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취른하우스 정리



1. 개요2. 역사3. 정리4. 예시5. 관련 문서

1. 개요

대수학이라고도 부르는, 방정식의 해법과 이론을 다루는 수학의 한 분야 [1]라고 할 수 있는 방정식론의 해결사쯤 되는 정리. 1차방정식부터 n차 방정식들까지 무한 사용이 가능하다.[2] 취른하우스 정리(Tschirnhaus theorem)를 사용하면 n차방정식의 n-1차 항(term)이 압축되어 사라진것처럼 보인다.

2. 역사

1683년 에렌프리트 발터 폰 취른하우스(Ehrenfried Walther von Tschirnhaus)가 그의 논문에서 이를 제안하였다. 이후 이러한 방법은 지롤라모 카르다노(Girolamo Cardano) 또는 스키피오 페로(Scipio Ferreo)등에 의해서 사용된바있다는 언급이 레온하르트 오일러의 1770년 저서 대수학원론(Elements of Algebra)에 언급된바있다. [3]

3. 정리

\text{n차 방정식}
xn+xn−1+xn−2+⋯+xn−n=0 x^n + x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + x^{n-n} = 0 에서
x=y−bnax = y- {b \over \mathbf{n} a} 꼴로 그 n차방정식을 압축 및 재정리할 수 있다는 것이다.
y=bnay = {b \over \mathbf{n} a} 형태의 원형은
1차방정식 ax+b=0 ax+b = 0 에서
x+bna=0x + {b \over \mathbf{n} a} = 0
x=−bnax = -{b \over \mathbf{n} a}
으로부터 찾아볼 수 있다.

4. 예시

2차방정식(quadratic equation)에서의 사용예[4]
ax2+bx1+c=0 a x^2 + b x^1 + c = 0 을
y2+p=0y^2 + p=0 꼴로 정리할수있다.

x2+bax+ca=0,x=y−b2ax^2+{b \over a}x+{c \over a}=0,\qquad x= y- {b \over \mathbf{2} a} 에서
(y−b2a)2+ba(y−b2a)+ca=0 \left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)^2 + {b \over a}\left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)+{c \over a}=0
우선, (y−b2a)2=(y−b2a)(y−b2a)=(y2−b2ay−b2ay+(b2a)2) \left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)^2= \left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)\left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)=\left(y^2-{b \over 2a}y-{b \over 2a}y+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \right)
=(y2−2b2ay+(b2a)2)=(y2−bay+(b2a)2)=\left(y^2-2{b \over 2a}y+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \right)=\left(y^2-{b \over a}y+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \right)
따라서
(y2−bay+(b2a)2)+ba(y−b2a)+ca=0\left(y^2-{b \over a}y+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \right)+ {b \over a}\left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)+{c \over a}=0
(y2−bay+(b2a)2)+(bay−bab2a)+ca=0\left(y^2-{b \over a}y+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \right)+ \left({b \over a}y- {b \over a}{b \over \mathbf{2} a} \right)+{c \over a}=0
(y2−bay+(b2a)2)+(bay−b22a2)+ca=0\left(y^2-{b \over a}y+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \right)+ \left({b \over a}y- {b^2 \over \mathbf{2} a^2} \right)+{c \over a}=0
y^2 \cancel{-{b \over a}y}+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \cancel{+ {b \over a}y}- {b^2 \over \mathbf{2} a^2} +{c \over a}=0
y2+(14(ba)2−12(ba)2)+ca=0y^2 + \left( {1 \over 4}\left({b \over a} \right)^2 - {1 \over 2}\left({b \over a} \right)^2 \right)+{c \over a}=0
y2−14(ba)2+ca=0y^2 - {1 \over 4}\left({b \over a} \right)^2 +{c \over a}=0
y2−(b24a2)+ca=0y^2 - \left({b^2 \over 4a^2} \right) +{c \over a}=0
y2=b24a2−cay^2 ={b^2 \over 4a^2} -{c \over a}
y2=ab2−4a2c4a3y^2 ={{ab^2 -4a^2c}\over 4a^3}
y2=b2−4ac4a2y^2 ={{b^2 -4ac}\over 4a^2}
y2=±b2−4ac22a2\sqrt{y^2} = \pm \sqrt{{{b^2 -4ac}\over 2^2 a^2} }
y=±b2−4ac2ay = \pm {{\sqrt{b^2 -4ac} }\over {2a} }
계속해서
x=y−b2a x= y- {b \over \mathbf{2} a}
x=±b2−4ac2a−b2a x= \pm { {\sqrt{b^2 -4ac} }\over {2a} } - {b \over {2a} }

∴x=−b±b2−4ac2a\displaystyle \therefore x= { { -b\pm \sqrt{b^2 -4ac} } \over {2a} }

이렇게 바로 근의 공식이라고 부르는 것이 유도된다.

3, 4차 방정식의 근의 공식을 유도할 때도 사용된다.

5. 관련 문서

[1] 우리말샘. [2] Elements of Algebra ,Leonhard Euler (레온 하르트 오일러) 1765 , Jose ph-Louis Lagrange (조제프루이 라그랑주) additions 1771 Johann Bernoulli III1771, John Hewlett ’s 1822 LO NGMAN ,HURST,REE S,ORME– (구글북스,구글도서)https://books.google.com/ [3] ( ELEMENTS OF ALGEBRA , EULER, LEONARD, ADDITIONS OF M. DE LA GRANGE Publication date 1822 (3RD EDITION) West Bengal Public Library Publisher GEORGE ROUTLE, LONDON Collection digitallibraryindia; JaiGyan Language English Source: West Bengal Public Library Network Source Identifier: handle/10689/15977) - SECTION IV CHAPTER XII (294pf632) 인터넷 아카이브- https://archive.org/details/dli.bengal.10689.15977 [4] ACTA ERUDITOR UM: ANN O MDCLXXX IIIpublicata, ac SERE NISSIM O FRATR UM PAR I (1683) -P 204-207(4) , MET HODUS AUFERE NDI OMNES TER-minos intermedios ex data equatione, per D.T. (에렌프리트 발터폰취른하우스) Ehrenfried Walther von Tschirnhaus ,(구글북스) https://books.google.com/

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