수학교육학

1. 개요

수학교육학은 수학의 교수·학습을 개선하는 데에 주요 목적을 둔 학문으로서, 순수수학 및 일반교육학을 비롯하여 수학인식론, 수리철학, 수학사, 심리학, 응용수학 등 관련 분야의 연구 결과를 종합해야 하는 응용학문이다.

2. 수학교육학의 성격

수학교육은 내용적, 설명적, 교육적 관점에서 이해될 수 있으며, 이를 통해 '수학을 왜 배워야 하는가'와 같은 질문에 실마리를 얻을 수 있다.

내용적 이해: 수학 그 자체
설명적 이해: 수학사, 수학기초론, 수리철학, 수리논리학, 수학사상사
교육적 이해: 수학교육과정론, 수학교재론, 수학 교수·학습론, 수학교육평가, 수학 문제해결, 수학교육공학

3. 수학의 가치 및 수학교육의 필요성

수학에는 실용적 가치, 도야적 가치, 문화적 가치, 심미적 가치 등이 있다. 먼저 실용적 가치란, 일상생활, 직업 활동, 다른 학문의 이해 등에 수학이 도움을 준다는 측면의 가치이다. 도야적 가치는 논리적·비판적·창의적·추상적·기호적·분석적 및 종합적·발전적·일반화 및 특수화 사고 등의 정신 능력을 훈련하고 신장할 수 있다는 측면의 가치이다. 문화적 가치는 수학을 인류의 정신문화적 유산으로 보고, 수용 및 전달할 필요가 있다는 측면의 가치이다. 마지막으로 심미적 가치는 수학을 탐구할 때 등에서 아름다움을 느낄 수 있다는 측면의 가치로, 가령 황금비나 아름다운 기하 패턴을 가진 자연 현상과 건축물 등을 볼 때 아름다움을 느낄 수 있다.(류성림 외, 2024: 17-19) 학생들에게 이러한 수학의 가치를 알리기 위해 수학교육을 실시한다.

4. 수학, 수학적 지식, 수학적 사고

4.1. 수학의 성격

수학이 다루는 대상은 물리적인 것이 아니라 추상화된 관념적 대상이기 때문에, 수학을 명확히 정의하기는 어렵다. 대신 수학의 학문적 성격을 규정하면 다음과 같다.(류성림 외, 2014: 2-4)

수학은 규칙과 관계에 대한 연구이다.
수학은 사고의 방법이다.
수학은 세련된 의사소통의 도구이다.
수학은 모순이 없는 명제들의 모임이다.

4.2. 수학적 지식의 특성

수학적 지식은 형성, 적용 및 발전, 보존 및 정리의 3단계를 거친다. 각 과정에서 수학적 지식은 다음과 같은 특성을 지니게 된다. (류성림 외, 2024: 5)

형성 과정: 추상화, 형식화, 이상화
적용 및 발전 과정: 일반화, 특수화
수학적 지식의 보존 및 정리 과정: 계통성, 논리성

4.3. 수학적 사고

수학적 방법 측면에서 수학적 사고는 귀납적 사고, 연역적 사고, 유추적 사고 등이 있다. 먼저 귀납적 사고는 개별적 사례로부터 공통 요소를 찾아내어 일반적 원리를 이끌어 내는 방법으로, 논리적인 사고에 익숙지 않은 초등학생들에게 많이 활용하는 사고 방법이다. 귀납은 전제가 결론의 필요성을 논리적으로 확립해 주지 못하므로, 결론의 타당성을 새로운 대상 혹은 연역적 사고 등을 통해 검증할 필요가 있다. 다음으로 연역적 사고는 이미 알고 있는 일반적 원리나 법칙을 전제로 논리적 형식에 근거하여 개별적인 명제, 원리, 법칙을 이끌어 내는 사고 방법이다. 연역적 사고에 의한 결론은 반드시 참이 되며, 연역은 증명의 한 수단이 된다.[1] 문제해결 과정에서 연역적 사고는 "그것으로부터 어떤 것을 말할 수 있는가?"와 같은 질문에 답할 수 있게 한다. 유추적 사고는 이미 확보된 성질이나 명제를 기초로, 이와 유사하지만 다른 사실을 추론하는 방법이다. 가령 직사각형의 넓이를 구하는 방법으로부터 직육면체의 부피를 구하는 방법을 유추해 낼 수 있다. 문제해결 과정에서 유추는 "이 문제와 유사한 문제는 없는가?" 등의 생각을 할 수 있도록 격려하여 준다. (류성림 외, 2024: 12-16)

5. 수학교육의 발달

19세기 이전에는 소수의 특권층을 대상으로, 유클리드의 <원론>에 의한 수학교육이 실시되었다. 수학교육의 목적은 '두뇌의 도야'였으며, 이를 위해 엄밀한 논리적 전개를 교육하였다.(황혜정 외, 2019a: 53-54)

5.1. 수학교육 근대화 운동

19세기 말 영국에서는 산업혁명으로 인해 탄생된 노동자 계급에게 실용적인 수학교육을 시행할 필요성이 생겼다. 영국의 페리(Perry)는 우수한 수학 전문가를 만드는 수학교육에서 벗어나서, 전 국민의 신체·정신의 건전한 발달을 촉진시키는 수학교육이 수행되어야 한다고 주장하였다. 페리의 주장을 요약하면 다음과 같다.

수학의 실용성과 유용성, 특히 자연과학과의 연결을 강조한다.
유클리드 기하에서 탈피하여 실험 기하를 강조한다.
모눈종이를 활용하고 입체 기하의 내용을 더 많이 지도한다.
실험상의 측량을 중요시한다.
대수 공식을 이용하는 지식과 능력을 기른다.

이러한 페리의 주장은 영국의 수학교육 개선에 크게 기여하였을뿐더러, 독일과 미국 등 다른 나라의 수학교육 근대화 운동의 기폭제가 되었다.(황혜정 외, 2019a: 53-54)

한편, 독일의 클라인(Klein)은 수학교육에서 가장 강조해야 할 것으로 함수 개념과 공간 관찰력의 함양을 주장하였으며, 학생들의 심리에 적절하도록 초보적인 기하학을 지도할 것을 주장하였다. 이러한 주장을 반영하여 클라인이 만든 교수 요목을 메란(Meran) 교육과정이라고 하며, 클라인의 주장을 요약하면 다음과 같다.(황혜정 외, 2019a: 55-56)
클라인의 주장을 요약하면 다음과 같다.

수학의 추상적 측면과 실용적 측면 사이에서 균형을 유지한다.
수학적 사고와 자연과학적 사고의 결합을 강조한다.
미적분과 해석기하를 조기에 도입하되, 그 기초적 내용을 자연 현상과 관련지어 지도한다.
실제적인 내용을 중요시하고 기능(skill) 위주의 내용은 경감한다.
연역적 사고와 귀납적 사고가 균형을 이루도록 지도한다.
자연 현상과 사회 현상을 수학적으로 관찰하는 능력을 발달시킨다.

또한 미국의 무어(Moore)는 학생의 관찰·실험·추리의 힘을 육성할 것을 강조하며, 다음과 같은 내용을 주장하였다.(황혜정 외, 2019a: 56)

학교에서 지도되는 수학의 내용과 방법이 더욱 풍부해져야 한다.
도형 그리기, 종이 접기, 모형 제작 등을 통해 직관 기하의 조작적 학습의 경험을 제공한다.
기하 지도는 직관 기하, 비형식적 추론, 형식적 추론을 병행하여 지도한다.
대수, 기하, 물리는 서로 긴밀한 관계가 있으므로 중등학교에서는 이 과목들을 하나의 과목으로 지도하는 것이 바람직하다.

이러한 수학교육 근대화 운동은 전반적으로 수학교육의 중요성을 크게 부각시켰으며, 학교 수학의 내용을 충실하게 하기 위해 체계적인 노력을 시작한 점, 수학의 실용적 측면을 강조한 점, 학생의 심리적 측면을 고려했다는 점 등에서 의의가 있다. 그러나 이 운동이 진행됨에 따라 논리적 원칙을 깊이 고려하지 않거나 논리를 불신하는 경향이 나타났다는 단점이 있었고, 현실적으로 교재를 마련하는 연구가 전개되지 못했다는 점에서 한계가 있다. 한편 이러한 수학교육 근대화 운동은 제1차 세계대전(1914~1918)로 인해 별다른 성과를 거두지 못한 채 수그러들었고, 제2차 세계대전(1939~1945)이 끝날 때까지 수학교육 개선의 노력은 큰 진전을 거두지 못했다.(황혜정 외, 2019a: 57)

5.2. 수학교육 현대화 운동

제2차 세계대전 후 과학기술의 진보로 인한 변화에 대응하기 위해, 수학교육 개혁의 필요성이 제기되었다. 특히 1957년 소련의 인공위성 스푸트니크 1호 발사 성공에 자극받은 미국과 유럽을 중심으로 진행되었으며, 이러한 맥락 속에서 전개된 운동을 '수학교육 현대화 운동' 또는 '새수학 운동'(The New Math Movement)이라 한다. 이 운동의 방향은 다음의 다섯 가지로 정리할 수 있다.(황혜정 외, 2019a: 58-60)

내용 측면의 현대화[2]

현대수학[3]의 내용과 방법을 조기에 도입한다.
대수적 구조를 강조한다.[4]
논리적 엄밀성을 강조한다.
교재를 정비하고 불필요한 내용[5]을 삭제한다.

교수 방법상의 현대화

이러한 수학교육 현대화 운동은 미국과 유럽, 일본, 우리나라 등 광범위하게 확산되었고, 특히 우리나라에서는 제3차 교육과정이 이 운동의 영향을 받았다. 그러나 이러한 수학교육 현대화 운동은 출발 당시부터 교육학적 정당화가 부족했으며, 다음과 같은 비판을 받았다.(황혜정 외, 2019a: 61)

학생들의 발달 수준에 맞지 않게 조급한 형식화와 추상화를 시도한다.
장래에 수학자가 되기 위한 소수의 학생을 대상으로 한다.
논리적 엄밀성과 연역적 추론을 지나치게 강조한다.
다른 교과와의 관련성을 무시한다.
아래로부터의 자발적인 운동이 아닌, 사회적·학문적 요청에 따른 위에서부터의 운동이었다.
교사를 위한 적절한 교육과 지원이 없었다.
현대화 교재와 전통적 교재의 조화를 도모하지 않았다.

5.3. 기본으로 돌아가기 운동과 그 이후

수학교육 현대화 운동에 의해 여러 개념이 학교수학에 새로 도입되었으나, 이에 대한 학생들의 이해가 저조할뿐더러 기본적인 계산 능력마저 저하되었다. 이에 기본으로 돌아가기 운동(The Back-to-Basics Movement)이 촉발되었으며, 이 운동에서는 기본 기능을 찾아 교재로 재구성하고, 행동적 목표와 지필 계산을 강조하였다. 기본 기능의 의미에 대해 논쟁이 전개된 결과, 좁은 의미의 계산 기능이 아닌, 문제해결을 포함한 고차원적 기능으로 확대해야 한다는 결론이 내려졌다.
1980년 미국 수학 교사 협의회(National Council of TEachers of Mathmatics, NCTM)는 '1980년대의 학교수학을 위한 제안'(An Agenda for Action)을 제시하였는데, 다음과 같은 내용을 권고하고 있다.(황혜정 외, 2019a: 63)

문제해결의 강조
계산 기능보다 폭넓은 기본 기능의 강조
컴퓨터와 계산기를 이용한 수학교육
효과와 효율을 동시에 고려
다양하고 폭넓은 평가
학생의 선택권이 다양한 교육과정 구성
수학 교사의 전문성 제고
수학교육을 위한 공공 지원의 확대

이후 1980년대와 1990년대를 거치며 문제해결, 구성주의, 수학 학습 수준 이론, 현실주의적 수학교육, 공학적 도구 활용, 평가 방법 개선 등이 강조되었다.(황혜정 외, 2019a: 64)

6. 수학교육 철학

수리철학은 수학의 본질에 대하여 성찰하고 설명하는 것을 과제로 삼는 반면, 수학교육 철학은 수학교수의 활동 또는 실행에 대한 목적이나 이유를 고민한다. 가령, 수리철학에서는 '수학의 본질은 무엇이며 무엇이 수학적 진리를 특징짓는가?' 등을 살펴보며, 수학교육 철학에서는 '수학의 교수와 학습의 목적이 무엇이며, 어떻게 하면 어려운 수학을 학생들에게 잘 가르칠 수 있을까?' 등을 다룬다. 수학교육 철학의 고민들은 수리철학에 대한 고민 없이는 대답하기 어려우며, 두 철학은 서로 밀접한 관계에 있다.(강옥기 외, 2012: 21) 대표적인 수리철학 몇 가지를 살펴보면 아래와 같다.

절대주의 수리철학

플라톤주의
논리주의
직관주의
형식주의

상대주의 수리철학

준경험주의
구성주의

6.1. 절대주의 수리철학 및 그 증명관

절대주의 수리철학에서는 수학적 지식은 확실하고 절대적인 진리로서의 수학을 인정하고, 수학적 지식은 경험이 아닌 이성에만 의존하므로 가장 확실하다고 본다. 절대주의 수리철학자들은 공리, 정의, 연역적 증명에 의하여 구성된 수학적 지식을 참이라고 하였다. 특히 유클리드의 <원론>은 기원전부터 19세기 말까지 2500여 년 동안 진리의 전형으로 생각되어 왔다. (강옥기 외, 2012: 24)

(1) 플라톤주의
플라톤주의는 이성을 인간의 타고난 특성으로 간주하였고, 진리를 관찰하지 않더라도 이성을 통해 선험적으로 지각할 수 있다고 생각하였다. 가령, 종이에 직선이나 원을 아무리 정확하게 그리더라도 수학적 정의에 완벽하게 부합할 수는 없다. 그러나 우리가 도형에 대해 이야기할 때에는 종이에 그려진 불완전한 대상이 아닌 완전한 대상을 다룬다. 이와 같이 수학적 지식은 완전한 대상에 대한 지식이므로, 다른 대상에 비해 더 확실한 지식으로 여겨진다. 플라톤은 수학(산술과 기하)을 철학자 군주가 될 사람들이 배워야 할 필수 과목이라고 주장하며, 이는 수학이 비가시적 대상을 논리적으로 탐구하는 학문이기 때문이라고 하나. 플라톤의 수학적 사고는 눈에 보이는 것을 그대로 받아들이는 것이 아니라, 논리를 이용하여 의견의 타당성을 검증하는 것이다. 눈에 보이지 않는 수학적 대상의 정의로부터 논리적으로 사고할 때에 비로소 수학적으로 사고했다고 말할 수 있다. 한편 19세기까지 플라톤주의와 유클리드 기하의 입지는 확고하였으나, 이후 비유클리드 기하학, 모든 점에서 연속이지만 어떠한 점에서도 미분가능하지 않은 바이어슈트라스 함수, 러셀의 역설 등이 발견되면서 수학적 완전성이 흔들리게 되었다.(강옥기 외, 2012: 24-26)
플라톤주의는 증명을 수학 내용의 절대적 진리를 정당화하는 유일한 방법이라고 보았다. 증명을 통해 유도된 새로운 정리만이 진리로 인정받았으며, 증명은 인간을 참된 진리의 상태에 도달하게 하는 합리적인 과정이며, 수학적 명제가 참임을 보증하는 핵심적인 방법이었다.(김남희 외, 2017: 218-219)

(2) 논리주의
논리주의는 순수수학을 논리의 일부로 보는 학파로, 논리학의 확실성을 통해 수학은 확실한 대상이 된다. 만일 모든 수학이 논리적인 용어로 표현되고 논리적 원리만으로 증명될 수 있다면 수학의 확실성은 논리의 확실성으로 환원될 수 있다는 것이다. 그러나 모든 수학을 논리적인 용어로 표현하고 이를 논리적 원리만으로 증명하는 것은 불가능했는데, 무한 공리나 선택공리 등 비논리적 공리가 존재했기 때문이다. 또한 불완전성 정리는 연역적 증명이 모든 수학적 진리를 입증하는 데에 불충분하다는 것을 보여 주었는데, 이는 수학적 공리를 논리의 공리로 환원하더라도 모든 수학적 진리를 유도하는 데에는 충분하지 않음을 밝힌 것이었다. 이에 수학적 지식의 확실성을 논리의 확실성으로 환원하려는 논리주의 프로그램은 원칙적으로 실패하였다.(강옥기 외, 2012: 27-29)
논리주의에서 증명은 수학 지식을 논리적으로 정당화하기 위한 장치라고 볼 수 있다.(김남희 외, 2017: 219)

(3) 직관주의
직관주의는 수학이 직관을 바탕으로 인간의 정신 활동으로 구성해 가는 과정이라고 주장한다. 모든 수학이 자연수(직관적으로 자명하다고 인정되는 출발점) 위서 구성적으로 근거하여, 수학적 대상은 유한 번의 단계 내에 구성되어야 한다고 생각하였다. 직관주의자들은 인간이 수학적으로 구성하지 않은 것은 진리로 인정하지 않았기에, 고전 논리에서 사용되는 대부분의 법칙을 수학에 적용해서는 안 된다고 보았다. 가령 고전 논리에서 존재성의 증명에 흔히 사용되는 배중률과 삼분법을 무한집합에 적용하는 것은 직관적으로 자명하지 않다고 보았고, 구성 가능한 대상만을 존재성의 증명으로 인정하였다. 그렇기에 수학의 내용을 지나치게 제한하는 오류를 범하였고, 해석학의 많은 이론을 포기해야 하였다. 또한 직관주의가 근거로 하는 '직관'이 어떻게 객관성을 가지게 되는지를 적절히 설명하지 못하였다는 한계가 있다. (강옥기 외, 2012: 29-30)
직관주의에서는 증명 역시 고전적인 증명 대부분을 인정하지 않으며, 구성적인 증명만을 인정하였다. (김남희 외, 2017: 219)

(4) 형식주의
형식주의에서는 수학을 형식 체계로 보며, 명제는 형식적인 추론 규칙에 따라 다루어지는, 의미 없는 기호의 유한 번의 연결로 간주된다. 기호의 의미가 아닌 기호를 다루는 규칙 체계의 건전성 여부만 남게 되며, 기호(점·선·면 등)를 다른 기호(책상·의자·맥주컵 등)로 바꾸어도 무방하다. 그러나 불완전성 정리로 인해 모든 수학의 진리가 형식 체계에서 정리로 표현될 수 없으며, 또한 체계 자체가 안전성을 보장받을 수 없음이 밝혀졌다. (강옥기 외, 2012: 30-31)
형식주의에서 증명은 의미를 고려하지 않는 일련의 기호로서, 엄밀한 연역적 증명은 무모순성과 완전성을 보장하는 수단이었다.(김남희 외, 2017: 220)

6.2. 상대주의 수리철학 및 그 증명관

수학의 확실성을 찾고자 하는 절대주의 수리철학의 실패와 한계에 의해, 수학적 지식의 오류 가능성을 인정하는 사조가 등장한다. 이러한 철학을 상대주의 또는 오류주의라고 하며, 이에 따르면 수학적 지식에는 절대적인 기초가 존재하지 않으며 존재한다고 하더라도 어떤 것이 기초인지 판단할 수 없다.(강옥기 외, 2012: 31-32)

6.2.1. 준경험주의

라카토스(Lakatos)에 의하면 수학은 고정된 기초 위에 세워진 유한한 구조가 아니며, 항상 성장하고 변화하며 수정되는 지식체이다. 수학적 지식은 오류 가능하므로 끊임없이 개선되며, 수학적 지식은 완전한 확실성을 밝힐 수 없고 단지 추측하고 추측을 검사·반박하며 새로이 개선된 추측을 만들어 발전시켜 나가는 것이라고 주장하였다. 라카토스는 다음과 같은 수학적 지식의 성장 과정을 제시하였다. 수학은 자연과학과 달리 경험과 실험을 통해 연구되는 것이 아니지만, 수학적 지식의 성장 과정이 추측, 반례, 추측의 수정이라는 점에서 자연과학의 발전 방식과 유사하며, 이러한 측면에서 수학을 준경험과학이라고 부를 수 있다.(강옥기 외, 2012: 33-34)

1단계: 수학적 추측을 제기하는 단계
2단계: 추측을 부분 추측으로 분해하는 단계
3단계: 반례가 등장하고 추측과 증명을 반박하는 단계
4단계: 증명을 검토하여 증명과 추측을 개선하는 단계

반례에는 원래의 추측을 반박하는 전면적 반례와 부분 추측을 반박하는 국소적 반례가 있다. 전면적 반례에 의해 추측이 비판되었을 때에는 다음과 같은 네 가지 대응 방식이 있다. (황혜정 외, 2019a: 89-91)
첫째, 반례를 받아들이고 원래의 추측이 틀렸음을 인정하는 것이다.
둘째, 추측에 포함된 개념들을 정교하게 다시 정의함으로써 반례를 배제하는 방식으로, 괴물배제법이라 한다. 이 방법의 경우 원래의 추측은 유지된다.
셋째, 추측에 조건 절을 첨가하여 안전한 영역으로 철수하는 방식으로, 예외배제법이라 한다. 이 방법의 경우 용어의 정의가 변화되지는 않는다.
마지막으로, 반례가 출현하는 원인이 된 부분 추측을 찾아서 이것을 고쳐서 원래의 추측에 합체시키는 방식으로, 보조정리합체법이라 한다.

