1. 개요
Electric potential중력장에서 중력 퍼텐셜 에너지를 도입했듯, 보존장인 전기장에서도 유사하게 퍼텐셜 개념을 도입한 것이다. 다만, 이 경우는 단위 전하에 대해서 생각하며, 일반적으로 무한 원점으로부터 해당 지점까지 단위 전하를 가져다 놓기 위해 필요한 일을 의미한다.
'전위'라고도 한다. 이것의 차이를 전압이라고 한다.
2. 상세
기준점 [math( \mathbf{d_{0}} )]로부터 어떤 지점 [math( \mathbf{d} )]까지 전기장 영역 [math( \mathbf{E} )]에서 단위 시험 전하를 옮길 때 전기 퍼텐셜 차이를 전위차 [math( \displaystyle \mathit{\Delta}\Phi )]라 하며, 다음과 같이 정의된다.[1][math( \displaystyle \mathit{\Delta} \Phi= \Phi(\mathbf{d})-\Phi(\mathbf{d_{0}}) \equiv - \int_{\mathbf{d_{0} }}^{\mathbf{d}} \mathbf{E(r)} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{r} )]
이때, 기준점 [math( \mathbf{d_{0}} = \infty )] 즉, 무한 원점으로 잡은 것을 [math( \mathbf{d} )]에서의 전기 퍼텐셜 [math( \displaystyle \Phi(\mathbf{d}) )]이라 한다. 즉,
[math( \displaystyle \Phi(\mathbf{d}) \equiv - \int_{ \infty}^{\mathbf{d}} \mathbf{E(r)} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{r} )]
이다. 다만, 주의할 것은 전기 퍼텐셜을 이렇게 정의하는 것은 무한 원점에서 원천 전하가 무한한 값을 갖지 않을 때만 가능하다. 즉, 원천 전하가 무한한 지점까지 분포돼있는 상황은 기준점을 임의로 잡아야 한다. 전기 퍼텐셜 [math( \Phi )]은 단위 시험 전하를 기준으로 하나, 전하량 [math( q )]인 시험 전하의 전기적 위치 에너지 [math( U )]는 다음과 같이 주어진다.
[math( U=q\Phi )]
전기 퍼텐셜은 스칼라 물리량이며, 단위는 [math( \textrm{J}/\textrm{C} )]이고, 이를 일반적으로 [math( \textrm{V} )](Volt)라 한다.
2.1. 도입의 장점
전기 퍼텐셜이 도입된 것은 다양한 정전기적 상황에 대한 문제 풀이가 쉽기 때문이다. 전기 퍼텐셜은 스칼라 물리량이라 다루기도 쉽고, 아무리 복잡한 상황이라도 아래 후술할 편미분 방정식으로 퍼텐셜 분포를 알아낼 수 있다.거기에다 전기 퍼텐셜만 알아내면, 그 영역에서의 전기장 또한 그레이디언트를 취하여 얻을 수 있으므로 여러모로 편리한 물리량이다.
3. 등전위선
전기력선이 전기장의 방향을 연속적으로 연결한 것이라면, 등전위선은 전기 퍼텐셜이 같은 영역을 선으로 이은 것이다.전기 퍼텐셜이 같다는 말은 곧, 해당 영역에서 전하가 하거나 받는 일이 없음을 나타낸다. 이렇게 되려면, 전하의 이동 방향과 전기장의 방향은 서로 직교하여야 한다. 따라서 등전위선은 전기력선에 직교하게 분포한다.[2]
따라서 등전위선 위에서 전하가 움직일 때, 받는 전기력이 하는 일은 없다.
아래 그림은 같은 전하량이나 다른 부호인 두 전하가 일정 거리만큼 떨어져 있을 때, 전기력선(실선)과 등전위선(점선)을 동시에 나타낸 것이다.
3.1. 고립된 도체
전기장 문서에서 고립된 정전기적 평형 상태의 도체 내부엔 전기장 [math( \mathbf{E}=0 )]임을 논의했고, 후술하겠지만, 전위는 경계면에서 연속이어야 한다.이것을 종합해보면, 도체 내부에는 전기장이 존재하지 않기 때문에 전하의 전기 퍼텐셜 변화는 없다. 그 이유는 전기장이 존재하지 않기 때문에 일을 하거나 받지 않기 때문이다. 따라서 도체 내부는 등전위이다.
