해설]

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15번

[해설]

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16번

[해설]

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17번

[해설]

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먼저 (가)의 양변을 미분하면[math(x^3=\dfrac{1}{4}(f(x)g(x))')]이다. 따라서
[math(\displaystyle\int_{-1}^{1}x^3f(x)dx=\dfrac{1}{4}\int_{1}^{1}(f(x)g(x))'f(x))]
이다. 부분적분을 하면
[math(\displaystyle\dfrac{1}{4}\int_{1}^{1}(f(x)g(x))'f(x)dx=\dfrac{1}{4}\left\{\left[\{f(x)\}^2g(x)\right]_{-1}^{1}-\int_{-1}^{1}f(x)f'(x)g(x)dx\right\})]
이다. 여기서 [math(\displaystyle \int_{-1}^{1}f(x)f'(x)g(x)dx)]를 부분적분하면
[math(\displaystyle \int_{-1}^{1}f(x)f'(x)g(x)dx=\dfrac{1}{2}\left\{\left[\{f(x)\}^2g(x)\right]_{-1}^{1}-\int_{-1}^{1}\{f(x)\}^2g'(x)dx\right\})]
이다. 따라서 식을 정리하면
[math(\displaystyle\int_{-1}^{1}x^3f(x)dx=\dfrac{1}{8}\left[(x^4-1)f(x)\right]_{-1}^{1}+\dfrac{1}{8}\int_{-1}^{1}\{f(x)\}^2g'(x)dx=15)]
이다.

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18

[해설]

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19번

[해설]

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20번

[해설]

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21번

[해설]

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점 P의 좌표가 [math((0, 6))]일 때, [math(\overline{\rm AP}+\overline{\rm BP})]의 값은 [math(2\sqrt{10}+2\sqrt{10}=4\sqrt{10})]이며, 점 P의 좌표가 [math((\dfrac 52, \dfrac 32))]일 때 [math(\overline{\rm AP}+\overline{\rm BP})]의 값은 [math(\dfrac{3\sqrt{10}}2+\dfrac{\sqrt{10}}2=2\sqrt{10})]이다.
따라서 직사각형 위를 움직이는 점 P에 대하여 [math(\overline{\rm AP}+\overline{\rm BP})]의 최댓값은 [math(4\sqrt{10})]이고, 최솟값은 [math(2\sqrt{10})]이다.
두 점 A, B를 초점으로 하고 점 [math((0, 6))]을 지나는 타원의 방정식은 [math(\dfrac{x^2}{40}+\dfrac{y^2}{36}=1)]이며, 두 점 A, B를 초점으로 하고 점 [math((\dfrac 52, \dfrac 32))]을 지나는 타원의 방정식은 [math(\dfrac{x^2}{10}+\dfrac{y^2}{6}=1)]이다.
점 P가 위치할 수 있는 영역은 타원 [math(\dfrac{x^2}{40}+\dfrac{y^2}{36}=1)]의 내부에 속하면서 [math(\dfrac{x^2}{10}+\dfrac{y^2}{6}=1)]의 외부에 속하는 영역이다.
점 [math((\dfrac 52, \dfrac 32))]가 직사각형의 선분 위의 점인 경우, 직사각형의 선분 위의 점 중 타원 [math(\dfrac{x^2}{10}+\dfrac{y^2}{6}=1)] 내부의 점이 존재하면 조건을 만족시킬 수 없다. 그러므로 점 [math((\dfrac 52, \dfrac 32))]이 포함된 직사각형의 선분은 타원 [math(\dfrac{x^2}{10}+\dfrac{y^2}{6}=1)]에 접해야 한다.
[math(\dfrac{x^2}{10}+\dfrac{y^2}{6}=1)]을 음함수 미분하면 [math(\dfrac x5+\dfrac y3\cdot\dfrac{dy}{dx}=0)], 이 식에 [math(x=\dfrac52)], [math(y=\dfrac32)]를 대입하면 [math(\dfrac{dy}{dx}=-1)]이다. 그러므로 직사각형에서 점 [math((\dfrac 52, \dfrac 32))]을 포함하는 선분의 기울기는 -1이며, 이 직선의 방정식은 [math(x+y=4)]이다.
점 P는 직사각형 위의 점이며, 점 [math((0, 6))]도 직사각형 위의 점이므로 이 점을 지나는 직선 [math(x+y=6)] 역시 직사각형의 선분을 포함하며, 남은 2개의 선분은 기울기가 1인 직선에 포함되어 있다.
직사각형 위의 선분이 점 [math((0, 6))]을 포함하고, 이 점은 타원의 꼭짓점이므로 이 점을 지나면서 기울기가 -1인 직선이 직사각형의 선분을 포함해야 한다. 즉, 남은 2개의 선분 중 하나는 직선 [math(y=x+6)]에 포함되어 있다.
직선 [math(x+y=6)]와 타원 [math(\dfrac{x^2}{40}+\dfrac{y^2}{36}=1)]의 교점 중 점 [math((0, 6))]이 아닌 점을 찾기 위해 두 식을 연립하면 [math(\dfrac{x^2}{40}+\dfrac{(6-x)^2}{36}=1)], [math(\dfrac{x^2}{40}+1-\dfrac{x}{3}+\dfrac{x^2}{36}=1)], [math(19x^{2}-120x=0)], [math(x=\dfrac{120}{19})]이다.
따라서 직사각형의 한 꼭짓점의 x좌표가 [math(\dfrac{120}{19})]일 때, 직사각형의 넓이는 최대가 된다.
직사각형을 이루는 두 직선 [math(x+y=6)], [math(x+y=4)] 사이의 거리는 [math(\sqrt{2})]이며, 직선 [math(x+y=6)] 위의 점 [math((0, 6))]과 x좌표가 [math(\dfrac{120}{19})]인 점 사이의 거리는 [math(\dfrac{120\sqrt{2}}{19})]이다.
따라서 직사각형의 넓이의 최댓값은 [math(\sqrt{2}\times\dfrac{120\sqrt{2}}{19}=\dfrac{240}{19})]이다.