준경험주의의 입장에서 어떤 정리를 증명한 것으로 모든 것이 끝나는 것이 아니라, 증명 이후에도 증명을 분석함으로써 추측과 증명을 개선하는 과정이 진행된다. 라카토스에게 증명은 정리를 정당화하는 수단이 아니라, 증명을 분석함으로써 주장된 정리를 비판하여 그 정리를 개선하기 위한 발견의 도구이다.(김남희 외, 2017: 221-223)

6.2.2. 구성주의

구성주의는 지식이 인식 주체에 의해 능동적으로 구성되는 것이라고 하며, 인식 주체의 밖에 독립적으로 존재하는 세계를 발견하는 것이 아니라고 주장한다. 수학이 처음부터 만들어져 있던 것이 아니라고 보며, 학습자가 스스로 능동적인 구성 활동을 통해 자신에게 의미 있는 지식을 구성해 나간다고 한다.(강옥기 외, 2012: 37-38) 구성주의에는 조작적 구성주의, 급진적 구성주의, 사회적 구성주의 등이 있다.

6.2.2.1. 조작적 구성주의

피아제(Piaget)는 지식이 개인과 환경 간의 상호작용에 의해 끊임없이 재구성된다고 보았다. 피아제는 수학적 지식 및 사고의 본질을 조작(Operation)으로 보고, 그 발생 과정을 분석하였다. 피아제 이전에는 수학적 개념이 사물로부터 공통 성질을 추상화해서 얻어지는 견해가 일반적이었으나, 피아제는 사물의 속성이 아니라 인간의 행동에서 추상화된 것이라고 보았다. 가령, 수의 개념은 '사물'이 아니라 '세기'라는 행동에 있다. 이와 같은 행동과 조작의 일반적 조정으로부터, 반영적 추상화를 통해 형성된 조작적 도식(schème)이 곧 논리·수학적 지식이 된다. 반영적 추상화란 '사물로부터의 추상화'(경험적 추상화)가 아닌 '행동으로부터의 추상화'를 의미하며, 대부분의 수학적 개념이나 지식을 이해하기 위해서는 경험적 추상화가 아닌 반영적 추상화를 거쳐야 한다고 주장한다. 조작적 구성주의에 따르면 수학적 지식은 인간의 조작 활동에 그 근원을 두고 있으며, 수학 수업에서는 지식의 근원이 되는 조작을 강조하고, 자신의 조작 활동을 반성하는 활동을 강조할 필요가 있다. (강옥기 외, 2012: 362-364; 황혜정 외, 2019a: 104-105)

6.2.2.2. 급진적 구성주의

글래저펠트(von Glaserfield)는 세 가지 급진적 구성주의의 원리를 제시하며, 학습자가 삶의 맥락 속에서 자신의 삶을 구성하며 그 결과가 지식이 된다고 주장한다. 그 원리는 다음과 같다.

지식의 자주적 구성의 원리: 지식은 감각이나 의사소통에 의해 수동적으로 받아들여지는 것이 아니라, 인식 주체에 의해 능동적으로 구성된다.
지식의 생장 지향성의 원리: 인식의 기능은 적응적이며, 생물학적 용어로 적합성 또는 생장성을 지향하는 경향을 지닌다.
지식의 비객관성의 원리: 인식은 주체가 경험 세계를 조직하는 데에 도움을 주는 것이지, 결코 객관적인 존재론적 실재를 발견하도록 돕는 것이 아니다.

이 중 지식의 비객관성의 원리가 급진적 구성주의를 급진적인 것으로 특징짓는다. 이러한 급진적 구성주의는 피아제의 조작적 구성주의와 다음과 같은 차이가 있다.(강옥기 외, 2012: 365-367)

구분	조작적 구성주의	급진적 구성주의
학습의 의존성	학습은 본질적으로 내용과 상황에 의존하지 않는다.	의존한다.
학습의 보편성	학습은 보편적 현상으로, 학생의 성숙에 따라 예정된 방향으로 발달한다.	학습은 어떤 예정된 방향으로 발달하는 것이 아니고, 연령과도 관계가 없다.
발달 단계	일반적인 논리적 능력의 발달을 중심으로 생각한다.	현상에 대한 개인의 개념 발달을 중심으로 생각한다.
지식의 구성	인식 주체와 주위 대상 간 상호 작용에 의한 지식의 주관적 구성을 강조한다.	사회적 과정 또한 중시한다.
객관성의 배제	객관성을 완전히 배제하지는 않는다.	완전히 배제한다.

급진적 구성주의에서는 다음과 같은 내용을 주장한다. 첫째, 지식은 언어를 통해 전달될 수 없으며, 개인의 경험을 통한 추상화 과정에 의해 구성된다. 둘째, 개인은 특정한 자신의 경험 세계에 잘 적응하기 위한 지식을 구성한다. 셋째, 지식은 인간이 구성한 것이므로, 객관적 실재의 존재 여부 또는 그것과 지식의 관련성은 무의미하다. 넷째, 의사소통은 주과적 경험 세계의 상대적 합의 영역이 존재할 때 가능하며, 객관적인 실재의 본질로부터 도출되는 것이 아니다. 다섯째, 수학적 지식의 확실성은 적합성 및 적응성으로 대체되어야 한다. 여섯째, 교사는 안내자로서 학생들이 각기 다른 방식으로 지식을 구성하는 것을 격려해야 한다. 이러한 급진적 구성주의는 지식을 정확히 전수하는 것이 아닌 학생 스스로 사고를 전개하는 것을 강조한다.(황혜정 외, 2019a: 106-108)

6.2.2.3. 사회적 구성주의

비고츠키(Vygotsky)는 인간 개별체보다 인간의 상호작용 자체가 지식을 만드는 출발점이라고 주장하였다. 인간에게서 지식은 인간 개체에 의해 형성된 것이라기보다는 타인과 더불어 발생하는 것이라고 한다. 사회적 구성주의에서는 지식의 자주적 구성의 원리와 지식의 생장 지향성의 원리를 수용하나, 지식의 비객관성의 원리는 지식의 사회적 구성으로 수정하였다. 코브(Cobb)는 '합의성'을 강조하였고, 어니스트(Ernest)는 급진적 구성주의와 달리 '언어의 사회적 공유성'을 주창하며 '사회성'을 강조한다. 사회적 구성주의에서는 객관성의 의미를 수정하여, '사회 공동체가 옳다고 인정하는 것' 또는 '역사와 문화를 통해 인정된 것'을 객관성의 의미로 삼는다. 이러한 객관성(합의 가능성)의 근거는 자연 언어의 공유성을 든다. 이처럼 사회적 구성주의에서는 지식의 형성 과정에서 사회와 언어의 역할을 강조하며, 지식의 구성은 다음 두 과정을 거친다고 주장한다. 과정 1에서는 공적인 비판과 재구성이, 과정 2에서는 학습이 이루어진다.(강옥기 외, 2012: 368; 황혜정 외, 2019a: 109-111)

과정 1. 창조의 과정: 개인의 주관적인 수학적 지식이 사회의 객관적인 수학적 지식이 되는 과정
과정 2. 학습·재구성·수학적 문화화의 과정: 사회의 객관적인 수학적 지식이 개인의 주관적인 수학적 지식이 되는 과정

6.2.2.4. 구성주의 수학 교수·학습 원리

박영배(1996, 황혜정 외, 2019a에서 재인용)는 수학교육학적 구성주의의 교수·학습 원리로 다음의 네 가지를 제시하였다. 첫째, 학생 중심적 개별화의 원리는 수학 학습은 학생 개인의 지적 자율성에 바탕을 두어야 한다는 원리이다. 학생 개개인마다 능력에 따른 개인차가 존재하므로, 교수·학습에서는 개별화를 고려하여야 하며, 개별적 교수·학습을 통해 각 개인의 수학적 능력을 극대화하는 것을 지향해야 한다. 둘째, 발문 중심적 상호작용의 원리는 학생이 주체가 되어 지식을 구성할 수 있도록 교사가 발문을 중심으로 학생을 안내하거나 도와야 한다는 원리이다. 학생들은 발문에 답하며 자신들의 생각을 정리하고, 다른 학생들과 자신의 생각을 비교하며 자기 생각을 수정하고, 새로운 방향을 찾아 갈 수 있다. 교수·학습 환경에서는 다양한 발문이 필요한데, 다음과 같은 것들이 있다.

사실 확인적 발문
논리 추구적 발문

폐논리적 계열 회상형 발문
폐논리적 비회상형 발문
발전적 논리형 발문
관찰형 발문

자유 발전적 발문

셋째, 의미 지향적 활동의 원리는 학교 수학이 학생들에게 의미 있는 것이 되어야 한다는 원리이다. 깨달음 없이 주어진 지식을 수용하는 것이 아니라, 학생들이 활동 속에 구성한 의미에 충실한 지식의 구성이 이루어져야 한다는 것이다. 교사는 학교 수학이 의미 있는 것임을 학생이 체감할 수 있도록 노력해야 한다. 마지막으로, 반영적 추상화의 원리는 학생 자신에 의해 내면적으로 이루어지는 반성적 활동을 중시해야 한다는 원리이다. 조작은 반성과 결부되어야 하며, 학생들이 자신의 행동을 사고의 대상으로 삼도록 하여야 한다.(황혜정 외, 2019a: 114-117; 강옥기 외, 2012: 399)

6.2.2.5. 사회적 구성주의의 증명관

사회적 구성주의의 주장에 따르면, 지식은 객관적 지식과 주관적 지식 사이의 순환이 이루어지며, 이들은 서로 창조와 재창조에 기여한다. 사회적 구성주의에서는 수학자 개인의 증명이 객관적인 수학적 지식으로 인정되는 과정에 주목하며, 증명은 자기 자신과 다른 사람들을 확신시키기 위한 설명이자, 수학자들 사이 의사소통의 수단이다. 학교에서는 증명을 '엄밀함'이나 '정직성'의 추상적 기준을 만족시키기 위해 의례적으로 행할 것이 아니라, 학생들의 확신을 증신시키는 설명이 되어야 한다.(김남희 외, 2017: 224-225)

7. 수학 문제해결 교육론

문제해결은 1980년대 이후 수학교육의 구심점이 되어 왔다. 여기서의 문제란 단순히 계산 연습의 대상이 아니라, 해결 방법을 쉽게 구하기 어려우면서 해결을 위해 다단계에 걸친 사고가 요구되는 것을 말한다. 폴리아(Polya)는 수학 교사가 학생들에게 적절한 문제를 제공함으로써 호기심을 불러일으키고, 자극적인 질문을 통해 학생이 문제를 해결할 수 있도록 도우며, 학생이 자신의 사고에 대한 의미와 방법을 알 수 있도록 해야 한다고 주장했다.(황혜정 외, 2019a,: 134-135; 강옥기 외, 2012: 313)

숀펠드(Schoenfeld)는 문제해결의 성공을 위한 요인으로 자원(resources), 발견술(heuristics), 통제(control), 신념 체계(belief systems)를 강조하였다. 각각에 대한 설명과 예시는 아래와 같다.(황혜정 외, 2019a: 138; 강옥기 외, 2012, 314-315)

자원: 주어진 문제를 해결하기 위해 사용할 수 있는 도구와 기법

지식, 직관, 알고리즘, 법칙 등

발견술: 비표준적인 문제에서 진전을 이루기 위한 전략과 기술

유추, 일반화, 특수화, 보조 문제 이용, 거꾸로 풀기 등

통제: 자원과 전략의 선별과 채택에 관한 전체적인 결정

계획, 모니터링과 평가, 의사결정, 의식적인 메타인지적 행위 등

신념 체계: 학습자가 수학에 대해 가지고 있는 가치관이나 선입견

자신에 대한 신념, 환경에 대한 신념, 주제에 대한 신념, 수학에 대한 신념

7.1. 문제해결의 단계

폴리아는 문제해결의 전략으로 문제 이해 → 계획 수립 → 계획 실행 → 반성이라는 네 가지 단계를 제시하였다. 각 단계에서 교사는 다음과 같은 발문과 권고를 제공할 수 있다.(강옥기 외, 2012: 319-323; 황혜정 외, 2019a: 150-151)

문제 이해 단계

미지인 것은 무엇인가?
자료는 무엇인가?
조건은 무엇인가?
조건은 만족될 수 있는가?
미지의 것을 결정하기에 조건이 충분한가, 불충분한가, 과다한가?
그림을 그려 보라.
적절한 기호를 붙이라.
조건을 여러 부분으로 분해하라.

계획 수립 단계

전에 같거나 유사한 문제를 본 적이 있는가?
관련된 문제를 알고 있는가?
유용한 정리를 알고 있는가?
미지인 것을 살펴보고, 미지인 것이 같거나 유사하면서 친숙한 문제를 생각해 보라.
전에 푼 문제의 방법이나 결과를 활용할 수 있는가?
문제를 다르게 표현할 수 있는가?
정의로 되돌아 가라.
보다 쉬운/일반적인/특수한 문제는?
문제의 일부분을 풀 수 있는가?
조건의 일부만 남기고 다른 것은 버려 보라. 그러면 미지인 것은 어느 정도까지 정해지는가?
필요한 다른 자료는 무엇이 있는가?
자료나 조건을 모두 사용했는가?
문제에 포함된 핵심 개념을 모두 고려했는가?

계획 실행 단계

풀이의 각 단계를 실행하고 점검하라.
각 단계가 옳은지 명확하게 알 수 있는가?
그것이 옳다는 것을 설명할 수 있는가?

반성 단계

결과 및 풀이 과정을 점검할 수 있는가?
결과를 다른 방법으로 이끌어 낼 수 있는가?
결과나 방법을 다른 문제에 활용할 수 있는가?

한편 문제해결 과정에서는 메타인지적 사고가 필수적인데, 메타인지는 자신의 사고 과정에 대한 인지로서, 자신의 사고 과정을 모니터하고, 조절하고, 평가하고, 방향을 설정하는 정신적 활동을 의미한다. 메타인지는 문제해결의 4단계에 모두 영향을 미치지만, 반성 단계와 가장 밀접한 관련이 있다.(황혜정 외, 2019a: 151-152; 강옥기 외, 2012: 323)

7.2. 문제해결의 전략

문제해결을 위해 다음과 같은 문제해결 전략을 사용할 수 있다.(황혜정 외, 2019a: 176-186)

예상과 확인
표 만들기
그림 그리기
식 세우기
규칙성 찾기
거꾸로 풀기
단순화하기
특수화하기
유추하기 (유비 추론)
간접 증명법 (귀류법, 분할법, 동일법)

7.3. 문제 제기

수학적 문제해결 교육에서 주어진 문제를 해결하는 것을 넘어 새로운 문제를 제기하는 과정을 다룰 수 있다. 이와 같은 활동을 문제 제기 혹은 문제 설정이라고 한다. 이는 다음과 같은 중요성이 있다. 먼저, 문제를 해결하는 과정에서 새로운 문제를 제기함으로써 원래의 문제를 재해석하고, 원래의 문제를 해결할 수 있는 단서를 얻으며, 문제의 의미를 더욱 명확하게 이해하거나 새로운 생각을 할 수 있다. 다음으로, 창조적인 사고를 유도하고, 학습 동기를 유발하며 바람직한 과학적 태도를 가지게 할 수 있다.

이러한 문제 제기는 수용과 도전으로 나눌 수 있다. 수용은 주어진 것을 그대로 유지하면서 탐구하여 문제를 제기하는 것이고, 도전은 주어진 것을 뒤집거나 변형해 보는 단계이다. Brown&Walter(1990, 황혜정 외, 2019a에서 재인용)는 수용 단계에서 사용할 수 있는 5가지 전략과 도전 단계에서 사용할 수 있는 What-if-not 전략을 소개하였다. (황혜정 외, 2019a: 158-160)

수용 단계의 5가지 전략

현상을 탐구: 관찰, 질문, 추측
내적 탐구 대 외적 탐구: 전체적으로 다른 현상과의 관련성을 보는 것(외적 탐구) 및 대상의 각 부분의 관련성을 보는 것(내적 탐구)
정확한 탐구 대 근사적 탐구: 문제 제기 시 정확한 정답을 구할 수 있는 것뿐 아니라 근사적 답을 구하여 부족한 부분이 무엇인지를 알아보는 것
역사적 탐구: 역사적 사고에 따라 의미 있는 문제를 제기하는 것
사용하기 간편한 질문 목록: 문제 생성을 위한 출발점이 되는 질문 목록

도전 단계의 What if not 전략의 절차

출발점 선택하기[6]
속성 열거하기[7]
What if not 수행하기(속성 부정하기)[8]
문제 제기하기[9]
설정한 문제 분석하기[10]

8. 수학 학습 심리학

8.1. 형태심리학

실험심리학이 도입되면서 사고 과정을 '관념들의 연결'로 보는 연합주의가 널리 주장되었다. 그러나 형태(게슈탈트)심리학에서는 자극과 반응을 기본 요소로 하는 행동주의적 방법에 반대하며, 전체는 부분의 합과 다르다고 주장하였다. 형태심리학은 수학 교수·학습에 관심을 가지며, 기계적 학습과 유의미 학습으로부터 기대할 수 있는 관계를 설명하려고 하였다. 대표적인 형태심리학자로는 베르트하이머(Wertheimer), 카토나(Katona), 쾰러(Köhler) 등이 있다. 이들은 모두 관계적 결정 원리를 강조하였는데, 이는 전체가 단순한 부분(요소)의 결합이 아니며 내적 관련성을 보유하며, 부분은 그 전체에 의해 규정된다는 원리이다.(황혜정 외, 2019a: 189-190)

(1) 베르트하이머와 생산적 사고
베르트하이머는 생산적 사고를 설명하였다. 이는 구조적 이해를 기초로 하는 사고를 의미하며, 즉 기계적 암기가 아닌 통찰에 기초한 이해가 중요함을 의미한다. 베르트하이머는 평행사변형의 넓이를 구하는 방식을 예시로 들며, 학생들이 평행사변형과 직사각형 사이의 기능적 동질성을 이해하였다면 학생들이 실수 없이 평행사변형의 넓이를 구할 수 있을 것이라고 주장하였다. 즉 동질성이야말로 평행사변형의 넓이를 구하는 문제의 실체적 기초 구조라는 것이다. 생산적 사고를 강조하는 형태심리학자들은 문제의 전체적인 구조를 중시하며, 과거 경험으로부터 구조적인 내적 관련성을 보는 통찰력을 얻는 것이 중요하다고 말한다.(황혜정 외, 2019a: 191-193)

(2) 카토나와 의미 있는 학습
카토나는 1491625364964(1조 4916억 2536만 4964)라는 수를 외울 때, 이 수를 그저 외우려고 하기보다, 이 수의 규칙성을 발견하고 통찰을 얻을 때 학습이 이루어질 수 있다고 하였다.(황혜정 외, 2019a: 194-195)
카토나는 문제해결과 같은 유의미 학습은 명확한 표상이나 수학적 구조를 발견하는 것에 의존한다고 하였다. 따라서 학습 내용과 문제해결의 기초 원리들을 이해하였다면, 해결책은 재구성되고 확정되며 기억될 것이다. 형태심리학의 관점에서 문제해결의 통찰력은, 문제를 전체로서 이해할 때에 나오고 전체에 대한 부분의 관계에서 나온다. 이러한 형태심리학의 영향을 받은 폴리아는 문제해결을 위한 힌트(문제의 목표를 다시 고려하고, 전에 푼 유사 문제에 대한 기억을 더듬으며, 문제의 자료나 조건을 분석할 때 도움이 되는 힌트)를 발전시켰고, 이러한 힌트는 통찰력을 출현시키는 데에 도움이 될 것이다.

(3) 연합주의 심리학과의 비교
연합주의 심리학은 손다이크(Thorndike), 스키너(Skinner), 파블로프(Pavlov) 등이 중심이 되었으며, 최초의 심리학이라 볼 수 있다. 이 중 손다이크와 스키너는 심리학의 연구 결과를 수학 학습에 적용하는 연구를 수행하였다. 손다이크는 학습은 외부 자극과 그에 대한 유기체의 반응으로 이루어진다는 입장을 취한다. 이러한 자극과 반응의 관계를 연결(connection) 또는 결합(bond)라고 부른다. 자극과 반응 사이 결합이 형성되고 만족스러운 결과가 수반되면 결합의 강도는 강화되고, 불만족스러운 결과가 수반되면 결합의 강도가 약화된다는 '효과의 법칙'을 주장한다. 손다이크는 산술을 지도할 때 연역적 설명은 학생들이 5학년 정도가 되어야 비로소 이해할 수 있다고 주장한다. 그러므로 학생들에게는 연역적 설명과 상관없이 정확하게 계산하는 법을 지도해야 하고, 연역적 설명은 부수적인 것이 되어야 한다.
이러한 연합주의자들은 과거 경험으로부터 해결 습관들의 응용에 관심이 있는데, 형태심리학자들은 새로운 상황에 대한 창의적 해결에 관심이 있다. 연합주의 심리학자들과 형태심리학자들이 취급하는 문제의 종류가 다르다는 것을 의미하며, 베르트하이머는 문제에 대한 구조적 통찰을 통해 창의적으로 해결할 수 있는 아이디어를 제공하는 것으로 해석할 수 있다. 창의적 해결 과정을 명확히 밝히는 것은 매우 어렵지만, 연합주의 심리학에서 설명하기 어려운 점을 지적하였다는 점에서 의미가 있다.(황혜정 외, 2019a: 199-203)

8.2. 피아제의 수학 학습 심리학

(1) 인지 구조
피아제는 다음과 같은 개념을 통해 아동의 사고 과정을 드러내려고 하였다. 쉠(scheme)은 인간이 환경에 정신적으로 적응할 수 있는 인지 구조를 일컫는 말로, 동화와 조절을 통해 변화하고 발달한다. 동화(assimilation)는 새로운 인식 대상을 이미 가지고 있는 쉠에 흡수하고 해석하여 결합하는 인지 과정을, 조절(accommodation)은 새로운 인식 대상의 특성에 맞게 기존의 쉠을 바꾸거나 새로운 쉠을 만들어 내는 인지 과정을 의미한다. 동화와 조절을 통해 인간은 인지적으로 균형 상태가 된다. 반면 인지적 불균형은 아동에게 균형을 추구할 수 있게 하는 동기유발이 된다.(김성경 외, 2024: 100-101)

(2) 인지 발달 단계
피아제는 조작(operation) 개념의 발달에 따라 감각운동기, 전조작기, 구체적 조작기, 형식적 조작기로 구분하였다. 조작은 '내면화된 가역적 행동'으로서, 태어나면서부터 존재하지 않고 성장하면서 발달한다고 보았다. 내면화란 실제로[11] 수행할 필요 없이 표현을 통해[12] 수행하게 되는 과정을 의미하는데, 행동과 관련된 내적 구성이 이루어져서 행동을 의식하고 다른 행동과 결합할 수 있게 되는 과정을 의미한다. (김성경 외, 2024: 69, 101-102, 황혜정 외, 2019a: 218-219) 각 단계에 대한 설명은 인지 발달 이론 문서 참고.

