1. 개요
2의 거듭제곱수를 나열한 문서이다. 거듭제곱 특성 상 초반에는 작지만 조금만 커져도 매우 커지므로 기하급수적으로 증가하기에 210만 되어도 1,000을 넘는다. 그러므로, 편의상 2100까지만 서술한다.2의 거듭제곱이 가장 기본적인 지수형태이자 대표적인 기하급수의 예시이다. n의 값이 작을 때에는 1씩 올려봐야 그리 많이 커지진 않겠지만 10 정도만 넘어도 엄청 커진다. 그런데 이 n의 값이 100 정도 되어버리면 그 값은 우주와 관련된 수에 버금가거나 경우의 수가 아닌 이상 오히려 아득히 초월해버릴 정도로 커진다. 그 이후에도 계속 2배씩 올라가니 (n2)×100이든 n999999999999999든 2n 꼴에서 n의 값이 충분히 커질 수만 있다면 초월해버릴 수 있다.[1]
2. 목록
| 지수 표기 | 값 | 비고 |
| 20 | 1 |
곱셈의
항등원 1 비트(1bit)로 표현 가능한 정보량[2] 홀수인 유일한 2의 거듭제곱수 |
| 21 | 2 | 소수인 유일한 2의 거듭제곱수 |
| 22 | 4 |
M(2)+1 [math(2\uparrow^n2\;(n\in\mathbb N))][3] 1 니블[4]로 표현 가능한 정보량 최초의 합성수 |
| 23 | 8 |
1 바이트(1byte)로 표현 가능한 정보량 M(3)+1 |
| 24 | 16 | [math(a^b=b^a)]를 만족하는 유일한 자연수 |
| 25 | 32 | M(5)+1 |
| 26 | 64 |
제곱수이자 세제곱수인 최초의 수, 즉 최초의 여섯제곱수 ([math((2^2)^3=2^6=64)]) 한 체스판에 존재하는 모든 칸의 개수 |
| 27 | 128 |
M(7)+1 표준 아스키 코드의 모든 글자 수[5] 존재 가능한 모든 IP v4 클래스 A 네트워크의 개수[6] |
| 28 | 256 |
unsigned char자료형의 상한값IPv4, v6의 한 옥텟(octet)이 가질 수 있는 주소의 개수[7] RGB에서 한 색상 채널이 가질 수 있는 심도 깊이 |
| 29 | 512 | 한 디스크 섹터의 바이트 개수 |
| 210 | 1,024 | 1 키비비트(1Kibit)로 표현 가능한 정보량 |
| 211 | 2,048 | 2의 거듭제곱 단위의 숫자를 맞추는 동명의 퍼즐 게임이 존재한다. |
| 212 | 4,096 |
인텔
x86의 하드웨어 페이지 사이즈 4K DCI 디스플레이의 가로 해상도[8] NTFS의 클러스터 사이즈 |
| 213 | 8,192 |
M(13)+1 1 키비바이트(1KiB)로 표현 가능한 정보량 |
| 214 | 16,384 | 존재 가능한 모든 IP v4 클래스 B 네트워크의 개수[9] |
| 215 | 32,768 | |
| 216 | 65,536 |
unsigned short자료형의 상한값크기가 4인 집합에서 정의 가능한 이항 관계의 최대 개수 IP v4 클래스 B 네트워크 안에서 할당 가능한 모든 호스트 주소의 개수[ip] |
| 217 | 131,072 | M(17)+1 |
| 218 | 262,144 | |
| 219 | 524,288 | M(19)+1 |
| 220 | 1,048,576 | 1 메비비트(1Mibit)로 표현 가능한 정보량 |
| 221 | 2,097,152 | 존재 가능한 모든 IP v4 클래스 C 네트워크의 개수[11] |
| 222 | 4,194,304 | |
| 223 | 8,388,608 | 1 메비바이트(1MiB)로 표현 가능한 정보량 |
| 224 | 16,777,216 |
트루컬러로 표시될 수 있는 모든 고유한 색상 개수 IP v4 클래스 A 네트워크 안에서 할당 가능한 모든 호스트 주소의 개수[ip] |
| 225 | 33,554,432 | |
| 226 | 67,108,864 | |
| 227 | 134,217,728 | |
| 228 | 268,435,456 | |
| 229 | 536,870,912 | 10진법으로 썼을 때 각 자릿수가 전부 다른 가장 큰 2의 거듭제곱수 |
| 230 | 1,073,741,824 | 1 기비비트(1Gibit)로 표현 가능한 정보량 |
| 231 | 2,147,483,648 | M(31)+1 |
| 232 | 4,294,967,296 |
unsigned int자료형의 상한값유닉스 시간으로 표현 가능한 모든 순간의 가짓수 IPv4로 할당 가능한 모든 주소의 개수 알파 채널을 포함하는 트루컬러 공간에서 표현 가능한 모든 고유한 색상 개수 |