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3.1.3. 22번~30번(단답형)

22번

[해설]

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이항 분포 [math(\rm B\left(n,\,\dfrac14\right))]의 분산은 [math(n\times\dfrac14\times\left(1-\dfrac14\right)=\dfrac3{16}n=6)]이므로 [math(n=32)]

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23번

[해설]

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24번

[해설]

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[math(f(\dfrac{\pi}{8})=1)]이므로 역함수의 미분법에 의해 [math(g'(1)=\dfrac{1}{f'(\dfrac{\pi}{8})}=\dfrac{1}{2\sec^2 \dfrac{\pi}{4}}=1)]이다. 따라서 [math(100\times g'(1)=100)]이다.

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25번

[해설]

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26번

[해설]

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27번

[해설]

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28번

[해설]

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29번

[해설]

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30번

[해설]

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3.2. 나형

3.2.1. 1~13번(객관식 2~3점)

1번

[해설]

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[math(3^3\div81^{1/2}=27\div\sqrt{81}=27\div9=3)]

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2번

[해설]

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교집합의 정의에 의하여 [math(a=2)] 또는 [math(a=3)] 또는 [math(n=4)]이어야 하므로 답은 [math(2+3+4=9)]

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3번

[해설]

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합성함수의 정의에 의하여

[math((g\circ f)(1)=g(f(1))=g(4)=3)]

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4번

[해설]

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[math(\begin{aligned}|x-a|\leq 1\quad\Leftrightarrow\quad& -1&\leq x-a\leq 1\\\Leftrightarrow\quad &a-1&\leq x\leq a+1\end{aligned})]

[math(a)]는 정수이므로, [math(p)]가 [math(q)]이기 위한 충분조건이려면 [math(a+1\leq 9)]이어야 한다. 따라서 정수 [math(a)]의 최댓값은 [math(8)]

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5번

[해설]