(3) 반영적 추상화
물리적 지식과 달리 논리적 지식과 수학적 지식은 추상적인데, 이러한 추상적 지식이 무엇으로부터 추상된 것인지에 대해 피아제는 다음과 같이 답하였다.
먼저, 물리적 세계와 관련되는 추상화를 경험적 추상화라 하고, 이는 우리가 행동하는 대상 자체로부터 추상화된다고 보았다. 반면, 대상이 아닌 행동으로부터 추상화되는 것을 반영적 추상화라 하였는데, 가령 수 개념의 경우 대상인 "돌멩이 세 개"로부터 "3"이 추상화되는 것이 아니라, 행동인 "세어 보기"로부터 추상화된다는 것을 의미한다. 피아제에 따르면 논리적 지식과 추상적 지식은 반영적 추상화로 이루어진다고 보았으며, 논리-수학적 지식은 대상(예: 돌멩이) 자체의 속성이 아니라 인간이 조약돌에 행한 행동(예: 세어 보기)으로부터 이끌어져 나온 것이라고 보았다.
이러한 반영적 추상화는 반사와 반성의 끊임없는 교대[13]에 의해 이루어진다. 이때 반사는 이전 단계에서 얻은 것을 이번 단계로 옮기는 것을 뜻하며, 반성은 이전 단계에서 사고의 도구였던 것이 사고의 대상이 되는 것으로, 가령 이전 단계의 도구였던 덧셈을 대상으로 삼아 곱셈으로 재구성하는 예가 있을 수 있다. (김성경 외, 2024: 104-106)

8.3. 브루너의 수학 학습 심리학

(1) 지식의 구조
브루너는 각 학문의 기저를 이루고 있는 핵심적인 개념과 원리를 지식의 구조라고 부르며, 이를 지도하면 다음과 같은 이점이 있다고 주장한다.

기본 사항을 이해하면 내용을 쉽게 파악할 수 있다.
구조화된 패턴 내에 있을 때 세세한 사항이 오래 기억된다.
기본적인 원리나 아이디어를 이해하면 적절한 훈련의 전이가 가능하다.
고등 지식과 초보적 지식 사이의 간격을 좁힐 수 있다.

특히 마지막 사항이 가장 중요한데, 브루너는 학자들이 하는 일과 초등학교 3학년 학생이 하는 일이 근본적으로 동일하다고 주장하며, 지식의 구조를가르치는 것은 학생들로 하여금 학자들과 본질상 동일한 일을 하도록 하는 것을 의미한다.(황혜정 외, 2019a: 221-222)

반면 지식의 구조에 중점을 두지 않고 학습을 진행한다면, 다음과 같은 단점이 있다.(강옥기 외, 2012: 55)

각 내용 간의 관련성을 맺지 못해 새로운 학습에 대한 적응이 힘들다.
일반적인 원리를 학습하지 못하면 희열을 느끼기 힘들고, 수학을 공부하는 가치를 깨닫기 힘들다.
구조가 강조되지 않을 경우 수학 내용을 기억하기 어렵다.

브루너는 다음과 같은 가설을 제시함으로써, 교사가 학생들의 수준에 맞게 올바른 형식으로 표현하기만 하면 초등학교 3학년이나 전문 학자나 동일한 내용을 다룰 수 있다고 주장하였다.(김남희, 2021: 51)

어떤 교과의 내용이든 지적으로 올바른 형태로 표현하면 어떤 발달 단계에 있는 어떤 아동에게도 교과의 내용을 효과적으로 가르칠 수 있다.

(2) 발견 학습
브루너의 입장에서 수학이란, '수학 책에 나오는 내용의 모음'이 아니라, '수학적 내용을 처리할 수 있는 방법'이다. 그러므로 학생들은 주어진 지식을 수동적으로 받아들이는 것이 아니라, 수학적 내용이 던져진 교실에 적극적·능동적으로 참여하여야 한다. 스스로 탐구하고 발견하는 발견 학습을 강조하며, 이는 교사가 학생들에게 탐구할 내용을 제시하면 학생들이 자발적으로 그 내용에 대한 해답을 발견토록 하는 것이다.(강옥기 외, 2012: 56)
브루너는 지식의 구조에 대한 발견을 통하여 궁극적으로 수학적인 안목의 형성을 기대하였다. 일상생활 속에서 현상을 수학적으로 바라보고 해석하는 안목을 가지는 것을 교육의 목표로 본 것이다.(황혜정 외, 2019a: 224)

(3) EIS 이론
브루너는 인간의 인지 능력은 활동적 표현(Enactive Representation), 영상적 표현(Iconic Representation), 상징적 표현(Symbolic Representation)의 세 단계를 거쳐 발달한다고 주장한다. 이를 각 표현의 머리글자를 따서 EIS 이론이라고 한다. (김남희, 2021: 51-52)

활동적 표현: 어떤 사건이나 적절한 반응 혹은 행동으로 표현하는 양식[14]
영상적 표현: 어떤 개념을 완전히 정의하지는 않지만 그것을 나타내는 대략적인 이미지나 그림으로 표현하는 양식[15]
상징적 표현: 활동 또는 이미지로 나타난 것을 문자나 기호로 표현하는 양식[16]

(4) 나선형 교육과정
상술된 브루너의 가설이 옳다고 하면, 학교의 수학 교육과정은 수학에서 가장 중요한 내용, 일반적인 원리, 고차원적 개념 등을 중심으로 구성되어야 한다. 이러한 내용을 학생들의 발달 수준에 부합하게끔 올바른 방식으로 표현함으로써 가능한 한 일찍 가르쳐야 한다는 것이다. 이처럼 저학년에서 가르치고 나면, 이들이 고학년이 되었을 때 성숙한 발달 수준에 부합하는 새 표현 방법을 적용하여 다시 가르칠 수 있다. 이때 가르치는 내용에서 본질적인 구조의 차이는 없고, 단지 표상 방법의 차이가 있을 뿐이다. 이처럼 저학년에서 가르친 내용을 고학년에서도 반복적으로 가르치고, 학년이 올라갈수록 원리나 개념을 점차 확장하여 지적 성숙을 이룰 수 있도록 구성한 교육과정을 나선형 교육과정이라 한다.(강옥기 외, 2012: 63)

8.4. 스켐프의 수학 학습 심리학

스켐프(Skemp)는 연합주의 심리학의 산물(반복 연습과 암기)에 대한 대안으로서, 관계적 이해를 통한 지적 학습 이론을 주장한다. 기본 이론과 용어는 다음과 같다.(황혜정 외, 2019a: 237-239; 김남희, 2021: 77)

추상화: 일상생활에서 경험 사이의 유사성을 인식하는 활동
일차 개념과 이차 개념

일차 개념: 감각 기관이나 외부 세계의 동적 경험에서 얻어지는 개념
이차 개념: 다른 개념에서 추상화된 개념

스키마: 여러 개념의 관계
직관적 지능과 반영적 지능

직관적 지능: 감각 기관을 통해 지각된 실제적 대상 사이의 관계 또는 아동 자신의 행동 사이의 관계를 인식하는 능력
반영적 지능: 직관적 지능에 의해 구성된 개념이나 개념 사이의 관계를 인식하고, 내면적 활동을 조정하는 능력

스켐프는 이러한 개념을 바탕으로 이해를 '관계적 이해'와 '도구적 이해'로 구분하고 있다. 관계적 이해는 무엇을 해야 할지 및 왜 그러한지를 모두 알고 있으면서, 일반적인 수학적 관계로부터 특수한 규칙이나 절차를 연역할 수 있는 상태를 의미한다. 반면 도구적 이해는 이유를 모르는 채 암기한 규칙을 문제해결에 적용하는 것을 말한다.(황혜정 외, 2019a: 247) 먼저, 도구적 이해의 장점은 다음과 같다. 첫째, 도구적으로 이해하는 것이 관계적으로 이해하는 것보다 더 쉽다. 둘째, 학생 입장에서 보장이 즉각적이고 분명하다. 셋째, 빠르게 문제를 해결할 수 있다. 반면 관계적 이해의 장점은 다음과 같다. 첫째, 관계적으로 이해했을 때 새로운 과제에 적응하기 쉽다. 둘째, 관계적으로 이해된 수학은 기억하기 쉽다. 셋째, 수학을 관계적으로 이해하는 것은 그 자체가 수학 학습의 효과적인 목적이다. 마지막으로, 관계적 스키마는 질적으로 유기적이기에 스스로 확장하고 성장하려는 성향을 가지며, 내면적으로 동기 유발이 일어난다.(김남희, 2021: 80-81; 강옥기 외, 2012: 79)

8.5. 딘즈(디너스)의 수학 학습 심리학

(1) 수학적 개념 형성
딘즈(Dienes)는 수학 학습을 "놀이를 통한 구성적 활동"이라고 보고, 수학적 개념 형성 과정의 3단계를 제시하였다. 이 단계는 예비 놀이 단계 → 구조화된 놀이 단계 → 실습 놀이 단계이며, 이러한 단계를 거치며 형성된 수학적 개념은 닫힌 상태(폐)가 되지만, 분석과 적용의 과정에서 열린 상태(개)로 변해 보다 수준 높고 객관적인 재구성이 이루어진다는 것이다. 이와 같은 개념 형성의 사이클을 개폐연속체라고 하였다.(김남희, 2021: 104-105)

(2) 개념 학습 과정
딘즈는 수학 학습에서 구체적인 자료를 사용할 것을 중시하였으며, 다양한 교구를 조작하는 활동으로부터 개념이 발달되고 세련된다고 보았다. 딘즈는 놀이를 통한 수학적 개념의 학습 과정을 다음과 같은 6단계로 설명하고 있다. (김남희, 2021: 105-106)

1단계: 자유놀이 단계
2단계: 규칙놀이(게임) 단계
3단계: 공통성 탐구 단계
4단계: 표현 단계
5단계: 기호화 단계
6단계: 형식화 단계

(3) 수학 학습 원리
딘즈는 자신의 학습 이론을 구현하기 위한 효과적인 학습 원리를 4가지로 제시하고 있는데, 이는 다음과 같다.(황혜정 외, 2019a: 252-253; 김남희, 2021: 107-111)

역동적 원리: 바람직한 수학 학습을 위해서는 역동적인 학습 활동이 전제되어야 한다.
구성적 원리: 아동에게 제시하는 수학적 상황은 분석보다 (직관적인) 구성을 요구하는 것이 우선되어야 한다.
지각적 다양성의 원리: 근본적으로 동일하지만 다르게 보이는 과제를 제시하여 지각적 표현을 변화시킨다.
수학적 다양성의 원리: 개념은 변하지 않게 유지하면서 가능한 한 많은 변인을 변화시킨다.

8.6. 프로이덴탈의 수학화 교수·학습론

(1) 프로이덴탈과 수학화
프로이덴탈(Hans Freudenthal)은 수학적 개념, 구조, 아이디어 등의 '본질'이 물리적, 사회적, 정신적 세계의 '현상을 조직하기 위한 수단'으로 발견되어 왔다고 주장하며, 이 주장을 교수학적 현상학으로 체계화하였다. 프로이덴탈은 수학을 가르칠 때 연역적인 체계만을 중시하여 지도하는 것을 반교수학적 전도라고 비판하며, 현상을 본질로 조직하는 과정을 수학화로 명명하였다. 가령 자연 현상이나 경제 현상을 함수 관계로 파악하고 기술하는 것은 현실 세계를 수학화하는 것이며, 기하를 대수적 방법으로 다루는 것은 기하를 수학화하는 것이다.
프로이덴탈은 학생들이 스스로의 활동을 통해 수학화 과정을 직접 경험해 봄으로써 수학의 본질적 측면을 체험해야 함을 주장하였다. 교사가 학생들에게 수학적 지식을 그저 전달할 것이 아니라, 현상에 해당하는 원자료를 제공함으로써 학생들로 하여금 자신의 수학을 재발명해 나가게 할 것을 강조하였다.
한편 트레퍼스(Treffers)는 수학화가 더 다양한 활동으로 세분화될 수 있다고 하였는데, 특히 수학화 과정을 수평적 수학화와 수직적 수학화가 교대로 일어나는 것으로 보았다. 수평적 수학화란 현실 내의 문제 장면을 변환하여 수학적 처리가 가능하도록 하는 것이고, 수직적 수학화는 조금 더 높고 세련된 수학적 처리가 가능하도록 변환하는 것을 의미한다. (황혜정 외, 2019a: 279-283, 강옥기 외, 2012: 223).

(2) 안내된 재발명
상기된 바와 같이 프로이덴탈은 학생이 자신의 수학을 재발명할 것을 중요시하였다. 이를 안내된 재발명이라 한다. 이는 인류의 역사적 학습 과정을 학습자 개인이 반복해 나가되, 역사를 그대로 답습하는 것이 아니라 학생들이 스스로 수학을 발견해 낼 수 있도록 교사가 자연스럽게 안내해 줄 필요가 있음을 의미한다. 교과 내용을 안내하는 것이 아니라 활동으로 안내해야 하며, 활동을 통해 학생이 수학적 내용을 생각하고 발견하는 것을 목표로 한다. 학생의 재발명이 성공적으로 이루어질 시, 교사에 의해 부과되는 것보다 더 쉽게 학습·파지·전이될 수 있기 때문이다. 이러한 안내된 재발명은 역사 발생적 원리와도 일관된다. (강옥기 외, 2012: 227-228)
가령 음수 학습의 경우, 수학자들이 음수 개념을 생각하고 수용하는 데에는 수천 년이 걸렸으며 학생들 역시 음수 학습에 어려움을 겪는 가능성이 높다. 이러한 상황에서 학생들에게 올바르고 빠른 결과만을 제시한다면 학생들은 음수의 개념을 진정 이해할 수 없게 되며, 오히려 학생들이 음수 개념을 곧바로 습득하는 것이 아니라 점차적으로 친숙해지는 것이 역사 발생적 원리에 부합한다.
한편 안내된 재발명을 실행하기 위해서는 교사의 사고 실험이 중요하다고 주장한다. 여기서의 사고 실험은 수업 장면과 수업 내용에 대해 생각하는 것을 의미하는데, 먼저 수업 장면과 관련된 사고 실험은 가상의 학생들과 그들의 반응을 생각하면서 지도하는 태도라고 할 수 있다. 수업 내용과 관련된 사고 실험은 수학적 개념 혹은 방법을 발명·개선한 수학자의 마음속에서 어떤 일이 일어났을지에 대해 추측하는 것이다. 결국 사고 실험이란 교사가 학생들의 재발명을 돕기 위해 학생의 입장과 반응을 고려하며, 수학자의 마음을 추측하는 것을 의미한다. (황혜정 외, 2019a: 284-286)

(3) 반성적 사고
프로이덴탈은 수학적 사고 수준을 크게 바닥 수준과 탐구 수준으로 구분하면서, 바닥 수준으로부터 점진적으로 수학화가 이루어져야 한다고 주장하였다. 이러한 수학화 과정에서 수준 상승을 가능하게 하는 중요한 활동이 바로 반성적 사고라고 보았다. 이는 자기 자신, 자기가 한 것, 느낀 것, 상상한 것, 생각한 것에 대해 거울처럼 비추어 보는 것을 의미한다. 이러한 사고의 반성이 일어나기 위해서는 아동이 자기 자신과 말할 수 있어야 하며, 스스로의 사고와 행동에 의문을 품어야 한다. 이러한 반성적 사고를 통해 학습자의 수학적 태도를 길러 주는 것이 중요하다. (황혜정 외, 2019a: 288-289)

(4) 현실과 결부된 수학
수학은 수학화를 통해 발생하며 수학화는 현실을 수학화하는 것으로부터 시작한다. 현실을 수학화한다는 것은, 가공되지 않은 원재료로서의 현실에서 점진적으로 수학적인 본질을 찾고 조직화해 가는 것을 의미한다. 학생들은 적극적인 활동을 통해 원초적 현실에서 수학적 본질을 찾고 형식화하여야 한다. 그런 다음 수학을 수준 높게 이해하고, 또 자신의 세계를 이해하는 데에 수학적 수단을 사용할 수 있어야 한다. 그러기 위해서는 다음과 같은 단계를 거쳐야 한다. (황혜정 외, 2019a: 289-291)

직관적 탐구 단계: 현실 세계에 존재하는 문제의 수학적 측면을 알아내고 규칙성을 발견하는 것
수평적 수학화 단계: 현실 상황으로부터 수학적 개념을 추출하고, 이 수학화 과정을 반성함
수직적 수학화 단계: 형식화와 추상화를 중심으로, 수학적 개념의 엄격한 정의가 뒤따름
응용적 수학화 단계: 개념을 새로운 문제에 적용함으로써 개념을 강화하고 일반화

(5) 국소적 조직화
프로이덴탈은 기하 학습의 예를 들고 있다. 정의와 공리로부터 출발하여 기하의 전체 영역을 설명하는 것을 전반적 조직화라 하고, 이에 반해 학습자가 접하고 있는 영역에서 참이라고 인정되는 사실로부터 출발하여 부분적으로 조직화하는 것을 국소적 조직화라 한다. 공간의 여러 현상을 도형으로 조직화하여 도형의 성질을 발견하고, 그 성질을 조직화하는 수단으로서 정의를 도입하고, 그 성질을 증명함으로써 스스로 명제를 만드는 활동이 국소적 조직화이다. 국소적 조직화를 통해 학생들은 증명의 필요성을 인식하고, 수학의 여러 명제가 서로 관련되어 있다는 것을 알 수 있다. 그러나 전통적인 기하 교육에서는 교사나 교과서 저자 등에 의해 정로부터 시작하여 형식적 구조를 지도하는데, 이는 수학자들이 연역 체계를 왜, 그리고 어떻게 만들어가고 있는지를 학생들에게 설명해 주지 못한다. (황혜정 외, 2019a: 295-298)

8.7. 반 힐레의 수학 학습 수준 이론

반 힐레(van Hiele)는 기하 학습에 다섯 수준이 존재하며, 기하 교수에서의 주된 문제는 교사가 학생에게 '기대하는 수준과 학생들의 수준의 차이로부터 발생한다. 이 이론은 많은 학생들이 기하 수업에서, 특히 형식적인 증명에서 어려움을 겪는 이유를 잘 설명해 준다. 아울러 기하 학습 수준의 상승을 위한 교수·학습 단계 이론을 제시하였다.(황혜정 외, 2019a: 301-310; 강옥기 외, 2012: 248)

기하 학습 수준 이론

제1수준: 시각적 인식 수준
제2수준: 기술적/분석적 인식 수준
제3수준: 관계적/추상적 인식 수준
제4수준: 형식적 연역 수준
제5수준: 엄밀한 수학적 수준

교수·학습 단계 이론

1단계: 탐색 단계
2단계: 안내된 탐구 단계
3단계: 명료화 단계
4단계: 자유 탐구 단계
5단계: 통합 단계

8.8. 교수학적 변환론

쉐발라드(Cheval-lard)는 '학문으로서의 수학'(학문적 지식)이 '교육 대상으로서의 수학'(교수학적 지식)으로 변환되기 위해 겪는 과정에 주목하였다. 이와 같이 학문적 지식이 교수학적 지식으로 변환되는 과정에 대한 이론을 교수학적 변환론이라 한다.