그런데, 경계면을 기준으로 전위는 연속이어야 하기 때문에 결국 다음을 얻는다.
| 정전기적 평형 상태의 고립된 도체 내부는 도체 표면과 등전위를 이룬다. |
또한 도체 표면 위에서 전기장은 수직하므로 도체 위에서 전기장이 하는 일은 없다. 이 의미는 곧 도체 표면 위의 어떤 경로든 전위의 변화가 없다는 의미와 같고, 이는 곧 도체 표면 위는 항상 등전위가 되어야 함을 의미한다.
4. 전기 퍼텐셜과 전기장과의 관계
전기 퍼텐셜 [math( \Phi )]와 전기장 [math( \mathbf{E} )]와의 관계는 다음과 같다.[math( \displaystyle \mathbf{E} = -\boldsymbol{\nabla} \Phi )]
따라서 전기장 문서에 있는 여러 가지 상황에 대해 전기 퍼텐셜을 도입할 수 있다. 물론, 맨 위의 정의로도 유도할 수 있음을 참고하자.
-
단일 원천 전하
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math( \displaystyle \Phi(\mathbf{r}) =\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q' }{ \left| \mathbf{r-r'} \right| } \,\, [\textrm{V}] )] }}}
-
원천 전하가 다량 존재하는 경우
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math( \displaystyle \Phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \sum_{i=1}^{N} \frac{q'_{i} }{ \left| \mathbf{r-r'}_{i} \right| } \,\, [\textrm{V}])] }}}
-
연속체[3]
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math( \displaystyle \Phi(\mathbf{r}) =\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \iiint \frac{\rho (\mathbf{r'}) }{ \left| \mathbf{r-r'} \right| } \, dV' \,\, [\textrm{V}] )] }}}
5. 전기 쌍극자의 전기 퍼텐셜
6. 정전기학의 경계치 문제
6.1. 경계 조건
정전기학 문제를 푸는 편미분 방정식을 살펴보기 전에 정전기학의 경계 조건에 대해 알아보자 첫 번째 조건은, 경계면을 가로지를 때, 전위는 연속이어야 한다. 즉,[math( \displaystyle \Phi_{1}=\Phi_{2} )]
이것의 증명은 다음으로 주어진다.
위 그림에서
[math( \displaystyle \Phi_{2}-\Phi_{1}=-\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}} \mathbf{E} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{r} )]
이다. 여기서 [math( \displaystyle \Phi_{i} )]는 매질 [math( i )]에서의 전기 퍼텐셜을 뜻한다. 일반적으로 전기장은 무한한 값을 가질 수 없으므로 [math( \displaystyle l \rightarrow 0 )]이면, 선적분 값은 [math( 0 )]으로 수렴함에 따라
[math( \displaystyle \Phi_{2}-\Phi_{1}=0 )]
이 된다. 사실 엄밀하게는 라플라스 방정식의 성질을 논의하면서 전위가 연속임을 밝혀내나, 초급적인 방법으로 증명했다.
두 번째 조건은, 전기장 문서에서 '전기장의 경계 조건'에 대해 논의했듯,
[math( \displaystyle \mathbf{E_{2}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{n}}- \mathbf{E_{1}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{n}}=\frac{ \sigma }{ \varepsilon_{0} } )]
인데 이것을 다시 쓰면,
[math( \displaystyle (-\boldsymbol{\nabla} \Phi_{1}) \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{n}}- (-\boldsymbol{\nabla} \Phi_{1}) \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{n}}=\frac{ \sigma }{ \varepsilon_{0} } )]
이며 [math(\partial \Phi/\partial n = \boldsymbol{\nabla} \Phi \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{n}})] 라고 정의하면
[math( \displaystyle \frac{\partial \Phi_{1}}{\partial n}-\frac{\partial \Phi_{2}}{\partial n}=-\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}} )]
을 만족해야 함을 얻는다.