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2의 배수이려면 일의 자리가 0, 2, 4, 6, 8의 5개 중 하나여야 하고, 십의 자리가 6의 약수이려면 십의 자리가 1, 2, 3, 6의 4개[2] 중 하나여야 한다. 따라서 구하는 경우의 수는 [math(5\times 4=20)]

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6번

[해설]

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[math(\begin{aligned}\displaystyle\int_0^2(3x^2+6x)dx&=\left[x^3+3x^2\right]_0^2\\&=20-0=20\end{aligned})]

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7번

[해설]

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수열 [math(\{a_n\})]은 등차수열이므로 [math(a_n=a+(n-1)d)]라 하면 문제의 식들을 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(a=a+2d+8\quad\rightarrow\quad d=-4)]

[math(2(a+3d)-3(a+5d)=3)]

[math(\rightarrow -a-9d=-a+36=3,\,a=33)]

따라서 [math(a_n=33-4(n-1)=-4n+37)]이므로 [math(a_k<0)]을 만족시키는 [math(k)]의 최솟값은 [math(10)]

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8번

[해설]

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조건부확률의 정의에 의하여

[math(\begin{aligned}P(B^C\vert A^C)&=\dfrac{P(B^C\cap A^C)}{P(A^C)}=\dfrac{P((A\cup B)^C)}{P(A^C)}\\&=\dfrac{1-P(A\cup B)}{1-P(A)}\\&=\cfrac{1-\dfrac9{10}}{1-\dfrac7{10}}\\&=\cfrac{\dfrac1{10}}{\dfrac3{10}}=\dfrac13\end{aligned})]

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9번

[해설]

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10번

[해설]

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[math(n)]은 자연수이므로 양수이다. 따라서 다음이 성립한다.

[math(0<\dfrac{\sqrt{9n^2+4}}n<\dfrac{\sqrt{na_n}}n<\dfrac{3n+2}n)]

여기에 제곱을 취하면

[math(0<\dfrac{9n^2+4}{n^2}<\dfrac{a_n}n<\dfrac{9n^2+12n+16}{n^2})]

여기에서 조임 정리(샌드위치 정리)에 의하여 다음이 성립한다.

[math(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{9n^2+4}{n^2}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{9n^2+12n+16}{n^2}=9)]

[math(\therefore\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}n=9)]

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11번

[해설]

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점근선의 교점의 좌표는 [math((1,\,5))]이므로 [math(2a+1=5,\,a=2)]이다. 따라서 곡선 [math(y=\dfrac{k}{x-1}+5)]가 [math((5,\,6))]을 지나므로

[math(\dfrac{k}{5-1}+5=6,\,k=4)]

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12번

[해설]

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[math(\begin{aligned}\displaystyle\sum_{k=1}^9(k+1)^2-\sum_{k=1}^{10}(k-1)^2&=\sum_{k=1}^9\left\{(k+1)^2-(k-1)^2\right\}-(10-1)^2\\&=\sum_{k=1}^9 4k-81\\&=4\times\dfrac{9\times 10}2-81\\&=99\end{aligned})]

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13번

[해설]

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[math(Z=\dfrac{X-m}{m/3})]으로 표준화하면

[math(\begin{aligned}{\rm P}\left(X\leq\dfrac92\right)&={\rm P}\left(\dfrac{X-m}{m/3}\leq\dfrac{9/2-m}{m/3}\right)\\&={\rm P}(Z\leq3)=0.5+{\rm P}(0\leq Z\leq 3)\\&=0.5+0.4987=0.9987\end{aligned})]

이 성립하므로 [math(m)]에 관한 다음 식을 얻는다.

[math(\dfrac{9/2-m}{m/3}=3,\,\dfrac92-m=m)]

[math(\therefore2m=\dfrac92,\,m=\dfrac94)]

3.2.2. 14번~21번(객관식 4점)

14번

[해설]

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두 점 사이의 거리가 1 이하인 경우는 두 점의 거리가 1인 경우 밖에 없으므로 여사건을 이용하여 구하는 것이 편하다.
두 점의 거리가 1인 경우는 두 점간의 x좌표만 1차이 나는 경우가 [math(3\times 3)], y좌표만 1차이 나는 경우가 [math 2\times 4]이므로 총 [math(17)]가지이다.
임의의 서로 다른 두 점을 선택하는 경우의 수는 12개의 점 중 2개를 택하는 경우로 66가지이다.
따라서 주어진 확률은 [math(1-\dfrac{17}{66}=\dfrac{49}{66})]이다.