| 233 | 8,589,934,592 |
1 기비바이트(1GiB)로 표현 가능한 정보량 만약 전세계의 모든 사람들(약 80억 명)이 토너먼트 시합을 할 경우, 33번의 경기로 1등이 결정된다. |
| 234 | 17,179,869,184 | |
| 235 | 34,359,738,368 | |
| 236 | 68,719,476,736 | |
| 237 | 137,438,953,472 | |
| 238 | 274,877,906,944 | |
| 239 | 549,755,813,888 | |
| 240 | 1,099,511,627,776 | 1 테비비트(1Tibit)로 표현 가능한 정보량 |
| 241 | 2,199,023,255,552 | |
| 242 | 4,398,046,511,104 | |
| 243 | 8,796,093,022,208 | 1 테비바이트(1TiB)로 표현 가능한 정보량 |
| 244 | 17,592,186,044,416 | |
| 245 | 35,184,372,088,832 | |
| 246 | 70,368,744,177,664 | |
| 247 | 140,737,488,355,328 | |
| 248 | 281,474,976,710,656 | |
| 249 | 562,949,953,421,312 | |
| 250 | 1,125,899,906,842,624 | 1 페비비트(1Pibit)로 표현 가능한 정보량 |
| 251 | 2,251,799,813,685,248 | |
| 252 | 4,503,599,627,370,496 | |
| 253 | 9,007,199,254,740,992 |
1 페비바이트(1PiB)로 표현 가능한 정보량 9로 시작하는 첫 2의 거듭제곱수 |
| 254 | 18,014,398,509,481,984 | |
| 255 | 36,028,797,018,963,968 | |
| 256 | 72,057,594,037,927,936 | DES 56비트 암호로 만들 수 있는 가능한 모든 키의 개수 |
| 257 | 144,115,188,075,855,872 | |
| 258 | 288,230,376,151,711,744 | |
| 259 | 576,460,752,303,423,488 | |
| 260 | 1,152,921,504,606,846,976 | 1 엑스비비트(1Eibit)로 표현 가능한 정보량 |
| 261 | 2,305,843,009,213,693,952 | M(61)+1 |
| 262 | 4,611,686,018,427,387,904 | |
| 263 | 9,223,372,036,854,775,808 | 1 엑스비바이트(1EiB)로 표현 가능한 정보량 |
| 264 | 18,446,744,073,709,551,616 |
unsigned long int자료형의 상한값[13]IPv6로 할당 가능한 모든 주소의 개수 |
| 265 | 36,893,488,147,419,103,232 | |
| 266 | 73,786,976,294,838,206,464 | |
| 267 | 147,573,952,589,676,412,928 | |
| 268 | 295,147,905,179,352,825,856 | 자릿수에 0부터 9까지 모든 수를 포함하는 첫 2의 거듭제곱수 |
| 269 | 590,295,810,358,705,651,712 | |
| 270 | 1,180,591,620,717,411,303,424 | 1 제비비트(1Zibit)로 표현 가능한 정보량 |
| 271 | 2,361,183,241,434,822,606,848 | |
| 272 | 4,722,366,482,869,645,213,696 | |
| 273 | 9,444,732,965,739,290,427,392 | 1 제비바이트(1ZiB)로 표현 가능한 정보량 |
| 274 | 18,889,465,931,478,580,854,784 | |
| 275 | 37,778,931,862,957,161,709,568 | |
| 276 | 75,557,863,725,914,323,419,136 | |
| 277 | 151,115,727,451,828,646,838,272 | |
| 278 | 302,231,454,903,657,293,676,544 | |
| 279 | 604,462,909,807,314,587,353,088 | |