6.2. 편미분 방정식
위에서 논의한 전기 퍼텐셜을 구하는 방법은 단순한 상황에 대해선 강력한 방법으로 작용한다. 다만, 복잡한 상황의 경우엔 위의 방법으로는 한계가 있다. 따라서 이 경우엔 편미분 방정식을 이용하여야 한다.전기 퍼텐셜과 전기장의 관계는
[math( \displaystyle \mathbf{E} = -\boldsymbol{\nabla} \Phi )]
라 밝혔고, 가우스 법칙 문서에서
[math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}} )]
이었으므로 두 식을 결합하면,
[math( \displaystyle {\nabla}^{2} \Phi = -\frac{\rho}{\varepsilon_{0}})]
이 된다.
이때, 전하가 없는 영역은 전하 밀도 [math( \rho=0 )]이므로
[math(\displaystyle {\nabla}^{2} \Phi = 0)]
이 되는데, 이런 편미분 방정식을 라플라스 방정식이라 한다. 따라서 이 방정식을 풀면, 전하가 존재하지 않는 영역의 전기 퍼텐셜 분포를 알 수 있고, 전하 분포가 존재하는 영역에서는
[math(\displaystyle {\nabla}^{2} \Phi = -\frac{\rho}{\varepsilon_{0}})]
으로 주어지고, 이것은 푸아송 방정식이다. 이 방정식을 풀면 전하가 있는 영역에서도 전기 퍼텐셜의 분포를 알 수 있다.
6.3. 영상법
또, 하나의 전기 퍼텐셜을 구하는 방법엔 영상법(Method of image charges)이 있다.영상법은 문제 상황에 만족하는 영상 전하를 추가하여 문제를 푸는 방법이다. 이 방법의 타당성은 라플라스 방정식의 유일성 정리로 얻을 수 있다. 이 방법의 강력한 장점은 무한 평면, 구, 원통 등의 대칭성을 갖는 도체를 영상 전하로 처리하여 쉽게 문제를 풀 수 있다는 장점이 있다.
주의할 것은 전위를 구하는 영역에 대해선 영상 전하를 놓으면 안 된다는 것이다.
이 방법은 설명보다 예제로 이해하는 것이 더 쉽다. 대표적인 아래의 두 예제를 보도록 한다.
6.3.1. 무한 도체 평면
위 그림과 같이 [math( xz )]평면에 놓이고, 접지된 무한한 도체판을 고려하며, 이 때문에 [math( y=0 )]에서 전기 퍼텐셜은 [math( \Phi=0 )]이 된다. 이때, [math( (0, \, d, \, 0 ) )]에 전하 [math( q )]를 놓았을 때, [math( y>0 )]에서 퍼텐셜 분포를 구해보자.
영상 전하는 [math( y<0 )]에 놓아야 하고, [math( y=0 )]에서 전기 퍼텐셜은 [math( \Phi=0 )]을 만족해야 한다. 이런 영상 전하는 쉽게 구해지며, 그것은 [math( (0, \, -d , \, 0 ) )]에 영상 전하 [math( q'=-q )]를 놓으면 된다. 이렇게 하면, 도체 판으로부터 두 전하는 서로 같은 거리에 떨어져있고, 전하량은 부호만 다를 뿐이므로, 위에서 제시했던 단일 원천 전하의 전기 퍼텐셜을 선형적으로 결합하면, [math( y=0 )]에서 전기 퍼텐셜은 [math( \Phi=0 )]을 만족한다는 것 또한 쉽게 보일 수 있다.
따라서 [math( y>0 )]에서 퍼텐셜 분포는 [math( q )], [math( q'=-q )] 두 전하에 의한 전기 퍼텐셜의 선형 결합이므로 다음임을 얻는다.
[math( \displaystyle \Phi(x,\,y,\,z)=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left [ \frac{1}{\sqrt{(x-d)^{2}+y^{2}+z^{2} }} - \frac{1}{\sqrt{(x+d)^{2}+y^{2}+z^{2} }} \right ] )]
따라서 위 논의는 무한한 도체 판을 위의 위치에 놓인 영상 전하 [math( q'=-q )]로 두고 생각할 수 있으므로 문제가 간결해짐을 알 수 있다. 또한, 전기력선은 다음과 같이 형성됨을 쉽게 알 수 있다.
