1. 개요
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Sleeping Beauty Problem
잠자는 미녀(의) 문제, 잠자는 숲속의 공주 문제 등으로도 불린다.
확률론의 사고실험 내지는 역설의 하나. 확률이 1/2이냐 1/3이냐로 갈리는 걸 보면 몬티 홀 문제가 떠오르지만 내막은 오히려 베르트랑 역설(Bertrand paradox)[1]과 비슷한 점이 많다. 즉 이산적인 확률에 대해서도 가능성이 같은 사건이라는 게 애매하기에 생긴 문제로 현재까지도 일관된 합의는 존재하지 않고 논쟁 중에 있다.
2. 내용
잠자는 숲속의 미녀에서 모티브를 따온 실험이다. 진행과정은 다음과 같다.- 미녀는 일요일에 실험의 모든 진행과정에 대해 전달받고 잠이 든다.
- 실험의 시작과 동시에 동전을 던진다. 미녀에게는 알리지 않고 실험자만 알고 있는다.
- 동전의 앞면이 나왔다면, 미녀를 월요일에 깨워 동전의 확률에 관한 "질문"을 한다. 이후 기억 소거제를 이용해 월요일의 기억을 완전히 지우고 다시 재운다. 화요일에는 깨우지 않는다.
- 동전의 뒷면이 나왔다면, 미녀를 월요일에 깨우고 "질문"을 한 후 월요일의 기억을 지우고 재운다. 화요일에도 미녀를 깨워서 "질문"을 한 후 화요일의 기억을 지우고 다시 재운다.
- 수요일에는 미녀를 깨우고 실험을 종료한다.
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우리가 미녀를 깨웠을 때 미녀에게 묻는 그 "질문"이란 다음과 같다.
실험 시작 시 던진 동전에서 앞면이 나왔을 확률은 얼마인가? - 질문을 할 때 오늘이 무슨 요일인지, 미녀가 몇 번째 깨어난 것인지에 대한 정보는 일절 주지 않는다.
직관적으로 생각하면 '동전을 던졌는데 당연히 1/2지'라고 생각할 수 있다. 그러나 미녀의 입장에서는 '내가 일어났다' 라는 정보가 핵심적이다. 동전의 앞면이 나온 경우, 미녀는 한 번 밖에 일어날 수 없다. 동전의 뒷면이 나온 경우, 미녀는 두 번 일어날 수 있다. 그러나 기억이 소거되었기에 미녀는 자신이 몇 번 일어났는지는 알 수 없다. 이 때문에 철학적 논쟁의 대상이 된 것이다.
3. 해석
3.1. 답은 1/3이다.
애덤 엘가의 주장이다.질문을 받았을 때 가능한 사건은 (앞면, 월요일), (뒷면, 월요일), (뒷면, 화요일) 세 가지 뿐이다.
뒷면이 나왔을 경우 미녀는 깨어난 기억을 소거당했기 때문에 월요일과 화요일을 구별할 수 없다. 즉 두 가능성은 동등하므로 P(뒷면, 월요일)=P(뒷면, 화요일) 이다.
월요일일 경우 공정한 동전이므로 두 가능성은 동등하므로 P(뒷면, 월요일)=P(앞면, 월요일)이다. 엘가는 이를 설명하기 위해 다음과 같은 변형된 실험을 제안한다.
- 미녀는 일요일에 실험의 진행과정을 알고 잠이 든다. 미녀를 월요일에 깨우고 질문을 한 후 월요일의 기억을 지우고 재운다.
- 동전을 던진다. 미녀에게는 알리지 않고 실험자만 알고 있는다.
- 동전의 앞면이 나왔다면, 화요일에는 깨우지 않는다.
- 동전의 뒷면이 나왔다면, 화요일에도 미녀를 깨운 후 화요일의 기억을 지우고 다시 재운다.
세 가지 확률이 같고 이 중 어느 것도 동시에 일어날 수 없으므로 P(앞면, 월요일)=P(뒷면, 월요일)=P(뒷면, 화요일)=1/3이다.
실험을 극단적으로 만들면 더 쉽게 이해할 수 있다. 앞면이 나온다면 그대로 한번 질문을 하고 끝나지만, 뒷면이 나온다면 깨워서 질문을 한 뒤 기억을 지우고 다시 자는 과정을 수천 수만번을 반복한다고 하자. 이 경우 미녀의 관점에서는 일어나서 질문을 받을 때 뒷면일 가능성이 더욱 높다고 느껴질 것이다.
3.2. 답은 1/2이다.
데이비드 루이스의 주장. 동전은 공정하므로 실험내용을 알고있는 미녀에게 일요일에 질문을 한다면 답은 1/2일 것이다. 기억이 소거된 미녀 입장에선 이 확률에 영향을 끼칠 어떤 정보도 추가적으로 주어지지 않으므로 미녀의 답이 1/2에서 바뀌는 것은 불합리하다. 이것은 추가적 정보가 주어지는 몬티 홀 문제와 다른 점이다. 특히 엘가의 P(뒷면, 월요일)=P(앞면, 월요일)이 틀렸으며, 구체적으로 조건부 확률인 P(앞면|월요일)이 2/3가 되어야 한다고 주장했다.3.3. 두 답은 단지 관점의 차이일 뿐이다.
위 두 주장은 단지 관점의 차이에서 비롯된 것일 뿐이라는 견해가 있다. 문서 초반에 언급된 베르트랑 역설도 결국 들여다보면 현을 그리는 변수에 따라 확률밀도함수가 다르게 그려지기 때문에 생긴 현상이다.닉 보스트롬은 인간원리를 다룬 자신의 저서에서 같은 시계열에서 존재하는 관측자들이 동등한 가능성을 갖는다고 볼 경우 확률은 1/2이 되며 가능한 모든 관측자들이 동등한 가능성을 갖는다고 볼 경우 1/3이 됨을 보였다.
즉 공평한 동전으로 100회의 실험한다면 앞이 나오는 회수는 50회인데 실험자 입장에서 100 주간 100번의 실험이고 미녀는 평균 150 회 깨어날 것이다. 그러므로 실험자 입장에서는 1/2 의 확률이고 방금 깨어난 미녀 입장에서는 1/3 이 된다.
4. 여담
Mikaël Cozic은 엘가, 루이스 둘 다 틀렸고 P(앞면)=P(앞면|월요일)=1/2이라고 주장했다.미녀를 우리, 잠에서 깨우는 행위를 의식을 가지게 되는 것으로 보아서 시뮬레이션 우주론으로 이어지기도 한다.
마사토끼의 세계 제일 시리즈 단편 'Y시설의 수감자' 줄거리의 모티브가 되었다.