1. 개요
켈리는 벨 연구소에서 근무하던 연구원이었는데, 어떤 전송 채널이 가질 수 있는 최대 속도를 연구하다가 이 결과를 내놓았다. 켈리 자신도 1956년의 논문에서 도박 혹은 주식을 할 때 얼마만큼의 자금을 투입해야 하는가에 관한 방정식으로 해석하기도 했다.
2. 유도
일반적인 p의 확률로 승리시 b를 얻고 q의 확률로 패배시 a를 잃을 경우 아래의 공식이 만들어진다.|
[math(\displaystyle r=(1+fb)^{p} \times (1-fa)^{q})] 양 변에 로그를 취하면, [math(\displaystyle \log r= p\log(1+fb) + q\log(1-fa))] 미분하였을 때 0이 되는 f가 극값을 가지게 되므로 이를 f에 대해 미분하면 [math(\displaystyle 0= \frac{pb}{(1+fb)} - \frac{qa}{(1-fa)})] [math(\displaystyle \frac{pb}{(1+fb)} = \frac{qa}{(1-fa)})] [math(\displaystyle pb\times (1-fa) = qa \times (1+fb))] 이를 f에 관해 정리하면 널리 알려진 켈리 방정식이 나온다. [math(\displaystyle pb - pb\times fa = qa + qa \times fb)] [math(\displaystyle \frac p a - pf = \frac q b + qf)] [math(\displaystyle \frac p a - \frac q b = (p + q)f = f)] [math(\displaystyle f=\frac{p}{a} - \frac{q}{b})] 여기서,
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| [math(\displaystyle f=\frac{bp-q}{b}=\frac{p(b+1)-1}{b})] |
[math(\displaystyle f = \frac{p - q}{a} = \frac{p - (1 - p)}{a} = \frac{2p - 1}{a})]
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3. 설명
예를 들어 승률이 50%이고 얻거나 잃는 비율이 50%로 같은 도박은 f값이 0 이기 때문에 시행을 무한히 하게 되면 시간만 낭비할 뿐이고 돈을 딸 수 없다. 승률이 55%이면 f값이 0.1/0.5이기에 20%의 자금을 투자해서 무한하게 시행하면 돈을 벌게 된다. 여기서 무한히가 아닌 유한한 현실세계의 경우에는 50% 미만이어도 돈을 얻을 가능성이 있다. 다만 투자를 계속 할 수록 켈리 비율이 예측하는 수익률에 가까워진다.| 승률 | 투자 금액 |
| 10% | 투자 금물 |
| 20% | 투자 금물 |
| 30% | 투자 금물 |
| 40% | 투자 금물 |
| 50% | 0% |
| 60% | 20% |
| 70% | 40% |
| 80% | 60% |
| 90% | 80% |
| 100% | 100% |
실생활에선 우위/배당률로 기억하는 것이 활용하기 편하다. 켈리 기준에 가까울수록 공격적인 베팅, 기준을 넘어가면 변동성은 높아지고 수익률은 낮아지는 광적인 베팅으로 정의된다. 기준의 두 배가 넘으면 장기적으로 파산한다.
파산을 면함으로써 가장 빠르게 부의 총량을 늘리는 자금관리 기법으로 알려져 있다. 공식에 따르면 시재금이 1/2이 될 확률은 1/2, 1/100이 될 확률은 1/100, 0이 될 확률은 0이다. 노벨 경제학상 수상자 폴 새뮤얼슨은 효용함수가 무엇인지 이해하는 사람이라면 이런 방법을 쓰지 않을것이라며 매우 반발했다.
투자자산의 수익률이 정규분포를 따를 경우, 샤프 지수를 극대화하는 것은 켈리공식에 따라 투자하는 것과 같은 결과를 가져온다. 효용이 보유자산과 정확히 로그함수의 관계를 가진다고 가정했을때 효용의 기대값을 극대화하는 것은 켈리공식에 따라 배팅하는 것과 같다.[1]
[1]
정확히는 샤프 지수가 [math(\frac{기대 수익률 - 무위험 수익률}{표준편차})] 이고, 켈리 방정식의 정규분포 경우는 [math(\frac{기대 수익률 - 무위험 수익률}{표준편차^2})]으로 표준편차의 제곱이 들어간다는 점이 다르다.