교수학적 지식은 다시 '가르칠 지식'과 '학습된(가르쳐진) 지식'으로 구분할 수 있다. 즉, 교수학적 변환론은 수학자의 학문적 지식이 교과서 저자 및 교사 등에 의해 가르칠 지식으로 변환되고, 다시 학생에게 학습된 지식으로 변환되는 것을 의미한다. 교수학적 변환론의 핵심 문제는 두 가지로 요약될 수 있다. 먼저, 교수 체계는 삼원적 관계라는 점이다. 교사와 학생의 이원적 관계가 아닌, 교사와 학생, 지식이라는 삼원적 관계로서 교육을 이해하는 것이 중요하다고 주장한다. 또한, 지식의 파손성에 관한 문제가 있다. 지식을 주의 깊게 다루지 않으면 본래의 의미가 손상되기 쉬우며, 가르치기에 적합하도록 지식을 변형하는 과정에서 왜곡이 발생하지 않도록 유의하여야 한다. (황혜정 외, 2019a: 315-316)

이러한 교수학적 변환의 실제적인 목적은, 교실에서 지식을 효율적으로 학습하도록 변형하는 방법을 찾는 것이다. 브루소(Brousseau)는 지식을 이해·표현·전달하는 과정을 '개인화/배경화'(personalization/contextualization)와 '탈개인화/탈배경화'(depersonalization/decontextualization)의 과정으로 설명하였다. 개인화/배경화는 지식을 인지하고 조직하는 개인적 방법과 관련된 것으로서, 개인에게 의미 있는 지식이 형성되는 과정이다. 탈개인화/탈배경화는 수학적 지식의 이면의 아이디어를 살려 낸 지식을 구조적으로 정돈하는 것으로, 지식을 표현·전달하기 위해 지식을 형식적으로 안정화하는 과정이다.(황혜정 외, 2019a: 320; 김남희, 2021: 266-267)

이와 같은 개인화/배경화 및 탈개인화/탈배경화의 과정은 모두 중요하나, 이 중 어느 하나가 간과되거나 지나치게 강조될 경우 극단적인 교수학적 현상이 발생할 수 있다. 이에 대한 내용은 극단적인 교수학적 현상 문서 참고.

한편 브루소는 특정한 맥학에서 성공적이고 유용하여 학생의 인지 구조의 일부가 되었지만, 새로운 문제해결·개념 이해 등 더 넓어진 문맥에서는 부적합해진 지식을 인식론적 장애(epistemological obstacle)라 부른다. 일상어, 직관, 과도한 일반화, 은유 등이 인식론적 장애 형성에 영향을 줄 수 있다. 가령 "a<b이면 a²<b²"이라는 직관은 양수에서는 유용한 생각이지만, 음수를 학습하는 상황에서는 방해가 될 수 있다.(황혜정 외, 2019a: 329-330)

8.9. 개념 정의와 개념 이미지

수학적 개념의 형식적 정의를 개념 정의라 하고, 개념과 관련된 심상으로 이루어진 마음 속의 비언어적 실체를 개념 이미지라 한다. 개념 이미지는 각 학습자마다 다르게 나타날 수 있다. 개념의 이해를 위해서는 개념 정의와 개념 이미지의 상호작용이 중요하다. 학생들의 사고 과정은 무의식적으로 개념 정의가 아니라 개념 이미지에 의해서 안내되는 경향이 있기에, 개념 이미지가 형성되지 않고 개념 정의만 아는 경우 개념 이해를 보장할 수 없으며, 오래 지나지 않아 잊힐 수 있다. 반대로 개념 정의 없이 개념 이미지만 형성될 경우 오개념이나 오류를 유발할 수 있다.(황혜정 외, 2019b: 225-227; 김남희 외, 2017: 258-259)

8.10. 두빈스키 외의 APOS 이론

두빈스키(Subinsky) 외는 수학적 개념의 형성 과정을 APOS 이론으로 설명하였다. 여기에서 A, P, O, S는 각각 행동(Action), 과정(Process, 행동이 내면화된 것), 대상(Object, 과정이 대상화된 것), 스키마(Schema, 행동, 과정, 대상이 조직화되고 연결된 것)의 머릿글자이다. 함수 개념의 학습을 예로 들자면 다음과 같다.(김남희 외, 2017: 261-263)

행동(A): 함수식의 변수에 값을 대입해 보는 것
과정(P): 특정 값 대입에 얽매이지 않고, 함수를 입력과 출력으로 인식하는 상태
대상(O): 함수를 하나의 집합으로 간주하며 이에 대한 조작을 하는 것[17]
스키마(S): 이 모든 것이 궁극적으로 자리잡은 것

이러한 APOS 이론에서 과정 중심 사고는 동적 사고, 대상 중심 사고는 정적 사고와 연관된다. 극한 개념을 예로 들자면, f(x)=x라는 함수에서 'x가 3에 접근하면 f(x)가 3에 가까워진다'라고 생각하는 것은 과정으로서 동적이며, 이를 대상화하며 ε과 δ를 이용한 형식적 정의로 인식하면 이러한 사고는 정적이다. (황혜정 외, 2019b: 220-221)

9. 교사 지식

9.1. 슐만과 PCK

교사의 지식은 수업의 방법·내용·과정에 영향을 미치며, 학생에게 중요한 역할을 한다. 교사는 교육과정 내용은 물론, 교과 내용 및 교수·학습 방법 등을 잘 알고 있어야 한다. 이러한 교사 지식은 교육과정을 해석·실행하는 데에 주요한 영향을 미친다. 슐만(Shulman)은 교사 지식의 유형을 '교과 내용 지식', '교수학적 내용 지식', '교육과정 지식'으로 구분하였다. 그 의미는 다음과 같다.(황혜정 외, 2019b: 127-130)

교과 내용 지식(Subject Matter Knowledge): 어떤 영역의 사실이나 개념 및 교과 구조에 관한 지식
교수학적 내용 지식(Pedagogical Content Knowledge): 교과를 적절하게 표현·조직하는 방법, 학생들의 오개념 등을 고려한 교수 전략 등에 관한 지식
교육과정 지식(Curriculuar Knowledgr): 해당 학년 수준에서 다루어져야 하는 교과의 내용이나 주제에 관한 지식

특히 슐만은 교수학적 내용 지식(PCK)이 내용 전문가와 교사를 구분 짓는 중요한 지식이라고 설명하였다. PCK에는 학생이 내용을 재조직할 수 있는 지식이 포함되며, 교육과정을 재구성하거나 적절한 교수·학습 방법을 활용할 때 PCK가 역할을 한다.

9.2. 볼과 MKT

볼(Ball)은 슐만의 PCK 개념을 바탕으로 수학을 가르치는 데에 필요한 지식을 구체화하였다. '교수를 위한 수학 지식'(Mathematical Knowledge for Teaching, MKT)을 '교과 내용 지식'(Subject Matter Knowledge, SMK)와 '교수학적 내용 지식'(PCK)으로 구분하고, 이를 각각 세 가지로 다시 구분하였다. 그 내용은 아래와 같다.(황혜정 외, 2019b: 136-138)

일반 내용 지식(Common Content Knowledge, CCK): 교사뿐 아니라 수학을 알고 활용하는 누구나 갖고 있을 법한 수학 내용에 대한 지식
전문 내용 지식(Specialized Content Knowledge, SCK): 학생들에게 가르칠 지식보다 약간 높은 수준의 수학 지식
내용 연계 지식(Horizon Content Knowledge, HCK): 수학의 각 주제가 수학 교육과정의 다른 주제와 어떻게 관련되어 있는지 아는 지식 (수학적 연결성과 관련)

학생에 대한 지식(Knowledge of Content and Students, KCS): 수학 내용에 대한 학생의 이해와 관련된 지식[18]
교수에 대한 지식(Knowledge of Content and Teaching, KCT): 학생에 대한 지식을 고려할 때 수학을 어떻게 가르칠 것인지에 대한 지식[19]
교육과정에 대한 지식(Konwledge of Content and Curriculum, KCC): 학교 수학 교육과정에 대한 지식

10. 교구와 공학적 도구의 활용

교구와 공학적 도구는통상 서로 다른 대상을 가리키나, 둘 다 수업의 효과성을 제고하기 위해 사용하는 도구라는 공통점이 있다.

10.1. 수학 교구의 활용

현실의 대상이나 현상을 추상화하여 수학적 개념이 발생하는데, 교구는 현상과 수학적 대상 사이를 잇는 매개체 역할을 한다. 학생들은 수학 교구를 이용한 조작 활동을 통해 수학적 개념이나 원리에 도달해야 하며, 그러므로 교구는 교구의 조작 결과 수학의 추상성을 관찰할 수 있게끔 설계되어야 한다. 이러한 교구는 학습자의 인지적 수준에 적합하면서, 가르치려는 개념과 관련되어 있어야 한다. 교사가 교구를 선택할 때에는 그 교구를 이용하여 어떤 활동을 할 것인지도 함께 고려할 필요가 있다. 이러한 교구의 예로는 십진블록, 연결큐브, 기하판(지오보드), 패턴블록, 칠교판, 쌓기나무 등이 있다.(류성림 외, 2024: 260-273)

10.2. 수학교육과 공학적 도구(테크놀로지)

(1) 공학적 도구의 장점
테크놀로지의 도입이 수학교육의 방법론에 기여할 수 있는 측면은 크게 실세계와 수학의 연결, 수학적 대상과 관계의 구체화, 수학의 다양한 표현 체계의 연결, 사고력 중심의 수학 교수·학습 활동이 있다.

먼저 실세계와 수학의 연결 측면에서, 컴퓨터는 수학적 현상을 탐구하는 도구로 이용될 수 있다. 일상적인 경험을 컴퓨터로 반복 시뮬레이션함으로써 수학의 세계를 친밀하게 느낄 수 있고, 수학 이론과 실험 결과를 결합할 수 있다. 가령, 몬티 홀 문제를 시뮬레이션함으로써 조건부확률의 개념을 실세계와 연결하여 이해할 수 있다. 다음으로 수학적 대상과 관계의 구체화의 측면에서, 공학적 도구를 이용하면 추상적인 수학적 대상 간의 관계를 구체적으로 살펴볼 수 있다. 특히 기하 교수·학습에 많은 영향을 미치는데, GeoGebra와 같은 역동적 기하 소프트웨어(Dynamic Geometry Software, DGS)를 이용하면 점을 움직일 때 변하지 않는 성질을 연구할 수 있다. 가령 삼각형의 내접원을 탐구할 때, 예각삼각형, 직각삼각형, 둔각삼각형의 내접원과 내심을 그려 봄으로써 딘즈가 주장하는 수학적 다양성의 원리를 적용할 수 있다.

또한 수학의 다양한 표현 체계의 연결 측면에서, 컴퓨터 기반 학습을 통해 수학의 다양한 표현을 한 화면에서 확인하고 서로 연결할 수 있다. 가령 점의 순서쌍을 표로 나타낸 것과 그래프로 나타낸 것을 동시에 봄으로써, 두 표현이 가지는 공통점에 주목할 수 있고, 그 속에 담긴 함수의 의미를 더욱 충실하게 이해할 수 있다. 마지막으로 사고력 중심의 수학 교수·학습 활동의 측면에서, 복잡한 계산이나 문자 식 처리가 문제해결의 본질적인 사항이 아닐 경우 공학적 도구를 이용하면 더욱 본질적인 사고력을 중심으로 수학 교수·학습 활동을 진행할 수 있게 된다. 가령 분수식의 적분을 학습할 때, 부분분수로 분해하는 것에 시간을 빼앗기기보다 컴퓨터 대수 시스템(Computer Algebra System, CAS)을 이용하여 부분분수 분해 결과를 확인하고 이를 이용하여 적분이라는 본질에 집중할 수 있게 된다. 한편, 컴퓨터 프로그래밍 활동 역시 수학적 사고력 신장에 도움을 준다.(강옥기 외, 2012: 415-421)

특히 공학 도구의 가장 큰 특징은 시각화와 조작 가능성인데, 먼저 시각화는 추상적인 수학적 개념과 원리를 지도하는 효과적 방법이다. 학습자의 생각을 시각적 이미지와 대조함으로써 생각을 발전시킬 수 있다. 조작 가능성은 수학적 대상을 직접 조작해 보고 조작의 결과가 어떠한 영향이나 변화를 가져오는지 확인할 수 있다.(류성림 외, 2024: 275)

(2) 공학적 도구 사용 시의 유의점

공학적 도구의 기능을 정확하게 알고, 수업 목적에 맞도록 사용한다.
공학적 도구를 이용하여 수학의 모든 내용을 지도할 수 있다고 생각해서는 안 된다.
극단적인 교수학적 현상에 유의해야 한다.

(류성림 외, 2024: 276)

10.3. 컴퓨터를 이용한 수학 교수·학습 양식

컴퓨터를 활용한 교수·학습 양식은 크게 개인 교사형, 학생 주도형, 보조 도구형, 탐구 학습형으로 구분할 수 있다. 이 네 가지 양식의 특징과 활용 시의 유의점은 다음과 같다.(강옥기 외, 2012: 421-426)

개인 교사형

전통적인 교사의 역할을 컴퓨터가 대신하는 양식
대부분의 컴퓨터 보조학습(Computer Assistant Instruction, CAI) 소프트웨어가 여기에 속함
학생의 반응 방식에 입각해 학생들에게 가장 필요한 정보를 제공
학생들이 수학 개념을 명확히 이해했는지를 보장할 수 없음

학생 주도형

학생이 구성하여 입력하는 논리적인 단계를 컴퓨터로 하여금 수행하도록 함
그 결과를 살펴봄으로써 자신의 사고 과정을 반성
오개념을 극복할 수 있다는 연구와 오개념을 심화시킨다는 연구가 공존

보조 도구형

수학적인 절차를 수행하는 소프트웨어(CAS 등)를 사용
반복적인 중간 과정을 신속하게 처리하여 시간을 효율적으로 사용할 수 있음
기호 조작 자체가 교수·학습의 목적인 경우에는 이러한 소프트웨어를 사용할 수 없음
스프레드시트 프로그램 등도 활용 가능

탐구 학습형

학생 주도형과 보조 도구형이 결합된 양식
학생의 통제 하에 대상들 간의 관계를 탐구
LOGO가 대표인 프로그램

10.4. 교사의 테크놀로지 내용교수지식(TPACK)

공학적 도구(테크놀로지)를 활용하려는 교사가 갖추어야 할 역량을 TPACK이라 한다(최경식, 2024). TPACK이라는 용어는 테크놀로지 지식(Technology Knowledge, TK), 교수학적 지식(Pedagogical Knowledge, PK), 내용 지식(Content Knowledge, CK)을 강조하면서, 이 요인들이 서로 독립된 것이 아니라 통합된 전체(Total PACKage)라는 의미를 담고 있다(임해미, 2009). 수학 수업에서 테크놀로지를 활용할 경우 즉각적인 피드백, 사고과정에 대한 점검 기회의 확장, 표상 간의 연결성과 번역 능력의 확장, 도형의 다양한 성질 추측 및 탐구, 수학 개념 이해의 촉진, 학습자 중심의 수업활동 등의 측면에서 긍정적인 면이 있으나, 현실적으로 교사들은 TPACK 역량의 부족으로 인해 수업 시간에 테크놀로지를 잘 활용하지 못하고 있다(이다희, 황우형, 2018). TPACK 발달을 위해서는 TCK와 TPK가 균형 있게 발달하여야 하며, 교사는 가르치는 학생 및 교실 상황에 따라 유연하게 테크놀로지를 선택하고 활용할 수 있어야 한다.

10.5. 교구와 공학적 도구 활용을 위한 원리

이경화 외(2017)는 수학 교구 활용을 위한 교수학적 원리 세 가지를 제시하였다. 먼저 활동의 원리란, 활동을 통해 수학을 이해하고 학습하도록 한다는 원리이다. 교구가 구체적이고 물리적인 경험으로서의 활동을 가능하게 하며, 학생들은 그 경험에 근거하여 수학을 이해하고 학습할 수 있다. 이 원리를 위해서는 가르치고자 하는 수학 내용, 학생의 심리 발달, 수학 수업에 영향을 미치는 제반 요인 등을 균형 있게 고려해야 한다. 다음으로 도구의 원리란 수학 교구가 도구로서 기능과 역할을 해야 한다는 원리이다. 사전에 해당 수학 교구가 잠재적으로 포괄하고 있는 개념과 절차를 분석하고 학생들의 반응을 예측하는 등 철저한 사고 실험을 거쳐야 한다. 마지막으로 학습의 원리란 수학 교구 활용 결과가 학습 촉진이어야 한다는 원리이다. 수학 교구를 활용하여 수업할 때 교구를 이용한 사고 활동을 유도하지 않으면 학생들은 수학과 무관한 활동만 기억하게 될 수도 있으며, 학습 촉진이라는 목적을 달성할 수 없게 된다.(이경화 외, 2017: 203-207)

11. 수학 학습 부진

(1) 수학 학습 부진의 요인, 진단, 특징
수학은 계통성을 가진 학문으로서, 기초적인 내용을 바탕으로 새로운 내용을 학습해야 한다. 즉 선수 학습이 결손된 채 다음 학습을 수행할 경우 수학 학습 부진은 더욱 심각해지며, 수학 학습 불안과 기피 현상을 야기할 수 있다. 이러한 수학 학습 부진은 인지, 정의, 가정환경, 학교 환경, 교수·학습 등의 요인으로 인해 발생하며, 수학 학습 부진을 진단하기 위해서는 학생의 일상 및 학생에 대한 기록을 관찰 및 조사하거나 지능 검사와 표준학력 검사 등을 실시할 수 있다. 수학 학습 부진 학생은 일반적으로 다음과 같은 특성을 보인다. (류성림 외, 2024: 166-168)

수학에 대한 부정적 신념과 태도를 지니며, 수학의 내용을 이해할 수 없다고 생각하며 이해하려 들지 않는다.
두뇌 지향적이기보다는 육체 지향적인 성취를 추구한다.
추상적 기호 이용을 꺼리고 구체적 조작물에 의존하여 사고하는 경향이 있다.

(2) 수학 학습 부진 학생의 지도
학습 부진은 단순히 학생 개인의 문제가 아니라 교육의 양극화와 같은 맥락에서 파악되어야 하며, 학생 측면, 교사 측면, 지도 방식 측면, 학교 측면에서의 접근이 필요하다.(류성림 외, 2024: 170-171)

학생 측면: 심리·정서척 처치, 반복된 설명과 점검
교사 측면: 학습자의 능력과 특성에 따른 개인차를 고려하여 교육적 배려 실시
지도 방식 측면: 학습 부진 발생을 예방하는 교육이 우선, 정규 수업 시간 전후에 부진학생 지도
학교 측면: 학교 역량 강화

수학 학습 부진 학생을 지도하기 위한 수업 전략으로는 적응적, 교정적, 임상적 수업 전략 등이 있다.(류성림 외, 2024: 171-172)

적응적 수업 전략: 학생의 결함과 장애를 무시하고, 학생이 처한 학습 환경과 교육 여건을 변화
교정적 수업 전략: 학습을 방해하는 요인 및 약점을 제거하는 데에 초점을 둠
임상적 수업 전략: 진단을 통해 부진 학생용 수업 자료를 설계하고, 이에 기반하여 지도한 후 다시 진단을 통해 학습 정도를 파악하는 과정을 반복

12. 수학과 평가

평가는 교수·학습의 결과이자 과정으로서의 역할을 한다. 학생의 성취 수준 판단이나 진학 기준 등으로 사용되기도 하며, 학생들의 어려움을 파악하고 차후 수업 계획 및 교수 방법을 수정 및 보완하기 위해 사용되기도 한다.(강옥기 외, 2012: 441) 수업에서의 평가는 학생들의 성장과 발달을 돕기 위한 목적에서, 학습 상태를 점검하고 교사의 수업을 개선하기 위해 활용되어야 한다.(황혜정 외, 2019b: 289) 이러한 평가는 다양한 기준으로 분류할 수 있는데, 대표적인 것을 열거하면 다음과 같다.

평가 목적에 따른 분류

진단평가
형성평가
총괄평가

평가 방법에 따른 분류

서술형 평가
프로젝트
관찰 및 면담
포트폴리오 평가

미국수학교사협의회(NCTM)에서는 평가를 '학생의 수학적 지식, 기능, 성향에 대한 자료를 수집하여 필요한 목적에 따라 해석하는 과정'이라 정의하였으며, 이러한 평가의 목적으로 다음의 네 가지를 제시하였다.(류성림 외, 2024: 317-319)

학생의 성장을 모니터링하여 학습 촉진하기
교수학적 결정을 통해 수업 개선하기
학생의 성취를 평가하여 그 수준을 확인하기
프로그램을 평가하여 수정, 보완하기

한편, 2022 개정 수학과 교육과정에서는 다음과 같은 평가 방향 및 방법을 안내하고 있다.(교육부, 2022: 47-49)

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(1) 평가의 방향
(가) 학생의 수학 학습에 대한 정보를 수집⋅활용하여 학생의 주도적 학습과 성장을 지원하고 교사의 수업 개선을 돕도록 지속적으로 평가를 실시한다.
(나) 수학과 교육과정에 제시된 성격, 목표, 내용 체계, 성취기준, 교수⋅학습과 일관성을 가지도록 평가를 실시한다.
(다) 학생의 수학 학습을 돕기 위해 수업과 평가를 통합하여 과정을 중시하는 평가를 실시한다.
(라) 수학 내용 체계의 지식⋅이해, 과정⋅기능, 가치⋅태도를 학습 결과뿐 아니라 학습 과정에서 균형 있게 평가한다.
(마) 학생이 평가 과정에 적극적으로 참여하고 스스로 설정한 수학 학습 목표에 대한 달성 여부를 점검할 수 있게 한다.
(바) 학생의 사회⋅문화적 배경, 신체 특성 등이 불리하게 작용하지 않도록 평가를 실시하고, 학생의 사전 지식, 수학에 대한 흥미, 학습 유형, 학습 수준을 고려하여 평가 목적, 교수⋅학습 내용 및 방법에 따라 다양한 평가 방법을 적용한다.
(사) 진단평가, 형성평가, 총괄평가 등을 적절히 활용하여 수학 학습 과정과 결과에 대한 구체적인 정보를 바탕으로 학생의 특성과 학습 결손을 파악하고 개별적 지원 방안을 마련한다.
(아) 온라인 수학 수업에서 평가를 할 때 학습 환경 등의 외적 요소가 수학 학습 과정과 평가 결과에 영향을 미치지 않도록 한다.
(자) 평가 절차를 개방적이고 공정하게 시행하고 학생의 수학 학습에 대한 의미 있는 정보를 학생, 학부모에게 제공한다.