상기할 것은 점선 부분은 영상 전하를 놓은 부분이므로 해가 아니라는 것이다. 따라서 영상법으로 푼 정전기학 문제는 실선 부분만 유효하다.
6.3.2. 접지된 도체 구
중심이 원점인 도체 구가 접지돼있을 때, 도체 구 내부 [math( z )]축[4] 위의 [math( z=z_{0} )]에 [math( q )]가 놓여있을 때, 도체구 내부의 퍼텐셜 분포를 알아보자.
도체 구의 효과를 내는 영상 전하를 [math( q ' )]라 하고, 도체 구 외부이며, [math( z )]축 위의 [math( z=z ' )]에 놓자. 이때, 도체 구가 접지돼있으므로 [math( r=R )]에서 퍼텐셜 [math( \Phi=0 )]이 돼야한다. 따라서 도체 구 위의 점 [math( \textrm{P} )]에서
[math( \displaystyle \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left [ \frac{q}{\left | \mathbf{r_{1}} \right |}+\frac{q '}{\left | \mathbf{r_{2}} \right |} \right ]=0 )]
를 만족해야 한다. 이때, [math( \mathbf{r}=R \mathbf{\hat{r}} )], [math( \mathbf{r_{1}}=z_{0} \mathbf{\hat{z}} -R \mathbf{\hat{r}} )], [math( \mathbf{r_{2}}=z ' \mathbf{\hat{z}} -R \mathbf{\hat{r}} )]이므로 최종적으로
[math( \displaystyle \frac{q}{\left | z_{0} \mathbf{\hat{z}} -R \mathbf{\hat{r}} \right |}=-\frac{q '}{\left | z ' \mathbf{\hat{z}} -R \mathbf{\hat{r}} \right |} )]
가 되고, 이것을 다시 쓰면,
[math( \displaystyle \frac{q/z_{0}}{\left | \mathbf{\hat{z}} -(R/z_{0}) \mathbf{\hat{r}} \right |}=-\frac{q '/R}{\left | (z '/R) \mathbf{\hat{z}} - \mathbf{\hat{r}} \right |} )]
가 된다. 이것은
[math( \displaystyle \frac{q}{z_{0}}=-\frac{q '}{R}\qquad \qquad \left | \mathbf{\hat{z}} -\frac{R}{z_{0}} \mathbf{\hat{r}} \right |=\left | \frac{z '}{R} \mathbf{\hat{z}} - \mathbf{\hat{r}} \right | )]
를 만족해야 함을 나타낸다.
이 두 식을 이용하면, 영상 전하의 전하량과 위치를 얻는다.
[math( \displaystyle q'=-\frac{R}{z_{0}}q, \qquad \qquad z'=\frac{R^{2}}{z_{0}} )]
이상에서 구하는 영역의 퍼텐셜 분포는 전하 [math( q )]와 영상 전하 [math( q ' )]의 전기 퍼텐셜을 선형 결합 한 것이다.
이 경우의 전기력선은 다음과 같이 나오게 된다.
이 경우또한, 주의할 점은 실선 부분만 유효한 해이며, 점선 영역의 해는 유효한 해가 아니다.
참고로 이 물음은 위 문제 상황에서 [math(q)]가 도체구 외부에 있는 상황에서도 동일한 결과를 얻는다.
6.3.3. 평행한 두 선전하
위 그림과 같이 [math(yz)]평면 위에 [math(y)]축과 평행한 방향의 선전하가 원점을 기준으로 같은 거리 [math(d)]만큼 떨어져있다. 두 선전하의 밀도의 절댓값은 [math(\lambda)]로 같고, 부호가 다르다.