| 280 | 1,208,925,819,614,629,174,706,176 | 1 요비비트(1Yibit)로 표현 가능한 정보량 |
| 281 | 2,417,851,639,229,258,349,412,352 | |
| 282 | 4,835,703,278,458,516,698,824,704 | |
| 283 | 9,671,406,556,917,033,397,649,408 | 1 요비바이트(1YiB)로 표현 가능한 정보량 |
| 284 | 19,342,813,113,834,066,795,298,816 | |
| 285 | 38,685,626,227,668,133,590,597,632 | |
| 286 | 77,371,252,455,336,267,181,195,264 | |
| 287 | 154,742,504,910,672,534,362,390,528 | |
| 288 | 309,485,009,821,345,068,724,781,056 | |
| 289 | 618,970,019,642,690,137,449,562,112 | M(89)+1 |
| 290 | 1,237,940,039,285,380,274,899,124,224 | 1 론비비트(1Ribit)로 표현 가능한 정보량 |
| 291 | 2,475,880,078,570,760,549,798,248,448 | |
| 292 | 4,951,760,157,141,521,099,596,496,896 | |
| 293 | 9,903,520,314,283,042,199,192,993,792 | 1 론비바이트(1RiB)로 표현 가능한 정보량 |
| 294 | 19,807,040,628,566,084,398,385,987,584 | |
| 295 | 39,614,081,257,132,168,796,771,975,168 | |
| 296 | 79,228,162,514,264,337,593,543,950,336 | |
| 297 | 158,456,325,028,528,675,187,087,900,672 | |
| 298 | 316,912,650,057,057,350,374,175,801,344 | |
| 299 | 633,825,300,114,114,700,748,351,602,688 | |
| 2100 | 1,267,650,600,228,229,401,496,703,205,376 | 1 퀘비비트(Qibit)로 표현 가능한 정보량 |
| 2101 | 2,535,301,200,456,458,802,993,406,410,752 |
3. 성질
3.1. 일의 자릿수의 반복
지수가 하나 올라갈 때마다 ( 십진법 기준) 일의 자릿수가 2, 4, 8, 6으로 반복된다.[14]이를 통해 다음을 구할수 있다.257의 계산 결과의 일의 자릿수를 구하여라.
이런 문제의 답은 [math(\dfrac{지수}4)]를 계산하였을 때 나머지가 1이면 2, 2이면 4, 3이면 8, 0이면 6이다. 따라서 답은 2가 된다.
3.2. 2의 거듭제곱의 부분합
[math(b_n=2^n)]인 수열 [math(\{b_n\})]의 [math(b_0)]부터 처음 [math(n)]개 숫자의 부분합 [math(\displaystyle\sum^{n-1}_{k=0}b_k)]은 항상 [math(b_n-1)]이 된다. 예를 들어 첫 4개의 숫자들의 합인 [math(1+2+4+8=15=16-1=2^4-1)]이다.증명은 다음과 같다. 초항이 [math(a)]이고 공비가 [math(r)]인 등비수열 부분합은 [math(\dfrac{a(r^n-1)}{r-1})]이므로 각각 [math(1)]과 [math(2)]를 대입하면
[math(\dfrac{1(2^n-1)}{2-1}=\dfrac{2^n-1}1=2^n-1=b_n-1)]
분모를 보면 이 성질이 2의 거듭제곱에서만 성립함을 알 수 있다. 여러모로 유용한 성질인데, 2진법의 나눗셈 계산 등은 다른 진법과 다르게 간단하게 끝낼 수 있다.
3.3. 2의 거듭제곱을 모두 더하면?
바로 위 문단에서 부분합의 성질이 나오는데 만약 아예 전부 더하면 어떻게 될까?[math(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} 2^n = 1 + 2 + 4 + 8 + \cdots = \frac{1}{1-2} = -1)]
스리니바사 라마누잔은 2의 거듭제곱의 무한합을 위와 같이 계산했다. 원래는 저 무한합은 양의 무한대로 발산하지만, 복소수 위에서 해석적 접근을 하면[15] 저렇게 된다.