(2) 평가 방법
(가) 수학 수업과 연계하여 과정을 중시하는 평가를 실시할 때는 다음 사항을 고려한다.
① 성취기준을 중심으로 지식⋅이해, 과정⋅기능, 가치⋅태도 범주를 평가 요소로 구체화한다.
② 교수⋅학습과 연계하여 적절한 평가 도구와 준거를 개발하고 평가를 실시한다.
③ 평가 결과에 기반하여 학생의 학습 정보 및 수행 과정을 학생과 학부모에게 환류한다.

(나) 수학 교과 역량을 평가할 때는 다음 사항을 고려한다.
① 문제해결 역량의 평가는 수학의 개념, 원리, 법칙을 문제 상황에 적절히 활용하는지, 주어진 조건과 정보를 분석하고 적절한 해결 전략을 탐색하여 해결하는지, 문제해결 과정을 돌아보며 절차에 따라 타당하게 결과를 얻어내고 이를 반성하는지, 적극적이고 자신감 있게 문제해결에 참여하는지, 적절한 방법을 찾기 위해 끈기 있게 도전하는지 등을 고려한다.
② 추론 역량의 평가는 수학의 개념, 원리, 법칙을 이해하는지, 논리적으로 절차를 수행하는지, 수학적 지식을 다양한 방법으로 탐구하는지, 관찰에 근거하여 추측하고 일반화를 할 수 있는지, 추측의 근거를 제시하는지, 타당한 정당화를 하는지, 수학에 대한 흥미와 관심을 갖는지, 체계적으로 사고하려는 성향이 있는지, 수학적 증거와 논리적 근거를 바탕으로 비판적으로 사고하는 태도를 갖는지 등을 고려한다.
③ 의사소통 역량의 평가는 수학 용어, 기호, 표, 그래프 등 수학적 표현을 이해하고 정확하게 사용하는지, 적절한 수학적 표현을 선택할 수 있는지, 수학적 표현 간에 변환을 할 수 있는지, 수학적 아이디어나 수학 학습 과정 및 결과에 대해 표현하고 다른 사람의 견해를 이해하는지, 수학적 표현의 편리함을 인식하는지, 타인을 배려하고 의견을 존중하는지 등을 고려한다.
④ 연결 역량의 평가는 영역이나 학년(군) 내용 사이에서 개념, 원리, 법칙을 적절하게 관련지어 이해하는지, 수학의 개념, 원리, 법칙을 연계하여 새로운 지식을 생성할 수 있는지, 수학을 실생활이나 타 교과의 지식, 기능, 경험에 적용할 수 있는지, 실생활이나 타 교과의 지식, 기능, 경험을 수학적으로 해석할 수 있는지, 수학을 바탕으로 창의적으로 관련성을 찾을 수 있는지, 수학의 유용성을 인식하는지 등을 고려한다.
⑤ 정보처리 역량의 평가는 자료와 정보를 목적에 맞게 수집하고 변환하고 정리하는지, 자료를 바탕으로 도출한 결론이 적절한지, 교구나 공학 도구를 적절하게 활용하는지, 수학적 근거를 바탕으로 합리적으로 의사 결정하는 태도를 갖는지 등을 고려한다.

(다) 학생의 수학 학습 과정과 결과는 다양한 평가 방안을 사용하여 양적 또는 질적으로 평가한다.
① 지필평가는 수학 내용 체계의 지식⋅이해, 과정⋅기능을 평가하는 데 활용할 수 있고, 선택형, 단답형, 서⋅논술형 등의 다양한 문항 유형을 사용할 수 있다.
② 프로젝트 평가는 학생 스스로 특정 주제나 과제를 탐구하고 해결하기 위해 계획을 수립하고 수행하는 과정과 그 결과물을 평가하는 방안으로, 수학 내용 체계의 세 범주를 종합적으로 평가할 때 활용할 수 있다.
③ 포트폴리오 평가는 학생의 성장에 대한 정보를 얻기 위해 수학 학습 수행과 그 결과물을 일정 기간 수집하여 평가하는 방안으로, 수학 교과 역량의 발달을 종합적으로 평가할 때 활용할 수 있다.
④ 관찰 평가, 면담 평가, 구술 평가는 학생 개인 및 소집단을 관찰, 학생과의 질의응답, 학생의 발표를 통해 평가하는 방안으로, 학생의 사고 방법, 수행 과정, 수학 내용 체계의 가치⋅태도 등을 평가할 때 활용할 수 있다.
⑤ 자기 평가는 학생 스스로 자신의 학습 과정과 결과를 평가하는 방안으로, 수학 내용의 이해와 수행 과정, 문제해결과 추론 과정의 반성, 자신의 생각 표현, 수학 내용 체계의 가치⋅태도 등을 평가할 때 활용할 수 있다.
⑥ 동료 평가는 동료 학생들이 상대방을 서로 평가하는 방안으로, 협력 학습 상황에서 학생 개개인의 역할 수행이나 집단 활동의 기여를 평가할 때 활용할 수 있다.

(라) 교구나 공학 도구를 활용하여 평가할 때는 다음 사항을 고려한다.
① 성취기준의 도달 여부를 판단하는 데 교구나 공학 도구의 사용이 효과적인 경우 이를 활용한 평가를 실시할 수 있다.
② 교구나 공학 도구를 활용하여 평가할 때는 교구나 공학 도구의 기능 및 조작이 아닌 수학 내용의 탐구 과정을 평가한다.

(마) 온라인 수학 교수⋅학습 환경에서 평가할 때는 다음 사항을 고려한다.
① 온라인 수학 학습에서는 학생의 활동에 근거한 구체적인 자료를 사용하여 평가한다.
② 온라인 학습 플랫폼이나 학습 관리 시스템을 이용하여 학생의 수행 과정을 관찰하고 개별 맞춤형으로 환류할 수 있다.
③ 학생의 접속 환경 미비로 인한 불참 시 기회 부여 등에 대해 방안을 마련하고 형평성의 문제가 제기되지 않도록 사전에 안내한다.}}}

13. 수학교재론

수학교재론은 교육할 내용을 조금 더 교육적으로 정교화하는 것에 대한 이론이다. 즉 학문으로서의 수학(수학자)에서 출발하여 학습 활동(학생)에 이르기까지 복잡하고 다차원적인 변화를 고찰하는 것이다.(황혜정 외, 2019a: 33) 학교 수학의 내용을 몇 개의 영역으로 구분하는 방식은 다양하나, 김남희 외(2017)는 이를 '수와 연산', '대수', '함수', '기하와 증명', '미분과 적분', '확률과 통계'의 6개 영역으로 구분하고 각 영역별 지도의 의의, 역사적 발달, 관련된 수학교육학적 연구, 교육과정의 이해, 교과서의 이해, 수업의 이해, 공학적 도구 활동 등을 설명하였다.

수학 교재를 분석하고 그 교육적 의미와 배경을 파악하는 것은 수학 교사의 전문성의 핵심에 해당한다. 이러한 교재연구는 교육과정 의미 해석, 사고 실험과 가설학습경로 분석, 수학적 탐구 촉진 방안 분석, 수학 교수·학습 개선 방안 도출 등의 의의가 있다. (이종학 외, 2024: 9)

13.1. 수와 연산

13.1.1. 수 개념의 발생

(1) 수 개념의 추상화
수는 추상화된 개념이다. 그러나 수 개념이 과연 어디에서 추상되는 것인지는 역사적으로 논쟁이 되었다. 이를 크게 두 가지 관점으로 구분할 수 있는데, 각 관점과 그에 따른 지도 방법을 사물에 의한 방법(method of things)과 기호에 의한 방법(method of symbols)으로 구분할 수 있다. 사물에 의한 방법에서는 수 개념을 사물 자체에 있는 본질적인 특성으로 보며, 인간의 의식이 이 개념을 포착하기만 하면 추상화될 수 있다고 보았다. 이들은 아동에게 수를 가르치기 위해 다양한 사물을 여러 가지 방법으로 보여주기만 하면 된다고 보았다. 반면 기호에 의한 방법에서는 수 개념이 사물에 대한 경험과는 무관하다고 보았고, 수는 정신적인 실재(reality)이므로 이를 표현하는 기호를 다루는 규칙을 학습하는 것만으로 자연수 개념을 충분히 학습할 수 있다고 보았다. 이 두 가지 관점과 방법은 모두 단점이 있다. 먼저 사물에 의한 방법은 학습자의 사고 활동이 사물이나 그림에 고착될 위험이 있으며, 구체물에 대한 경험이 수동적인 관찰 정도에 그칠 수 있다는 한계가 있다. 또한 기호에 의한 방법에서는 수 개념이 현실과 유리되고 공허한 기호로만 학습될 가능성이 있으며, 경험과의 연결이 빈약한 상태로 수를 기계적으로 다루는 것을 강조하는 학습 이 이루어질 수 있다. 그렇기에 수 개념이 추상화되는 원천은 구체적인 사물만으로도, 또 인간의 정신 활동만으로도 설명할 수 없다. 이 두 가지 원천이 기여하는 측면을 통합적으로 바라볼 필요가 있으며, 듀이(Dewey)와 피아제(Piaget)는 수 개념의 원천을 사물에 대한 인간의 활동으로 보았다. 이러한 관점은 구체적인 사물과 인간의 이성이 기여하는 각기 다른 측면을 모두 설명할 수 있다는 점에서 의의가 있다. (김남희 외, 2017: 5-6)

(2) 듀이
듀이는 측정 활동에 의해 수 개념이 생겨난다고 보았다. 측정 활동이란 모호한 전체(vague whole)을 명확한 전체(definite whole)로 만드는 과정으로 보았으며, 이를 위해 변별(분석)과 관계짓기(종합)의 과정이 필요하다고 하였다. 변별은 각 개체를 독립적인 개별자(unit)로 인식하는 과정이며, 관계짓기는 각 사물들을 서로 관련된 통합체이자 단일체(unity)로 인식하는 과정이다. 가령 세 개의 사물이 있을 때, 그 세 사물이 질적으로 너무 유사한 경우 변별이 일어날 수 없으며, 반대로 질적 차이가 너무 큰 경우에는 관계짓기가 일어날 수 없게 되어 3이라는 관몀을 가질 수 없다. 이러한 분석을 바탕으로 하여 듀이는 구성적 활동의 방법이라는 산술 지도 방법을 제시하였다. 이는 다음과 같다.

1단계: 모호한 전체를 경험하는 단계[20]
2단계: 측정을 위한 단위를 파악하는 단계[21]
3단계: 단위의 반복을 통해 모호한 전체를 명확한 전체로 나타내는 단계[22]

이때 듀이는 이른바 고정 단위 방법을 강하게 비판한다. 고정 단위 방법이란 개별 사물을 단위로 고정하는 것을 의미하는데, 이는 개개의 사물이 질적으로 구별된다는 것을 전제로 한다. 이 방법은 전체를 부분으로 변별하는 분석 과정을 생략하게 하며, 개별 사물이 분리된 존재임을 가정하였기에 종합의 과정도 불가능하게 된다. 결국 단위를 고정하여 출발하는 것은 측정 활동의 중요한 본질을 놓치는 것이라 보았다. (김남희 외, 2017: 7-10)

(3) 피아제
피아제는 수학적 개념을 '조작'으로 설명하고 있다. 피아제가 말하는 조작이란 "내면화[23]된 가역적[24] 행동"을 의미하는데, 피아제는 행동의 일반적 조정에 대한 반영적 추상화의 결과로 구성되는 조작이 수학적 개념이라고 보았다. 즉 수학적 개념을 형성하는 것은 곧 조작을 구성하는 것이 되며, 이러한 피아제의 인식론을 '조작적 구성주의'라 부른다. (상술된 수학교육 철학의 해당 문단 참고) (김남희 외, 2017: 10-11)

13.1.2. 음수

(1) 음수 개념의 역사적 발생
19세기에 이르기까지도 수 개념을 크기, 개수, 길이, 넓이 등의 양적 관념과 떼어서 생각할 수 없었으며, 음수를 수로서 받아들이는 데에 많은 어려움을 겪었다. 음수와 그 연산을 처음 배우는 학생들이 겪는 어려움과도 크게 다르지 않다. 당시의 수학자들은 다음과 같은 이유로 음수를 받아들일 수 없다고 생각하였는데, 이는 현재의 학생들에게도 거의 유사하게 나타나는 인식론적 장애(epistemological obstacle)이다.

작은 수에서 큰 수를 빼는 것이 어떻게 가능한가?
-3은 2보다 작은데 (-3)²은 2²보다 크다. 작은 수의 제곱이 어떻게 큰 수의 제곱보다 클 수 있는가?
(-4)(-5)=20임을 인정하면 1:(-4)=(-5):20이 된다. 더 큰 수와 더 작은 수의 비가 어떻게 더 작은 수와 더 큰 수의 관계와 같을 수 있는가?
(-4)×3=(-4)+(-4)+(-4)임은 직관적으로 인식할 수 있다. 그러나 4×(-3)은 직관적으로 아무 의미가 없다.

19세기의 수학자 한켈(Hankel)은 음수의 형식적인 구조만으로 음수를 이해하고, 구체적인 모델을 추구하지 않았다. 이로서 음수는 비로소 구체적 모델과 관련 없는 수학적 개념으로서의 지위를 인정받았다.[25] (김남희 외, 2017: 15-16)

(2) 음수 지도를 위한 모델
음수를 처음 접하는 학생들은 형식적인 접근만으로 음수 개념을 이해하기보다는, 직관적이고 구체적인 모델을 통하여 이해하는 것이 도움이 된다. 이러한 음수 개념의 모델이 음수 개념과 그 연산을 완전히 설명하지는 못하지만, 각각의 모델에서 음수 개념의 어떤 요소가 구현되어 있는지를 이해하고, 이 모델을 통한 직관적 해석과 형식적인 접근을 상보적으로 사용할 수 있다.(김남희 외, 2017, 16-21)

셈돌 모델: 양수는 검은 돌로, 음수는 흰 돌로 나타내고, 음수의 덧셈과 뺄셈을 설명할 수 있으며, 이때 검은 돌 하나와 흰 돌 하나를 같이 없앨 수 있다는 소멸법칙을 이해하여야 한다. 덧셈과 뺄셈이 비교적 자연스럽게 설명되나, 곱셈과 나눗셈을 설명하기는 어렵다.
우체부 모델: 우체부가 어음과 고지서를 배달하거나, 잘못 배달된 어믐과 고지서를 회수하는 것을 통해 설명하는 모델이다. 나눗셈은 자연스럽지 않지만 덧셈과 뺄셈 및 곱셈은 설명 가능하다.
수직선 모델: 사칙연산을 모두 설명할 수 있으나, 음의 부호가 가지는 다중적인 의미가 드러난다는 것이다. 음의 부호가 "왼쪽을 향한다" 및 "반대 방향"이라는 두 가지 의미를 모두 가지는 데다가, 같은 기호가 "뺄셈"을 의미하기도 함을 고려하면, 학생 입장에서 곤혹스러움을 느낄 수 있다.

(3) 형식 불역의 원리
프로이덴탈(Freudenthal)은 음수의 형식적인 본질에 입각하여, 자연수 체계의 확장으로 음수와 그 연산을 지도할 것을 주장하였다. 형식 불역의 원리란 어떤 대수적 구조 혹은 기하적 구조를 확장할 때, 기존의 체계에서 인정된 성질이 유지되어야 한다는 것을 의미한다. 이 예로 자연수 지수에서 성립하는 지수법칙이 유지되도록 지수를 정수, 유리수, 실수까지 확장하는 것 및 자연수 집합에서 성립하는 교환법칙과 결합법칙이 계속 성립해야 한다는 원칙으로부터 음수의 연산을 정의하는 것 등이 있다.
한편 이러한 형식 불역의 원리는 학생들에게 귀납적으로 도입될 수도 있다. 3+2=5, 3+1=4, 3+0=3으로부터 3+(-1)=2를 추측할 수 있는 것이다. 이러한 설명 방식을 귀납적 외삽법이라 한다.
또한 형식 불역의 원리를 기하적 측면에서 살펴볼 수도 있다. "3을 빼는" 연산(즉, x-3)은 자연수 범위에서는 x≥3에서만 정의되며, 이를 그래프로 그리면 제1사분면 안의 반직선을 이룬다. 이러한 반직선을 자연스럽게 확장하면 제4사분면 및 제3사분면에도 그래프가 그려질 수 있으며, 이것을 통해 x<3일 때 x-3이 어떻게 정의되어야 하는지를 알 수 있다. 이는 상술된 대수적 구조를 유지하는 방식의 확장과 일치하며, 프로이덴탈은 이를 기하적·대수적 형식 불역의 원리라 부른다.(김남희 외, 2017: 21-22)

13.1.3. 유리수

유리수를 형식적으로 정의하기 위해서는, 정수 집합과 동치류 개념을 이용한다. 이를 통해 "유리수 집합"을 정의하고, 그 원소로서 유리수를 정의하는 것이다.(외연적 정의) 이러한 외연적 정의는 최대한의 엄밀성을 확보하기 위한 형식화의 결과이나, 그로 인해 직관적인 맥락을 잃는다는 단점이 있다.(김남희 외, 2017: 23-25)
유리수 개념과 관련된 맥락은 다음과 같이 분석될 수 있다.(김남희 외, 2017: 25-27)

부분과 전체: 전체와 부분 사이의 관계를 나타내는 것으로, 1/3=2/6은 동일한 양을 서로 다른 측도에 따라 전체와의 관계로 나타낸 것이다. (포함제의 의미)
분배 결과의 몫: 주어진 양을 나누는 분배 상황에서 발생하는 맥락. 2/5는 두 개의 사과를 5명에게 공평하게 나누어 줄 때 한 사람이 가지는 양을 의미할 수 있다. (등분제의 의미)
비율: 같은 양끼리의 비(내적인 비)와 다른 양끼리의 비(외적인 비)가 있다. 가령 사과 2개를 5명에게 나누어 주는 상황은 사과 4개를 10명에게 나누어 주는 것과 같은 상황이라고 볼 수 있는데, 이를 내적인 비로 표현하면 2:4=5:10(사과끼리의 비, 사람끼리의 비)이고, 외적인 비로 표현하면 2:5=4:10(사과와 사람의 비)가 된다.
연산자: 3을 2로, 6을 4로 보내는 사상으로서 유리수 2/3를 이해할 수도 있다.

13.1.4. 실무한

아리스토텔레스는 무한 개념을 실무한과 가능적 무한으로 구분하였다. 실무한은 무한을 존재하는 실재로 여기는 입장에서 본 무한이고, 가능적 무한은 가능성으로만 생각되는 무한을 의미하는데, 아리스토텔레스는 가능적 무한만을 받아들였으며 실무한은 부정하였다. 가우스(Gauss)나 코시(Cauchy) 등도 무한수열이나 무한집합을 연구하였지만 실무한의 개념을 받아들이지는 않았다. 그러나 극한 등 해석학의 이론이 발달하면서 실무한의 개념이 수용될 수밖에 없었다.