우선 선전하 밀도가 [math(\lambda)]인 대전된 무한 도선에서 [math(\rho)]만큼 떨어진 곳에서의 전기 퍼텐셜은
| [math(\begin{aligned} \Phi(\rho)=-\frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_{0}} \ln{\biggl(\frac{\rho}{\rho_{0}} \biggr)} \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} -\frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_{0}} \ln{\biggl(\frac{\rho_{+}}{\rho_{0}} \biggr)}+\biggl[-\frac{-\lambda}{2\pi \varepsilon_{0}} \ln{\biggl(\frac{\rho_{-}}{\rho_{0}} \biggr)}\biggr]=\frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_{0}} \ln{\biggl(\frac{\rho_{-}}{\rho_{+}} \biggr)} \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} \rho_{+}&=\sqrt{(x-d)^{2}+y^2} \\\rho_{-}&=\sqrt{(x+d)^{2}+y^2} \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_{0}} \ln{\biggl(\frac{\rho_{-}}{\rho_{+}} \biggr)}=\sf{const.} \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} \frac{\rho_{-}}{\rho_{+}} \equiv m \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} x^2+\biggl[y-\frac{m^2+1}{m^2-1}d \biggr]^2=\biggl[ \frac{2m}{m^2-1}d\biggr]^2 \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} y_{0}&=\frac{m^2+1}{m^2-1}d && \cdots \small{\rm (I)} \\ R&=\frac{2m}{|m^2-1|}d&& \cdots \small{\rm (I\!I)} \end{aligned})] |
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다음 그림
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과 같이 속이 빈 원통형 도체가 있고, 선전하 [math(\lambda)]가 있다. 정전기적 평형 상태의 도체는 그 표면이 등전위인데, 그런데 이미 윗 문단으로부터 평행한 두 선전하가 있을 때, 등전위는 원통형으로 생긴다는 사실을 알아냈다. 따라서 영상 전하 [math(-\lambda)]를 [math(\lambda)]와 원점으로부터 동일 거리에 놓음으로써 원통형 도체를 대치할 수 있다. 이러한 경우는 (a)와 같이 [math(\lambda)]가 도체 외부에 있을 때와 (b)와 같이 도체 내부에 있을 때로 나눌 수 있다.
이제 [math(\lambda)]와 원통의 중심과의 거리 [math(\delta)]를 구하자. (a), (b)에서
| [math(\begin{aligned} \delta & =\biggl| \frac{m^2+1}{m^2-1}d-d \biggr|\\&=\frac{2}{|m^2-1|}d \\&=\frac{R}{m} \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} m=\frac{R}{\delta} \end{aligned})] |
첨언으로 회색 영역만이 영상법을 적용했을 때 유효한 해를 얻게된다. 이것은 아래에서도 계속된다.
이번에는 반지름이 각각 [math(R_{1})], [math(R_{2})]인 두 속이 빈 원통 도체를 그림과 같이 중심 간의 거리가 [math(\Delta)]인 상태로 배열했다고 하자.
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그리고, 두 도체의 전위차를
| [math(\begin{aligned} \Phi_{1}-\Phi_{2}=V \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} V=\frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_{0}} [ \ln{m_{1}}- \ln{m_{2}} ] \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} \lambda=V \biggl[\frac{1}{2\pi \varepsilon_{0}} \ln{\biggl(\frac{m_{1}}{m_{2}} \biggr)} \biggr]^{-1} \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} R_{1}^{2}&=x_{0,\,1}^{2}-d^{2} \\ R_{2}^{2}&=x_{0,\,2}^{2}-d^{2} \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} \Delta=x_{0,\,2}-x_{0,\,1} \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} d=\biggl[\biggl(\frac{R_{1}^2+R_{2}^2-\Delta^2}{2\Delta} \biggr)^{2}-R_{2}^{2} \biggr]^{1/2} \end{aligned})] |
마지막으로 그림과 같은 상황을 분석해보자. 그림과 같이 반지름이 각각 [math(R_{1})], [math(R_{2})]인 두 속이 빈 원통 도체를 그림과 같이 중심 간의 거리가 [math(\Delta)]인 상태로 배열했다.