3.4. 완전수와의 관계
[math(2^n-1)]이 소수일 때, 여기에 [math(2^{n-1})]를 곱하면 완전수가 된다. 이 때, 소수인 [math(2^n-1)]을 메르센 소수라고 한다.증명은 다음과 같다. [math(2^n-1)]이 메르센 소수일 때, [math(2^{n-1}(2^n-1))]의 모든 약수들의 집합 [math(D_2)]는 [math(2^{n-1})]의 모든 약수들의 집합 [math(D_1=\{2^{k-1}\,|\,k\in\mathbb N\land k\leq n\})] 에 대해, [math(D_2=\{d(2^n-1)\,|\,d\in D_1\}\cup D_1)] 이다. 또한 항상 [math(2^n-1\gt2^{n-1})] 이므로 [math(\{d(2^n-1)\,|\,d\in D_1\} \perp D_1)] 임이 자명하다.
이제 위에서 언급한 2의 거듭제곱의 부분합 공식을 사용해 보자. 먼저 [math(D_1)]의 합은 다음과 같다.[16]
[math(\displaystyle\sigma_1(2^{n-1})=\sum^n_{k=1}2^{k-1}=\sum^{n-1}_{k=0}2^k=2^n-1)]
이어서 [math(D_2)]의 합을 구해보자.
[math(\displaystyle\sigma_1\left(2^{n-1}(2^n-1)\right)=(2^n-1)\sigma_1(2^{n-1})+\sigma_1(2^{n-1})=2^n\sigma_1(2^{n-1})=2^n(2^n-1))]
이제 이걸 2로 나누어 보자.
[math(\dfrac{2^n(2^n-1)}2=\dfrac{2^n}2(2^n-1)=2^{n-1}(2^n-1))]
약수를 모두 더한 후 2로 나누었더니 자기 자신이 되었다. 따라서 [math(2^{n-1}(2^n-1))]은 완전수이다.
4. 관련 문서
[1]
이와 관련된 이야기로는 한 부자가 젊은이에게 바둑판의 한 판에다 하나의 곡식을 거듭제곱 씩 올라서 그만큼을 가져가라고 했다가 낭패를 본 경우가 있었고, 젊은이가 부자에게 곡식을 거듭제곱으로 3년치 새경을 달라고 하자 부자가 승낙했다가 나중에 엄청나게 불어난 새경을 보고 기절한 이야기도 있다.
[2]
0 또는 1이니까 두 개 아니냐고 생각할 수도 있지만, 한 비트가 특정 상태에서 가질 수 있는 값은 0 아니면 1이니까 단 하나뿐이다. 따라서 후술할 단위들에서 나오는 정보량은 곧 비트의
개수와 일치한다. 예를 들어 1Kibit는 1024bits이고
아스키 문자 128글자정도 담을 수 있는 정보량을 가진다. 해당 비트수로 표현 가능한 가장 큰 정수는 '~로 표현 가능한 상한값'으로 표시한다.
[3]
임의의 자연수에 대해 항상 4로 고정된다.
[4]
4비트. 주로
16진법의 한 자릿수를 말하기 위해 쓰인다.
[5]
왜 256개가 아니냐면, 역사적으로 한 바이트의 첫 비트는 검증용 비트로 따로 사용하느라 남는 공간이 7비트밖에 없었기 때문이다.
[6]
클래스 A네트워크 주소는 2진법 기준
0으로 시작하기에 28-1=7 개가 존재 가능하다.
[7]
왜 상한값(upper bound)가 아니냐면, IP주소의 범위는 0부터 255까지이기 때문이다. 255가 연속된 주소는 흔히
서브넷 마스크로 쓰인다.
[8]
다만 흔히 4K로 불리는
4K UHD 표준은 3840×2160로, 정확히 4096픽셀인 것은 아니다.
[9]
클래스 B네트워크 주소는 2진법 기준 10으로 시작하기에 216-2=14 개가 존재 가능하다.
[ip]
기본 게이트웨이, 브로드캐스트 주소 등 특수 주소 포함.
[11]
클래스 C네트워크 주소는 2진법 기준 110으로 시작하기에 224-3=21 개가 존재 가능하다.
[ip]
[13]
다만 아키텍처나 컴파일러마다 결과가 다르게 나올 가능성이 있다. 가장 확실한 방법은 usize64_t를 사용하는 것이다.
[14]
예시 : 21=2, 22=4, 23=8, 24=16, 25=32.
[15]
즉
해석적 연속(analytic continuation)을 취하면
[16]
[math(\sigma_1)]은 길고 장황한 표기의 편의를 위해 사용한
약수 함수이다. 해당 함수를 몰라도 증명에는 전혀 문제가 없다.