극한 개념의 정의는 분명 실무한의 의미를 함의하고 있으나, 학생들은 '수렴하는 과정'에 집중하여 극한값의 의미에 대해 오개념을 가지는 경우가 있다. 특히 중학교에서는 극한 개념을 다루지 않은 상태에서 0.333...=1/3, 0.999...=1 등을 학습하는데, 이러한 상황이 중학생들에게 인지적 갈등을 유발할 수 있다. 무한급수의 개념 없이 무한소수를 다루는 것이 쉽지 않으나, 무리수 개념의 도입을 위해서 중학교에서 무한소수를 다룰 필요가 있다. (김남희 외, 2017: 31-32)

13.2. 대수

대수 학습을 통해 학생들은 문자와 식을 사용하고, 상황을 형식화 및 일반화하는 등의 능력을 기르게 된다. 학교 수학의 대수 학습은 대수 자체의 내용 학습뿐 아니라, 수학의 다른 분야를 위한 기초 학습이라는 측면에서 중요하다. (김남희 외, 2017: 51)

13.2.1. 대수의 의미 및 역사적 발달

(1) 대수의 의미
대수는 방정식의 풀이, 구조의 연구, 기호를 사용한 일반화, 기호에 의한 양의 탐구, 구조의 연구 등 다양한 의미를 지닌다. 유시스킨(Usiskin)은 학교 대수를 문제 해결 과정의 학습, 산술의 일반화 학습, 여러 가지 양 사이의 관계 학습, 구조의 학습의 네 가지로 구분하였다. 학교에서 대수를 지도할 때에는 대수의 어느 한 측면(방정식의 풀이 등)만을 강조하여서는 안 되며, 문자와 기호를 사용한 문제 해결, 일반화, 양의 탐구, 구조의 학습이 필요하다.(김남희 외, 2017: 55)

(2) 대수의 역사적 발달
대수는 언어적 대수 단계, 생략적 대수 단계, 기호적 대수 단계를 거치며 발달하였다. 언어적 대수 단계는 디오판토스(Diophantus) 이전 시대로서, 부호나 기호 없이 풀이 과정을 일상언어로만 기술하였다. 생략적 대수 단계는 디오판토스 이후부터 16세기 말까지에 해당하며, plus를 p로, minus를 m으로 나타내는 등의 생략 기호를 활용하였다. 또한 미지수를 표현하기 위해 문자를 사용했으나, 방정식의 계수와 해는 반드시 수치로 표현되었다. 기호적 대수 단계는 비에트(Viète)에 의해 시작되었으며, 미지의 양뿐 아니라 주어진 양도 문자를 이용하여 나타내게 되었다. 이를 통해 해법을 공식화하고, 일반해를 나타내는 것이 가능해졌다. 이러한 기호 체계가 발전하면서 불필요한 설명을 줄일 수 있었을뿐더러 함수 등 다른 수학적 개념 발달이 용이해졌다.(김남희 외, 2017: 56-57)

(3) 구조적 대수의 발달
대수에는 절차적인(procerural) 면과 구조적인(structural) 면이 있다. 절차적인 면은 수치를 얻기 위해 수를 가지로 행하는 연산을 의미하며, 구조적인 면은 수가 아닌 대수식 자체에 대해 행해지는 연산을 의미한다. 19세기 이전에는 대수가 '산술의 일반화'를 크게 벗어나지 못하였으나, 점차 형식적 조작 자체로 관심이 이동하였고, 이는 추상대수 발달의 첫 단계가 되었다.(김남희 외, 2017: 58-60)

(4) 대수적 원리
피콕(Peacock)은 산술대수(Arithmatic algebral)와 기호대수(symbolic algebra)를 구분하였는데, 먼저 산술대수란 일상적인 양의 수를 나타내는 기호와 연산기호를 사용해서 얻어지는 학문이다. 산술대수에서 뺄셈은 큰 수에서 작은 수를 빼는 것이어야 하는데, 가령 a-(b-c)라는 식은 c<b, b-c<a라는 조건 하에서만 의미가 있다. 반면 기호대수는 연산의 적용 범위에 제한을 두지 않는다. 상술된 범위 조건이 없더라도 주어진 식은 유효하며, 문자가 나타내는 대상에 대해서는 어떤 특별한 해석도 필요하지 않다. 피콕은 산술대수 법칙이 기호대수로 확장되는 것을 형식불역의 원리라 불렀다. 산술이 산술대수로 바뀌는 과정에서는 직관적인 수 관념보다 알고리즘으로서의 특징이 두드러지며, 산술대수가 기호대수로 바뀌는 과정에서는 연산의 일반화가 이루어진다. 이 과정에서 음수나 허수의 존재성과 의미를 물을 필요가 없어지며, 이에 따라 수를 순전히 형식적으로만 다룰 수 있게 되었다.(김남희 외, 2017: 60-61)

13.2.2. 변수 개념 학습

(1) 변수 개념의 본질
변수는 대수적 언어로서, 학교 수학 학습에서 중심 역할을 하는 개념이다. 변수에는 동적 측면과 정적 측면이 있는데, 동적 측면은 변하는 대상[26]의 운동학적 상태를 나타내는 것이며, 정적 측면은 여러 대상을 동시에 나타내는 것이다. 이러한 변수는 변하는 대상과 다가이름이라는 본질로 정리될 수 있다. 변하는 대상으로서의 변수는 동적 변화로 해석될 수 있고, 다가이름으로서의 변수는 정적 변화로 해석될 수 있다. 가령, 시간 t에 대한 식에서 t는 변하는 대상으로서의 변수이며, 덧셈의 교환법칙 a+b=b+a에서 나타나는 변수 a와 b는 다가이름으로서의 변수이다. 다가이름으로서의 변수는 실재적인 변화라기보다는 가상적 변화이며, 변하는 대상에 비해 덜 동적이기에 정적 변화라고 부른다. (김남희 외, 2017: 64-66)

(2) 변수 개념의 다면성
변수는 다양한 측면을 보이며, 이를 분류하면 다음과 같다. 그러나 현재의 학교 수학에서는 변수 개념의 다면성을 적절히 다루지 않은 채 단순한 자리지기로 해석하는 경향이 있고, 그 결과 학생들은 변수 개념을 깊이 이해하지 못한 채 도구적 이해 수준에만 머무르는 문제가 있다. (김남희 외, 2017: 67-68)

자리지기(place holder): 4x+3=23에서의 x
일반화의 표현을 나타내는 문자(generalizer): a+b=b+a에서의 a, b
임의의 대상[27]을 나타내는 기호
부정소(indeterminate)[28]: y=kx에서의 k
함수식에서의 독립변수, 종속변수, 매개변수, 연산변수, 관계변수 등

(3) 변수와 대수 개념
유시스킨(Usiskin)은 대수 학습을 네 가지로 구분하며, 각 대수 학습 상황에서 변수의 의미를 설명하고 있다. (김남희 외, 2017: 68-70)

대수 학습	변수의 의미	예
문제 해결 과정의 학습	자리지기로서의 미지수	5x+3=4에서의 x
산술의 일반화 학습	다가이름으로서의 부정소	덧셈의 교환법칙을 나타내는 a+b=b+a에서, a와 b
양 사이의 관계 학습	독립변수, 종속변수, 매개변수	어떠한 관계를 유지하며 변하는 변수[29]
구조의 학습	임의의 대상 혹은 기호	실수의 성질을 학습하기 위해 사용되는 문자

(4) 변수 개념과 인지장애
학습자의 제한된 학습 경험 혹은 정신적 미성숙으로 인해 변수에 대해 그릇된 개념 이미지가 형성된 경우, 변수를 사용하는 단계에서 갈등이 유발될 수 있다. 특히 변수의 정의를 중학교에서 처음 학습하는데, 그 이전 단계에서 □를 사용하여 식을 세우는 것 등을 초등학교 수준에서 다루기 때문에, 막연하게나마 변수에 관한 인지 구조가 형성된다. 이러한 생각은 변수가 대신하는 것은 "수"라는 생각으로 나타난다. 이와 같이 변수에 대한 개념 이미지가 인지장애를 유발할 수 있고, 그 예는 다음과 같다. (김남희 외, 2017: 70-73)

변수 기호를 임의로 선택할 수 있다는 것을 잘 이해하지 못한다.
변수가 나타내는 대상을 (주로 수로) 제한하여 생각하는 경향이 있다.
변수를 포함한 대수식을 완결되지 않은 식으로 인식하기도 한다.
변수가 특정한 대상을 대신하는 것으로 이해한다.[30]
독립변수와 종속변수의 개념을 불완전하게 이해하고 있다.

13.2.3. 문자 사용의 이해

문자는 동시 표현의 성질, 한계 결정의 자유성, 문자 선택의 자유성을 가진다. 먼저 동시 표현의 성질은 문자와 수의 차이를 나타내는 것으로, 문자가 0<n<20 혹은 y=3x+2와 같이 동시에(그러나 개별적으로) 많은 수를 표현할 수 있음을 의미한다. 다음으로 한계 결정의 자유성은 문자와 일상언어의 차이를 나타내는 것으로, 문자가 나타내는 범위의 한계를 우리가 원하는 방식으로 자유롭게 정할 수 있다는 것을 의미한다. 이 성질은 수학의 언어에 일반성을 부여하게 된다. 마지막으로 문자 선택의 자유성은 문자와 일상언어의 또 다른 차이를 나타내는 것으로, 주어진 대상을 지칭하기 위해 임의로 문자를 선택할 자유가 있음을 의미한다.(김남희 외, 2017: 74-75)

13.3. 함수

함수는 현실 세계의 상황을 이해하기 위해서, 또한 수학의 여러 영역을 통합하기 위해서 매우 중요한 개념이다. 먼저 현실 세계의 상황을 이해하는 측면에서, 천체나 물체의 운동, 인구 변화, 건축 설계 등 많은 분야를 수학적으로 모델링함으로써, 변화하는 현상을 설명하고 예측하는 데에 도움이 된다. 또한 수학의 여러 영역을 통합하는 측면에서, 기하적 대상을 방정식으로 표현하는 것, 대수식을 함수로 간주하여 그래프를 그리는 것, 함수의 미분과 적분, 통계의 확률분포함수, 추상대수학에서의 군·환·쳉 관한 이론 등도 함수와 관련된다. 이와 같이 함수는 수학의 기초 개념이 되며, 추상적인 수학을 발전시키는 원동력이 된다. (김남희 외, 2017: 117-118)

13.3.1. 함수의 역사적 발달

함수 개념은 전 함수 단계, 기하적 함수 단계, 대수적 함수 단계, 논리적 함수 단계, 집합적 함수 단계를 거치며 발전하였다. 이 과정에서 함수 개념은 종속성에서 대응으로, 동적에서 정적으로, 규칙적에서 임의적으로, 다가함수에서 일가함수로 바뀌었다. 이러한 함수 개념은 해석학의 발전에 핵심적인 역할을 하였으며, 함수의 합성과 역 등의 조작 가능성을 부여함으로써 추상 수학으로의 발전 가능성을 제시하였다. (김남희 외, 2017: 119-128)

전 함수 단계

고대 바빌로니아, 고대 그리스
함수가 무엇인지에 대한 논의는 없었음
천체 운동 등 자연의 변화를 관찰하기 위한 함수표를 사용

기하적 함수 단계

17세기 무렵, Oresme, Galilei, Cavaliery, Barrow 등
여러 가지 운동을 양적으로 수학화
운동을 나타내는 곡선을 중심으로, 곡선의 접선, 곡선 아래의 면적, 곡선을 따라 움직이는 점의 속도 등을 구함

대수적 함수 단계

18세기 무렵, Newton, Bernoulli, Euler 등
초기에는 함수를 '해석적 표현'으로 인식하였으나, '진동현 문제'를 논의하는 과정에서 하나의 해석적 표현으로 나타낼 수 없는 함수도 받아들임으로써 함수 개념을 확장함.
함수의 정의에 사용되는 변수 개념을 제거하고자 하였으며, 이 과정에서 독립변수와 종속변수의 구분이 명확해짐.
함수의 기하적 원천과는 관계없이 대수적으로 조작 가능하게 됨 (합성함수, 역함수 등)

논리적 함수 단계

19세기, Dirichlet, Hankel 등
Fourier 급수를 연구하는 과정에서, 불연속 함수에도 해석적 표현이 존재할 수 있음이 밝혀졌으며, Dirichlet 함수의 출현으로 인해 함수 개념을 재고할 필요가 생김
Dirichlet는 변수의 종속 여부 및 식으로 표현 가능한지를 중요하게 보지 않고, 한 변수의 값에 다른 변수의 유일한 값이 대응되느냐 대응되지 않느냐의 논리적 조건에만 관심을 가짐
다가함수가 아닌 일가함수만을 함수로 봄
함수의 정의에서 변수 개념을 제거하고, 일가성[31]과 임의성[32]을 강조함

집합적 함수 단계

20세기 무렵, Bourbaki 등
미적분과 해석학의 발전으로 인해 실수의 구조를 엄밀하게 하려는 노력이 생김
수 집합이 아닌 집합에서도 함수를 논할 수 있게 됨[33]
함수를 곱집합의 부분집합으로 정의하기도 함

13.3.2. 함수 개념의 지도와 학습

(1) 함수의 측면과 강조점
함수에는 종속성, 그래프, 공식, 행동, 과정, 대응, 순서쌍, 대상 등의 측면이 있는데, 이 중 어떤 측면을 강조할 것인지는 중요한 문제이다. 특히 종속성을 강조할 것인지 대응을 강조할 것인지는 많은 논쟁을 일으키는데, 우리나라의 중학교 교육과정에서는 종속성을, 고등학교 교육과정에서는 대응을 강조하고 있다. (김남희 외, 2017, 129-130, 148-149)

(2) 교수학적 현상학에 따른 함수 지도 (프로이덴탈)
프로이덴탈의 교수학적 현상학이란, 수학을 가르칠 때 해당 내용의 발생 배경이 된 현상을 적절히 반영해야 한다는 의미이다. 그러므로 함수를 지도할 때에는 함수가 발생하게 된 현상을 충분히 이해하고, 함수가 현실 세계에서 응용되는 상황을 분석하며 함수를 지도할 필요가 있다. 학생들이 경험할 수 있는 현상은 매우 많다.[34] 그러나 이러한 현상을 학생들이 자연스럽게 함수로 인식하지는 않으며, 조금 더 의식적인 반성의 단계가 필요하다. 그러므로 교수학적 현상학에 따른 함수 지도를 위해서는, 다양한 현상에 대한 직관적 경험을 제공하고, 이 현상들에서 나타나는 종속성의 특성을 인식하게 한 후, 이를 바탕으로 표·그래프·식과 연결하여 그 특성을 명확히 하며, 일차함수·이차함수·삼각함수·지수함수·임의의 대응 등을 알게 하여 이로부터 적절한 함수 개념을 도입할 수 있다. (김남희 외, 2017: 130-135)

(3) 구조주의적 관점에 따른 함수 지도
구조주의적 관점에 따르면, 대응을 통해 함수를 정의하고, 이와 관련하여 정의역, 치역, 공변역 등을 설명할 수 있다. 이때 함수의 예로써 특정한 함수를 다루며 응용문제로 함수와 관련된 현상을 다룰 수 있을 것이다. (김남희 외, 2017: 135)

(4) 그래프의 양적 접근과 질적 접근
크라벤담(Krabbendam)은 함수의 그래프를 지도하는 방식을 두 가지로 구분했는데, 바로 질적 접근과 양적 접근이다. 먼저 양적 접근이란, 정확한 수치 자료를 이용하여 이를 좌표평면 혹은 좌표평면에 정확하게 그림으로써 변화의 특징을 설명 및 예측하는 것이다. 가령, 여러 가지 모양의 용기에 물을 따를 때, 물의 높이의 변화를 추측해 보고 대략적인 그래프로 나타내는 활동이 질적 접근의 예가 될 수 있다. 반면 질적 접근이란 상황을 수량화되지 않은 상태로 개략적으로 표현하고 설명하는 것을 의미한다. 학생들은 양적 접근에 대한 경험이 많지만 질적 접근에 대해서는 그렇지 못한데, 그래프를 의미 있게 사용하려면 이러한 접근 방식의 통합이 필요하다. (김남희 외, 2017: 136-138)

(5) 함수 학습 시의 어려움
학생들은 인식론적 장애[35] 혹은 '개념 정의'와 '개념 이미지'의 불일치 등으로 인해 어려움을 겪을 수 있다. 이러한 어려움의 예는 다음과 같다. (김남희 외, 2017: 140-145)

주어진 상황을 그래프로 표현할 때, x축과 y축에 어떤 변수를 써넣어야 하는지 알기 어렵다.
독립변수에 따라 함숫값이 반드시 '변화'해야 한다는 선입관을 가지기에, 상수함수를 함수로 받아들이기 어렵다.
함수는 모든 정의역에서 한 가지 규칙이나 식으로 표현되어야 한다고 생각하는 경향이 있어, 그래프상에서 갑작스러운 변화가 일어나면 함수가 아니라고 생각한다.
일가성, 일대일 함수, 일대일 대응의 의미를 혼동하기 쉽다.

13.4. 기하와 증명

13.4.1. 기하학의 역사적 발생

고대 이집트와 바빌로니아에서는 실용성을 위해 땅의 넓이 및 도형의 길이나 부피 등을 연구하였다. 그러나 고대 문명에서 발달한 기하학은 논리적 체계가 결여되어 있어 학문으로 보기에는 어려움이 있다. 이후 그리스에서 학문으로서의 기하학이 시작되었으며, '왜 그럴까?'라는 의문과 호기심에서 비롯하여 논리적 사고가 싹트기 시작하였다. 기원전 365년경 태어난 유클리드(Euclid)는 공리적이고 연역적인 방법[36]으로 수학적 지식을 체계화하여 『원론』을 저술하였다. 『원론』에는 23개의 정의, 9개의 공리, 5개의 공준이 제시되어 있다. 유클리드의 공리적이고 연역적인 방법은 이후 수학의 발전에 토대를 제공하였고, 수학의 고유한 방법으로 정착되었다.

한편 데카르트(Descartes)는 좌표 개념을 도입하여 도형을 다루는, 해석 기하를 창안하였다. 유클리드는 직선과 원 등의 도형을 전체적이고 종합적으로 파악하였는데, 데카르트는 직선이나 원 등을 분해하여 그 위에 있는 각각의 점을 연구하였다. 도형 위에 있는 점 (x, y)에서 x와 y 사이에 성립하는 방정식의 관점에서 도형을 연구한 것이다. 이러한 의미에서 데카르트가 창안한 기하학을 해석 기하라 하며, 이와 대비되는 유클리드의 기하학을 종합 기하 혹은 논증 기하라 한다.

이후 유클리드 『원론』에 제시된 제5공준을 변형한 비유클리드 기하학, 사영 기하, 화법 기하, 위상 기하, 프랙탈 기하 등이 발달하였다. (김남희 외, 2017: 184-202)

13.4.2. 『원론』의 특징

(1) 공리적 방법
『원론』에서는 '삼각형의 내각의 합은 180º이다'라는 명제를 증명하기 위해 제4공준과 제5공준을 사용하여 평행인 두 직선의 동위각의 크기가 같다는 점 및 맞꼭지각의 크기가 서로 같다는 점을 밝히고, 이를 이용하여 평행인 두 직선의 엇각의 크기가 같음을 설명하고 있다. 이와 같이 특정 명제가 성립하는 이유를 계속 찾다 보면 그 뿌리가 모두 공리와 공준에 닿아 있는데, 이를 공리적 방법이라고 한다.(김남희 외, 2017: 187-189)

(2) 연역적 추론
정의, 공리, 공준 및 이미 참이라고 알려진 성질을 이용하여, 참인 명제를 새롭게 이끌어 내는 것을 연역적 추론이라고 하며, 『원론』은 연역적 추론 방법으로 저술되어 있다. 반면 관찰, 측정, 실험, 구체적 조작 등을 통해 몇 가지 사례에 대해 명제가 참임을 보인 다음, 이 사례가 속한 전체 범주의 대상에서 그 명제가 참임을 주장하는 방법을 귀납적 추론이라 한다. (김남희 외, 2017: 189-191)

(3) 종합적 방법
『원론』은 수학사에서 매우 중요한 의미를 가지나, 이를 그대로 교육하는 것은 쉽지 않다. 원론은 지나치게 형식적이고 엄밀하게 기술되어 있기 때문에, 『원론』에 기술된 방식 그대로 학생들을 지도하는 것에는 교육적으로 문제가 있다. 『원론』에 담긴 수학적 내용은 유클리드가 한순간에 밝혀 낸 것이 아니라, 이전까지 귀납적 추론 또는 유비 추론 등을 통해 발견한 사실을 연역적으로 정돈하고 체계화한 것이다. 그런데 『원론』에는 그 귀납적 추론 또는 유비 추론 등의 과정이 제시되어 있지 않다. 이와 같이 가정으로부터 결론을 이끌어 내는 선형적 방식을 종합적 방법이라 한다. 이러한 종합적 방법은 수학적 사고의 결과만을 세련된 형식으로 제시하나, 그 이전에 경험하였을 추론 과정을 보여 주지 못한다.
이에 반해, 결론이 참이 되기 위해 필요한 선행 조건을 탐색하고, 선행 조건을 거꾸로 올라가면서 가정과 연결시키는 방식을 분석적 방법이라 한다. 학교 수학에서는 『원론』과 같이 분석적인 방식으로만 증명을 지도해서는 안 되며, 종합적 사고와 더불어 분석적 사고 역시 지도할 필요가 있다. (김남희 외, 2017: 191-192)

이러한 『원론』의 특징으로 인해 『원론』의 내용과 형식을 학생들에게 그대로 가르치는 것은 곤란하며, 적절한 교수학적 변환이 필요하다.

13.4.3. 해석 기하의 지도

해석 기하에서는 도형을 대수적인 방법으로 바라보며, 우리나라에서는 고등학교 1학년에서 집중적으로 다루고 있다. (2015 개정 교육과정의 < 수학> 및 2022 개정 교육과정의 < 공통수학2>) 초등학교부터 중학교까지 학습한 종합 기하(논증 기하)의 내용을 대수적인 방법으로 접근하며, 도형의 여러 성질을 새롭게 탐구하는 것을 목적으로 한다. 가령, 중학교에서 논증 기하적으로 정당화한 삼각형의 외심의 존재성을, 좌표를 통해 해석 기하적으로 설명할 수 있다.
그러나 고등학생들은 해석 기하의 많은 내용을 학습하지만 그 의미를 충분히 인식하지는 못하고 있다. 그렇기에 해석 기하의 방법을 종합 기하의 방법과 비교하고 통합할 수 있도록 지도할 필요가 있다.(김남희 외, 2017: 199-200)

13.4.4. 기하 개념의 이해와 적용

13.4.4.1. 개념 간의 관련성

수학적 개념 간의 관련성에는 크게 수직적 관련성과 수평적 관련성이 있다. 먼저 수직적 관련성은 두 개념 간에 논리적인 종속 관계가 성립하는 경우를 의미하는데, 가령 삼각형의 외심 개념은 선분의 수직이등분선 개념과 논리적으로 종속되어 있다. 이러한 수직적 관련성은 새로 학습한 개념이 학습자에게 의미 있게 정착되는 것과 관련되므로, 교사는 새로운 개념 학습의 토대가 되는 선수 개념이 무엇인지를 파악하고 있어야 한다. 이러한 수직적 관련성은 스켐프(Skemp)가 주장한 학습의 준비성과도 연결되는데, 학습의 준비성이란 추상화된 상위 개념을 학습하기 위해서는 하위 개념이 형성되어 있어야 함을 의미한다.