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15번

[해설]

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16번

[해설]

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17번

[해설]

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18번

[해설]

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19번

[해설]

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[math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\dfrac1{n+k}f\!\left(\dfrac{k}{n}\right)&=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\dfrac{\cfrac1n}{1+\cfrac{k}{n}}f\!\left(\dfrac{k}{n}\right)\\&=\displaystyle\int_0^1\dfrac{f(x)}{1+x}\;{\rm d}x\\&=\int_0^1 4x^3\;{\rm d}x\\&=1\end{aligned})]

이 문제를 푸는 편법이 있는데, 대학수학능력시험/수학 영역/여담 참고.

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20번

[해설]

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21번

[해설]

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3.2.3. 22번~30번(단답형)

22번

[해설]

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[math({}_8{\rm C}_6={}_8{\rm C}_2=\dfrac{8\times7}{2\times1}=28)]

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23번

[해설]

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함수 [math(f(x))]가 [math(x=2)]에서 연속이므로 [math(x=2)]에서의 좌극한과 우극한이 같다. 따라서 다음이 성립한다.

[math(a+2=3a-2,\,a=2,\,f(2)=a+2=2+2=4)]

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24번

[해설]

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25번

[해설]

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26번

[해설]

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27번

[해설]

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28번

[해설]

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29번

[해설]

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30번

[해설]

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4. 대학수학능력시험( 2019년 11월 14일)

4.1. 가형

4.1.1. 1~13번(객관식 2~3점)

1번

[해설]

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2번

[해설]

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3번

[해설]

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4번

[해설]

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5번

[해설]

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6번

[해설]

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7번

[해설]

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8번

[해설]

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9번

[해설]

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10번

[해설]

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11번

[해설]

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12번

[해설]

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13번

[해설]

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4.1.2. 14번~21번(객관식 4점)

14번

[해설]

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15번

[해설]

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16번

[해설]

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17번

[해설]

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18번

[해설]

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19번

[해설]

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20번

[해설]

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21번

[해설]

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4.1.3. 22번~30번(단답형)

22번

[해설]

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곱미분을 이용한다.

[math(f'(x)=3x^2\ln x+x^3\cdot\dfrac1x=3x^2\ln x+x^2)]

[math(\therefore f'(e)=3e^2\cdot\ln e+e^3\cdot\dfrac1e=4e^2\quad\rightarrow\quad\dfrac{f'(e)}{e^2}=4)]

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23번

[해설]

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이항 분포의 성질에 의하여

[math({\rm E}(X)=80p=20,\,p=\dfrac14)]

[math(\therefore {\rm V}(X)=80p(1-p)=80\times\dfrac14\times\dfrac34=15)]

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24번

[해설]

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25번

[해설]

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26번

[해설]

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합성함수의 미분법에 의해

[math(g'(1)=10(f^{-1})'(2))]

이다. [math(f(0)=2)]이고, [math(f'(x)=(-x^2+2x-2)e^{-x})]이므로 역함수의 미분법에 의해

[math(f^{-1}(2)=\dfrac{1}{f'(0)}=-\dfrac{1}{2})]

이다. 따라서 [math(|g'(1)|=5)]이다.