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영상 전하는 위와 같이 놓는다. 그리고, 두 도체의 전위차를 위와 동일하게
| [math(\begin{aligned} \Phi_{1}-\Phi_{2}=V \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} \lambda=V \biggl[\frac{1}{2\pi \varepsilon_{0}} \ln{\biggl(\frac{m_{1}}{m_{2}} \biggr)} \biggr]^{-1} \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} R_{1}^{2}&=x_{0,\,1}^{2}-d^{2} \\ R_{2}^{2}&=x_{0,\,2}^{2}-d^{2} \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} \Delta=x_{0,\,2}-x_{0,\,1} \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} d=\biggl[\biggl(\frac{R_{1}^2+R_{2}^2-\Delta^2}{2\Delta} \biggr)^{2}-R_{2}^{2} \biggr]^{1/2} \end{aligned})] |
다음은 영상법을 이용한 비동축 원통형 축전기의 전기력선을 시각화해본 것이다.
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7. 정전기 에너지
7.1. 개요
정전기 에너지(Electrostatic energy)는 어떤 계에 놓인 전하들의 모든 전기적 위치 에너지를 합한 것이다.2개 이상의 전하[5]는 서로에게 전기력을 미치기 때문에 어떤 계에 전하들을 원하는 위치로 놓기 위해선 에너지가 필요하다. 따라서 그 에너지만큼의 일을 해주면, 전하들을 배치할 수 있고, 그와 동시에 전하들은 각각 전기적 위치 에너지를 갖게 되는데, 그 합이 그 계의 정전기 에너지라는 것이다.
중력장으로 이해하면 쉽게 이해할 수 있다. 지표면에 있는 물체를 어느 높이에 배치하기 위해선 에너지가 필요하며, 그 에너지만큼의 일을 해야 해당 높이에 물체를 배치할 수 있다. 그리고, 그만큼 물체는 중력 퍼텐셜 에너지를 갖게 되는 것과 같은 이치다.
정리하면, 2개 이상의 전하는 배치돼 있는 것만으로도 퍼텐셜 에너지를 갖게 되는데 이것을 ‘정전기 에너지’라 하는 것이다.
7.2. 상세
전하 [math( q_{1} )]이 배치되어 있고, [math( q_{2} )]를 [math( r_{12} )][참고]의 거리에 위치 시킨다고 해보자. 이때, 계의 정전기 에너지는 [math( q_{2} )]를 무한원점으로 부터 [math( r_{12} )]까지 이동시키는 데 필요한 일이므로 [math( q_{2} )]의 위치에서 받는 전기 퍼텐셜에 자신의 전하량 [math( q_{2} )]을 곱한 값이다.[7][math( \displaystyle U=q_{2} \left(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{1}}{r_{12}} \right)=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{1}q_{2}}{r_{12}} )]
가 된다. 여기에 또 다시 전하 [math( q_{3} )]를 배치한다면, 같은 방법으로
[math( \displaystyle U=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left[ \frac{q_{1}q_{2}}{r_{12}}+\frac{q_{1}q_{3}}{r_{13}}+\frac{q_{2}q_{3}}{r_{23}} \right] )]
이것을 다시 쓰면,
[math( \displaystyle U=\left [ q_{2}\left ( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{1}}{r_{12}} \right )+q_{3}\left ( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{1}}{r_{13}}+ \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{2}}{r_{23}} \right ) \right ] )]
전하는 다량 배치 가능하므로 합의 기호를 쓰자. 계에 전하가 총 [math( N )]개 있다면,
[math( \displaystyle U=\sum_{i=1}^{N}q_{i}\left [ \sum_{j=1}^{i-1} \left ( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{j}}{r_{ij}} \right ) \right ]=\sum_{i=1}^{N}\sum_{j<i}^{N}q_{i} \left ( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{j}}{r_{ij}} \right ) )]
이때, 위 식은 아래와 같이 쓸 수 있다.
[math( \displaystyle U=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}\sum_{j \neq i=1}^{N}q_{i} \left ( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{j}}{r_{ij}} \right ) )]
아래와 같이
[math( \displaystyle \sum_{j \neq i=1}^{N} \left ( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{j}}{r_{ij}} \right ) \equiv \Phi_{i} )]
즉, 전하 [math( q_{i} )]의 위치 에서 계의 전기 퍼텐셜 합을 위와 같이 정의하면,
[math( \displaystyle U=\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{2} q_{i}\Phi_{i} )]
연속체의 경우엔 [math( q_{i} \rightarrow dq(\mathbf{r})=\rho(\mathbf{r})\, dV )], [math( \Phi_{i} \rightarrow \Phi(\mathbf{r}) )]가 되고, 합은 적분으로 대치된다. 따라서
[math( \displaystyle U=\int \frac{1}{2}dq(\mathbf{r})\Phi(\mathbf{r})=\iiint \frac{1}{2}\rho(\mathbf{r})\Phi(\mathbf{r})\,dV )]
가 된다.