반면 수평적 관련성이란 특정 대상이나 현상을 여러 개념을 통해 파악하는 것을 의미한다. 가령 이등변삼각형에서 밑변의 수직이등분선은 꼭지각의 이등분선으로도 볼 수 있는데, 이 상황에서 변의 수직이등분선 개념과 각의 이등분선 개념이 관련된다. 이러한 수평적 관련성은 기하 문제 해결과 밀접한 관계가 있는데, 그림에 포함되어 있는 여러 개념을 동시에 파악하는 능력이 중요하다. (김남희 외, 2017: 205-207)

13.4.4.2. 개념 학습 과정에서의 장애의 원인과 극복

학생들이 기하 개념을 이해하고 적용할 때에는 장애를 겪을 수 있는데, 이러한 장애의 원인은 크게 개념의 개별화, 개념의 고착화, 선행 개념의 방해 등으로 나누어 살펴볼 수 있다. 먼저, 개념의 고착화란 학생들이 각각의 개념을 분리된 것으로 파악한다는 것이다. 개념이 개별화될 경우 한 개념에서 다른 개념으로 이행할 수 있는 가능성이 사라지며, 개념 간의 관련성 구축을 방해한다. 이러한 개념의 개별화 현상을 극복하기 위해서는 학생들에게 이미 확립되어 있는 하위 개념에 근거하여 새로운 개념을 도립 및 설명할 필요가 있다.

다음으로 개념의 고착화란 학생들이 학습한 개념을 특정 상황이나 맥락에만 고착시키는 것을 의미한다. 기하 개념 지도를 위해 그림이 주어질 때가 많은데, 이러한 그림은 어디까지나 개념 설명을 보조하기 위한 예시에 불과하지만 학생들은 그 그림 자체를 개념과 강하게 결부시키는 경향이 있다. 가령 평행선과 엇각의 관계를 학습할 때 주로 두 가로선이 비스듬한 직선과 만나는 그림을 보게 되는데, 문제 상황에서 가로선이 아닌 두 평행선이 제시될 경우에 그 문제 상황을 평행선과 엇각의 관계라는 개념과 연결하지 못할 수 있다. 이러한 개념의 고착화 현상을 방지하기 위해서는 학생들에게 다양한 맥락과 시각적 경험을 제공해야 하며, 본질적인 성질(두 평행선과 만나는 직선)과 비본질적인 성질(가로로 놓인 평행선)을 분리하여 비교할 수 있도록 할 필요가 있다. 이는 딘즈가 주장한 수학적 다양성의 원리와도 일관된다.

마지막으로 선행 개념의 방해란, 문제 상황에서 먼저 이용된 선행 개념이, 그 문제 상황을 다른 개념의 관점에서 해석하는 것을 방해하는 것을 의미한다. 예를 들어 특정 직선이 각의 이등분선이기도 하면서 두 평행선과 만날 경우, 각의 이등분선이라는 선행 개념으로 인해 평행선의 성질이라는 후행 개념으로 옮겨 가지 못할 수 있다. 이러한 선행 개념의 방해 현상은 기하적 그림을 오직 한 개념에 관해서만 바라보는 제한적인 방식에서 기인하며, 이를 해결하기 위해서는 문제 상황과 관련된 개념을 견실하게 이해하는 동시에 그 개념들을 체계적으로 관련 지을 필요가 있다. 한편, 선행 개념의 방해 현상과 유사한 현상으로 Duvak이 제시한 중복 방해 현상이 있는데, 이는 기하 문제를 해결할 때 동일한 요소를 두 번 이상 고려할 때 곤란을 겪는 것을 의미한다. (김남희 외, 2017: 207-209)

13.5. 미분과 적분

13.5.1. 미분과 적분의 역사적 발달

고대 그리스의 아르키메데스(Archimedes)는 실진법과 평형법을 이용하여 각각 포물선(과 현으로 둘러싸인 부분)의 넓이 및 구의 부피를 구했다. 실진법은 영역을 무한히 나눌 수 있다는 가정에 기초하는 것으로, 오늘날의 구분구적법과 유사한 아이디어이다. 평형법은 면을 쌓아 입체를 만드는 것과 유사하다.

케플러(Kepler)는 통의 부피 계산을 통해 미분과 적분의 아이디어에 접근했다. 케플러는 저서에서 회전체의 부피를 계산하는 법 및 최소의 재료로 최대 용량의 포도주 통을 만드는 극값 문제를 다루었으며, 이러한 아이디어는 카발리에리(Cavalieri)에게 영향을 준다. 카발리에리는 잘린 두 평면도형/입체도형의 길이/넓이의 비가 일정하면, 두 평면도형/입체도형의 넓이/부피의 비 역시도 그와 같다는 원리를 밝혔으며, 이를 불가분량법이라 한다. 불가분량법을 이용하여 타원과 구의 부피를 구할 수 있다.

뉴턴(Newton)은 '무한히 적은 양'의 개념을 이용하여, 유율법에 의해 미분을 생각해 냈다. 그러나 뉴턴은 '무한히 적은 양'을 때로는 0이 아닌 것으로 또 때로는 0으로 취급하였기에, 추후 버클리(Berkeley)에게 비판을 받는다. 뉴턴과 달리 페르마(Fermat), 배로(Barrow), 라이프니츠(Leibniz) 등은 곡선에 접선을 긋는 문제로부터 미분의 아이디어에 도달하였다. 특히 라이프니츠는 현대적인 적분 기호와 dx, dy 등을 처음 사용하였으며, 이러한 기호들은 뉴턴의 기호보다 편리하여 미적분의 발전에 크게 기여했다. 한편, 뉴턴과 라이프니츠 중 누가 미분의 아이디어를 먼저 알아내었는지에 대한 논쟁이 유명한데, 오늘날에는 두 사람이 각기 독립적으로 연구했고, 발견은 뉴턴이 앞서지만 발표는 라이프니츠가 먼저 하였다고 인정된다.

이후 미분방정식, ε-δ 방법, 도함수를 갖지 않는 연속함수, 모든 점에서 불연속인 함수 등이 연구되며 미적분과 해석학이 발달하였다. 특히 극한, 연속, 미분가능 등에 대한 이론은 실수계의 성질에 의해 좌우된다는 것을 깨닫게 되면서, 실수계가 엄밀하게 정의되고 이로부터 해석학의 개념이 유도되어야 한다는 생각을 하게 되었다. 이러한 경향을 해석학의 산술화라고 하며, 19세기 수학사의 중요한 세 경향 중 하나이다. (나머지 두 개는 비유클리드 기하학의 출현에 따른 기하학의 해방 및 추상적인 대수적 구조의 출현에 따른 대수학의 해방이다.) (김남희 외, 2017: 248-258)

13.5.2. 무한 개념

철학자 제논(Zeno)는 다음과 같은 파라독스를 제기하였다. 아킬레스(사람 이름)와 거북이가 경주를 하되, 거북이가 아킬레스보다 100m 잎에서 출발한다고 하자. 그러면 아킬레스가 100m 지점(=거북이가 출발한 지점)에 도달했을 때 거북이는 10m 앞서 있게 되고, 또 아킬레스가 10m 더 움직였을 때 거북이는 1m 앞서 있으며, 이와 같은 달리기를 계속하면 아킬레스가 거북이의 위치에 도달했을 때 거북이는 조금 더 앞서 있게 되므로, 아킬레스가 결코 거북이를 추월할 수 없다.

실제 경주를 하면 아킬레스가 거북이를 따라잡을 수 있음을 누구나 알고 있지만, 이 역설에 내재된 오류를 정확히 지적하고 반박하는 것은 쉽지 않다. 이 문제는 양수를 무한 번 더하더라도 그 합이 유한할 수 있다는 것이 밝혀진 후 이 역설을 설명할 수 있었다. 아킬레스가 거북이를 따라 100m, 10m, 1m, 0.1m, ... 를 달리는 데에 걸리는 시간은 모두 양수이고, 이를 무한 번 더하지만, 그 합이 유한할 수 있다는 것이다. 이는 무한등비급수의 합과 연관된다.

중학교에서 학생들은 [math(0. \dot9 = 1)]을 어렵게 여긴다. 0.999...에서 9가 아무리 계속되더라도 1과는 미세한 차이가 있다고 생각하는 경향이 있다. 이는 고등학교에서 무한등비급수의 합을 배운 후에는 더 정확하게 이해할 수 있지만, 중학교에서는 직관적으로 이해할 수밖에 없기에 학생들에게 체감되는 난도가 높다. 중학교에서는 x=0.999...의 양변에 10을 곱한 후 10x에서 x를 빼는 방법으로 설명하는 것이 보통이지만, 1/3=0.333이므로 1=3/3=0.999 혹은 1/9=0.111...이므로 1=9/9=0.999...와 같은 방법으로 사례를 통해 규칙성을 찾는 방법을 활용할 수도 있다.

한편 무한급수에 대하여 많은 오개념이나 혼란을 겪기도 한다. 1+(-1)+1+(-1)+...와 같은 무한급수에서 두 항씩 묶어 계산하면 0+0+0+...=0이라는 결과가 나오는 등, 모순된 결과를 얻을 수 있다. 실제로 오일러(Euler)를 포함한 수학자들도 무한급수에 관한 오류를 범한 바 있으며, 이러한 오류는 유한에서 성립하는 성질을 무한에서 사용하였기 때문에 발생하는 것이다. (김남희 외, 2017: 272-276)

13.5.3. 접선 개념

학생들은 접선을 중학교에서 원의 접선을 배우며 처음 접하게 되는데, 이때에는 '원과 한 점에서 만나는 직선'으로 다룬다. 그러나 고등학교에서는 원뿐 아니라 더욱 다양한 곡선을 다루게 되면서, 접선 개념의 수정이 필요하다. 고등학교 1학년에서는 판별식을 이용하여 이차함수의 접선을 학습하게 되는데, 이차함수의 접선을 '이차함수의 그래프와 한 점에서 만나는 직선'으로 할 경우 직선 x=1이 이차함수 y=x^2의 접선이라는 비상식적 결과가 나오므로, 접선 개념을 수정할 필요를 느끼게 된다. 그렇기에 고등학교 1학년 수준에서는 접선을 '곡선과 스치면서 한 점에서 만나는 직선'으로 수정한다. 그러나 이 정의 역시 불완전하다. y=|x|의 그래프는 직선 y=x/2와 한 점에서 스치면서 만나지만 접선이 아니며, 곡선 y=x^3과 직선 y=0이 있을 때 직선이 곡선을 관통하면서 만나지만 접선이고, 다른 삼차함수의 경우 접선이 곡선과 두 개 이상의 점에서 만날 수도 있다. 그렇기에 수학적으로 정확한 정의는 할선의 극한이다.

이와 같이 접선의 개념을 수정해 가며 지도하는 것은 라카토스(Lakatos)의 준경험주의 수리철학과 관련이 깊다. 접선 개념은 다음과 같은 다중성을 지니며, 학생들이 처음에는 접선 개념을 기하적 접선 개념 1과 같이 이해하였지만, 이에 대한 반례가 생김에 따라 개념을 기하적 접선 2 및 함수적 접선 1, 함수적 접선 2 및 기하적 접선 3으로 수정하는 것이다.(김남희 외, 2017, 288-291)

기하적 접선 개념

1. 곡선과 한 점에서 만나는 직선
2. 곡선과 스치며 만나는 직선
3. 할선의 극한

함수적 접선 개념

1. 직선의 방정식과 곡선의 방정식을 연립하여 얻은 방정식이 중근(다중근 포함)을 갖는 직선
2. 곡선 위의 한 점을 지나며 기울기가 그 점에서의 미분계수와 같은 직선

한편 함수적 접선 개념 2의 경우, y=√|x| 위의 점인 원점에서 접선이 존재함을 설명할 수 없다는 점 및 함수의 그래프가 아닌 곡선의 접선을 명확히 설명할 수 없다는 점에서 한계가 있다.

13.5.4. 역사발생적 원리와 미적분 교육

클라인과 포앙카레는 수학의 역사적 발달 과정에 따라 직관적인 상태에서 점진적인 형식화를 거쳐 마지막에 연역적인 형식 체계에 이르도록 지도할 것을 제안하였는데, 이를 고전적 역사발생적 원리라고 한다. 한편 프로이덴탈은 역사적 발달 과정을 그대로 재현하는 것이 아니라 학습자의 현실적 문맥을 통해 재구성해야 한다고 주장하였는데, 이를 현대적 역사발생적 원리라 한다. 즉, 프로이덴탈은 역사적 발생 과정을 답습하는 것이 아니라, 학습자의 현실적 상황에 맞게 재발명해야 한다고 본 점에서 고전적 역사발생적 원리와 차별화된다.

이러한 역사발생적 원리에 따른 교육은 연역적인 방식의 교육과 대비된다. 연역적인 체계에 따라 교육할 경우 학생들은 이해에 어려움을 겪게 되며, 수학은 천재들에 의해 창안되었다고 생각하게 된다. 그렇기에 역사발생적 원리에 따라 교육하며 개념의 발생 과정을 직관적이고 자연스럽게 제시하며, 발견 및 귀납을 통해 수학이 발달한 점을 지도에 반영할 수 있도록 할 필요가 있다.

퇴플리츠(Toeplitz)는 미적분 지도에 대해 많은 시사점을 제공한다. 퇴플리츠는 보통의 미적분 교재(미분→적분 순서)와 그 흐름이 다르다. 퇴플리츠의 저서 <<미적분학-발생적 접근(The Calculus - A Genetic Approach)>>는 다음과 같은 순서로 배열되어 있다.

무한 과정의 본질
정적분
미분과 적분
운동 문제에의 응용

이 책에서는 역사발생 과정에 따라 무한소 개념을 소개하고 정적분을 다룬 후에 미분을 정의하고, 미적분의 기본정리에 따라 미분과 적분이 역과정임을 설명한 후 부정적분, 미적분의 응용을 전개한다.

그러나 이러한 지도 방법을 도입하는 것은 현실적으로 어려움이 따른다. 일반적인 방법이 존재하는 미분과 달리 적분은 함수에 따라 적분 방법이 달라지기 때문에 미분에 비해 전반적인 난도가 높으며, 미분 없이 적분을 도입할 경우 구분구적법으로 적분을 구해야 하는데 이 과정이 번거롭다. 이러한 이유에서 대부분의 교재(우리나라 및 해외 포함)에서는 미분을 먼저 도입하고 적분을 뒤에 배치하는데, 이처럼 기본적인 전개는 미분을 먼저 다루더라도, 미적분의 역사적 발생 과정을 염두에 두고 발생의 맥락이 드러나도록 지도할 필요가 있다. (김남희 외, 2017: 263-268)

13.6. 확률과 통계

확률과 통계는 불확실성에 대한 수학적 접근 과정에서 만들어졌다는 점에서, 수학의 다른 영역에서 접할 수 없는 고유한 특징이 있다. 과거와 현재의 현상을 수량화하거나 그래프로 정리하여 분석하고, 이것이 인류의 발전에 기여함을 이해하는 것이 확률과 통계 지도의 중요한 목표이다. (김남희 외, 2017: 303-304)

13.6.1. 확률과 통계의 역사적 발달

기원전 3500년경부터 주사위 놀이의 흔적이 발견되며, 기원후 850년경 인도에서는 조합의 수 및 곱의 법칙 등을 알고 있었고, 1100년경 중국에서는 오늘날 파스칼의 삼각형으로 알려진 것을 발견하였다. 13세기에는 주사위 놀이에 대한 이론적 분석이 이루어졌는데, Galileo는 주사위 세 개를 던졌을 때 눈의 합이 9인 경우와 10인 경우 중 후자가 더 많은 이유를 수학적으로 설명하였다. 17세기에는 파스칼(Pascal)과 페르마(Fermat)가 확률론을 발달시켰으며, 수학적 귀납법을 통해 파스칼의 삼각형을 발견하였다.

이후 베르누이(Bernoulli)는 대수의 약법칙(Weak Lae of Large Numbers, 큰 수의 법칙)을 발견하였고, 라플라스(Laplace)는 중심극한정리를 이끌어 내었다. 중심극한정리에 따르면 분포를 알 수 없는 변량조차도 그 시행 횟수가 클 때 표본평균이 정규분포를 따르므로, 정규분포의 성질을 분석하여 대부분의 확률 현상을 이해할 수 있다는 점에서 의의가 있다. 베이즈(Bayes)는 정보가 추가될 때 확률이 달라짐을 명확하게 하며, 조건부확률 개념 및 베이즈 정리를 도출하였다. 즉 이미 알고 있는 사전 확률에서 출발하여, 새로운 증거를 반영한 사후 확률을 구하는 과정을 설명하였다.

콜모고로프(Kolmogorov)는 확률의 공리화를 이루었고, 확률 개념의 순환(무작위성을 이해해야 확률적인 실험을 통해 확률을 구할 수 있는데, 무작위성을 이해하기 위해서는 확률을 알아야 함)을 해결할 수 있었다. 이후 최소제곱법, 상관분석과 회귀분석, t분포 등 다양한 통계적 개념이 발달하였다.

요컨대, 확률론은 공리화에 의해 엄밀한 전개 방식을 확립하면서 발달하였고, 통계학은 다양한 상황에서 얻은 자료의 제한점을 고려하여 분석하는 방법을 체계화하며 발달하였다. (김남희 외, 2017: 304-314)

13.6.2. 직관, 판단 전략, 패러독스

(1) 확률 교육에서의 직관
피시바인(Fischbein)은 학생들이 확률 교육을 받기 이전에 이미 가지고 있는 확률 직관은, 오히려 확률 개념을 이해하는 데에 방해가 될 수 있다고 주장하였다. 피시바인은 확률 개념에서는 직관이 쓸모 없을 정도로 방해가 되므로 확률에 대한 자연스러운 직관을 거부하는 태도가 필요하다고 하였다. 또한 확률 교육에서는 인간의 행동을 탐구하는 것에 강조점을 두어야 하며, 연역적 사고 방식만으로는 확률의 의미를 제대로 교육할 수 없다고 주장하였다. (김남희 외, 2017: 314-315)

(2) 확률 교육과 판단 전략
카네만(Kahneman) 외는 대부분의 사람들이 확률적인 판단을 내릴 때 대표성 전략, 정보의 이용가능성 전략, 조정과 고정 전략 등을 이용한다고 하였다. 대표성 전략은 표본이 (크기에 관계없이) 모집단과 유사할 것을 기대하거나, 표본을 추출하는 과정이 무작위성을 반영하기를 기대하는 것을 뜻한다. 가령 전체 교사의 1/3이 여자라면, 교사 세 명 중 한 명이 여자일 것이라고 기대하는 경향이 있다. 다음으로 정보의 이용가능성 전략은 판단을 내릴 때 자신이 이용할 수 있는 정보에 영향을 받는 것을 의미한다. 가령 최근에 교통사고를 목격한 사람은 그렇지 않은 사람보다 교통사고가 발생할 확률을 높게 추측하는 경향이 있다. 마지막으로 조정과 고정 전략은 최종적인 답을 어림할 때 초기값에 따라 다른 결과에 도달하는 현상을 가리킨다. 가령 8×7×6×...×1을 어림한 값과 1×2×3×...×8을 어림한 값이 크게 달랐던 조사가 있다.

코놀드(Konold)는 결과 중심 판단 전략이 존재함을 확인하였다. 결과 중심 판단 전략이란 사건이 일어날 가능성을 추정하기보다, 사건이 일어날지의 여부를 결정하는 것을 판단하는 경향이 있다는 것을 의미한다. 가령 비가 올 확률이 60%라고 하면 비가 올 것으로, 40%라고 하면 비가 오지 않을 것으로 단정하는 경향이 있다. 또한 코놀드는 도수에 대한 정보보다 인과적 정보에 주목하여 판단하는 현상을 확인하였다. 가령 비가 올 확률이 70%일 때, 이 값이 빈도와 관련되어 있다고 생각하지 않고 습도가 70%이므로, 혹은 하늘에 구름이 70%이므로 그러하다고 추측하는 경향이 있다.