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27번

[해설]

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28번

[해설]

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주어진 조건을 만족시키면서 5개의 숫자를 선택하는 경우는 다음과 같은 두 가지 경우가 있다.
(i) 서로 다른 3개의 홀수를 고르고, 같은 짝수 2개를 고르는 경우
(ii) 홀수를 오직 하나만 고르고, 2종류의 짝수를 2개씩 고르는 경우

(i)의 경우, 홀수를 1, 3, 5 모두 고르게 되고 짝수는 2, 4, 6 중 한 종류만 선택하게 되므로 숫자를 선택할 때 3가지 경우가 생긴다.
이때 서로 다른 홀수 3개와 같은 종류의 짝수 2개를 일렬로 나열하는 경우의 수는 [math(3\times\dfrac{5!}{2!}=180)]
(ii)의 경우, 홀수는 3개 중 1개만 고르게 되고, 짝수는 3종류 중 2종류를 고르게 되므로 숫자를 선택할 때 [math(3\times{}_{3}{\rm C}_{2}=9)]가지 경우가 생긴다.
이때 홀수 1개와 짝수 4개를 나열하는데, 짝수 개는 같은 것이 2개씩 있으므로 일렬로 나열하는 경우의 수는 [math(9\times\dfrac{5!}{2!\times2!}=270)]

(i), (ii)에 의하여 모든 경우의 수는 180+270=450이다.

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29번

[해설]

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30번

[해설]

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4.2. 나형

4.2.1. 1~13번(객관식 2~3점)

1번

[해설]

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[math(16\times2^{-3}=16\times\dfrac1{2^3}=\dfrac{16}8=2)]

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2번

[해설]

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집합의 정의에 의하여

[math(a+2=3,\,6=b-1\quad\rightarrow a=1,\,b=7,\,a+b=8)]

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3번

[해설]

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분모의 분자의 차수가 같으므로 다음이 성립한다.

[math(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt{9n^2+4}}{5n-2}=\dfrac{\sqrt9}5=\dfrac35)]

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4번

[해설]

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문제의 식을 전개했을 때 [math(x)]가 나오려면 [math(2x)]를 세 번, [math(\dfrac1{x^2})]을 한 번 택하면 된다. 따라서 [math(x)]의 계수는

[math(2^3\times1^1\times{}_4{\rm C}_3=8\times1\times4=32)]

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5번

[해설]

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[math(\begin{aligned}{\rm P}(A\cup B)&=1-{\rm P}\left((A\cup B)^C\right)\\&=1-{\rm P}\left(A^C\cap B^C\right)\\&=1-\left\{{\rm P}\left(A^C\right)-{\rm P}\left(A^C\cap B\right)\right\}\\&=1-\left(\dfrac23-\dfrac14\right)=\dfrac7{12}\end{aligned})]

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6번

[해설]

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[math(x=a)]일 때 [math(3x^2-ax-32=0)]이 성립하므로

[math(3a^2-a^2-32=0,\,a=4\;(\because a>0))]

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7번

[해설]

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[math(f^{-1}(7)=4)]이므로 [math(f(4)=7)]이다.

[math(\dfrac{k}{4-3}+1=7,\,k=6)]

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8번

[해설]

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그래프를 해석하면 다음과 같다.

[math(\displaystyle\lim_{x\to0+}f(x)-\lim_{x\to1-}f(x)=0-2=-2)]

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9번

[해설]

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생태연구를 선택한 학생의 집합을 [math(E)], 여학생의 집합을 [math(W)]라 하여 조건부확률을 구하면 된다.

[math(P(W\vert E)=\dfrac{P(W\cap E)}{P(E)}=\cfrac{\dfrac{50}{200}}{\dfrac{110}{200}}=\dfrac5{11})]

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10번

[해설]

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위 그림과 같이 [math(k=5)]일 때 교점이 두 개 발생하며, [math(k<5)]이면 교점이 한 개이다.

참고로, 두 함수의 그래프의 교점의 개수는, 두 함수의 역함수의 그래프의 교점의 개수와 같다. 따라서 문제에서 묻는 교점의 개수는, 원래 함수 [math(y=\sqrt{4-2x}+3)]의 그래프와 [math(y=-x+k)]의 역함수의 그래프의 교점의 개수와 같다. 그런데 [math(y=-x+k)]의 역함수는 자기 자신이므로, 그대로 [math(y=\sqrt{4-2x}+3)]의 그래프와 [math(y=-x+k)]의 그래프의 교점을 조사해도 된다. 이 경우에도 위 그림과 같이 [math(k=5)]일 때 교점이 두 개 발생하며, [math(k<5)]이면 교점이 한 개이다.