위에선 부피에 전하가 분포할 때만 다뤘지만, 면이나 선에 분포하는 전하도 표면 전하 밀도, 선 전하 밀도를 도입하면 계산할 수 있다.
7.3. 에너지 밀도
위에서 논의했던[math( \displaystyle U=\iiint_{V} \frac{1}{2}\rho\Phi\,dV )]
에서 [math( \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E}=\rho/\varepsilon_{0} )]임을 이용하면,
[math( \displaystyle U= \frac{\varepsilon_{0}}{2} \iiint_{V} \Phi(\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E})\,dV )]
이때, 벡터 항등식
[math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} (\Phi\mathbf{E}) = \Phi (\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E})+\mathbf{E} \boldsymbol{\cdot} (\boldsymbol{\nabla} \Phi) )]
을 사용하면,
[math( \displaystyle U= \frac{\varepsilon_{0}}{2} \left[ \iiint_{V} \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} (\Phi\mathbf{E})\,dV-\iiint_{V} \mathbf{E} \boldsymbol{\cdot} (\boldsymbol{\nabla} \Phi)\,dV \right] )]
이고, 발산 정리를 이용하고, [math( -\boldsymbol{\nabla}\Phi=\mathbf{E} )]를 이용하면,
[math( \displaystyle U= \frac{\varepsilon_{0}}{2} \left[ \iint_{S} (\Phi\mathbf{E})\boldsymbol{\cdot} d\mathbf{a}+\iiint_{V} E^{2}\,dV \right] )]
이때, [math( V )]를 무한한 부피로 보내면, 전하 분포가 유한할 때, [math( \mathbf{E} )]와 [math( \Phi )]는 [math( 0 )]으로 수렴하므로 좌변의 제 [math( 1 )]항은 없어진다.
[math( \displaystyle U= \iiint_{V} \frac{1}{2}\varepsilon_{0} E^{2}\,dV )]
여기서 나온
[math( \displaystyle \frac{1}{2}\varepsilon_{0} E^{2} \equiv u )]
라 하고, 이것을 에너지 밀도라 한다. 주의해야 할 것은 적분 구간이 전체 공간 이라는 점을 인지하여야 한다는 것이다.
구하는 영역이 물질 속에 있을 경우 에너지 밀도는 다음과 같이 주어진다.
[math( \displaystyle u= \frac{1}{2}\mathbf{E} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{D} )]
로 주어진다. [math( \mathbf{D} )]는 전기 변위장이다.
8. 관련 예제
9. 관련 문서
[1]
전기장이 보존장임을 이용하고, 보존력이 한 일은 퍼텐셜 에너지 변화량에 마이너스를 붙인 값과 같다는 것을 이용하면, 아래 식 또한 증명할 수 있다. 자세한 건
보존력 문서 참조.
[2]
수학적으로는 좀더 일반적인 결과가 성립하는데,
그래디언트 벡터는 항상 등위선/등위면과 수직임이 알려져 있다.
[3]
위에서도 밝혔듯, 전하 분포가 무한하다면, 아래의 정의는 쓸 수 없다.
[4]
직교 좌표계의 [math( z )]축이 아니라 [math( \mathbf{\hat{r}} )] 방향 중 특정한 방향을 [math( z )]축으로 설정한 것이다.
[5]
단일 전하는 전기장 영역에 있지 않기 때문에 무한 원점에서 원하는 위치까지 배치시켜봤자 필요한 일이 없으므로 정전기 에너지는 없다.
[참고]
[math( r_{ij} )]는 전하 [math( i )]로 부터 [math( j )]까지 거리를 의미한다.
[7]
위에서 언급했듯, 전기 퍼텐셜은 전기장 영역에서 무한 원점으로 부터 원하는 위치까지 옳기는 데 단위 시험 전하에 필요한 힘이라 했다.