이와 같이 학생들은 확률을 배우기 전에 판단 전략에 따라 확률을 구하며, 이로 인해 확률 교육이 어려워진다. 카네만 외와 코놀드는 이러한 판단 전략을 거부할 것이 아니라, 적극적으로 드러내고 교정할 기회를 주어야 한다고 강조하였다. (김남희 외, 2017: 315-317)

(3) 확률과 패러독스
프로이덴탈은 확률이 수학적 개념으로 만들어지고 받아들여지는 순간마다 많은 논쟁이 일어났음을 확인하였다. 처음부터 단일한 방법으로 문제가 해결되기보다는, 다양한 방법이 동시에 제시되었으며 유명 수학자들도 잘못 판단한 경우가 많았다. 그러므로 확률 교육에서 패러독스는 확률 개념의 역사 발생을 경험하게 하는 자료로 활용될 수 있다. 심슨(Simpson)의 패러독스와 베르트랑(Bertrand)의 현 패러독스 등이 있다. 이러한 패러독스는 학생들의 수준에서 타당한 추론에 의해 도달한 결과가 서로 다를 수 있음을 알게 함으로써, 확률이 수학의 다른 영역과 어떻게 다른지 알게 한다. 이러한 패러독스를 다루는 것이 확률 개념 지도의 유용한 접근이 될 수 있다. (김남희 외, 2017: 317-319)

13.6.3. 확률적 사고 수준

(1) 샤우네시의 확률적 사고 수준
샤우네시(Shaughnessy)는 확률적 사고가 비확률적 사고, 원시 확률적 사고, 발생 단계의 확률적 사고, 실제적인 확률적 사고의 네 가지 수준을 거쳐 발달한다고 설명하였다. 각 수준의 특징은 다음과 같다. 이 수준은 선형적, 배타적으로 존재하는 것은 아니며, 어떤 경우에는 발생 단계의 사고를, 또 어떤 경우에는 원시 확률적 사고를 할 수도 있다.

비확률적 사고

수학적 판단이 아닌 신념에 근거하여 판단
우연 현상이나 무작위 사건에 대해 주목하지 않거나, 주목하더라도 잘 이해하지 못함

원시 확률적 사고

대표성, 이용 가능성 등의 전략을 초보적이고 직관적으로 사용
과거의 경험에 기초하여 판단
우연이나 무작위 사건의 의미를 불완전하게 이해

발생 단계의 확률적 사고

간단한 문제 상황에 수학적 확률 또는 통계적 확률을 적용
신념과 수학적 모델 간의 차이를 인지
확률 교육을 받은 초기 수준

실제적인 확률적 사고

통계적 확률과 수학적 확률 등의 의미를 이해하고, 이들을 적절히 적용
불확실한 상황에서 수학적인 확률 개념을 적용하고, 그 판단의 전제조건과 제한점을 이해

(2) 존스 외의 확률적 사고 수준
존스(Jones) 외는 샤우네시의 연구를 발전시켜 확률적 사고 발달 수준을 더 구체화하였다. 이 수준 역시 선형적, 배타적으로 발달하지 않으며, 한 아동에게서도 서로 다른 수준이 발견될 수 있다. 1수준인 주관적 사고 단계, 2수준인 이행기, 3수준인 비형식적 양적 사고, 4수준인 수치적 사고로 구분된다. 표본공간 개념은 다음과 같이 발달한다고 보았다.

직관적 사고: 단일 사건의 모든 경우를 불완전하게 나열함
이행기

단일 사건의 모든 경우를 나열함
제한적이거나 비체계적인 전략을 사용하여 복합 사건의 모든 경우를 나열함

비형식적 양적 사고: 전략을 일부 활용하여 복합 사건의 모든 경우를 나열함
수치적 사고: 전략을 활용하여 둘 혹은 세 사건으로 이루어진 복합 사건의 모든 경우의 수를 나열함

가령 붉은색과 흰색으로 이루어진 회전판을 돌릴 때 나올 수 있는 경우를 확인하는 문제 상황에서, 1수준(주관적 사고)의 학생은 자신이 선호하는 색을 말하는 정도이다. 2수준(이행기)의 학생은 두 가지 색을 모두 말하기는 하나 체계적으로 표본공간을 제시하지는 못한다. 3수준(비형식적 양적 사고)의 학생은 두 색이 표본공간을 이룸을 알고, 다양한 상황에서 전략을 활용하여 모든 경우를 정확하게 찾는다. 4수준(수치적 사고)의 학생은 표본공간을 정확히 제시할뿐더러 두 색이 차지하는 넓이가 다르므로 가능성이 같지 않다는 것을 안다.

교사는 다양한 문제 상황에서 이 네 가지 수준을 구분해 보고, 학생들의 수준을 파악하고 수준 상승을 도모해야 한다. (김남희 외, 2017: 319-321)

13.6.4. 조건부확률 개념 지도

학생들은 '~가 일어날 때'와 같은 표현이 있을 때 기계적으로 조건부확률 문제라고 생각하는 경향이 있으며, 두 사건이 순차적으로 일어나는 경우, 인과관계로 되어 있는 경우 등으로 착각하는 학생들도 상당수 있다. 이러한 오개념을 방지하기 위해서 교사는 다음과 같은 방법을 사용할 수 있다. (김남희 외, 2017: 321-323)

조건문의 의미와 형식을 파악하게 한다.
독립사건과 종속사건의 의미를 풍부히 경험하게 한 후 곱셈법칙과 조건부확률의 알고리즘화를 시도한다.

고등학교보다 더 이른 시기에 조건부확률을 비형식적으로 다룰 필요가 있다.

조건에 의해 확률이 수정되는 과정으로 조건부확률을 지도한다.

사전확률이 사후확률로 변하는 과정임을 이해하게 한다.

조건 관계와 시간 순서는 관련이 없다는 것을 이해하게 한다.
조건 관계와 인과관계를 구분하여 지도한다.

인과관계가 전혀 포함되지 않은 조건관계를 제시하여 오개념을 수정한다.

베이즈 정리의 본질인 가추적 사고[37]를 고려한다.

13.6.5. 통계적 사고

현재 학교 수학에 나오는 통계적 상황은 지나치게 인위적이며, 의미 있는 문제 상황을 통해 통계를 지도할 필요가 있다. 통계학은 이론적이기보다 경험적이며, 그렇기에 자료를 관찰하는 과정이 우선적으로 전제되어야 한다. 이때 동일한 개체를 반복 측정하더라도 변화 가능한 결과를 얻는데, 이러한 자료의 변이성 속에서 규칙을 찾는 것이 통계적 사고 과정이다. 와일드(Wild)와 팬쿡(Pfannkuch)에 의하면, 이러한 통계적 사고 과정은 문제, 계획, 자료, 분석, 결론의 단계를 거친다. 각 단계의 의미는 다음과 같다. (김남희 외, 2017: 323-324)

문제: 정보를 체계적으로 확인하고 문제로 형식화
계획: 측정 방법, 표본 추출 방법, 자료 관리 체계, 예비조사 방법, 결과 분석 방법 결정
자료: 자료를 수집, 관리, 정돈
분석: 자료 검토 및 분석(계획한 대로, 혹은 계획하지 않은 대로) 및 가설 생성
결론: 결과 해석, 결론 도출, 새로운 아이디어 모색, 상호 의견 교환

13.6.6. 탐색적 자료 분석

투키(Tukey)는 간단한 그림에 대한 해석에 기초하여 자료 이면에 들어 있는 의미를 파악하는 시도를 탐색적 자료 분석이라 하였다. 자료를 표로 정리하고 자료의 추세와 분포의 주목하는 것이 탐색적 자료 분석의 주요한 방법이다. 이러한 탐색적 자료 분석의 주요 주제 중 저항성과 그래프를 통한 현시성을 이해할 필요가 있다. 저항성은 일부 자료가 파손되어도 자료 전체에 대해 비교적 합리적인 해석을 내릴 수 있다는 의미로서, 가령 설문 응답자가 부주의로 인해 단위를 잘못 작성[38]하는 경우, 평균은 큰 영향을 받으나 중앙값은 그다지 영향을 받지 않는다. 그러므로 탐색적 자료 분석에서는 평균보다 중앙값을 선호한다. 또한 그래프가 현시성을 가진다는 것은 그 그래프를 해석함으로써 다양한 의미를 도출할 수 있다는 뜻이다. 통계 그래프를 그리는 것뿐 아니라 그 그래프를 다각도로 분석하고 의미를 파악할 수 있다. (김남희 외, 2017: 324-325)

13.6.7. 현실 맥락과 통계

프로이덴탈은 확률과 통계 교육의 문제점 두 가지를 제시한다. 첫째는 현실과 단절된 추상 체계로 다룬다는 점이며, 둘째는 수량 자료로 가득한 계산 패턴 체계로 다룬다는 점이다. 현실과 단절된 추상 체걔로 가르치다 보니 계산 방법 교육에 주목하게 되었다고 설명한다. 프로이덴탈은 어느 분야보다도 현실과의 관련성이 깊은 통계 영역을 계산 방법에 치중하여 다루는 것을 비판하며, 학습자의 현실(실생활 및 물리적·사회적·정신적 세계)을 고려하여 문제 상황을 구성할 것을 주장한다. 또한 프로이덴탈은 아동이 인류의 학습 과정을 재현하기 때문에, 역사 연구를 통해 자연스러운 상황을 개발할 것을 제안한다.

베커(Bakker)는 프로이덴탈의 관점을 반영하여 평균, 표본, 분포, 그래프 등의 학습 내용을 개발하였다. 베커는 여러 통계 개념의 역사를 조사한 후 아동의 심리를 고려하여 학습 상황을 개발하고 적용하였다. 가령 평균 개념은 대부분 큰 수를 대략적으로 추정하기 위한 상황에서 활용되었다. 인도에서는 나뭇잎의 수를 세기 위해 평균 크기의 가지를 선택하여 개수를 센 후 가지의 개수에 곱했으며, 아테네에서는 성벽의 높이를 잴 때 성벽을 이루는 벽돌 하나의 두께를 재고 평균적으로 사용된 벽돌의 개수를 곱해서 높이를 계산하였다. (김남희 외, 2017: 325-327)

13.6.8. 통계적 소양

통계적 소양은 다양한 맥락에서 접하는 통계 정보 및 현상을 해석하고 비판적으로 평가하는 능력 및 통계 정보에 대해 토론하고 의사소통하는 능력을 의미한다.(Gal, 2002, 탁병주 외, 2022: 9에서 재인용) 이러한 통계적 소양은 통계교육의 주된 목적이다.(탁병주 외, 2022: 9)

갈(Gal)은 통계적 소양을 지식 요소와 성향 요소로 구분하였다. 세부 구분은 다음과 같다.

지식 요소

기본 소양: 말하고 읽고 쓰며 간단히 계산하는 능력
통계적 지식: 자료, 표와 그래프, 대푯값과 산포도, 표본, 확률변수, 통계적 추정 관련 지식
수학적 지식: 수와 수 감각, 사칙계산, 비와 비율, 방정식과 부등식, 미분과 적분 등
맥락적 지식
비판적 질문

자료의 출처, 자료 조사 방법, 표본 추출 방법, 실험 도구 및 측정 도구의 신뢰도, 분포의 형태, 자료의 왜곡 및 대푯값의 적절성 여부, 확률적 판단의 근거 등

성향 요소

신념과 태도

태도: 통계 관련 내용, 행동, 주제 등에 대한 느낌
신념: 태도에 비해 오랜 시간 동안 형성되며 태도보다 변화하기 어려움

비판적 자세: 정보를 무조건 거부하거나 수용하지 않고 비판적으로 검토하는 태도

그동안의 교육에서는 지식 요소, 그 중에서도 통계적 지식만을 다룬 것으로 보인다. 이 경우 필요한 순간에 통계적 정보를 다루거나 해석하지 못할 수 있으며, 통계적 소양 교육을 통해 합리적이고 비판적인 추론의 도구로서 통계를 배우도록 할 필요가 있다. (김남희 외, 2017: 327-329)

이러한 통계적 소양 교육의 지향은 다음과 같다. (탁병주 외, 2022: 14-16)

통계교육에서 통계적 문제해결의 중요성을 강조한다.
통계적 문제해결 과정에서 맥락적 영역과 통계적 영역 간의 상호 관계 속에서 필요한 역량을 길러 주어야 한다.
그 수준을 확인할 수 있는 평가 기준을 마련할 필요가 있다.

13.7. 기타

이하는 김남희 외(2017)가 제시하지 않은 내용에 대한 정보이다.

(1) 집합
수학에서 모든 개념은 집합론의 용어로 진술될 수 있으나, 학교수학에서 이러한 정초성을 요구하지는 않는다. 그렇기에 학교수학에서 집합론의 교육 목표는 집합적 사고의 함양에 있는데, 집합적 사고란 수학적 개념을 집합 기호를 통해 명료하게 표현할 수 있음을 의미한다. 한편 학생들은 집합에서 다음과 같은 혼동을 겪는다. (유윤재, 2012: 134-136)

'부분집합'에서 '부분'이라는 일상 언어로 인해 A⊂A라는 표현을 혼란스럽게 여긴다.
공집합에 여러 가지가 있다고 생각한다. 가령 [math(\{x \in \R| x^2+1=0 \})]과 [math(\{x \in \R| x^2+2=0 \})]은 다르다고 생각한다.
합집합을 배타적 합으로 인식하거나, 반대로 같은 원소를 두 번 작성하는 경우가 있다.

(2) 이산수학
이산수학은 이산 현상을 다루기 위한 수학으로서, 경우의 수, 수열의 점화식과 생성함수, 그래프 이론 등을 다룬다.[39] 이산수학은 기초 지식을 요구하지 않는 것이 대부분이며, 누구나 문제에 접근할 수 있다는 점이 수학적 사고 학습 도구로서 매력적이다. 한편 학생들은 다음과 같은 어려움을 겪는다. (유윤재, 2012: 824-825, 김서령 외, 2007: 203)

합의 법칙과 곱의 법칙을 적용해야 할 상황을 혼동하는 경향이 있다.
곱의 법칙의 의미를 정확히 이해하지 못한다.
곱의 법칙 적용을 위한 경우 나누기를 어려워한다.
(이산수학에서의) 그래프와 함수의 그래프를 혼동하는 경향이 있다.

(3) 벡터
학교수학에서 벡터 개념은 대수구조로서보다는 그 응용에 관심을 두고 있다. 벡터는 해석기하학이 가진 정보의 복잡성을 단순화하는 장점이 있으나, 학생들은 벡터와 관련하여 다음과 같은 오개념을 가지기도 한다.(유윤재, 2012: 735-736)

두 점 A, B의 중점 M에 대하여, 벡터 [math(\overrightarrow{\rm MA}+\overrightarrow{\rm MB})]의 크기가 선분 AB의 길이와 같다고 착각한다.
벡터를 적용할 때 유향선분과 위치벡터를 구별하지 못한다.

(4) 함수
함수 개념을 이해하기 위해서는 다양한 모델을 사용할 수 있는데, 그 특징을 비교하면 다음과 같다.(유윤재, 2012: 344-345)

모델	특징	활용 영역
입출력 상자	함수 관계의 포괄적 정신모델을 형성하는 데에 유리	연산의 개념적 이해, 포괄적 개념 형성
그래프	함수의 전체적인 면을 한눈에 볼 수 있고, 추세를 추측 가능	추세의 예측, 수열과 급수의 수렴성 이해
화살표 다이어그램	대응 관계의 전체적인 특성 파악	이산형 함수의 함숫값 이해, 합성함수 및 역함수 이해
수표	전체적인 면을 한눈에 파악할 수 있으나, 흐름을 파악하기에 그래프보다는 불리	역함수 이해
대수적 식	개념화하기 쉽다.	대수적 조작을 위한 도구
순서쌍	함수의 엄밀한 정의이나, 사용하기 복잡하며 전체적인 특성이 나타나지 않는다.	함수 정의의 논리성 이해

14. 참고문헌

강옥기, 강윤수, 고상숙, 고호경, 권나영, 김구연, 김래영, 김민경, 김응환, 김익표, 노선숙, 서보억, 신재홍, 이수진, 이중권, 정인철, 한인기, 허혜자, 황우형(2012). 수학교육학 신서. 서울: 교우사.
김남희(2021). 문제를 해결하며 학습하는 수학교육학. 서울: 경문사.
김남희, 나귀수, 박경미, 이경화, 정영옥(2017). 예비교사와 현직교사를 위한 수학교육과정과 교재연구. 서울: 경문사.
김서령, 박혜숙, 김완순(2007). 조합 문제에서의 인식론적 장애 -곱의 법칙과 합의 법칙을 중심으로-. 수학교육, 46(2), 193-205.
김성경, 노지화, 마민영, 서보억, 손홍찬, 신동조, 신보미, 이경언, 이광상, 이봉주, 임해미, 한인기(2024). 수학교육학개론. 서울: 경문사.
교육부(2022). 수학과 교육과정. 교육부고시 제2022-33호 [별책 8].
류성림, 권성룔, 김남균, 이종학, 여승현, 박진형, 임미인, 조진우, 최지선, 탁병주(2024). 2022 개정 교육과정에 따른 초등수학교육론. 서울: 경문사.
유윤재(2012). 중등수학 교재연구. 서울: 경문사.
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이다희, 황우형(2018). 수학교사의 테크놀로지 교수 내용 지식(TPACK)에 대한 연구: TPACK에 대한 인식 및 교육요구도 분석 중심으로. 수학교육, 57(1), 1-36.
이종학, 유성림, 여승현, 박진형, 임미인, 조진우, 최지선, 탁병주(2024). 2022 개정 교육과정에 따른 초등수학 교재연구 지도법. 서울: 경문사.
임해미(2009). 예비 수학교사의 테크놀로지 내용교수지식(TPACK) 신장을 위한 팀 프로젝트 효과 연구. 수학교육학연구, 19(4), 545-564.
최경식(2024). 알지오매스 활용 수학 교수 학습(중학교 함수, 기하편). 경기: 지오북스.
탁병주, 강현영, 김소민, 김은하, 박민선, 신동조, 신보미, 이윤경, 임성빈, 장혜원, 전수경, 조정수, 지영명, 한채린(2022). 데이터 시대의 통계교육. 서울: 경문사. 대한수학교육학회·한국수학교육학회 2021년 연보.
황혜정, 나귀수, 최승현, 박경미, 임재훈, 서동엽(2019a). 수학교육학신론 1. 경기: 문음사.
황혜정, 최승현, 조성민, 박지현(2019b). 수학교육학신론 2. 경기: 문음사.

15. 여담

수학교사를 지망하는 사범대학생에게 필수적인 학문이다.

[1] 이와 대비하여, 귀납은 발견의 수단이 된다. [2] 주로 장 디외도네(Jean Dieudonné)가 제안한 내용이다. 이 수학자는 니콜라 부르바키의 저술 실무를 담당하는 서기이기도 했다. [3] 집합, 함수, 확률, 대수적 개념 등과 관련된 용어 및 기호 [4] 군, 환, 체 등 현대수학의 개념을 활용하여 수학적 개념을 추상적이고 통합적으로 다룬다. [5] 유클리드 기하 등 [6] 예: 피보나치 수열. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... [7] 처음 두 수는 1과 1이다, 연속하는 항의 비는 황금비에 수렴한다 등 [8] 처음 두 수가 같지 않다면? 처음 두 수를 10과 7이라 하자. 10, 7, 17, 24, 41, 65, 106, ... [9] 변형된 피보나치 수열에서 연속하는 항의 비의 극한은? 등 [10] 동일하게 황금비에 수렴한다 등 [11] 손가락으로 계산해 보기, 블록을 쌓아 보기 등 [12] 숫자를 이용하여 계산하기, 블록이 쌓인 모양을 머릿속으로 상상하기 등 [13] 반사→반성→반사→반성→… [14] 개수를 세기 위하여 색칠을 하는 행동, 덧셈 문제를 손가락으로 계산하는 활동 등 [15] 수도(數圖), 벤 다이어그램, 그래프, 수형도 등 [16] 수식, 기호, 변수 등 [17] 함수 자체를 대상으로 보고, 함수의 합과 곱, 합성과 역, 미분과 적분 등을 행하는 것을 예로 들 수 있다. [18] 학생들이 수학을 어떻게 이해하는지, 어떻게 생각하고 어떤 내용을 어려워하는지 등 [19] 학생들의 수학적 사고·표현·오개념 등에 따라 적절한 교수 방법을 선택하고 계획하는 것과 관련 [20] 예: 많은 돌멩이를 관찰한다. [21] 예: 돌멩이 두 개를 단위로 선택한다. [22] 예: 돌멩이 두 개를 반복하여 전체 개수를 명확히 한다. [23] 자신의 행동을 의식하는 것부터 시작하여, 그 행동을 머릿속에 넣는 것 [24] 행동의 출발점으로 되돌아갈 수 있는 가능성 [25] 역사적으로 음수 개념과 허수 개념이 성립된 시기는 거의 비슷하다. [26] 혹은 변하는 것으로 가정되는 대상 [27] 양, 수, 점, 집합, 명제 등 [28] 아직 정해지지 않은 상수를 나타냄 [29] 주로 함수에서 [30] 가령, "집합 A의 원소 x에 대하여"와 같은 문장을 잘 이해하지 못한다. [31] 정의역의 각 원소에 대해 치역의 단 하나의 원소가 대응된다 [32] 특별한 표현, 규칙성, 그래프 등에 의해 묘사될 필요가 없다 [33] 벡터공간의 선형사상, 군의 준동형사상 등 [34] 시간에 따른 온도 변화, 공을 던질 때의 포물선 운동, 밀물과 썰물의 주기적 변화, 천체 운동의 주기성, 방사성 물질의 반감기, 축척에 의한 지도의 확대와 축소 등 [35] 인식론적 장애의 의미에 대한 설명은 교수학적 변환론 문단 참고 [36] 공리적 방법과 연역적 방법의 의미는 후술 [37] 가설을 세워서 추론하는 사고 [38] 천 원 단위로 작성해야 할 것을 만 원 단위로 작성하는 경우 등 [39] 2022 개정 수학과 교육과정에서는, 과학 계열 선택 과목 < 이산 수학>에서 이들을 모두 다루며, 일반 계열 과목에서는 < 공통수학1>과 < 확률과 통계>에서 경우의 수만을 다룬다.