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11번

[해설]

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[math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\dfrac1nf\!\left(\dfrac{2k}n\right)&=\dfrac12\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\dfrac2nf\!\left(\dfrac{2k}n\right)\\&=\dfrac12\int_0^2f(x)\,dx\\&=\dfrac12\int_0^2(4x^3+x)\,dx\\&=\dfrac12\left[x^4+\dfrac12x^2\right]_0^2\\&=9\end{aligned})]

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12번

[해설]

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[math(f'(x)=-4x^3+16a^2x=-4x(x+2a)(x-2a))]이므로 [math(f(x))]는 [math(x=-2a)]와 [math(x=2a)]에서 극대이다. 만약 [math(-2a=b,\,2a=2-2b)]이면 [math(a=-1,\,b=2)]가 되는데 [math(a>0)]이어야 하므로 모순이다. [math(-2a=2-2b,\,2a=b)]이면 [math(a=1,\,b=2)]이므로 모순이 없다. 따라서 [math(a+b=3)]이다.

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13번

[해설]

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파프리카의 정규분포를 따르는 확률변수를 [math(X)]라 하고 [math(X)]의 평균을 [math(m=180)], 표준편차를 [math(\sigma=20)]이라 하면 답은 다음과 같이 표준화하여 구할 수 있다.

[math(\begin{aligned}{\rm P}(190\leq X\leq 210)&={\rm P}\left(\dfrac{190-180}{20}\leq\dfrac{X-m}{\sigma}\leq\dfrac{210-180}{20}\right)\\&={\rm P}(0.5\leq Z\leq1.5)\\&={\rm P}(0\leq Z\leq1.5)-{\rm P}(0\leq Z\leq0.5)\\&=0.4332-0.1915=0.2417\end{aligned})]

4.2.2. 14번~21번(객관식 4점)

14번

[해설]

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[math(f(x)g(x))]도 다항식이며 (가)에 의해 [math(f(x)g(x))]는 최고차항의 계수가 [math(2)]인 삼차함수이다.
이 때, (나)에 의해 [math(f(x)g(x)=2x^3-4x=2x^2(x-2))]이다. [math(f(2))]가 최대가 되는 [math(f(x)=2x^2)]이고 이 때 [math(f(2))]의 값은 [math(8)]이다.

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15번

[해설]

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16번

[해설]

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17번

[해설]

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18번

[해설]

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19번

[해설]

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주어진 조건을 만족시키면서 5개의 숫자를 선택하는 경우는 다음과 같은 두 가지 경우가 있다.
(i) 서로 다른 3개의 홀수를 고르고, 같은 짝수 2개를 고르는 경우
(ii) 홀수를 오직 하나만 고르고, 2종류의 짝수를 2개씩 고르는 경우

(i)의 경우, 홀수를 1, 3, 5 모두 고르게 되고 짝수는 2, 4, 6 중 한 종류만 선택하게 되므로 숫자를 선택할 때 3가지 경우가 생긴다.
이때 서로 다른 홀수 3개와 같은 종류의 짝수 2개를 일렬로 나열하는 경우의 수는 [math(3\times\dfrac{5!}{2!}=180)]
(ii)의 경우, 홀수는 3개 중 1개만 고르게 되고, 짝수는 3종류 중 2종류를 고르게 되므로 숫자를 선택할 때 [math(3\times{}_{3}{\rm C}_{2}=9)]가지 경우가 생긴다.
이때 홀수 1개와 짝수 4개를 나열하는데, 짝수 개는 같은 것이 2개씩 있으므로 일렬로 나열하는 경우의 수는 [math(9\times\dfrac{5!}{2!\times2!}=270)]

(i), (ii)에 의하여 모든 경우의 수는 180+270=450이다.

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20번

[해설]

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21번

[해설]

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4.2.3. 22번~30번(단답형)

22번

[해설]

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23번

[해설]

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24번

[해설]

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25번

[해설]

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26번

[해설]

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27번

[해설]

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28번

[해설]

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[해설]

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30번

[해설]

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